河南省信阳市2020-2021学年度高二上学期期中教学质量检测——数学(文)
2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年河南省信阳市光山县人教版六年级下册期末教学质量检测数学试卷
绝密★启用前2020-2021学年河南省信阳市光山县人教版六年级下册期末教学质量检测数学试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．双休日，甲商场以“打九折”的促销优惠，乙商场以“满100元送10购物券”的形式促销。
妈妈打算花掉500元，妈妈在（ ）商场购物合算一些。
A ．甲B ．乙C ．甲、乙都一样D ．无法确定2．小明用萝卜削了一个圆柱，然后把萝卜一刀切成两半，截面是（ ）。
A ．圆形B ．长方形C ．正方形D ．以上都有可能3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是2.4立方分米，它们的体积之差是（ ）立方分米。
A ．0.6B ．0.8C ．0.4D ．1.24．学校的操场是一个长方形，长是90米，宽是60米，小聪想把它画在练习本上，比较合适的比例尺是（ ）。
A ．1∶100B ．1∶1000C ．1∶10000D ．1∶1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题………装…………订………请※※不※※要※※在线※※内※※答※※题………装…………订………6．一袋水泥的包装袋上标注着“1000.5”千克，表示这袋水泥最重( )千克，最轻( )千克。
7．0.97立方米＝( )立方分米5分20秒＝( )分8．_____÷20＝0.6＝_____%＝_____成。
9．王老师买了一套商品房，面积是2125m，单价是6000元，如果一次性付清房款，可以打九折优惠。
(1)打折后房子的总价是( )元。
(2)买房时要缴纳实际房款的1.5%的契税，王老师还要缴纳契税( )元。
10．下图中饮料瓶中装有18升饮料，正放时饮料的高度是15厘米，倒放时空余部分的高度是10厘米，这个瓶子最多还可以装进( )升的饮料。
11．在一幅世界地图上，用图上14厘米的线段表示4900千米的实际距离，则该图的比例尺是( )。
河南省信阳市2020-2021学年高二上学期期中教学质量检测生物+英语+语文 试题 含答案
河南省信阳市2020一2021 学年度高二_上学期期中教学质量检测生物学试题(测试时间:90分钟卷面总分:100 分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
2.全部答案在答题卡，上完成,答在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共25小题,每小题2分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.内环境是细胞与外界环境进行物质交换的媒介,机体的多种生理、生化反应是在内环境中进行的。
下列变化发生在内环境中的是A.吞噬细胞在组织间隙中吞噬细菌B.病毒的DNA整合到宿主细胞的染色体上C.肠道中的蛋白质被胰蛋白酶降解D.泪水中的溶菌酶分解细菌的细胞壁2.关于正常情况下组织液生成与回流的叙述,错误的是A.机体内组织液不断生成与回流,保持着动态平衡B.机体组织液和血浆中的葡萄糖含量一定相等C.血浆中的氧气、葡萄糖等物质可经毛细血管动脉端进人组织液D.组织液中的二氧化碳、尿素等物质可经毛细血管静脉端进人血浆3.今年国庆节.中秋节双节叠加，经旅游部门统计,双节期间,去往拉萨的旅客5.2万人次,日均约6500人次。
但高原地区氧气稀薄,一些人出现了组织水肿等高原反应。
下列相关说法不正确的是A.高原反应可能还包括呼吸、心跳加速B.发生高原反应后可通过吸氧来缓解症状C.高原反应的产生是因为机体丧失了内环境稳态的调节能力D.高原反应的产生可能与内环境酸碱平衡失调有关4.人体内组织细胞与外界环境进行物质交换时需要细胞外液和甲.乙、丙.丁四大系统的参与,图示如下。
下列叙述正确的是A.甲是循环系统,①②③中所含物质种类和含量均相同B.乙是消化系统,①②③的渗透压的90%以上来源于钠离子和氯离子C.丙是呼吸系统，长时间的剧烈运动会导致②中的葡萄糖含量明显降低D.丁是神经系统,神经递质可通过①运输至突触后膜5.如下图是某反射弧的组成示意图(虚线内为神经中枢),箭头表示神经冲动的传导方向。
河南省郑州市八校2020-2021学年高二第一学期期中联考数学(理)试题解析版
2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤D. 若0x >，则2020x >2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150B. 60或120C. 30D. 603. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y-最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 47. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈Cn a *n N ∈ D. 2n a n =，*n N ∈10. 给出下列结论： ①ABC 中，sin sin A B a b >⇔>；的②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,1⎛+ ⎝⎦B. 1,12⎡⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）的16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m > （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ； （2）若a =ABC的面积为2，求△ABC 的周长． 20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围； （2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加.工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．2020~2021学年上期高二年级期中联考试题理科数学考拭时间：120分钟注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效. 一、选择题1. 命题“若2020x >，则0x >”的否命题是（ ） A. 若2020x >，则0x ≤ B. 若0x ≤，则2020x ≤ C. 若2020x ≤，则0x ≤ D. 若0x >，则2020x >【答案】C 【解析】 【分析】把命题的条件和结论全否定可得到原命题的否命题 【详解】解：因为命题“若2020x >，则0x >”， 所以其否命题为“若2020x ≤，则0x ≤”，故选：C2. 已知ABC ∆中，角A 、B 的对边为a 、b ，1a =，b =120B =，则A 等于（ ）A. 30或150 B. 60或120C. 30D. 60【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出 关系式，将a ，b ，sin B 的值代入求出sin A 的值，即可确定出A 的度数． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b =120B =︒，∴由正弦定理sin sin a b A B =，得：1sin 1sin 2a B A b ===， a b <，A B ∴<，则30A =︒． 故选：C ．【点睛】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．3. 已知1c >，则不等式2110x c x c ⎛⎫-++> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A. 1x x c c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 1{x x c>或}x c > C. 1{x x c<或}x c > D. 1x c x c ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，根据c 的范围，可得1c c >，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】不等式可变形为：1()()0x c x c -->，因为1c >，所以1c c>，所以不等式解集为1{x x c<或}x c >，故选：C4. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】先根据余弦定理可知60A =，再利用边角互化，以及条件证明b c =，从而判断ABC 的形状.【详解】根据余弦定理可知2221cos 22b c a A bc +-==，因为0180A <<， 所以60A =，根据正弦定理可知22sin sin sin B C A bc a =⇔=， 所以()222220b c a bc bc b c +=+=⇔-=，所以b c =， 则ABC 的形状是等边三角形. 故选：C5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，如表给出n S 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于（ ） A.8116B.278C. 8116-或8116D.278或278-【答案】B 【解析】 【分析】根据表中数据，可得145,,S S S 的值，即可求得15,a a 的值，根据{}n a 为等比数列，代入公式，即可求得q 的值，根据题中数据，可得0q <，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得111S a ==-，451355,816S S ==-，所以55455138116816a S S =-=--=-， 因为{}n a 为等比数列，所以451a a q ，即481(1)16q -=-⋅，解得32q =±， 又因为110S =-<，41308S =>，所以0q <，所以32q =-， 所以3341327(1)()28a a q ==-⋅-=，故选：B6. 设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y -的最大值为（ ）A. -1B. 2C. -6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数2z x y =-中，z 的几何意义，通过直线平移即可得到z 的最大值．