河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(文科)试题(解析版)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1B．﹣1C．1D．22．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5B．10C．15D．204．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8B．4C．2D．15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1B．⊥C．•＝1D．（4+）⊥6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+2x）＝|x+1|7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2C．2+4D．2+48．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D 是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F 的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1B．﹣1C．1D．2【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，∴a＝﹣1．故选：B．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为（a3+a5）2＝25又∵a n＞0∴a3+a5＝5故选：A．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，∴设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得，⇒从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为，所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，故选：C．5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1B．⊥C．•＝1D．（4+）⊥【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；故选：D．6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1|D．f（x2+2x）＝|x+1|【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2C．2+4D．2+4【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，即有e＝＝，可得a＝，c＝2，P为双曲线右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，可得|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，故选：C．8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cos x﹣sin x，则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，则f′（）＝，则f′（）＝1，则f′（x）＝cos x﹣sin x＝2cos（x+），f（x）＝sin x+cos x＝2cos（x﹣），∵f（A）＝f'（B）＝1，∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，则B+＝，得B＝，f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，则A﹣＝，则A＝，则C＝π﹣﹣＝，则B＝C，即△ABC是等腰钝角三角形，故选：D．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意f（x）＝sin2019x cos+cos2019x sin+cos2019x cos+sin2019x sin＝sin2019x+cos2019x＝2sin（2019x+），∴A＝2，T＝，∴|x1﹣x2|min＝＝，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：C．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，线段FC的垂直平分线为：x＝，线段BC的中点（，）．∵k BC＝﹣b，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．∵m+n＞0，∴＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e＝＝c＝∈（0，）．故选：A．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d＝，所以每一等人比下一等人多得斤金．14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D 是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），直线AB的斜率k＝＝＝（x A+x B）＝＝2，则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]【解答】解：由，可得：＝，可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cos B＝ac，即cos B＝∵0＜B＜π，∴B＝．∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，∴，a+c＝2R（sin A+sin c）＝6sin（A+）．∵A，∴a+c∈（3，6]，f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sin x+2令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]'故答案为：（12，24]．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）＝＝＝，∴T n＝＝＝．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos A＝12﹣8cos A，在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos C，所以12﹣8cos A＝8﹣8cos C，整理得．（2）由题意知：＝8sin2A，，所以＝8sin2A+4sin2C＝＝＝，由于，所以，故，解得．当cos A＝时，．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F 的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，（2）由题意可知，k MN≠0，设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），由OM⊥ON，∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，直线MN的斜率k＝＝，∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，∴|AB|＝•＝4（1+），设点E存在，并设为E（x0，y0），则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），∵＝4，∴16﹣y02+＝16，解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，综上所述，定点为（4，0）20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，所以．当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程，将M（m，0）代入得：，若k＞0，则，若k＜0，则所以或，当k＝0时，m＝0综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l 2与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4＝+++，求点G 的轨迹方程．【解答】解：（1）由x ＝3可得y ＝±，可得2＝6，解得p ＝；（2）A 是点F （，0）关于顶点O 的对称点，可得A （﹣，0），设过A 的直线为y ＝k （x +），k ＝tan α，联立抛物线方程可得k 2x 2+（k 2p ﹣2p ）x +＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k 2p ﹣2p ）2﹣k 4p 2＝0，解得k ＝±1，可取k ＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y 2＝4x ，可得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线y 2＝4x ，可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，即有x 1+x 2＝2+，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）﹣2k ＝，由两直线垂直的条件，可将k 换为﹣，可得x 3+x 4＝2+4k 2，y 3+y 4＝﹣4k ，点G 满足4＝+++，可得4（x ，y ）＝（x 1+x 2+x 3+x 4﹣4，y 1+y 2+y 3+y 4），即为4x ＝x 1+x 2+x 3+x 4﹣4＝4k 2+，4y ＝y 1+y 2+y 3+y 4＝﹣4k +，可得y 2＝（k ﹣）2＝k 2+﹣2＝x ﹣2，则G 的轨迹方程为y 2＝x ﹣2．22．已知函数．（1）讨论f （x ）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，设g（x）＝8x﹣sin﹣15，则g′（x）＝8﹣cos＞0，则g（x）单调递增，∵g（2）＝0，∴a＞2，当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1），∴a＞2，从而a＝e满足题意，当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，∴，∴，（*），设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，则h′（x）＝4e﹣cos＞0，则h（x）单调递增，∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），∴2＜a＜e，综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a的取值范围为（2，e]．。
2019-2020学度河北衡水中学高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学度河北衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版）【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、15．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、49．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、1211．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c 的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．2019-2016学年河北省衡水中学高三〔上〕四调数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D、【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；应选：D【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m∉P，应选B、【点评】此题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法．3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin〔45°﹣30°〕=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30〔+〕，∴建筑物的高度为PBsin45°=30〔+〕×=〔30+30〕m，应选A、【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，应选：B【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a 7+a14≥2=2=2=20．【解答】解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a1•a20=a7•a14=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．应选：A、【点评】此题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决此题的关键．注意均值定理的合理运用．6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：那么A〔1，1〕，B〔2，4〕，∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，假设a=0，那么y=z，此时满足条件，假设a＞0，那么目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，假设a＜0，那么目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，应选：B、【点评】此题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决此题的关键．注意要进行分类讨论．7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围[0，π]，即可得到答案．【解答】解：由于，得到，解得，取k=0，k=1，又x∈[0，π]，那么和．故答案为：D【点评】此题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间．8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f〔y〕max=4，令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，从而可得答案．【解答】解：令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，那么f〔y〕≤|y+4﹣y|=4，即f〔y〕max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f〔y〕max=4，∴a≥﹣〔2x〕2+4×2x=﹣〔2x﹣2〕2+4恒成立；令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，∴常数a的最小值为4，应选：D、【点评】此题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，那么进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．应选C、【点评】此题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB 的平面与SC垂直是此题的解题关键，常考题型．