基本积分公式
基本积分公式
基本积分公式在本文中，我们将介绍24个基本积分公式，这些公式可用于求解多种函数的积分。
下面是这些公式的详细介绍：1.常数函数积分公式：∫c dx = cx + C，其中c为常数，C为常数2.幂函数积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n不等于-1，n为实数，C 为常数3.指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数4.对数函数积分公式：∫dx/x = ln，x， + C，其中C为常数5.反三角函数积分公式：∫(1- x^2)^0.5 dx = (sin^(-1)x + C，其中C为常数6.三角函数积分公式：∫sin x dx = -cos x + C∫cos x dx = sin x + C∫tan x dx = -ln，cos x， + C∫cot x dx = ln，sin x， + C∫sec x dx = ln，sec x + tan x， + C∫csc x dx = -ln，csc x + cot x， + C7.双曲函数积分公式：∫sinh x dx = cosh x + C∫cosh x dx = sinh x + C∫tanh x dx = ln，cosh x， + C∫coth x dx = ln，sinh x， + C∫sech x dx = arc tanh(sech x) + C∫csch x dx = -arc coth(csch x) + C8.反双曲函数积分公式：∫(x^2 + 1)^0.5 dx = sinh^(-1)x + C∫(x^2 - 1)^0.5 dx = cosh^(-1)x + C∫(1 - x^2)^0.5 dx = (1 - x^2)^0.5 + C9.反函数积分公式：∫f'(x)/f(x) dx = ln，f(x)， + C，其中f(x)的反函数为f^(-1)(x)10.正切函数积分公式：∫sec^2x dx = tan x + C11.立方函数积分公式：∫x^3 dx = (x^4)/4 + C12.正切平方函数积分公式：∫sec^2x dx = tan x + C13.正余弦乘积函数积分公式：∫sin x cos x dx = (sin^2 x)/2 + C = (cos^2 x)/2 + C 14.正余弦商函数积分公式：∫(cos x)/(sin x) dx = ln，tan x， + C15.正切平方函数积分公式：∫tan^2x dx = tan x - x + C16.正切立方函数积分公式：∫tan^3x dx = (tan^2 x)/2 - ln，cos x， + C17.反余弦函数积分公式：∫dx/(1 - x^2)^0.5 = sin^(-1)x + C18.余弦平方函数积分公式：∫cos^2x dx = (x + (sin 2x)/2)/2 + C19.正弦平方函数积分公式：∫sin^2x dx = (x - (sin 2x)/2)/2 + C20.幂函数乘指数函数积分公式：∫x^n e^x dx = x^n e^x - n∫x^(n - 1)e^x dx，其中n为非负整数21.平方差函数积分公式：∫(a^2 - x^2)^0.5 dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2)arcsinx/a + C，其中a为正数，C为常数22.x的逆函数积分公式：∫f^(-1)(x) dx = xf^(-1)(x) - ∫(f^(-1)(x))/x dx，其中f^(-1)(x)为f(x)的逆函数23.分式函数积分公式：∫f'(x)/f(x) dx = ln，f(x)， + C，其中f(x)为形式为a^x的函数24.超越函数积分公式：∫e^x*f(x) dx = e^x*F(x) - ∫e^x*F'(x) dx，其中F(x)为f(x)的一个原函数以上是基本积分公式的详细介绍，这些公式可用于求解各种函数的积分问题。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式积分是微积分中的重要概念，而掌握基本的积分公式是进行积分运算的基础。
以下为您介绍三十个常见且重要的基本积分公式。
公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C（k 为常数）这意味着对于任何常数 k，其积分结果是 k 乘以 x 再加一个常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C（n ≠ －1）例如，∫x²dx ＝（1/3)x³＋ C 。
当 n 为正整数时，这个公式可以通过不断求导的逆过程来理解。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C特别要注意绝对值符号，因为对数函数的定义域要求 x 不为 0 。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
公式五：∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）不同底数的指数函数积分形式略有不同。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数的积分是负的余弦函数。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数的积分是正弦函数。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数的积分需要借助对数函数来表示。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数的积分形式。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C 正割函数的积分相对复杂一些。