【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩对应的平面区域如图：设2z x y =-，得122z y x =-， 平移直线122z y x =-，当直线122z y x =-， 经过点A 时，直线的在y 轴上的截距最小，此时z 最大，由2x x y =-⎧⎨=⎩，解得(2,2)A --，此时z 的最大值为2222z =-+⨯=， 则2x y -的最大值为：2． 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 已知a ，b 均为实数，则下列说法一定成立．．．．的是（ ） A. 若a b >，c d >，则ab cd > B. 若11a b>，则a b < C. 若a b >，则22a b > D. 若||a b <，则0a b +>【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值代入法排除A 、B 、C ，利用不等式的基本性质||0b a ->，可得b a >±，从而得到0a b +>，从而得出结论．【详解】对于①，不妨令1a =-，2b =-，4c =，1d =，尽管满足a b >，c d >，但显然不满足ab cd >，故A 错误；对于②，不妨令1a =，1b =-，显然满足11a b>，但不满足a b <，故B 错误； 对于③，不妨令1a =-，2b =-，显然满足a b >，但不满足22a b >，故C 错误； 对于④，若||a b <，则||0b a ->，即b a >±，0a b ∴+>，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质与不等关系，在限定条件下，比较几个式子的大小时，用特殊值代入法，能快把答案进行排除是解此类问题的常用方法． 8. 若a ，b 为实数，则“1b a”是“1ab <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断，即可得出结果.【详解】若1b a 则10ab a -<，当0a >时，有1ab <；当0a <，由1ab >； 即由1b a ，不能推出1ab <；反之，由1ab <，也不能推出10ab a -<，即不能推出1b a； 综上，“1b a”是“1ab <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判定，属于基础题型.9. 如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为（ ）A. n a n =，*n N ∈B. n a =*n N ∈C. n a =，*n N ∈D. 2n a n =，*n N ∈【答案】C 【解析】 【分析】首先观察得到2211n n a a --=，利用等差数列求通项公式.【详解】由条件可知22211a a -=，22321a a -=， (22)11n n a a --=()2n ≥，∴数列{}2n a 是公差为1，首项为1的等差数列，2n a n ∴=，2n n a n a ∴=⇒=*n N ∈.故选：C10. 给出下列结论：①在ABC 中，sin sin A B a b >⇔>； ②常数列既是等差数列又是等比数列;③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(,2]k ∈-∞；④ABC 的内角A ，B ，C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 为锐角三角形.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】对于①，在ABC 中，由正弦定理可知有sin :sin :A B a b =，由此可判断；对于②，举反例可判断即可；对于③，利用递增数列的定义可求得k 的取值范围；对于④，由正弦定理可得::3:5:7a b c =，进而可判断三角形的形状【详解】解：对于①，由正弦定理得，2sin sin a b R A B ==，所以sin ,sin 22a b A B R R==， 因为sin sin A B >，所以22a bR R>，所以a b >，反之也成立，所以①正确； 对于②，常数列0是等差数列，但不是等比数列，所以②错误； 对于③，若{}n a 为递增数列，则10n n a a +->，即221(1)(1)1(1)0n n a a n k n n kn +-=+-++--+>，化简得1210n n a a n k +-=-+>，得21k n <+恒成立， 因为n ∈+N ，所以3k <，所以③错误；对于④，由正弦定理可知，由sin :sin :sin 3:5:7A B C =，得::3:5:7a b c =，设3,5,7a m b m c m ===，则222222925491cos 022352a b c m m m C ab m m +-+-===-<⨯⨯，所以角C 为钝角，所以三角形为钝角三角形，所以④错误， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查数列的单调性，等比数列和等差数列的定义等知识，解题的关键是对所涉及的基本概念和知识要熟悉，属于中档题11. 已知ABC ∆的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是（ ）A. 1,12⎛+ ⎝⎦B. 1,122⎡+⎢⎣⎦C.D. 12⎡⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理和基本不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，再化简sin cos B B +，再利用三角函数的取值范围. 【详解】∵a ，b ，c 成等比数列， ∴2b ac =，∴22221cos 222a cb ac ac B acac +--==，当且仅当a c =取等号，∴0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin cos 4B B B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴124B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查余弦定理和基本不等式，考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.12. 首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】①②③根据条件可分析数列是首项为正数，公差小于0的等差数列，所以存在*n N ∈，使10n n a a +≥⎧⎨≤⎩，再结合等差数列的前n 项和公式判断选项；④利用公式1n n n S S a --=()2n ≥，判断选项. 【详解】①若100S =，则()()110561010022a a a a ++==，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以50a >，60a <，那么()()()()18281212458402a a S S a a a a a a ++=++=+++>，故①不成立； ②若412S S =，则()124561289...40S S a a a a a -=+++=+=，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以80a >，90a <，()115158151502a a S a +==>，()()11689161616022a a a a S ++===，则使0n S >的最大的n 为15，故②成立； ③()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则90a <，因为数列是首项为正数，公差不为0的等差数列，所以{}n S 中的最大项是8S ，故③正确；④若78S S <，则8780S S a -=>，但989S S a -=，不确定9a 的正负，故④不正确. 故选：B【点睛】方法点睛：一般等差数列前n 项和的最值的常用方法包含：1.单调性法，利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，便可求得等差数列前n 项和的最值；2.利用二次函数的性质求最值，公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+（,A B 为常数）为关于n 的二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.二、填空题13. 在数列32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，712是它的第_______项．【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，可得数列的通项公式12n n a n +=，进而解12n n+＝712可得n 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅…中，其通项公式12n n a n+=，令12n n+＝712，解得6n =，即712是数列的第6项.故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题． 14. 若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【答案】[]1,3- 【解析】 【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）【解析】 【分析】画出示意图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．【详解】如图所示，依题意知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC ＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理知sin CE EAC ∠＝sin AC AEC ∠，∴AC sin45°＝20（米），∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC •sin ∠ACB ＝，∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为46＝23（米/秒）．故答案为：23．【点睛】关键点点睛：建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用正余弦定理解三角形解决． 