10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、12【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出〔4﹣〕2，开方得出答案．【解答】解：=1×=1，〔4﹣〕2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．应选：C、【点评】此题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．11．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数f〔x〕=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈〔0，1〕，再求出g〔x〕的导函数的范围，然后把过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f〔x〕=﹣e x﹣x，得f′〔x〕=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈〔0，1〕，由g〔x〕=ax+2cosx，得g′〔x〕=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．应选：A、【点评】此题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】令F〔x〕=x2f〔x〕，利用导数的运算法那么，确定f′〔x〕=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵函数f〔x〕满足，∴令F〔x〕=x2f〔x〕，那么F′〔x〕=，F〔2〕=4•f〔2〕=．由，得f′〔x〕=，令φ〔x〕=e x﹣2F〔x〕，那么φ′〔x〕=e x﹣2F′〔x〕=．∴φ〔x〕在〔0，2〕上单调递减，在〔2，+∞〕上单调递增，∴φ〔x〕的最小值为φ〔2〕=e2﹣2F〔2〕=0．∴φ〔x〕≥0．又x＞0，∴f′〔x〕≥0．∴f〔x〕在〔0，+∞〕单调递增．∴f〔x〕既无极大值也无极小值．应选D、【点评】此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的必要不充分条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕【考点】充要条件．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；假设m⊂a，m⊥β，那么根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=3．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用导函数求解函数值即．【解答】解：函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=log3〔10﹣1〕+2﹣1+1=2+1=3．故答案为：3．【点评】此题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为1．【考点】数列与向量的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，〔n∈N*〕，假设，可得a n==2〔〕．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．【点评】此题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥M﹣PSQN，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如下图；所以该四棱锥的体积为V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=．故答案为：．【点评】此题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】〔1〕利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．〔2〕利用正弦定理把角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．【解答】解：〔1〕依题．又，那么，故当即时，f〔x〕max=3．〔2〕由〔1〕知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，那么b2+c2﹣bc=bc即〔b﹣c〕2=0，故b﹣c=0．【点评】此题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：〔1〕取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD、〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由〔1〕可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，∴△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面PAM的距离为．【点评】此题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔I〕利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用递推式可得b n．〔II〕，由c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，作差c n+1﹣c n对n分类讨论即可得出．【解答】〔Ⅰ〕解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，∴2a2=a1+a3﹣8，∴，化为q2﹣2q﹣3=0，∴q1=3，q2=﹣1，∵q＞1，∴q=3，∴，当n=1时，．当n≥2时，，当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，∴．〔Ⅱ〕，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，，当c n+1=c n时，即n=5时，c5=c6，当c n+1＞c n时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，当c n+1＜c n时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，∴c n的最大值为，即．∴m的最小值为．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．〔2〕由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．〔3〕利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB 1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．【解答】〔1〕证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；〔2〕解：由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈〔0，π〕，∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】此题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】〔1〕先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h〔x〕=的最小值即可．〔3〕分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：〔1〕∵f′〔x〕=1+lnx，∴f′〔e〕=1+lne=k﹣3∴k=5，〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么ax02＞x0lnx0，∴a＞设h〔x〕=那么h′〔x〕=，当x∈[1，e]时，h′〔x〕≥0〔仅当x=e时取等号〕∴h〔x〕在[1，e]上单调递增，∴h〔x〕min=h〔1〕=0，因此a＞0．〔3〕由题意xlnx＞〔k﹣3〕x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F〔x〕=，∴F′〔x〕=，令m〔x〕=x﹣lnx﹣2，那么m′〔x〕=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，且m〔3〕=1﹣ln3＜0，m〔4〕=2﹣ln4＞0，所以在〔1，+∞〕上存在唯一实数x0〔x0∈〔3，4〕〕使m〔x〕=0当1＜x＜x0时m〔x〕＜0即F′〔x〕＜0，当x＞＜x0时m〔x〕＞0即F′〔x〕＞0，所以F〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，在〔x0，+∞〕上单调递增，F〔x〕min=F〔x0〕===x0+2∈〔5，6〕故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】此题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【专题】计算题．【分析】〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF 的长度；〔2〕根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．【解答】解：〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．〔2〕假设圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT那么PT2=PB•PO=2×4=8，即【点评】本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】〔Ⅰ〕由题意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．〔Ⅱ〕由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或…〔3分〕解得函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，﹣4〕∪〔3，+∞〕；…〔5分〕〔Ⅱ〕不等式f〔x〕≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|〔x﹣1〕﹣〔x+2〕|=3，…〔8分〕∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范围是〔﹣∞，﹣5]．…〔10分〕【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)
数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【知识点】集合 A1a≤，故选B【答案】【解析】B 解析：由子集的概念可知1【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到lα，必要不充分条件.B为正确选平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是//项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D． 240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为()1284102002V Sh ==+⋅⋅=，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积. 【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为1C ．将函数的图像向右平移的图像D ．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 C4 【答案】【解析】C 解析：∵，∴f（x ）=cosx ，g （x ）=sinx∴f（x ）g （x ）=sinxcosx=sin2x ，T=，排除A ，，排除B ；将f （x ）的图象向左平移个单位后得到y=cos （x+）=﹣sinx≠g（x ），排除D ；将f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=cos （x ﹣）=sinx=g （x ），故选C ．【思路点拨】先将函数f （x ），g （x ）根据诱导公式进行化简，再求出f （x ）g （x ）的解析式，进而得到f （x ）g （x ）的最小正周期和最大值可排除A ，B ；再依据三角函数平移变换法则对C ，D 进行验证即可． 【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为12d =，所以劣弧所对的圆心角为120︒，优弧所对的圆心角为240︒，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为1:2，所以B 正确. 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小. 【题文】6．已知的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：因为由对数的运算可知3lg2lg8lg2lg231 x y x y x y++==∴+=，所以()11113324 333y xx yx y x y xy⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭，33y xx y+=能取等号，所以A 正确. 【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M ，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM 是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF 的中点为M ，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数λ的取值范围为【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x，()f x'是它的导函数，且恒有()()tanf x f x x'<成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜()f x'tanx，得f（x）cosx＜()f x'sinx．即()f x'sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g （x ）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是1sin 1x x π=-的根，由图像可知y sin x π=是周期为2的函数，与1y 1x =-交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)第一次摸底数学试卷(文科)(9月份)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）（9月份）一、单选题1. 已知集合A={−3, −1, 0, 1, 3}，B={x|x2+3x=0}，则A∩B=( )A.{−3, 0, 3}B.{−3, 0}C.{0, 3}D.{−3, −1, 0, 1, 3}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B【解答】解：∵集合A={−3, −1, 0, 1, 3}，B={x|x2+3x=0}={−3, 0}，∴A∩B={−3, 0}．故选B.2. 在复平面内，复数z=−2+i（i为虚数单位）对应的点位于( )i3A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z对应的点的坐标得答案．