公式十一：∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C 余割函数的积分。
公式十二：∫sec² x dx ＝ tan x ＋ C正割函数平方的积分。
公式十三：∫csc² x dx ＝ cot x ＋ C余割函数平方的积分。
公式十四：∫sec x tan x dx ＝ sec x ＋ C正割函数与正切函数乘积的积分。
公式十五：∫csc x cot x dx ＝ csc x ＋ C余割函数与余切函数乘积的积分。
常用积分公式
常用积分公式本文将介绍一些常用的积分公式，包括基本积分公式、换元积分公式、分部积分公式等。
通过掌握这些公式，能够更加方便地求解各类积分问题。
1. 基本积分公式1.1 定积分公式定积分公式是基本积分公式中的一种，用于求解在一定区间上的函数积分。
定积分公式如下：$$\\int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f和f是积分的区间。
1.2 不定积分公式不定积分公式是基本积分公式中的另一种，用于求解函数的原函数。
不定积分公式如下：$$\\int f(x)dx = F(x) + C$$其中，f(f)是要积分的函数，f(f)是f(f)的一个原函数，f是常数。
2. 换元积分公式换元积分公式是求解复杂函数积分的重要方法，通过引入一个新的变量进行替换，将原积分转化为一个更容易求解的形式。
2.1 第一换元法第一换元法也称为u-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{du}{dx}=g'(x)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(g(x))g'(x)dx = \\int ydu$$其中，$\\int ydu$是对新变量f进行积分。
2.2 第二换元法第二换元法也称为t-置换法，假设有函数f=f(f)，需要对其进行积分。
首先选取一个变量f=f(f)，使得$\\frac{dt}{dy}=h'(y)$。
则积分公式变为：$$\\int f(x)dx = \\int f(x)h'(f(x))dx = \\int h(t)dt$$其中，$\\int h(t)dt$是对新变量f进行积分。
3. 分部积分公式分部积分公式是求解两个函数乘积的积分的方法之一。
根据分部积分公式，可以将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分形式。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式1. 反比例函数的积分公式：∫ 1/x dx = ln|x| + C2. 幂函数的积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-13. 常数函数的积分公式：∫ k dx = kx + C，其中k为常数4. 正弦函数的积分公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C5. 余弦函数的积分公式：∫ cos(x) dx = sin(x) + C6. 正切函数的积分公式：∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C7. 余切函数的积分公式：∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C8. 指数函数的积分公式：∫ e^x dx = e^x + C9. 对数函数的积分公式：∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C10. 双曲正弦函数的积分公式：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C11. 双曲余弦函数的积分公式：∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C12. 双曲正切函数的积分公式：∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C13. 双曲余切函数的积分公式：∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)| + C14. 分式函数的积分公式：∫ (1/x) dx = ln|x| + C15. 部分分式分解的积分公式：∫ (Ax + B)/(x^2 + cx + d) dx = (1/2)ln(x^2 + cx + d) + C16. 倒数函数的积分公式：∫ (1/(a + bx)) dx = (1/b)ln|a + bx| + C，其中b≠017. 平方差分式的积分公式：∫ (x + a)√(x^2 + bx + c) dx = (1/3)(x + a)^2√(x^2 + bx + c) + (2/3)a^2ln|x + (1/3)(2bx + c)| + C18. 三角函数积分的积分公式：∫ sin^n(x) cos(x) dx = ((sin^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 19. 双曲函数积分的积分公式：∫ sinh^n(x) cosh(x) dx = ((sinh^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 20. 对数和幂函数的积分公式：∫ ln^n(x) dx = x(ln^n(x) - n∫ ln^(n-1)(x) dx) + C，其中n≠0 21. 倒数和对数函数的积分公式：∫ x^(-1/2) ln(x) dx = -2√x(ln(x) - 2) + C22. 