16. 若实数a ，b ∈（0，1）且14ab =，则1211a b+--的最小值为______．【答案】43+ 【解析】 【分析】先根据条件消掉b ，将14b a =代入原式得18141aa a +--，并用“1”代换法，最后应用基本不等式求其最小值．【详解】解：因为ab ＝14，所以b ＝14a ， 因此1211a b+--＝121114aa+--， ＝18141a a a +--， ＝12(41)2141a a a -++--， ＝122141a a ++--， ＝12224144a a ⎛⎫++⎪--⎝⎭， ＝()()2124144234144a a a a ⎛⎫⎡⎤+-+-+ ⎪⎣⎦--⎝⎭， ＝2442(41)12234144a a a a --⎡⎤++++⎢⎥--⎣⎦，的(223≥+＝4+3， 当且仅当a“＝”，所以1211a b +--的最小值为43+，故答案为：43+【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17. 已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >. （1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<， 又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<. （1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.18. 在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a ，3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时，n S 取得最大值，并求n S 的最大值.【答案】（1）42nn a -=；（2）当3n =或4时，n S 取得最大值，()max 64n S =.【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a ，3a 成等差数列，求得公比即可. （2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）. 因为2a ，43a ，3a 成等差数列，所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --=， 解得12q =或13q =-（舍）， 又3411a a q ==，故18a =.所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）(7)321(4)21222n nn n n S a aa -++++-===，又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72，又n N +∈，故当3n =或4时，二次函数取得最大值6， 故当3n =或4时，n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知2B Cbsin asinB +=． （1）求角A ；（2）若a =ABC ，求△ABC 的周长．【答案】（1）A 3π=；（2）5.【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得到sinBsin2Aπ-=sinAsinB ，化简得到答案.（2）根据面积公式得到bc ＝6，利用余弦定理得到b +c ＝5，得到周长.【详解】（1）2B C bsin asinB +=，∴由正弦定理可得sinBsin 2Aπ-=sinAsinB ， ∵sinB ≠0，∴cos 2A =sinA ，即cos 2A =2sin 2A cos 2A，∵2A ∈（0，2π），cos 2A ≠0，∴sin 122A =，∴26A π=，可得A 3π=．（2）a =A 3π=，△ABC 12=bcsinA =bc ，解得bc ＝6， ∵由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣18，∴解得b +c ＝5，∴△ABC 的周长为5．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，面积公式解三角形，意在考查学生的计算能力.20. 已知函数f (x )的定义域为R . （1）求a 的取值范围；（2）若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 【答案】（1）[0，1]；（2）13-22⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】 【分析】（1）根据函数f (x )的定义域为R ，转化为ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立求解.（2）根据f (x )f (x )的最小值为2，解得a ＝12，然后将不等式x 2－x －a 2－a <0转化为x 2－x －34<0,，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】（1）因为函数f (x )的定义域为R . 所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有20{(2)40a a a >∆=-≤ 解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0，1]．（2）因为f (x )因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为13-22，⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元. （1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.【答案】（1）0175x <≤；（2）11【解析】【分析】（1）求得从事水果种植农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围.（2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值.【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤.（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）. 由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题. 22. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． （1）判断数列{}n a 是否为等比数列？若是，写出通项公式；若不是，请说明理由； （2）若22log n n b a =-，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）若不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）是，22n n a -=；（2）32n n nT -=；（3）2m ≥+或2m ≤-【解析】【分析】（1）由题分析可得12n n a a -=，即得数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列，再写出数列的通项得解； 的（2）求出1682n n n c -=，再利用错位相减法求出数列{}n c 的前n 项和n T ； （3）设323282n n n n n d T n --=⋅=，求出n d 的最大值即得解. 【详解】解：（1）各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1a ，且12，n a ，n S 成等差数列． 则122n n S a +=①， 当1n =时，11122S a +=， 解得112a =． 当2n ≥时，11122n n S a --+=②， ①-②得122n n n a a a -=-， 整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列． 所以121222n n n a --=⋅=， 故22n n a -=．（2）由于22n n a -=，所以2242n n b log a n =-=-， 由于n n n b c a =， 则24216822n n nn n c ---==， 所以1280168222n n n T -=+++①， 2311801682222n n n T +-=+++②， ①-②得：23111111684822222n n n n T +-⎛⎫=-++⋯+- ⎪⎝⎭，21111116822481212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-⋅--， 42nn =， 故32n n nT -=．（3）设32328328822n n n n n n n n d T n n ---=⋅=⋅=， 则：()1113123253222n n n n n n n n d d ++++----=-=， 当1n =，2，3时，112d =，21d =，378d =， 当1n >时，15302n n +-<， 故n d 的最大值为1， 不等式2321184n n T m m n -≤--对一切正整数n 恒成立， 只需21114m m --≥即可， 故2480m m --≥，解得2m ≥+2m ≤-所以m的取值范围是2m ≥+或2m ≤-【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和法.要根据数列的通项的特征灵活选用.。
山西省运城市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理+文)+语文试题 含答案
高二数学（理）参考答案 第1页（共5页）
19.解：(1)取 AB 中点 H ,连接 EH, HD ,在直三棱柱
ABC
−
A1B1C1
中,
EC1∥
1 2
AC
.
…………2
∵ D 为 BC 中点, H 为 AB 中点,
∴ HD∥ 1 AC, 2
HD∥EC1 ,
…………4
∴四边形 DHEC1 为平行四边形,∴ DC1 ∥ HE .…………5
6(1 + 2k 2 ) = 6 2 ………9 分
3 + 4k 2
7
解得 k 2 = 1 或 k 2 = − 11 （舍去） ∴ k = ±1 24
∴直线 l 的方程为 y = x +1或y = −x +1
…………………………12 分
20. (1)证明：如图所示，取 PB 中点 M，连接 MF，AM.