【解答】=−1−2i，解：复数z=−2+ii3则z对应的点为(−1, −2)，位于第三象限．故选C.3. 某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是( )A.一本达线人数减少B.二本达线人数增加了0.5倍C.艺体达线人数相同D.不上线的人数有所增加 【答案】 D【考点】进行简单的合情推理 【解析】先通过阅读及识图，不妨设2015年的高考人数为n ，则2018年的高考人数为1.5n ，再逐一通过运算即可得解． 【解答】解：设2015年的高考人数为n ，则2018年的高考人数为1.5n ，A ，2015年一本达线人数为0.28n ，2018一本达线人数为0.24×1.5n =0.36n ，所以一本达线人数增加，故A 错误；B ，2015年二本达线人数为0.32n ，2018年二本达线人数为0.4×1.5n =0.6n ，显然2018年二本达线人数增加量超过了0.5倍，故选项B 错误；C ，2018年艺体达线比例没变，但是2018年高考人数增加了，故2018年高考艺体达线人数多些．故选项C 错误；D ，2015年不上线人数为0.32n ，2018年不上线人数为0.28×1.5n =0.42n ，故不上线人数有所增加，故选项D 正确． 故选D ．4. 如图，在等腰梯形ABCD 中，DC =12AB ，BC =CD =DA ，DE ⊥AC 于点E ，则DE →=( )A.12AB →−12AC →B.12AB →+12AC →C.12AB →−14AC →D.12AB →+14AC →【答案】 A【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【解析】由题意及所给的图象，结合选项可得出本题要以两向量AB →,AC →以基向量表示向量DE →，由向量运算法则易得结论 【解答】解：由题意及图得，DE →=12DA →+12DC →=12(DC →+CA →)+12DC →=DC →−12AC →=12AB→−12AC→.故选A.5. 将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为( )A.16πB.32πC.128πD.16√2π【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，然后转化求解即可．【解答】解：由题意知，当正方体为圆柱的内接正方体，且正方体的两个面位于圆柱体上、下底面时，圆柱形钢锭体积最小，此时圆柱的底面半径是正方体面对角线的一半，即2√2，圆柱的高为正方体的高，即为4，故圆柱形钢锭的体积为π×(2√2)2×4=32π．故选B.6. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=x2−x，则函数f(x)的图象在点（−1, f(−1)）处的切线方程是( )A.x+y−2=0B.x+y=0C.x+y+1=0D.x+y+2=0【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】利用函数的奇偶性求解函数的解析式，求出函数的导数，然后求解切线的斜率，得到切线方程即可．【解答】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，−x>0，f(x)=f(−x)=x2+x，所以f′(x)=2x+1，则f′(−1)=−1．因为f(−1)=0，所以函数f(x)的图象在点(−1, f(−1))处的切线方程是x+y+1=0．故选C.7. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则椭圆的方程为( )A.x22+y2=1 B.x24+y22=1C.x28+y24=1 D.x26+y23=1【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】利用已知条件列出方程组，求出a，b，即可得到椭圆方程．【解答】解：设直线x=√2与椭圆在第一象限的交点为A(√2,y0)，因为OA⊥OB，所以y0=√2，即A(√2,√2)，由{2a2+2b2=1,c a =√22,a2=b2+c2,可得a2=6，b2=3，故所求椭圆的方程为x26+y23=1．故选D.8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点（异于点B，C），则关于该几何体的说法正确的是()A.BE⊥ACB.DE⊥AEC.CE⊥平面ABED.BD⊥平面ACE【答案】C【考点】直线与平面垂直的判定空间中直线与直线之间的位置关系由三视图还原实物图【解析】画出几何体的直观图，利用直线与平面垂直的判断定理以及性质定理，平面与平面垂直的判断定理判断选项的正误即可．【解答】解：该几何体如图所示：若BE⊥AC，因为BE⊥AB，AB∩AC=A，所以BE⊥平面ABC，又因为BC⊂平面ABC，BC与BE不垂直，所以BE⊥AC不成立，所以A不正确；因为DE2+AE2=22+CE2+22+BE2=12≠AD2，因此∠AED≠90∘，即DE与AE不垂直，所以B不正确；因为BC为半圆的直径，所以BE⊥CE，又因为CE⊥AB，AB∩BE=B，所以CE⊥平面ABE，所以C正确；假设BD⊥平面ACE，则BD⊥CE，又CE⊥DC，BD∩DC=D，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥BC，与∠CEB=90∘矛盾，所以D不正确．故选C.9. 若将函数f(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y轴对称，则当ω取最小整数时，函数f(x)的图象的一个对称中心是( )A.(43π,0) B.(53π,0) C.(π3,0) D.(−2π3,0)【答案】B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】先用和角正弦公式对已知函数进行化简可得，f(x)=sin(ωx+π3)，然后结合函数图象的平移即余弦函数的对称性可求ωmin＝1，代入即可求解．【解答】因解：为f(x)=sinωx+cos(ωx+π6)=sinωx+√32cosωx−12sinωx=12sinωx+√32cosωx=sin(ωx+π3)，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，则π6ω+π3=kπ+π2(k∈Z)，即ω=6k+1(k∈Z)．因为ω>0，所以ωmin=1，此时f(x)=sin(x+π3)，令x+π3=kπ(k∈Z)，得x=kπ−π3(k∈Z)，结合选项易知B正确．故选B.10. 如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，O为底面ABCD两条对角线的交点，A1O与平面CDD1C1所成的角为30∘，则该长方体的表面积为( )A.12√11+16B.8√11C.12√11D.12√2+16【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积直线与平面所成的角【解析】说明A1O与平面CDD1C1所成的角等于A1O与平面ABB1A1所成的角，均为30∘．过底面ABCD的对角线交点O作OE⊥AB交AB于点E，推出OE⊥平面ABB1A1．连结A1E，在Rt△A1AE中，求出A1A=√11，然后求解长方体的表面积．【解答】解：因为平面CDD1C1 // 平面ABB1A1，所以A1O与平面CDD1C1所成的角等于A1O与平面ABB1A1所成的角，均为30∘．如图，过底面ABCD的对角线交点O作OE⊥AB交AB于点E，BC，则OE=12又因为OE⊂平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，所以OE⊥平面ABB1A1．连结A1E，则∠OA1E=30∘．在Rt△A1EO中，OE=2，∠OA1E=30∘，所以A1E=2√3．在Rt△A1AE中，AE=1，所以A1A=√11，故长方体的表面积为12√11+16．故选A.11. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A，终边上有点B(−m, 2m)(m>0)，满足|OA|=|OB|，若∠OAB=θ，则sin2θ+2sin 2θ1+cos2θ=( )A.12B.2C.4D.1【答案】 D【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】根据题意知α+2θ＝2kπ+π(k ∈Z)，求出tan2θ＝2，即2tanθ1−tan 2θ=2，整理得tanθ+tan 2θ＝1，再利用三角函数的诱导公式化简求解即可． 【解答】解：根据题意知α+2θ=2kπ+π(k ∈Z)， ∴ tan2θ=tan(2kπ+π−α)=−tanα=2， 即2tanθ1−tan 2θ=2．整理得tanθ+tan 2θ=1， ∴sin2θ+2sin 2θ1+cos2θ=2sinθcosθ+2sin 2θ2cos 2θ=tanθ+tan 2θ=1． 故选D .12. 已知函数f(x)={m x−2017,x ≥2019,(3m 2018+1)x −2020,x <2019, 数列{a n }满足：a n =f(n),n ∈N ∗，且{a n }是单调递增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.(1, 2] B.(1, 2) C.(2, +∞) D.(1, +∞) 【答案】 C【考点】数列与函数的综合 分段函数的应用 【解析】利用分段函数化简数列的通项公式，通过数列的单调性，列出不等式然后求解实数m 的取值范围． 【解答】解：因为{a n }是单调递增数列，a n =f(n)={m n−2017,n ≥2019,(3m2018+1)n −2020,n <2019,所以m >1，3m 2018+1>0，且(3m2018+1)×2018−2020<m 2019−2017， 解得m >2．故选C .二、填空题log 312⋅log 49+lg 52+2lg2=________． 【答案】 0【考点】对数的运算性质 【解析】直接利用对数的运算性质求解即可． 【解答】解：log 312⋅log 49+lg 52+2lg2 =−lg2lg3⋅lg9lg4+lg(52×4) =−1+1=0． 故答案为：0.已知实数x ，y 满足约束条件{y −x ≤0,x +y −1≤0,y +1≥0, 则z =3x +y 的最大值为________．【答案】 5【考点】 简单线性规划 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 【解答】解：可行域如图所示，作出直线y =−3x +z ，可知z 要取最大值，即直线经过点C ． 解方程组{x +y −1=0,y +1=0,得C(2, −1)， 所以z min =3×2+(−1)=5． 故答案为：5.已知直线y =−√3(x −1)被圆x 2+y 2+2x +k =0截得的弦长为2，则k =________． 【答案】 −3【考点】直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 【解析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析圆心与半径，求出圆心到直线的距离d ，由直线与圆的位置关系可得r2−d2＝1，即(√1−k)2−(√3)2=1，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+2x+k=0化为标准方程为(x+1)2+y2=1−k，圆心坐标为(−1, 0)，r=√1−k(k<1)，圆心到直线y=−√3(x−1)的距离d=√3+0−√3|√(−√3)2+12=√3；若直线被圆截得的弦长为2，则有r2−d2=1，即(√1−k)2−(√3)2=1，解得k=−3；故答案为：−3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4，a=4√2sinA，且C为锐角，则△ABC面积的最大值为________．【答案】4+4√2【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可求sinC=√22，结合C为锐角，可求C=π4，利用余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为c=4，又csinC =asinA=4√2，所以sinC=√22，又C为锐角，所以C=π4．因为c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−√2ab≥(2−√2)ab，所以ab≤2−√2=8(2+√2)，当且仅当a=b=√8(2+√2)时等号成立，即S△ABC=12absinC=√24ab≤4+4√2，即当a=b=√8(2+√2)时，△ABC面积的最大值为4+4√2．故答案为：4+4√2.三、解答题已知数列{a n}满足a1=1，a n+1−2=3a n，设b n=a n+1．(1)求b1，b2，b3；(2)证明：数列{b n}为等比数列；(3)求{a n}的通项公式．【答案】(1)解：由a n+1−2=3a n，得a n+1=3a n+2．因为a1=1，所以a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17．所以b1=2，b2=6，b3=18．(2)证明：因为b n+1b n =a n+1+1a n+1=3a n+3a n+1=3，所以{b n}是首项为2，公比为3的等比数列．(3)解：由(1)得b n=2×3n−1，而b n=a n+1，所以a n=2×3n−1−1．【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】（1）利用数列递推关系式，转化求解b1，b2，b3；（2）利用等比数列的通项公式求解即可．（3）利用（2）的结果，代入求解即可．【解答】(1)解：由a n+1−2=3a n，得a n+1=3a n+2．因为a1=1，所以a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17．所以b1=2，b2=6，b3=18．(2)证明：因为b n+1b n =a n+1+1a n+1=3a n+3a n+1=3，所以{b n}是首项为2，公比为3的等比数列．(3)解：由(1)得b n=2×3n−1，而b n=a n+1，所以a n=2×3n−1−1．在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，过A点作CD的垂线，交CD的延长线于点E，AE=√3．连结EB，交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2．(1)证明：平面BFP⊥平面BCP；(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求三棱锥G−BCH的体积．【答案】(1)证明：如图1，在Rt△BAE中，AB=3，AE=√3，所以∠AEB=60∘．在Rt△AED中，AD=2，所以∠DAE=30∘．所以BE⊥AD．如图2，PF⊥AD，BF⊥AD．又因为AD // BC，所以PF⊥BC，BF⊥BC，PF∩BF=F，所以BC⊥平面BFP，又因为BC⊂平面BCP，所以平面BFP⊥平面BCP．(2)解：法一：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，PF⊂平面ADP，PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，则GO // PF，所以GO⊥平面ABCD．即GO为三棱锥G−BCH的高．且GO=12PF=12×PAsin30=√34，三棱锥G−BCH的体积为：V三棱锥G−BCH=13S△BCH⋅GO=13×12×S△BCD×√34=16×3√32×√34=316．法二：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，PF⊂平面ADP，所以PF⊥平面ABCD．因为G为PB的中点．所以三棱锥G−BCH的高等于12PF．因为H为CD的中点，所以△BCH的面积是四边形ABCD的面积的14，从而三棱锥G−BCH的体积是四棱锥P−ABCD的体积的18．∵VP−ABCD =13×S ABCD×PF=13×3√3×√32=32，∴三棱锥G−BCH的体积为316．【考点】平面与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（1）证明BE⊥AD．PF⊥AD，BF⊥AD．推出PF⊥BC，BF⊥BC，得到BC⊥平面BFP，然后证明平面BFP⊥平面BCP．