指数和三角函数的积分公式：∫ e^x sin(x) dx = (1/2)e^x (sin(x) - cos(x)) + C23. 分部积分法的积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du24. 三角函数和双曲函数的积分公式：∫ sin(x) cosh(x) dx = (1/2)sinh(2x) + C25. 分式和三角函数的积分公式：∫ (sin(x))/(a + b*sin(x)) dx = (1/b)ln|tan(x/2) + √(a/b) + C26. 分式和双曲函数的积分公式：∫ (sinh(x))/(a + b*sinh(x)) dx = (1/b)ln|tanh(x/2) + √(a/b) + C27. 三角函数和指数函数的积分公式：∫ sin(x) e^(ax) dx = (a/(a^2 + 1))e^(ax) - (1/(a^2 + 1))cos(x) + C28. 分式和指数函数的积分公式：∫ (e^(ax))/(1 + e^(ax)) dx = ln|1 + e^(ax)| + C，其中a≠029. 部分分式分解和多项式的积分公式：∫ (x^n)/(x-a) dx = (1/(n+1))x^(n+1) + a∫ (x^(n-1))/(x-a) dx，其中n≠-1，a≠030. 推广型积分法的积分公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C，其中F为f的原函数，g为可导函数以上是三十个基本积分公式，这些公式是数学中常用的积分技巧，熟练掌握它们可以在解决各种积分问题时提供很大的帮助。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
定积分基本计算公式
定积分基本计算公式定积分是微积分中的一种重要的概念。
它是对连续函数在一定区间上的积分运算，可以用于计算曲线下的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
在求定积分时，可以使用一些基本的计算公式来简化运算过程。
下面将介绍一些定积分基本计算公式。
1.基本积分公式(1) 常数积分：∫kdx=kx+C (k为常数，C为常数)(2) 幂函数积分：∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1)+C (n≠-1，C为常数)(3) 指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C (C为常数)(4) 对数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C (C为常数)(5)三角函数积分：∫sinxdx=-cosx+C (C为常数)∫cosxdx=sinx+C (C为常数)∫sec^2xdx=tanx+C (C为常数)∫csc^2xdx=-cotx+C (C为常数)2.基本定积分公式(1)以x为变量的定积分：∫kdx=kx (其中k为常数)∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1) (其中n≠-1)∫e^xdx=e^x∫1/xdx=ln，x∫sinxdx=-cosx∫cosxdx=sinx∫sec^2xdx=tanx∫csc^2xdx=-cotx∫secx·tanxdx=secx (其中x≠π/2+kπ，k为整数)∫cscx·cotxdx=-cscx (其中x≠kπ，k为整数)(2)基本函数的定积分：∫sin(ax+b)dx=-1/a·cos(ax+b)+C (C为常数)∫cos(ax+b)dx=1/a·sin(ax+b)+C (C为常数)∫e^(ax+b)dx=1/a·e^(ax+b)+C (C为常数)(3)积分的线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，k为常数，则有：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx3.牛顿-莱布尼茨公式若函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则有：∫f(x)dx=F(x)+C (C为常数)4.分部积分法若函数u(x)和v(x)都是可导函数，则有：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx5.代换法当计算定积分过程中，可以进行变量代换，将原来的积分变为更简单的形式。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
常见积分公式表
常见积分公式表常见积分公式表在微积分中，积分是一个重要的概念，它可以用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。
而积分公式则是在求解积分过程中经常使用的一些公式，它们可以帮助我们简化计算，提高效率。