且 BC = 2 AD = 2CD = 2 2 ∴ AB = AC = 2,∴ AB ⊥ AC …………2 又 AB ⊥ PC , AC ∩ PC = C, AC ⊂ 平面 PAC , PC ⊂ 平面 PAC ∴ AB ⊥ 平面 PAC …………3 ∴PA = AC = 2, PC = 2 2,∴ PA ⊥ AC …………4 又Q PA ⊥ AB, AB ∩ AC = A, AB ⊂ 平面 ABCD , AC ⊂ 平面 ABCD ,…………5 ∴ PA ⊥ 平面 ABCD …………6 (2)解:在线段 AD 上取点 N,连接见 MN ,使 MN / / PA ，取 BC 的中点 E，则 AE, AD, AP
高二数学（理）参考答案 第4页（共5页）
则
x1
+
河南省顶级名校2020—2021学年高二上学期期中考试-理科数学答案
高二年级《 理科数学 》期中试卷参考答案1-6 BBDDCD 7-12 BDCAAB 13. 28 14. {}|12x x -<≤ 15. 3-17. 解关于的不等式:(-)<0.解：(1)当=0时,原不等式可化为--1)<0,即>1.故此不等式的解集为{}1.x x > (2)当≠0时,原不等式可化为(-1)<0, ①若<0,则原不等式可化为(-1)>0,由于<0,则有<1,解得或>1. 故此不等式的解集为{}11.x x x a ><或②若>0,则原不等式可化为(-1)<0,则有：当=1时,=1, 故此不等式的解集为.∅当>1时,<1,解得<<1; 故此不等式的解集为{}11.x x a << 当0<<1时,>1,解得1<<. 故此不等式的解集为{}11.x x a <<18. (1)当时,,则, 当时,由, 得, 相减得=, 即,经验证时也成立,所以数列的通项公式为.所以数列的前项和为:= =.19. (1)由已知及正弦定理得=,∴=,化简并整理得, 即,∴, 从而.(2)由余弦定理得, ∴, 又,∴,即, ∴,从而, ∴的周长的最大值为15. 20. 由题意，和为方程 的两根，则解得由知，， .因为 恒成立，则 ，解得： .21. （1）当070x <<时，2211100404006040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70x ≥时，6400640010010120604001660y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2160400,070,264001660,70.x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 且且（2）当070x <<时，()22116040060140022y x x x =-+-=--+.当60x =时，y 取最大值1400万元；当70x ≥时， 640064001660166021500y x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当80x =时，取等号. 综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.22. (1)由题意,而, 即,即,所以数列是以为首项,公比为的等比数列.(2)由(1),得,∴.令,则,①,②①②得,===. 所以.。
树德中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测 数学(文)试题(含答案)
16.
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
与双曲线
C2
:
x2 m2
y2 n2
1(m 0, n 0) 有相同的焦点 F1, F2 ，其中
F1 为左焦点．点 P 为两曲线在第一象限的交点，e1、e2 分别为曲线 C1、C2 的离心率，若△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形，则 e2﹣e1 的取值范围为_____． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17． 如图，圆 C 与 x 轴正半轴交于两点 A，B（B 在 A 的右方），与 y 轴相切
A． k 4 或 k 0 B． k 3 C． k 3 或 k 1 D． k 1
3
4
4
12.点 A 、 B
为椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 长轴的端点， C
、 D 为椭圆 E 短轴的端点，动点 M
满足
MA MB 2 ，若 MAB 面积的最大值为 8， MCD 面积的最小值为 1，则椭圆的离心率为
于点 M 0,1 ，已知 AB 2 3 .
（1）求圆 C 的标．准．方程； （2）求圆 C 在点 A 处的切线 l 的方程.
20.
设椭圆 M
：x2 a2
y2 b2
1a b 0 的离心率与双曲线 x2 y2
1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴
长为 4.
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）若直线 x 2 y m 交椭圆 M 于 A ， B 两点， P 2，1 为椭圆 M 上一点，求 PAB 面积的最大
联立
x2 3
y
y2 1
2020-2021学年河南省洛阳市高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)
2020-2021学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．16．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．09．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数的虚部是（）A．1B．i C．2D．2i【分析】根据复数的运算法则进行化简即可．解：＝＝＝2+i，则对应的虚部为1，故选：A．2．设函数f（x）满足＝2，则f'（x0）＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用导数的概念以及极限的运算性质即可求解．解：因为f′（x0）＝＝﹣＝﹣，故选：A．3．现有如下的演绎推理过程：正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x+）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x+）是奇函数，在这一过程中（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．推理形式不正确【分析】根据题意，由正弦函数的性质分析，可得推理过程中的小前提是错误的，即可得答案．解：根据题意，在演绎推理过程中，大前提为正弦函数是奇函数，是正确的，小前提为：f（x）＝sin（x+）是正弦函数，是错误的；结论f（x）＝sin（x+）是奇函数也是错误的，故选：C．4．用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被 5 整除，那么a、b中至少有一个能被5 整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5 整除B．a、b都不能被5 整除C．a、b不都能被5 整除D．a不能被5 整除【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．5．已知函数f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（）A．﹣e B．e C．﹣1D．1【分析】利用求导法则求出f（x）的导函数，把x＝e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．解：求导得：f′（x）＝2f'（e）+，把x＝e代入得：f′（e）＝e﹣1+2f′（e），解得：f′（e）＝﹣e﹣1，∴f（e）＝2ef′（e）+lne＝﹣1，故选：C．6．观察（x3）′＝3x2，（x5）′＝5x4，（sin x）′＝cos x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（）A．f（x）B．﹣f（x）C．g（x）D．﹣g（x）【分析】函数y＝x3、y＝x5与y＝sin x都是定义在R上的奇函数，而它们的导数都是偶函数．由此归纳，得一个奇函数的导数是偶函数，不难得到正确答案．解：根据（x3）′＝3x2、（x5）′＝5x4、（sin x）′＝cos x，发现原函数都是一个奇函数，它们的导数都是偶函数由此可得规律：一个奇函数的导数是偶函数．而定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），说明函数f（x）是一个奇函数因此，它的导数应该是一个偶函数，即g（﹣x）＝g（x）故选：C．7．若函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）C．（﹣，2）D．[﹣，]【分析】由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，进一步得x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，进而得△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，解之即可．解：由函数f（x）＝x3+ax2+2x+1是增函数，所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，又f′（x）＝x2+2ax+2，∴x2+2ax+2≥0对x∈R恒成立，所以△＝（2a）2﹣4×1×2≤0，所以a2≤2，∴．故选：D．8．曲线y＝ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8＝0的最短距离是（）A．2B．C．3D．0【分析】在曲线y＝ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8＝0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．解：设曲线y＝ln（2x﹣1）上的一点是P（m，n），则过P的切线与直线2x﹣y+8＝0平行．由，所以切线的斜率．解得m＝1，n＝ln（2﹣1）＝0．即P（1，0）到直线的最短距离是d＝．故选：A．9．