（2）解法一：证明PF⊥平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，得到GO⊥平面ABCD．然后求解棱锥的高．解法二：证明PF⊥平面ABCD．三棱锥G−BCH的高等于12PF．说明△BCH的面积是四边形ABCD的面积的14，由此能求出三棱锥G−BCH的体积．【解答】(1)证明：如图1，在Rt△BAE中，AB=3，AE=√3，所以∠AEB=60∘．在Rt△AED中，AD=2，所以∠DAE=30∘．所以BE⊥AD．如图2，PF⊥AD，BF⊥AD．又因为AD // BC，所以PF⊥BC，BF⊥BC，PF∩BF=F，所以BC⊥平面BFP，又因为BC⊂平面BCP，所以平面BFP⊥平面BCP．(2)解：法一：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，PF⊂平面ADP，PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，则GO // PF，所以GO⊥平面ABCD．即GO为三棱锥G−BCH的高．且GO=12PF=12×PAsin30=√34，三棱锥G−BCH的体积为：V三棱锥G−BCH=13S△BCH⋅GO=13×12×S△BCD×√34=16×3√32×√34=316．法二：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，PF⊂平面ADP，所以PF⊥平面ABCD．因为G为PB的中点．所以三棱锥G−BCH的高等于12PF．因为H为CD的中点，所以△BCH的面积是四边形ABCD的面积的14，从而三棱锥G−BCH的体积是四棱锥P−ABCD的体积的18．∵VP−ABCD =13×S ABCD×PF=13×3√3×√32=32，∴三棱锥G−BCH的体积为316．某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学．从大一新生中随机抽取名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数−10a．x分布在[100, 150)内．当x∈[10n, 10(n+1)），n∈N∗时，其频率y=n20(1)求a的值；(2)请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．(3)若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率．【答案】解：(1)由题意知，n的取值为10，11，12，13，14．−10a，把n的取值分别代入y=n20可得(0.5−10a)+(0.55−10a)+(0.6−10a)+(0.65−10a)+(0.7−10a)=1．解得a=0.04．(2)频率分布直方图如图：这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30=130．(3)这40名新生的高考数学分数在[100, 120)的频率为0.1+0.15=0.25，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比0.25:0.75=1:3．按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记A，B，C，D为4名学生，其中B，C，D为3名高考数学成绩优秀的学生．从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，2名学生高考数学成绩均优秀的事件为BC，BD，CD，共3个，故所求的概率为36=12．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率众数、中位数、平均数频率分布直方图分层抽样方法【解析】（1）分别取n的值，将n代入函数的解析式，得到关于a的方程，解出即可；（2）画出频率分布直方图，求出平均数即可；（3）记A，B，C，D为4名学生，其中B，C，D为3名高考数学成绩优秀的学生，从而求出满足条件的概率即可．【解答】解：(1)由题意知，n的取值为10，11，12，13，14．把n的取值分别代入y=n20−10a，可得(0.5−10a)+(0.55−10a)+(0.6−10a)+(0.65−10a)+(0.7−10a)=1．解得a=0.04．(2)频率分布直方图如图：这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30=130．(3)这40名新生的高考数学分数在[100, 120)的频率为0.1+0.15=0.25，所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比0.25:0.75=1:3．按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记A，B，C，D为4名学生，其中B，C，D为3名高考数学成绩优秀的学生．从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，2名学生高考数学成绩均优秀的事件为BC，BD，CD，共3个，故所求的概率为36=12．已知直线l交抛物线C:x2=4y于两点，过点A，B分别作抛物线C的切线，若两条切线互相垂直且交于点M ． (1)证明：直线l 恒过定点；(2)若直线l 的斜率为1，求点M 的坐标． 【答案】(1)证明：易知直线l 的斜率存在，设直线l:y =kx +b ，A(x 1,x 124)，B(x 2,x 224)．由{y =kx +b,x 2=4y, 得x 2−4kx −4b =0， 所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b ． 由x 2=4y ，得y =x 24，所以y ′=x2，所以直线AM 的斜率为k AM =x 12，直线的斜率为k BM =x 22．因为MA ⊥MB ， 所以k AM k BM =x 12⋅x 22=x 1x 24=−1，即x 1x 2=−4，所以−4b =−4，得b ＝1，所以直线l:y =kx +1，故直线l 恒过定点(0, 1)．(2)解：由(1)及直线l 的斜率为1时，x 1+x 2=4，x 1x 2=−4． 直线AM 的方程为y −x 124=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 124，同理直线BM 的方程为y −x 224=x 22(x −x 2)，即y =x 22x −x 224，上面两式联立得x =x 1+x 22，y =x 1x 24，所以点M 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，即M(2, −1)．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 直线的斜率 【解析】（1）设直线l:y ＝kx +b ，A(x 1,x 124)，B(x 2,x 224)．利用直线与抛物线的方程联立，通过函数的导数，求解切线的斜率，利用斜率乘积转化求解直线恒过定点．（2）由（1）得直线l 的斜率为1时，x 1+x 2＝4，x 1x 2＝−4．求出直线AM 的方程y =x 12x −x 124，直线BM 的方程y =x 22x −x 224，转化求解点M 的坐标．【解答】(1)证明：易知直线l 的斜率存在，设直线l:y =kx +b ，A(x 1,x 124)，B(x 2,x 224)．由{y =kx +b,x 2=4y, 得x 2−4kx −4b =0， 所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b ．由x2=4y，得y=x24，所以y′=x2，所以直线AM的斜率为k AM=x12，直线的斜率为k BM=x22．因为MA⊥MB，所以k AM k BM=x12⋅x22=x1x24=−1，即x1x2=−4，所以−4b=−4，得b＝1，所以直线l:y=kx+1，故直线l恒过定点(0, 1)．(2)解：由(1)及直线l的斜率为1时，x1+x2=4，x1x2=−4．直线AM的方程为y−x124=x12(x−x1)，即y=x12x−x124，同理直线BM的方程为y−x224=x22(x−x2)，即y=x22x−x224，上面两式联立得x=x1+x22，y=x1x24，所以点M的坐标为(x1+x22,x1x24)，即M(2, −1)．已知函数f(x)=lnx+ax+b，a，b∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=0时，x1，x2为两个不相等的正数，证明：f(x1)−f(x2)2>x1−x2x1+x2．【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x +a=1+axx．若a≥0，f′(x)=1+axx>0，则f(x)在区间(0, +∞)内为增函数；若a<0，令f′(x)=1+axx =0，得x=−1a>0．则当x∈(0,−1a )时，f′(x)>0，f(x)在区间(0,−1a)内为增函数；当x∈(−1a ,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在区间(−1a,+∞)内为减函数．(2)证明：当a=0时，f(x)=lnx+b．不妨设x1>x2>0，则原不等式等价于12ln x1x2>x1x2−1x1x2+1，令x=x1x2，则原不等式也等价于lnx>2(x−1)x+1(x>1)，即lnx+4x+1−2>0(x>1)．下面证明当x>1时，lnx+4x+1−2>0恒成立．设ℎ(x)=lnx+4x+1−2，则ℎ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，故ℎ(x)在区间(1, +∞)内为增函数，ℎ(x)>ℎ(1)=0，即lnx +4x+1−2>0， 所以f(x 1)−f(x 2)2>x 1−x2x 1+x 2．【考点】 不等式的证明利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）利用函数的导数，通过a 的范围的讨论，导函数的符号，求解函数的单调性即可． （2）利用函数的单调性通过设ℎ(x)=lnx +4x+1−2，求出ℎ(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，转化证明即可．【解答】(1)解：函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x +a =1+ax x．若a ≥0，f ′(x)=1+ax x>0，则f(x)在区间(0, +∞)内为增函数； 若a <0，令f ′(x)=1+ax x=0，得x =−1a>0．则当x ∈(0,−1a )时，f ′(x)>0，f(x)在区间(0,−1a )内为增函数； 当x ∈(−1a ,+∞)时，f ′(x)<0，f(x)在区间(−1a ,+∞)内为减函数． (2)证明：当a =0时，f(x)=lnx +b ． 不妨设x 1>x 2>0，则原不等式等价于12ln x 1x 2>x 1x 2−1x 1x 2+1，令x =x 1x 2，则原不等式也等价于lnx >2(x−1)x+1(x >1)，即lnx +4x+1−2>0(x >1)．下面证明当x >1时，lnx +4x+1−2>0恒成立． 设ℎ(x)=lnx +4x+1−2，则ℎ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，故ℎ(x)在区间(1, +∞)内为增函数，ℎ(x)>ℎ(1)=0，即lnx +4x+1−2>0， 所以f(x 1)−f(x 2)2>x 1−x 2x 1+x 2．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)；直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t （t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若点P 的极坐标为(2, π)，|PM|+|PN|=5√2，求a 的值． 【答案】解：(1)由ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)，得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a >0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y +2ax ， 即(x −a)2+(y −1)2=a 2+1， 直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t（t 为参数），所以直线l 的普通方程为y =x +2． (2)将直线l 的参数方程{x =−2+√22t,y =√22t代入x 2+y 2=2y +2ax ，并化简、整理，得：t 2−(3√2+√2a)t +4a +4=0． 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以Δ=(3√2+√2a)2−4(4a +4)>0， 解得a ≠1．由根与系数的关系，得t 1+t 2=3√2+√2a ，t 1t 2=4a +4． 因为点P 的直角坐标为(−2, 0)在直线l 上．所以|PM|+|PN|=|t 1+t 2|=3√2+√2a =5√2， 解得a =2，此时满足a >0，且a ≠1， 故a =2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 【解析】（1）由ρ＝2sinθ+2acosθ，(α>0)，得ρ2＝2ρsinθ+2aρcosθ，(a >0)，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；由直线的参数方程能求出直线l 的普通方程． （2）将直线l 的参数方程{x =−2+√22t y =√22t代入x 2+y 2＝2y +2ax ，得：t 2−(3√2+√2a)t +4a +4＝0，利用根与系数的关系，能求出结果．【解答】解：(1)由ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)，得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a >0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y +2ax ， 即(x −a)2+(y −1)2=a 2+1， 直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t（t 为参数），所以直线l 的普通方程为y =x +2． (2)将直线l 的参数方程{x =−2+√22t,y =√22t代入x 2+y 2=2y +2ax ，并化简、整理，得：t 2−(3√2+√2a)t +4a +4=0．因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以Δ=(3√2+√2a)2−4(4a +4)>0，解得a≠1．由根与系数的关系，得t1+t2=3√2+√2a，t1t2=4a+4．因为点P的直角坐标为(−2, 0)在直线l上．所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=3√2+√2a=5√2，解得a=2，此时满足a>0，且a≠1，故a=2．已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)<x+|x+1|的解集；(2)若函数f(x)=log2[f(x+3)+f(x)−2a]的定义域为R，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由已知不等式f(x)<x+|x+1|，得|x−2|<x+|x+1|，当x>2时，绝对值不等式可化为x−2<x+x+1，解得：x>−3，所以x>2；当−1≤x≤2时，绝对值不等式可化为2−x<x+x+1，解得：x>13，所以13<x≤2；当x<−1时，由2−x<x−x−1，得：x>3，此时无解．综上，不等式的解集为(13, +∞)．(2)要使函数f(x)=log2[f(x+3)+f(x)−2a]的定义域为R，只要g(x)=f(x+3)+f(x)−2a的最小值大于等于1即可．又g(x)=|x+1|+|x−2|−2a≥3−2a，当且仅当x∈[−1, 2]时取等号．所以只需3−2a≥1，即a≤1，所以实数a的取值范围是(−∞, 1]．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质得到g(x)＝|x+1|+|x−2|−2a≥3−2a>0，解出即可．【解答】解：(1)由已知不等式f(x)<x+|x+1|，得|x−2|<x+|x+1|，当x>2时，绝对值不等式可化为x−2<x+x+1，解得：x>−3，所以x>2；当−1≤x≤2时，绝对值不等式可化为2−x<x+x+1，解得：x>13，所以13<x≤2；当x<−1时，由2−x<x−x−1，得：x>3，此时无解．综上，不等式的解集为(13, +∞)．(2)要使函数f(x)=log2[f(x+3)+f(x)−2a]的定义域为R，只要g(x)=f(x+3)+f(x)−2a的最小值大于等于1即可．又g(x)=|x+1|+|x−2|−2a≥3−2a，当且仅当x∈[−1, 2]时取等号．所以只需3−2a≥1，即a≤1，所以实数a的取值范围是(−∞, 1]．。
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文(含解析)
河北省衡水中学2020届高三数学上学期四调考试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．22．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．204．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+48．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．设集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，则实数a的值为（）A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵M＝{﹣1，2，3}，N＝{a+2，a2+2}，且M∩N＝{3}，∴a+2＝3，或a2+2＝3，解得a＝1或﹣1，a＝1时不满足集合元素的互异性，a＝1舍去，∴a＝﹣1．故选：B．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2 B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6＝25，那么a3+a5的值等于（）A．5 B．10 C．15 D．20【解答】解：由等比数列的性质得：a2•a4＝a32，a4•a6＝a52∴a2a4+2a3a5+a4a6＝25可化为（a3+a5）2＝25又∵a n＞0∴a3+a5＝5故选：A．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（﹣3，）的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．8 B．4 C．2 D．1【解答】解：∵与双曲线有共同的渐近线，∴设双曲线方程为，将点代入双曲线方程，解得，⇒从而所求双曲线方程的焦点坐标为（，0），一条渐近线方程为，所以焦点到一条渐近线的距离是＝2，故选：C．5．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥C．•＝1 D．（4+）⊥【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足＝2，＝2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以＝2，＝1×2×cos120°＝﹣1，4＝4×1×2×cos120°＝﹣4，＝4，所以＝0，即（4）＝0，即＝0，所以；故选：D．6．存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）＝sin x B．f（sin2x）＝x2+xC．f（x2+1）＝|x+1| D．f（x2+2x）＝|x+1|【解答】解：A．取x＝0，则sin2x＝0，∴f（0）＝0；取x＝，则sin2x＝0，∴f（0）＝1；∴f（0）＝0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）＝sin x；B．取x＝0，则f（0）＝0；取x＝π，则f（0）＝π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x＝1，则f（2）＝2，取x＝﹣1，则f（2）＝0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1＝t，则f（x2+2x）＝|x+1|，化为f（t2﹣1）＝|t|；令t2﹣1＝x，则t＝±；∴；即存在函数f（x）＝，对任意x∈R，都有f（x2+2x）＝|x+1|；∴该选项正确．故选：D．7．已知双﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦点分别曲线为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2﹣|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为（）A．2B．2+2 C．2+4 D．2+4【解答】解：由题意可得b＝1，c＝，即有e＝＝，可得a＝，c＝2，P为双曲线右支上一点，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，又|PF1|2﹣|PF2|2＝4，可得|PF1|+|PF2|＝2，则△PF1F2的周长为2+2c＝4+2，故选：C．8．已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且f（x）＝，在△ABC中，f（A）＝f'（B）＝1，则△ABC的形状为（）A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形【解答】解：函数的导数f′（x）＝f′（）cos x﹣sin x，则f′（）＝f′（）cos﹣sin＝×f′（）﹣＝f′（）﹣，则f′（）＝，则f′（）＝1，则f′（x）＝cos x﹣sin x＝2cos（x+），f（x）＝sin x+cos x＝2cos（x﹣），∵f（A）＝f'（B）＝1，∴f′（B）＝2cos（B+）＝1，即cos（B+）＝，则B+＝，得B＝，f（A）＝2cos（A﹣）＝1，即cos（A﹣）＝，则A﹣＝，则A＝，则C＝π﹣﹣＝，则B＝C，即△ABC是等腰钝角三角形，故选：D．9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P﹣ABC所示：顶点P在以BA和BC为邻边的平行四边形ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．10．已知f（x）＝sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意f（x）＝sin2019x cos+cos2019x sin+cos2019x cos+sin2019x sin＝sin2019x+cos2019x＝2sin（2019x+），∴A＝2，T＝，∴|x1﹣x2|min＝＝，∴A|x1﹣x2|的最小值为，故选：C．11．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B．过F，B，C作圆P，其中圆心P的坐标为（m，n）．当m+n＞0时，椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，线段FC的垂直平分线为：x＝，线段BC的中点（，）．∵k BC＝﹣b，∴线段BC的垂直平分线的斜率k＝．∴线段BC的垂直平分线方程为：y﹣＝（x﹣），把x＝＝m代入上述方程可得：y＝＝n．∵m+n＞0，∴＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e＝＝c＝∈（0，）．故选：A．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1 D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得斤金．（不作近似计算）【解答】解：设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{a n}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得，即，解得d＝，所以每一等人比下一等人多得斤金．14．已知直线l经过抛物线C：y＝的焦点F，与抛物线交于A，B，且x A+x B＝8，点D是弧AOB（O为原点）上一动点，以D为圆心的圆与直线l相切，当圆D的面积最大时，圆D的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5 ．【解答】解：抛物线的标准方程为x2＝4y，抛物线的焦点坐标为F（0，1），直线AB的斜率k＝＝＝（x A+x B）＝＝2，则l的方程为y＝2x+1，即2x﹣y+1＝0，点D到直线l距离最大时，圆D的面积最大，令y′＝＝2，解得x＝4，此时y＝4，即D（4，4）到直线l距离最大，此时d＝＝＝，所以所求圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5，故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝5．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB ＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]【解答】解：由，可得：＝，可得a2+2b2+c2+2ac+3ab+3bc＝3ab+3b2+3ac+3bc，即a2+c2﹣b2＝ac，那么2ac•cos B＝ac，即cos B＝∵0＜B＜π，∴B＝．∵△ABC的外接圆的面积为3π，∴△ABC的外接圆的半径为R＝，∴，a+c＝2R（sin A+sin c）＝6sin（A+）．∵A，∴a+c∈（3，6]，f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1＝﹣2sin2x++4（a+c）sin x+2令g（t）＝﹣2t2+4（a+c）t+2，t∈[﹣1，1]，g（t）在[﹣1，1]单调递增，∴g（t）max＝g（1）＝4（a+c）∈（12，24]则f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1的最大值的取值范围为（12，24]'故答案为：（12，24]．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）＝＝＝，∴T n＝＝＝．18．如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．（1）求cos A﹣cos C的值；（2）记△ABD与△BCD的面积分别为S1，S2，求S12+S22的最大值．【解答】解：（1）在△ABD中，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos A＝12﹣8cos A，在△BDC中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos C，所以12﹣8cos A＝8﹣8cos C，整理得．（2）由题意知：＝8sin2A，，所以＝8sin2A+4sin2C＝＝＝，由于，所以，故，解得．当cos A＝时，．19．已知抛物线C的方程y2＝2px（p＞0），焦点为F，已知点P在C上，且点P到点F的距离比它到y轴的距离大1．（1）试求出抛物线C的方程；（2）若抛物线C上存在两动点M，N（M，N在对称轴两侧），满足OM⊥ON（O为坐标原点），过点F作直线交C于A，B两点，若AB∥MN，线段MN上是否存在定点E，使得＝4恒成立？若存在，请求出E的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意和抛物线定义可得＝1，即p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，（2）由题意可知，k MN≠0，设M（y12，y1），N（y22，y2），（y2＞y1），由OM⊥ON，∴y12y22+y1y2＝0，即y1y2＝﹣16，直线MN的斜率k＝＝，∴直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），即y＝（x﹣4），直线AB，①斜率存在，设斜率为k，则y＝k（x﹣1），与C联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，∴|AB|＝•＝4（1+），设点E存在，并设为E（x0，y0），则|EM|•|EN|＝（y0﹣y1）（y2﹣y0）＝（1+）[﹣y1y2﹣y02+（y1+y2）y0]＝（1+）（16﹣y02+），∵＝4，∴16﹣y02+＝16，解得y0＝0，y0＝（不是定点，舍去），则点E（4，0），经检验，此点满足y2＜4x，所以在线段MN上，②若斜率不存在，则|AB|＝4，|EM|•|EN|＝4×4＝16，此时点E（4，0）满足题意，综上所述，定点为（4，0）20．椭圆的离心率是，过点P（0，1）做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当k变化时，在x轴上是否存在点M（m，0），使得△AMB是以AB为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知椭圆过点，可得，解得a2＝9，b2＝4所以椭圆的E方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0）由消去y得（4+9k2）x2+18kx﹣27＝0，所以．当k≠0时，设过点C且与l垂直的直线方程，将M（m，0）代入得：，若k＞0，则，若k＜0，则所以或，当k＝0时，m＝0综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性．（2）试问是否存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝xlnx﹣alnx+a﹣x＝（x﹣a）（lnx﹣1），x∈（0，+∞），①当a≤0时，由f′（x）＞0，解得x＞e，由f′（x）＜0，解得0＜x＜e，∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，②0＜a＜e时，令f′（x）＝0，解得x＝a，或x＝e，由f′（x）＞0，解得0＜x＜a，或x＞e，由f′（x）＜0，解得a＜x＜e，∴f（x）在（a，e）上单调递减，在（0，a），（e，+∞）上单调递增，③当a＝e时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，④当a＞e时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜e，或x＞a，由f′（x）＜0，解得e＜x＜a，∴f（x）在（e，a）上单调递减，在（0，e），（a，+∞）上单调递增．（2）假设存在a∈（﹣∞，e]，使得f（x）＞3+sin对x∈[1，+∞）恒成立，则f（1）＝2a﹣＞3+sin，即8a﹣sin﹣15＞0，设g（x）＝8x﹣sin﹣15，则g′（x）＝8﹣cos＞0，则g（x）单调递增，∵g（2）＝0，∴a＞2，当a＝e时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1），∴a＞2，从而a＝e满足题意，当2＜a＜e时，f（x）在（a，e）上单调递减，在[1，a），（e，+∞）上单调递增，∴，∴，（*），设h（x）＝4ex﹣sin﹣e2﹣12，则h′（x）＝4e﹣cos＞0，则h（x）单调递增，∵h（2）＝8e﹣e2﹣13＞0，∴h（x）的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为（2，+∞），∴2＜a＜e，综上，存在a∈（﹣∞，e]，使得，对x∈[1，+∞）恒成立，且a 的取值范围为（2，e]．。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
连接 ED , ED 6, 因为 BC / / AD ,
所以异面直线 AE 与 BC 所成角即为 EAD ,
在 VEAD 中 cos EAD 6 4 6
6,
22 6 6
故选 : D
x1 x2 ， 2
因为 AB 是抛物线 y2 2 x 的一条焦点弦，所以 AB x1 x2 p x1 x2 1 4 ，
所以 x1 x2 3 ，故 x0
x1 x2
3
.