设函数f（x）＝x2+mln（x+1）有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，]B．（0，]C．（﹣1，）D．（0，）【分析】函数f（x）有两个极值点x1，x2，即f′（x）＝0在定义域上有两个不相等的实数根，构造函数，根据二次函数的图象与性质即可求出m的取值范围．解：函数f（x）＝x2+mln（1+x），定义域为（﹣1，+∞）；若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则不妨设﹣1＜x1＜x2，即f′（x）＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，所以2x+＝0，化为方程2x2+2x+m＝0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根；记g（x）＝2x2+2x+m，x∈（﹣1，+∞），则，即，解得0＜m＜，所以实数m的取值范围是（0，）．故选：D．10．在确定（“…”代表无限次重复）的值时，可采用如下方法：令＝S，则＝S，于是可得S＝2；类比上述方法，不难得到（“…”代表无限次重复）的值为（）A．B．C．D．【分析】类比所给的解法，令，则，解出S的值，即可求解．解：由题意令，则，故S2+2S﹣2＝0，解得或﹣1，∵S＞0，∴S＝，S＝﹣﹣1（舍去）．故选：D．11．若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，则（）A．9f（ln2）＞4f（ln3）B．9f（ln2）＜4f（ln3）C．9f（ln2）＝4f（ln3）D．9f（ln2）与4f（ln3）大小关系不定【分析】分析：根据选项可构造函数h（x）＝＝利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而得到答案．解：令h（x）＝则h′（x）＝＝，∵函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞2f（x）成立，e2x＞0，所以当x∈R时，h′（x）＞0，h（x）在定义域R上单调递增，∴h（ln3）＞h（ln2），即，∴9f（ln2）＜4f（ln3）；故选：B．12．已知函数f（x）＝e，g（x）＝ln+1，对任意x1∈R，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x2﹣x1的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0），则x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0），求导分析单调性，进而可得h（a）的最小值，即可得出答案．解：不妨设f（x1）＝g（x2）＝a，（a＞0）所以e＝ln+1＝a，所以x1＝2lna，x2＝2e a﹣1，所以x2﹣x1＝2e a﹣1﹣2lna，令h（a）＝2e a﹣1﹣2lna，（a＞0）h′（a）＝2e a﹣1﹣，所以h′（a）在（0，+∞）上单调递增，且h′（1）＝0，所以在（0，1）上，h′（a）＜0，h（a）单调递减，在（1，+∞）上，h′（a）＞0，h（a）单调递增，所以h（a）在a＝1处取得最小值，所以x2﹣x1的最大值为h（1）＝2e1﹣1﹣2ln1＝2，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．曲线y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积为2．【分析】根据积分的应用可知所求的面积为，然后根据积分公式进行计算即可．解：∵在[0，π]，sin x≥0，∴y＝sin x在[0，π]上与x轴所围成的平面图形的面积S＝＝（﹣cos x）＝﹣cosπ+cos0＝1+1＝2．故答案为：2．14．已知复数z与（z+2）2﹣8i均是纯虚数，则z＝﹣2i．【分析】两个复数都是纯虚数，可设z，化简（z+2）2﹣8i，可求出z．解：设z＝ai，a∈R，∴（z+2）2﹣8i＝（ai+2）2﹣8i＝4+4ai﹣a2﹣8i＝（4﹣a2）+（4a﹣8）i，∵它是纯虚数，∴a＝﹣2故答案为：﹣2i．15．已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为．【分析】先利用导数求出g（x）在某点处的切线l的方程，然后再利用判别式法说明l 与y＝ax2相切，由此列出a的方程求解．解：设A（m，lnm）是公共点，由，得曲线y＝g（x）在A处的切线为：y﹣lnm＝，即……①，再设A（m，am2），f′（x）＝2ax，故f（x）在A处的切线为：y﹣am2＝2am（x﹣m），即y＝2am•x﹣am2……②，由已知得①②重合，故，解得，．故答案为：．16．设实数λ＞，若对任意的x∈[1，+∞），关于x的不等式e x﹣λln（λx）≥0恒成立，则λ的最大值为e．【分析】令f（x）＝e x﹣λln（λx），则问题e x﹣λln（λx）≥0恒成立转化为f（x）min≥0，利用导数的知识分析f（x）取得最小值时λ的值，即可得出答案．解：令f（x）＝e x﹣λln（λx），e x﹣λln（λx）≥0恒成立，即f（x）min≥0，f′（x）＝e x﹣λ••λ＝e x﹣，如图所示：函数y＝e x与y＝（λ＞0），在第一象限有且只有一个交点（m，n），所以当x∈（0，m）时，e x＜，即f′（x）＜0，f（x）在（0，m）上单调递减，当x∈（m，+∞）时，e x＞，即f′（x）＞0，f（x）在（m，+∞）上单调递增，令f′（x）＝0，即e x＝，即e m＝，解为m＝1，λ＝e，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝e﹣λlnλ，因为e﹣λlnλ≥0，即λlnλ≤e，令g（λ）＝λlnλ，g′（λ）＝lnλ+λ•＝lnλ+1，令g′（λ）＝0，即lnλ+1＝0，解得λ＝e，若λlnλ≤e，则λ的最大值为e．故答案为：e．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知复数z1＝m+（1﹣m2）•i（m∈R），z2＝cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．（1）当m＝3时，求z1的虚部；（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．【分析】（1）将m代入，化简复数即可；（2）利用复数相等的充要条件，消去m，得到用sinθ表示的λ的表达式，利用三角函数的有界性求范围．解：（1）当m＝3时，z1＝3﹣8i虚部为﹣8；（2）∵z1＝z2，∴，消去m，得λ＝（sinθ﹣1）2﹣1，由于﹣1≤sinθ≤1，∴﹣1≤λ≤3，∴λ的取值范围为[﹣1，3]．18．已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的极值；（2）比较3π与π3的大小，并说明理由．【分析】（1）由题意首先确定导函数的解析式，然后利用导函数与原函数的关系即可确定函数的极值；（2）结合（1）的结论利用函数的单调性比较所给的数的大小即可．解：（1）f（x）的定义域为，由f’（x）＞0得0＜x＜e，由f’（x）＜0得x＞e，故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．当x＝e时，f（x）有极大值，其极大值为：无极小值．（2）由（1）知f（x）在（e，+∞）上单调递减，又π＞3，故，πln3＞3lnπ，即ln3π＞lnπ3，又y＝lnx在（0，+∞）内单调递增，故3π＞π3．19．（1）设a，b，c＞0，求证三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）已知a＞5，用分析法证明：﹣＜﹣．【分析】（1）利用反证法结合基本不等式证明；（2）利用分析法，移向后两边平方，依次寻找使结论成立的充分条件即可．【解答】证明：（1）假设+，+，+都小于2，则（+）+（+）+（+）＜6，①又（+）+（+）+（+）＝（）+（）+（）．且a，b，c＞0，∴，，，∴（+）+（+）+（+）≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，与①矛盾．∴假设不成立，故三个数+，+，+中至少有一个不小于2；（2）要证﹣＜﹣，需要证+＜+，只需要证＜，即证2a﹣5+2＜2a﹣5+2，也就是证a（a﹣5）＜（a﹣2）（a﹣3），只需证a2﹣5a＜a2﹣5a+6，此时显然成立，故﹣＜﹣．20．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△DCG，△HAD分别是以AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△EAB，△FBC，△GDC，△HAD，使得E，F，G，H重合，得到四棱锥，设AB＝2x．（1）试把四棱锥的体积V表示为x的函数；（2）x多大时，四棱锥的体积最大？【分析】连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则OI＝x，FI＝4﹣x，写出棱锥体积公式，再由导数求最值．解：（1）如图，连接OF，与BC交于I，因为AB＝2x，则OI＝x，FI＝5﹣x，设E，F，G，H重合于点P，则PI＝IF＝5﹣x＞x，则x＜，则所得正四棱锥的高为h＝＝，∴四棱锥的体积V＝•4x²•＝，其中0＜x＜，（2）令f（x）＝25x4﹣10x5，0＜x＜，f′（x）＝100x3﹣50x4，令f′（x）＝0，解得x＝2，则当0＜x＜2时，f′（x）＞0，y＝25x4﹣10x5单调递增；当2＜x＜时，f′（x）＜0，y＝25x4﹣10x5单调递减，∴当x＝2，四棱锥体积最大．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+3S n＝3．（1）计算a1，a2，a3，a4，根据计算结果，猜想a n的表达式；（2）用数学归纳法证明你对a n的猜想．【分析】（1）根据已知条件，分别令n＝1，n＝2，n＝3，n＝4，依次求解a1，a2，a3，a4，即可猜想a n的值．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，求证n＝k+1时猜想成立，即可求证．【解答】解（1）在a n+3S n＝3 中，令n＝1，4a1＝3，解得a1＝，令n＝2，a2+3S2＝3，即4a2+3a1＝3，解得a2＝，令n＝3，a3+3S3＝3，即4a3+3（a1+a2）＝3，解得，令n＝4，a4+3S4＝3，即4a4+3（a1+a2+a3）＝3，解得，故猜想．