22
故选 B
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于
基础题型 .
3.如图，圆柱的轴截面 ABCD 为正方形， E 为弧 ?BC 的中点，则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 （ ）
A. 3 3
B. 5 5
30
C.
6
D. 6 6
【答案】 D
【解析】 【分析】
取 BC 的中点 H ，连接 EH , AH ,?ED，则异面直线 AE 与 BC 所成角即为 cos EAD 得解 . 【详解】取 BC 的中点 H ，连接 EH , AH , EHA 90o,
EAD ，再利用余弦定理求
设 AB 2, 则 BH HE 1, AH 5, 所以 AE 6,
A.
,0
B.
,0
Hale Waihona Puke C. 1,D. 1,
【答案】 A 【解析】 【分析】
分别求出集合 A 集合 B 范围，根据 A I B A 得到 A 是 B 子集，根据范围大小得到答案 .
【详解】 A x | x x 1 0 0 x 1
B x | y ln x a ABA A B
所以 a 0 故答案选 A
衡水中学2020届高三上学期第四次调研考试 文科数学(含答案)
衡水中学2020届高三上学期第四次调研试卷数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合M ={-1,2,3}，N ={a +2,a 2+2}，且M ⋂N ={3}，则实数a 的值为()A.1或-1B.-1C.1D.22．AB 是抛物线y 2=2x 的一条焦点弦，|AB |=4，则AB 中点C 的横坐标是()A．2B．12C．32D．523.已知{}n a 是等比数列,且0n a >,243546225a a a a a a ⋅+⋅+⋅=,那么35a a +的值等于()A.5B.10C.15D.204．与双曲线有共同渐近线,且经过点(-3,)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为()A、8B、4C、2D、15.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b ⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+7.已知双曲线()22210x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=12PF F △的周长为（）A.B.2C.4D.4+8.已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为'()f x，且π()'sin cos 6f x x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，()'()1f A f B ==，则ABC △的形状为()A．等腰锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形9.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图,则该三棱锥的正视图可能是()A.B.C.D.@@10．已知ππ()sin(2019cos(2019)63f x x x =++-的最大值为A ,若存在实数12,x x ,使得对任意的实数x ,总有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12||A x x -的最小值为()A.π2019B.2π2019C.4π2019D.π403811.已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A C ,上顶点为B .过,,F B C 作圆P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n .当0m n +>时,椭圆离心率的取值范围为()A. B.1(0,)2C. D.12.设2D a =+．其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为()1+1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．南北朝时,张邱建写了一部算经,即《张邱建算经》,在这本算经中,张邱建对等差数列的研究做出了一定的贡献.例如算经中有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给”,则某一等人比其下一等人多得斤金.(不作近似计算)14．已知直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点F ，与抛物线交于A,B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB（O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为．15．如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-，则A DB '∠=．16.已知三角形ABC 的三边分别为,,a b c ,所对的角分别为,,,A B C 且满足113a b b c a b c+=++++,且三角形ABC 的外接圆的面积为3π,则()()cos 24f x x a c =++sin 1x +的最大值的取值范围为__________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文数试题 Word版含解析
河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数32i z i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.2. 设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【解析】试题分析：满足条件的集合B 可以是{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4，所以满足A B ⊆的B 的个数是4，故选B. 考点：集合的表示及集合间的关系.3. 抛物线23y x =的焦点坐标是（ ）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】试题分析：抛物线23y x =的标准方程为213x y =，所以其焦点坐标为10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选C. 考点：抛物线的标准方程及几何性质.4. 设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（ ）A ．72-B ．12- C.32 D ．52【答案】B【解析】试题分析：2(12,4),2(2,3)a b m a b m +=-+-=--,因为向量2+a b 与2-a b 平行，所以(12)34(2)m m -+⨯=⨯--，解之得12m =-，故选B. 考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.5. 圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．k ≤-k ≥．k ≤- C.2k ≥ D ．k ≤-2k >【答案】B考点：1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件.6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ）A ．3B ．303 C.3- D ．303-【答案】A【解析】试题分析：由201620172016(1)0a a a q +=+=得1q =-，所以10113S a ==，故选A. 考点：等比数列的性质与求和.7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．18-B ．18 C.116 D ．132 【答案】A。
2019届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(文)试题 word版
河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合},32|{A x x y y B ∈-==，则=B A （ ）A ．}1,0,1{-B ．}1,1{-C ．}2,1,1{-D ．}2,1,0{2．已知复数),(R y x yi x z ∈+=，若i y x i )1(1-+=+，则=||z （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4 3．已知双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，21,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足021=⋅PF ，若02130=∠F PF，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．34．已知n S 是等比数列}{n a 前n 项的和，若公比2=q ，则=++6531S a a a （ ） A ．31 B ．71 C ．32 D ．73 5．设P 表示一个点，b a ,表示例题直线，βα,表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）①αα⊂⇒∈∈a P a P ,； ②ββ⊂⇒⊂=a b P b a , ；③αα⊂⇒∈∈⊂b a P b P a b a ,,,// ④b P P P b ∈⇒∈∈=βαβα,, .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④6．若43tan =x ，则=-++)42tan()42tan(ππx x （ ） A ．2- B ．2 C ．23 D ．23- 7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，22=AC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π248．已知抛物线x y 42=上有三点C B A ,,，CA BC AB ,,的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．)1,914(B ．)0,914(C ．)0,2714(D ．)1,2714( 9．已知函数21121)(-+=x x f ，n m ,满足0)2()2(22≥-+-m n f n m f ，则|47|++n m 的取值范围是（ ）A ．]12,2[B ．]22,2[C ．]22,12[D ．]21012,21012[+-10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆1C ：1222=+y x 和2C ：1422=+y x ，又A 点坐标为)1,3(-，N M ,是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个12．已知函数x x x f a +=log )(，)1(4log )1ln()(>+--=a a x x g x ，若存在实数0x 使得)()(00x g x f =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量,夹角为060，且1||=，10|2|=-，则=|| .14．如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为3与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为 .15．已知数列}{n a 满足341=a ，}12{--n n a a 是公比为2的等比数列，则n a a a a a a a a a ⋅++++213212111111 = .16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，以O 为圆心，21,F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a ，}{n b 满足411=a ，)1)(1(,11n n n n n n a a b b b a +-==++. （1）设11-=n n b c ，求数列}{n c 的通项公式； （2）若13221++++=n n n a a a a a a S ，求n S .18.如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记βα=∠=∠ADC BAD ,.（1）求βαcos cos 2-的最大值；（2）若71cos ,1==βBD ，求ABD ∆的面积.19.如图所示，四棱锥ABCD S -中，平面⊥SAD 平面ABCD ，AD SA ⊥，BC AD //，4234====AD AB BC SA .（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；（2）若AC AB =，在（1）的条件下，求三棱锥AED S -的体积.20．如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，离心率为21，过点)2,0(-的直线l 交椭圆于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，直线BC 交x 轴于Q 点.（1）求椭圆方程；（2）探究：||||OQ OP ⋅是否为常数？21.