（2）①当n＝1时，，②假设n＝k时，，那么当n＝k+1时，∵a k+3S k＝3，∴，∵a k+1+3S k+1＝3，∴＝，即n＝k+1时猜想成立，根据①②，可知猜想对任何n∈N*都成立．22．已知函数f（x）＝alnx﹣x2﹣（a﹣1）x，（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域为（0，+∞），求其导数，分a≥0与a＜0两类讨论，判断导函数的符号，可得函数的单调性；（Ⅱ）法1°：设0＜x1＜x2，由已知得f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h （x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，利用h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0恒成立，可求得实数a的取值范围．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，分离参数a，求得其右侧的函数的最小值，即可求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣，若a≥0，则当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；若a＜0，则由f'（x）＝0得x＝﹣a或x＝1，若a＝﹣1，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；若1﹣（﹣a）＞0，即﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，﹣a），（1，+∞）单调递减，在（﹣a，1）上单调递增；若1﹣（﹣a）＜0，即a＜﹣1时，f（x）在（0，1），（﹣a，+∞）单调递减，在（1，﹣a）上单调递增；（Ⅱ）法1°：令0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x1）＞（x1﹣x2）（1﹣a），即f（x1）﹣（1﹣a）x1＞f（x2）﹣（1﹣a）x2，令h（x）＝f（x）﹣（1﹣a）x，则h（x）在区间（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）＝f'（x）﹣（1﹣a）≤0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤x2（x＞0）恒成立，∴a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]．法2°：若“∀x1，x2∈（0，+∞），＜1﹣a”为真命题⇔∀x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣x﹣（a﹣1）≤1﹣a恒成立，整理得a≤x2（x＞0）恒成立，∵x2＞0，∴a≤0，故a的取值范围为（﹣∞，0]．。
2020-2021学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b23.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥04.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.109.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.2410.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项【正确答案】：C【解析】：求出a n=2n，即可求出n的值．【解答】：解：由题意可得公差为2，首项为2，则a n=2+2（n-1）=2n，∴2n=2020，即n=1010，故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b2【正确答案】：B【解析】：根据不等式的性质对每一选项进行判断即可．【解答】：解：已知a＜0＜b，对于a2＜b2和ab＞b2，若a=2，b=-1，AD选项错误，等于C，b正数，a负数， $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ =-[（- $\frac{b}{a}$ ）+（-$\frac{a}{b}$ ）]＜-2 $\sqrt{(-\frac{b}{a})\bullet (-\frac{a}{b})}$ =-2，则C选项错误，而 $\frac{a}{b}$ 是负数，故B选项正确，故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质及不等式大小的判断，属于基础题．3.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥0【正确答案】：A【解析】：根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】：解：命题是特称命题，则其否定是全称命题，即∀x∈（0，+∞），xlnx≥0，故选：A．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．4.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$【正确答案】：A【解析】：先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】：解：椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1得∴c1= $\sqrt{2}$ ，∴焦点坐标为（ $\sqrt{2}$ ，0）（- $\sqrt{2}$ ，0），双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1的焦点必在x轴上，则半焦距c2= $\sqrt{m+1}$ ，∴ $\sqrt{m+1}$ = $\sqrt{2}$解得实数m=1．故选：A．【点评】：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：解关于q的不等式，再结合集合的包含关系判断即可．【解答】：解：由命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，即- $\frac{1}{2}$ ＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：对f（x）求导，根据f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，得到关于a的方程，再求出a的值．【解答】：解：由f（x）=ax+lnx，得 $f'(x)=a+\frac{1}{x}$ ，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，∴f'（1）=3，∴a+1=3，∴a=2．故选：B．【点评】：本题考查了利用导函数研究曲线上某点的切线，考查了方程思想，属基础题．7.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$【正确答案】：A【解析】：利用余弦定理|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC可求得|AB|，利用正弦定理即可求解．【解答】：解：∵△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，∴由余弦定理得：|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC，可得：7=|AB|2+4-2|AB|，即|AB|2-2|AB|-3=0，∴|AB|=3．∴sinA：sinC=BC：AB=2：3．故选：A．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关定理是基础，属于基础题．8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.10【正确答案】：B【解析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，数形结合进行求解即可求得最小值．【解答】：解：画出约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ 表示的平面区域，如阴影部分所示：目标函数z=x+3y可化为y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z，平移目标函数知，当直线y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z经过点A时，直线y=-$\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z的截距最小，此时z最小．由 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$ ，解得A（3，1），代入目标函数得z=3+3×1=6．即z=x+3y的最小值为6．故选：B．【点评】：本题主要考查了线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义与数形结合法，是解决此类问题的基本方法，是中档题．9.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.24【正确答案】：C【解析】：由等比数列的性质即可求得a9，再由等差数列的性质即可求解．【解答】：解：因为在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，所以 ${{a}_{9}}^{2}$ =8a9，解得a9=8或a9=0（舍），所以b9=a9=8，因为数列{b n}是等差数列，所以b7+b11=2b9=16．故选：C．【点评】：本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的性质，属于基础题．10.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$【正确答案】：A【解析】：由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|的值推出三角形PF1F2为直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求解．