设常数2>t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(F ，直线l ：t x =，曲线Γ：)0,0(82≥≤≤=y t x x y .l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点Q P B ,,分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3=t ，2||=FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8=t ，是否存在以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=.（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当函数)(x f 由最大值且最大值大于13-a 时，求a 的取值范围.河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（文）试题答案解析【题号】1【答案】B【题号】2【答案】C【题号】3【答案】B【题号】4【答案】A【题号】5【答案】D【题号】6【答案】C【题号】7【答案】A【题号】8【答案】C【题号】9【答案】B【题号】10【答案】A【题号】11【答案】D【题号】12【答案】A【题号】13 【答案】17+【题号】14 【答案】5【题号】15 【答案】12121+-+n n 【解题思路】 由题知，12--n n a a n n a a 2212111=⋅--=-，则12)22(212221++=++=-n n n n n a ，所以12212)22(212)22(212)22(211211021+=++++⋅++=+-n n n n n a a a ，故12121211++=n n a a a ， 所以113221321211212121212121111++-+=++++=⋅++++n n n n n a a a a a a a a a . 【知识点、能力点】本题考查等比数列求和，属于中等难度题.【题号】16 【答案】31-【解题思路】由题可知0260=∠POF ，02101190,30=∠=∠=∠PF F OPF O PF ， 所以c PF c PF c F F 3||,||,2||1221===，由椭圆定义可知a c PF PF 2)13(||||12=+=+ 所以离心率13132-=+==a c e .【知识点、能力点】本题考查椭圆和圆的定义，以及斜率和直线倾斜角的关系，属于基础题【题号】17【答案】（1）3--=n c n ；（2）)4(4+=n n S n . 【解题思路】（1）∵12111--=-+n n b b ，∴11112111-+-=--=-+n n n n b b b b ， ∵41111-=-=b c ，∴数列}{n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列， ∴3)1)(1(4--=--+-=n n c n .（2）由（1）知，311--=-=n b c n n ，∴32++=n n b n ， 从而311+=-=n b a n n ， 13221++++=n n n a a a a a a S 4141)4)(3(1651541+-=++++⨯+⨯=n n n )4(4+=n n .【知识点、能力点】本题第一问考查利用构造数列求一般数列的通项公式，第二问考查利用裂项相消求数列的和，属于基础题.【题号】18【答案】（1）3 （2）332 【解题思路】（1）由ABC ∆是等边三角形，得3παβ+=，30πα≤≤， 故βαcos cos 2-)3sin(3)3cos(cos 2παπαα+=+-=，故当6πα=时，即D 为BC 中点时，原式取得最大值3.（2）由71cos =β，得734sin =β，故14333sin cos 3cos sin )3sin(sin =-=-=πβπβπβα， 由正弦定理得BAD BD ADB AB ∠=∠sin sin ，故3811433734sin sin =⨯==BD AB αβ， 故3322313821sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆B BD AB S ABD . 【知识点、能力点】同角三角函数关系转化；应用三角函数和差公式；应用正弦定理解决三角形边角问题及面积公式.【题号】19【答案】（1）存在 （2）352=-AED S V 【解题思路】（1）证明线面平行先证线线平行，通过取中点找中位线，构造平行四边形得到平行关系，从而证出线面平行；（2）锥体体积需要底面积和高，将题中各边分别找出所在相应平面，再利用平面几何知识算出锥体底面积和高，进而用锥体体积公式求出该体积.（1）证： 如图，取SB 中点M ，SC 中点E ，连接DE ME AM ,,，∴ME 是BCS ∆的中位线，∴BC ME //，BC ME 21=，由题得，BC AD 21//，BC AD 21=， 则有ME AD ME AD =,//，∴四边形AMED 为平行四边形，∴AM ED //∵⊄ED 平面SAB ，⊂AM 平面SAB ，∴//ED 平面SAB .（2）解：∵平面⊥SAD 平面ABCD ，平面 SAD 平面AD ABCD =，⊂⊥SA AD SA ,平面SAD ，故⊥SA 平面ABCD∵E 是SC 中点，∴E 到平面ABCD 的距离等于S 到平面ABCD 距离的一半，且⊥SA 平面ABCD ，4=SA ，∴三棱锥ACD E -的高为2 ，AED S ACD E V V --=，在等腰ABC ∆中，3==AB AC ，4=BC ，BC 边上的高为52322=-，AD BC //，∴C 到AD 的距离为5，∴55221=⨯⨯=∆ADC S ， ∴3522531=⨯⨯=-AED S V . 【知识点、能力点】立体几何线面平行的证明，立体几何求锥体体积【题号】20【答案】（1）椭圆方程为13422=+y x （2）||||OQ OP ⋅为常数4 【解题思路】（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===2222142cb a ac a 解得1,3,2===c b a 所以椭圆方程为13422=+y x 直线l 方程为2-=kx y ，则P 的坐标为)0,2(k设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(11y x C -，直线BC 方程为121121x x x x y y y y --=++，令0=y ，得Q 的横坐标为 4)()(22212121211221-+-=++=x x k x x x kx y y y x y x x ① 又⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x kx y 得0416)43(22=+-+kx x k ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+2212214344316k x x k k x x 代入①得k k k k k k x 21224)43(416162822=--=+-⋅-= 得422||||||=⋅=⋅=⋅k k x x OQ OP Q P ∴||||OQ OP ⋅为常数4.【知识点、能力点】本题考查了椭圆定义、离心率公式、直线方程与椭圆方程联立，求交点，考查了化简整理运算能力【题号】21【答案】（1）2||+=t BF （2）63737321=⨯⨯=S （3）存在，)554,52(P 【解题思路】（1）由题意可知，设)22,(t t B ，由抛物线的性质可知，22||+=+=t p t BF ，∴2||+=t BF ； （2）)0,2(F ，2||=FQ ，3=t ，则1||=FA ， ∴3||=AQ ，∴)2,3(Q ，设OQ 的中点D ，)22,23(D ， 3223023-=--=QF k ，则直线PF 方程：)2(3--=x y ，联立得0122032=+-x x ， 解得32=x ，6=x （舍去）， ∴AQP ∆的面积637321⨯⨯=S （3）存在，设),8(),,8(22m m E y y P ，则1682822-=-=y y y y k PF ，y y k QF 8162-=， 直线QF 方程为)2(8162--=x yy y ， ∴yy y y y Q 4348)28(81622-=--=，)4348,8(2y y Q -， 根据FE FQ FP =+，则)448,68(22yy y E ++， ∴)68(8)448(22+=+y y y ，解得5162=y ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且)554,52(P . 【知识点、能力点】本题主要考查抛物线的几何性质，属于难题.【题号】22【答案】（1）当1-≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减 （2）)0,1(-【解题思路】（1）通过求导，分类讨论即可得到结果，（2）根据第一问，得到函数有最大值的条件（a 取值范围），以及最大值，通过构造函数求得a 的取值范围.（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx a a x x f )1(1)1(1)(+-=+-= ①当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；②当01>+a 时，即1->a 时，令0)('=x f ，解得11+=a x i ）当110+<<a x 时，0)('>x f ，函数单调递增， ii ）当11+>a x 时，0)('<x f ，函数单调递减， 综上所述，当1-≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减 （2）由（1）可知当1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无最大值，不满足题意，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减，所以)11()(max +=a f x f 111ln -+=a ，由题意可知13111ln ->-+a a ，即03)1ln(<++a a ，令a a a g 3)1ln()(++=，所以0)0(=g ，且)(a g 在),1(+∞-上单调递增，所以0)0()(=<g a g 在),1(+∞-上恒成立，所以01<<-a ，故a 的取值范围为)0,1(-.【知识点、能力点】本题考查函数导数计算，导数在研究函数的应用，属于中等难度题。
河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷
河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷高三文科数学试题 第3页(共6页) 高三文科数学试题 第4页(共6页)河北省衡水中学2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．集合A={x }2221≤≤∈x Z ，B=},cos {A x x y y ∈=，则B A I =( )A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z ii+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3. 函数2()2ln f x x xbx a=+-+ (0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A.22B.2C.3D.14.若抛物线22(0)ypx p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（ ）A.24y x= B.236yx= C.24yx=或236yx=D.28yx=或232y x=5. 已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}na b 的前10项的和为 （ ）A ．)14(349- B.)14(3410-． C ．)14(319- D ．)14(3110-6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）高三文科数学试题第5页(共6页) 高三文科数学试题第6页(共6页)C．-3≤a≤a≤7 D．a≥7或a ≤—312．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y=-+-为两点11(,)P x y,22(,)Q x y之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x；④到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（）A．1个 B．2 个 C．3 个D．4个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)第一次摸底数学试卷(文科)(9月份) (1)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）（9月份）一、单选题1. 已知集合A ={−3, −1, 0, 1, 3}，B ={x|x 2+3x =0}，则A ∩B =( ) A.{−3, 0, 3} B.{−3, 0} C.{0, 3} D.{−3, −1, 0, 1, 3}2. 在复平面内，复数z =−2+i i 3（i 为虚数单位）对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是( ) A.一本达线人数减少 B.二本达线人数增加了0.5倍 C.艺体达线人数相同 D.不上线的人数有所增加4. 如图，在等腰梯形ABCD 中，DC =12AB ，BC =CD =DA ，DE ⊥AC 于点E ，则DE →=( )A.12AB →−12AC →B.12AB →+12AC →C.12AB →−14AC →D.12AB →+14AC →5. 