【解答】：解：由题意可得：a= $\sqrt{5}$ ，b=1，c=2，所以|F1F2|=2c=4，又|OP|=2，所以|OP|= $\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$ ，所以三角形PF1F2是以点P为直角的直角三角形，所以|PF1|⊥|PF2|，则|PF ${}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=16$ ，又|PF ${}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a=2\sqrt{5}$ ，所以|PF1||PF2|=2，则三角形PF1F2的面积为S= $\frac{1}{2}×|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{1}{2}×2=1$ ，故选：A．【点评】：本题考查了椭圆的定义以及直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）【正确答案】：D【解析】：分别根据导数图象，判断函数的单调性，即可．【解答】：解：对于A，由f′（x）图象知，当x＜-1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，故A错误，对于B，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，函数为减函数，则x=3是函数的一个极大值点，故B错误，对于C，f′（3）=f′（5），故C错误，对于D，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，则f（-1）＜f（3）成立，故D正确，故选：D．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键，是基础题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]【正确答案】：B【解析】：由已知得到方程m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，构造函数h（x）=x2-lnx-x，求出h（x）的最值和端点值，即可得到m的范围．【解答】：解：由已知得到方程f（x）=-g（x）在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，即m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有解．设h（x）=x2-lnx-x，则h′（x）=2x- $\frac{1}{x}$ -1= $\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$ ，令h′（x）=0得x=1．∴当 $\frac{1}{2}$ ＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，∴h（x）在（ $\frac{1}{2}$ ，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．∴当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=0，∵h（ $\frac{1}{2}$ ）=ln2- $\frac{1}{4}$ ，h（2）=-ln2+2，且h（2）＞h（ $\frac{1}{2}$ ），0＜m≤ln2- $\frac{1}{4}$ ．从而m的取值范围为（0，ln2- $\frac{1}{4}$ ]故选：B．【点评】：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，解题关键是将已知转化为方程在某区间上有解，属于中档题．13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．【正确答案】：[1]31【解析】：由x2-3x+2=0，解得x，然后求出公比q，再求出S5的值．【解答】：解：由x2-3x+2=0，解得x=1，2，∵数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，∴a1=1，a2=2，∴公比q=2．∴其前5项和S5= $\frac{{2}^{5}-1}{2-1}$ =31．故答案为：31．【点评】：本题考查了一元二次方程的解法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：将4x+y=8转换为y=8-4x，代入xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，解一元二次函数在x＞0的区间的最值即可．【解答】：解：已知正实数x，y满足4x+y=8，则y=8-4x，即xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，x＞0，且仅当x=1时，xy的最大值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{3\sqrt{3}}{2}$【解析】：在△ABC中，由b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，结合余弦定理b2=a2+c2-2accosB可求得ac=6，从而可求得△ABC的面积．【解答】：解：在△ABC中，∵B= $\frac{2π}{3}$，b2=（a+c）2-6=a2+c2+2ac-6，又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac×（- $\frac{1}{2}$ ）=a2+c2+ac，∴ac=6，∴S△ABC= $\frac{1}{2}$ acsinB= $\frac{1}{2}$ ×6× $\frac{\sqrt{3}}{2}$ =$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ，故答案为： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ．【点评】：本题考查余弦定理与三角形面积公式的应用，考查运算能力，属于中档题．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．【正确答案】：[1]【解析】：由已知可得AF=BF=AB，分析出点A，B关于x轴对称，设出点A的坐标代入抛物线方程，再由抛物线定义可得AF的关系式，联立方程即可求解．【解答】：解：因为三角形ABF为等边三角形，则AF=BF，又点F在抛物线的对称轴x轴上，所以点A，B两点的横坐标相等，纵坐标相反，则设点A（m，n）（n＞0），所以B（m，-n），满足n2=2m，且AB=2n，又由抛物线的定义可得AF=AB=m+ $\frac{p}{2}=m+\frac{1}{2}$ =2n，联立方程 $\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}=2m}\\{m+\frac{1}{2}=2n}\end{array}\right.$ ，解得n=2 $±\sqrt{3}$ ，所以三角形ABF的边长为2n=4 $±2\sqrt{3}$ ，故答案为：4 $±2\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查了抛物线的定义以及等边三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别解出p、q命题为真命题时a的取值范围，再结合复合命题的真假可得答案．【解答】：解：命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；若P真命题，则a≤（x+ $\frac{1}{x}$ ）min．因为x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]，所以x+ $\frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x\bullet \frac{1}{x}}$ =2，当且仅当x= $\frac{1}{x}$ 时，即x=1时等号成立，所以a≤2；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若q真命题，则，Δ=a2-4a＜0，即0＜a＜4．若命题p∧q是真命题，则p．q都是真命题，即 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$ ，所以0＜a≤2．故答案为：实数a的取值范围为{a|0＜a≤2}．【点评】：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d 的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前n项和T n．【解答】：解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{4{a}_{1}+6d=22}\end{array}\right.$ ，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$ ，∴a n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得：b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ = $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ =$\frac{1}{3}$ （ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ），∴T n=b1+b2+…+b n= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ ）+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ ）+…+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ +…+ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{n}{3n+1}$ ．