将一个圆柱形钢锭切割成一个棱长为4的正方体零件，则所需圆柱形钢锭的体积的最小值为( )A.16πB.32πC.128πD.16√2π6. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=x2−x，则函数f(x)的图象在点（−1, f(−1)）处的切线方程是( )A.x+y−2=0B.x+y=0C.x+y+1=0D.x+y+2=07. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则椭圆的方程为( )A.x22+y2=1 B.x24+y22=1 C.x28+y24=1 D.x26+y23=18. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆弧且点E为下底面半圆弧上一点（异于点B，C），则关于该几何体的说法正确的是()A.BE⊥ACB.DE⊥AEC.CE⊥平面ABED.BD⊥平面ACE9. 若将函数f(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω>0)的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于y轴对称，则当ω取最小整数时，函数f(x)的图象的一个对称中心是( )A.(43π,0) B.(53π,0) C.(π3,0) D.(−2π3,0)10. 如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，O为底面ABCD两条对角线的交点，A1O与平面CDD1C1所成的角为30∘，则该长方体的表面积为( )A.12√11+16B.8√11C.12√11D.12√2+1611. 已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A，终边上有点B(−m, 2m)(m>0)，满足|OA|=|OB|，若∠OAB=θ，则sin2θ+2sin2θ1+cos2θ= ()A.12B.2C.4D.112. 已知函数f(x)={m x−2017,x≥2019,(3m 2018+1)x−2020,x<2019,数列{a n}满足：a n=f(n),n∈N∗，且{a n}是单调递增函数，则实数m的取值范围是( )A.(1, 2]B.(1, 2)C.(2, +∞)D.(1, +∞)二、填空题13. log312⋅log49+lg52+2lg2=________．14. 已知实数x，y满足约束条件{y−x≤0,x+y−1≤0,y+1≥0,则z=3x+y的最大值为________．15. 已知直线y=−√3(x−1)被圆x2+y2+2x+k=0截得的弦长为2，则k=________．16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4，a=4√2sin A，且C为锐角，则△ABC面积的最大值为________．三、解答题17. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1−2=3a n，设b n=a n+1．(1)求b1，b2，b3；(2)证明：数列{b n}为等比数列；(3)求{a n}的通项公式．18. 在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，过A点作CD的垂线，交CD的延长线于点E，AE=√3．连结EB，交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置，如图2．(1)证明：平面BFP⊥平面BCP；(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求三棱锥G−BCH的体积．19. 某高校数学学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学．从大一新生中随机抽取名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学−10a．分数x分布在[100, 150)内．当x∈[10n, 10(n+1)），n∈N∗时，其频率y=n20(1)求a的值；(2)请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．(3)若高考数学分数不低于120分的为优秀，低于120分的为不优秀，则按高考成绩优秀与否从这40名新生中用分层抽样的方法抽取4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名，求这2名学生的高考成绩均为优秀的概率．20. 已知直线l 交抛物线C:x 2=4y 于两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线，若两条切线互相垂直且交于点M ． (1)证明：直线l 恒过定点；(2)若直线l 的斜率为1，求点M 的坐标．21. 已知函数f(x)=ln x +ax +b ，a ，b ∈R ． (1)讨论f(x)的单调性；(2)当a =0时，x 1，x 2为两个不相等的正数，证明：f(x 1)−f(x 2)2>x 1−x 2x 1+x 2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ+2a cos θ(a >0)；直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t （t为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若点P 的极坐标为(2, π)，|PM|+|PN|=5√2，求a 的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(1)求不等式f(x)<x +|x +1|的解集；(2)若函数f(x)=log 2[f(x +3)+f(x)−2a]的定义域为R ，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）（9月份）一、单选题1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】D12.【答案】C二、填空题13.【答案】14.【答案】515.【答案】−316.【答案】4+4√2三、解答题17.【答案】(1)解：由a n+1−2=3a n，得a n+1=3a n+2．因为a1=1，所以a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17．所以b1=2，b2=6，b3=18．(2)证明：因为b n+1b n =a n+1+1a n+1=3a n+3a n+1=3，所以{b n}是首项为2，公比为3的等比数列．(3)解：由(1)得b n=2×3n−1，而b n=a n+1，所以a n=2×3n−1−1．18.【答案】(1)证明：如图1，在Rt△BAE中，AB=3，AE=√3，所以∠AEB=60∘．在Rt△AED中，AD=2，所以∠DAE=30∘．所以BE⊥AD．如图2，PF⊥AD，BF⊥AD．又因为AD // BC，所以PF⊥BC，BF⊥BC，PF∩BF=F，所以BC⊥平面BFP，又因为BC⊂平面BCP，所以平面BFP⊥平面BCP．(2)解：法一：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，PF⊂平面ADP，PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD．取BF的中点为O，连结GO，则GO // PF，所以GO⊥平面ABCD．即GO为三棱锥G−BCH的高．且GO=12PF=12×PA sin30=√34，三棱锥G−BCH的体积为：V三棱锥G−BCH=13S△BCH⋅GO=13×12×S△BCD×√34=16×3√32×√34=316．法二：因为平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，PF⊂平面ADP，所以PF⊥平面ABCD．因为G为PB的中点．所以三棱锥G−BCH的高等于12PF．因为H为CD的中点，所以△BCH的面积是四边形ABCD的面积的14，从而三棱锥G−BCH的体积是四棱锥P−ABCD的体积的18．∵V P−ABCD=13×S ABCD×PF=13×3√3×√32=32，∴三棱锥G−BCH的体积为316．19.【答案】解：(1)由题意知，n的取值为10，11，12，13，14．把n的取值分别代入y=n20−10a，可得(0.5−10a)+(0.55−10a)+(0.6−10a)+(0.65−10a)+(0.7−10a)=1．解得a=0.04．(2)频率分布直方图如图：这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30=130．(3)这40名新生的高考数学分数在[100, 120)的频率为0.1+0.15=0.25， 所以高考数学成绩不优秀和优秀的频率比0.25:0.75=1:3．按高考数学成绩优秀与否分层抽样的方法从40名学生中抽取的4名学生中有3名学生高考成绩优秀，记A ，B ，C ，D 为4名学生，其中B ，C ，D 为3名高考数学成绩优秀的学生．从4名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个， 2名学生高考数学成绩均优秀的事件为BC ，BD ，CD ，共3个， 故所求的概率为36=12． 20. 【答案】(1)证明：易知直线l 的斜率存在，设直线l:y =kx +b ，A(x 1,x 124)，B(x 2,x 224)．由{y =kx +b,x 2=4y, 得x 2−4kx −4b =0，所以x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b ． 由x 2=4y ，得y =x 24，所以y ′=x2，所以直线AM 的斜率为k AM =x 12，直线的斜率为k BM =x 22．因为MA ⊥MB ， 所以k AM k BM =x 12⋅x 22=x 1x 24=−1，即x 1x 2=−4，所以−4b =−4，得b ＝1，所以直线l:y =kx +1，故直线l 恒过定点(0, 1)．(2)解：由(1)及直线l 的斜率为1时，x 1+x 2=4，x 1x 2=−4． 直线AM 的方程为y −x 124=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 124，同理直线BM 的方程为y −x 224=x 22(x −x 2)，即y =x 22x −x 224，上面两式联立得x =x 1+x 22，y =x 1x 24，所以点M 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，即M(2, −1)．21. 【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)=1x +a =1+ax x．若a ≥0，f ′(x)=1+ax x>0，则f(x)在区间(0, +∞)内为增函数； 若a <0，令f ′(x)=1+ax x=0，得x =−1a >0．则当x ∈(0,−1a )时，f ′(x)>0，f(x)在区间(0,−1a )内为增函数； 当x ∈(−1a,+∞)时，f ′(x)<0，f(x)在区间(−1a,+∞)内为减函数．(2)证明：当a =0时，f(x)=ln x +b ． 不妨设x 1>x 2>0，则原不等式等价于12lnx 1x 2>x 1x 2−1x 1x 2+1，令x =x 1x 2，则原不等式也等价于ln x >2(x−1)x+1(x >1)，即ln x +4x+1−2>0(x >1)．下面证明当x >1时，ln x +4x+1−2>0恒成立．设ℎ(x)=ln x +4x+1−2， 则ℎ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，故ℎ(x)在区间(1, +∞)内为增函数，ℎ(x)>ℎ(1)=0，即ln x +4x+1−2>0， 所以f(x 1)−f(x 2)2>x 1−x 2x 1+x 2．22.【答案】解：(1)由ρ=2sin θ+2a cos θ(a >0)，得ρ2=2ρsin θ+2aρcos θ(a >0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y +2ax ， 即(x −a)2+(y −1)2=a 2+1，直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t （t 为参数），所以直线l 的普通方程为y =x +2．(2)将直线l 的参数方程{x =−2+√22t,y =√22t 代入x 2+y 2=2y +2ax ，并化简、整理，得：t 2−(3√2+√2a)t +4a +4=0．因为直线l与曲线C交于M，N两点．所以Δ=(3√2+√2a)2−4(4a+4)>0，解得a≠1．由根与系数的关系，得t1+t2=3√2+√2a，t1t2=4a+4．因为点P的直角坐标为(−2, 0)在直线l上．所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=3√2+√2a=5√2，解得a=2，此时满足a>0，且a≠1，故a=2．23.【答案】解：(1)由已知不等式f(x)<x+|x+1|，得|x−2|<x+|x+1|，当x>2时，绝对值不等式可化为x−2<x+x+1，解得：x>−3，所以x>2；当−1≤x≤2时，绝对值不等式可化为2−x<x+x+1，解得：x>13，所以13<x≤2；当x<−1时，由2−x<x−x−1，得：x>3，此时无解．综上，不等式的解集为(13, +∞)．(2)要使函数f(x)=log2[f(x+3)+f(x)−2a]的定义域为R，只要g(x)=f(x+3)+f(x)−2a的最小值大于等于1即可．又g(x)=|x+1|+|x−2|−2a≥3−2a，当且仅当x∈[−1, 2]时取等号．所以只需3−2a≥1，即a≤1，所以实数a的取值范围是(−∞, 1]．试卷第11页，总11页。