【点评】：本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，是中档题．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值，由此求得∠B，∠C的值，代入求值即可．【解答】：解：（Ⅰ）已知等式（2b-c）cosA=a•cosC，由正弦定理化简得（2sinB-sinC）cosA=sinA•cosC，整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA= $\frac{1}{2}$ ，∴A= $\frac{π}{3}$；（Ⅱ）∵b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bcosA，即12=b2+c2-bc，∴12=（b+c）2-3bc，∵b+c=6，∴bc=8，∴ $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$ ．当b=2，c=4时，C= $\frac{π}{2}$，B= $\frac{π}{6}$，∴sin（B-A）=sin（- $\frac{π}{6}$）=- $\frac{1}{2}$ ．当b=4，c=2时，B= $\frac{π}{2}$，∴sin（B-A）=sin $\frac{π}{6}$ = $\frac{1}{2}$ ．综上所述，sin（B-A）的值为- $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ ．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？【正确答案】：【解析】：（1）当x=0时，y=28，代入y的解析式中，可求得k的值；由题意可得，每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，然后根据利润=销售价格×年销售量-成本，写出L的解析式即可；（2）结合（1）中L的解析式，利用基本不等式，即可得解；【解答】：解：（1）∵不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，∴当x=0时，y=28，∴28=30- $\frac{k}{10}$ ，解得k=20，∴y=30- $\frac{20}{x+10}$ ，∵每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，∴每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，∴L=y•（1.5× $\frac{80+160y}{y}$ ）-（80+160y+x）=40+80y-x=40+80•（30- $\frac{20}{x+10}$ ）-x=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x（x≥0）．（2）由（1）知，L=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x=2450- $\frac{1600}{x+10}$ -（x+10）≤2450-2 $\sqrt{\frac{1600}{x+10}\bullet (x+10)}$ =2370，当且仅当 $\frac{1600}{x+10}$ =x+10，即x=30时，等号成立，此时L取得最大值，为2370万元，故该工厂计划投入促销费用30万元，才能获得最大利润．【点评】：本题考查函数的实际应用，以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a ＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意可得e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，b2=a2-c2，$\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，解得c，a，b，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，在化简计算k OA k OB=k2，即可解得k的值．【解答】：解：（Ⅰ）因为e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以a= $\sqrt{2}$ c，又b2=a2-c2，所以b=c，所以左顶点与上顶点的直线方程为 $\frac{x}{-\sqrt{2}c}$ + $\frac{y}{c}$ =1，即x- $\sqrt{2}$ y+ $\sqrt{2}$ c=0，所以 $\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，c= $\sqrt{2}$ ，a=2，b=$\sqrt{2}$ ，所以椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$ + $\frac{{y}^{2}}{2}$ =1．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，理由如下：由题知- $\sqrt{2}$ ＜m＜ $\sqrt{2}$ 且m≠0，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\righ t.$ ，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，所以x1+x2= $\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$ ，x1x2= $\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$ ，Δ=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-4）=8（4k2-m2+2）＞0恒成立，因为k OA k OB= $\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{(k{x}_{1}+m)(k{x}_{2}+m)}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km({x}_{1}+{x}_{2})+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$= $\frac{{k}^{2}(2{m}^{2}-4)-4{k}^{2}{m}^{2}+{m}^{2}(1+2{k}^{2})}{2{m}^{2}-4}$ =$\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ ，所以 $\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ =k2，所以（2k2-1）m2=0，解得k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以存在实数k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，使得k OA k OB=k2成立．【点评】：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将a=-1代入f（x）中，求出f'（x），根据导函数f'（x）在不同区间上的符号，确定f（x）的单调区间；（Ⅱ）对f（x）求导，将f′（x）＞xlnx+2恒成立转化为 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立，然后令g（x）= $\frac{lnx}{x}$ - $\frac{2}{x}$ - $\frac{1}{x^{2}}$ ，判断g（x）的单调性，进一步求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）定义域为R，由a=-1，得 $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）=-x2+2x+3=-（x+1）（x-3），令f′（x）＞0，得-1＜x＜3，令f′（x）＜0，得x＜-1或x＞3∴函数f（x）的单调增区间为（-1，3），单调减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵ $f(x)=\frac{a}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）＞xlnx+2，即ax2+2x+3＞xlnx+2，∵x∈（1，e3），∴原问题等价于 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立．令 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}，(1＜x＜e^{3})$ ，则$g′(x)=\frac{1-lnx}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}=\frac{3x-xlnx+2}{x^{3}}$ ，令h（x）=3x-xlnx+2（1＜x＜e3），则h′（x）=2-lnx，∴当x∈（1，e2）时，h′（x）＞0，当x∈（e2，e3）时，h′（x）＜0，∴h（x）在区间（1，e2）上是增函数，在区间（e2，e3）上是减函数，又h（1）=5＞0，h（e3）=2＞0，∴当x∈（1，e3）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴函数 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 在区间（1，e3）上是增函数，∴ $g(x)＜g(e^{3})=\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，∴ $a≥\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，即实数a的取值范围为 $[\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}，+∞)$．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想，属中档题．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。