下面是一些常见的积分公式表：1. 基本积分公式：- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C，其中a为常数且不等于1- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C- ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2. 特殊函数积分公式：- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(√(x^2+1)) dx = ln(x + √(x^2+1)) + C- ∫e^x/(1+e^x) dx = ln(1+e^x) + C- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. 三角函数积分公式：- ∫sin^n(x) dx = (-1/(n-1)) * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-2)/(n-1) *∫sin^(n-2)(x) dx，其中n不等于1- ∫cos^n(x) dx = (1/(n-1)) * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-2)/(n-1) *∫cos^(n-2)(x) dx，其中n不等于14. 指数函数积分公式：- ∫a^x ln(a) dx = (1/(ln(a))^2) * a^x + C，其中a为常数且不等于15. 分部积分公式：- ∫u dv = uv - ∫v du6. 替换积分公式：- ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du，其中u = g(x)这些是常见的积分公式，掌握它们可以在求解积分时事半功倍。
常见积分公式24个
常见积分公式24个积分是微积分的一个重要概念，它是对函数的一个连续求和过程。
在微积分中，我们常常使用积分公式来计算各种函数的积分，以解决实际问题。
下面是常见的24个积分公式，详细介绍每个公式的积分计算过程。
1. $∫dx=x+C$：对任意常数 $C$，常数的积分是它自己，即对$x$ 的积分是 $x$ 加上一个常数 $C$。
2. $∫x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$：这个公式称为幂函数的积分公式，其中 $n$ 是不等于 $-1$ 的实数。
3. $∫e^xdx=e^x+C$：这是指数函数的积分公式，它的导数是 $e^x$。
4. $∫a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C$：这是对数函数的积分公式，其中 $a$ 是大于 $0$ 且不等于 $1$ 的常数。
5. $∫\frac{1}{x}dx=\ln，x，+C$：这是倒数函数的积分公式，其中 $x$ 不等于 $0$。
6. $∫\sin xdx=-\cos x+C$：这是正弦函数的积分公式，它的导数是 $-\cos x$。
7. $∫\cos xdx=\sin x+C$：这是余弦函数的积分公式，它的导数是$\sin x$。
8. $∫\frac{1}{\cos^2 x}dx=\tan x+C$：这是正切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\cos^2 x}$。
9. $∫\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\cot x+C$：这是余切函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sin^2 x}$。
10. $∫\sec x\tan xdx=\sec x+C$：这是正割函数的积分公式，它的导数是 $\sec x\tan x$。
11. $∫\csc x\cot xdx=-\csc x+C$：这是余割函数的积分公式，它的导数是 $\csc x\cot x$。
12. $∫\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$：这是反正弦函数的积分公式，它的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
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tan x cot x C
微积分 五②
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3 2 )dx . 例7 求积分 ( 2 2 1 x 1 x 3 2 1 1 解 ( )dx 3 dx 2 dx 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C
dx x x C
C ( x ) x x .
微积分 五②
Back
微减同一个代数式，然后分项
x dx 例3. 求 1 x2 1 x2 1 1 解：原积分= dx dx dx 2 2 1 x 1 x x arctan x C dx 例4. 求 2 2
2
x (1 x ) 2 2 1 x x 1 dx dx 2 dx 解：原积分= 2 2 2 x (1 x ) x 1 x 1 arctan x C x
dx x 3 x 3 dx d ( )
(4) a x dx a x / ln a C
2 x dx x 2 dx e 2 x dx
dx 2 x du u 2 dx 2 x
微积分 五②
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2.2、具体分项法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.
2/12
一、基本积分公式
1.1、积分法 1.2、基本积分公式
二、直接积分法
2.1、方法定义 2.2、具体分项法
三、小结
13个基本积分公式
微积分 五②
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1.1、积分法
x x 1
1
x 1 x dx C . ( 1) 1
微积分 五②
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x 4 1 1 ( x 2 1)dx dx x dx dx 2 2 2 1 x 1 x 1 x
4
x / 3 x arctan x C
3
⑶ 利用三角公式分项
例5.求
tan xdx (sec 2 x 1)dx 解：原积分= 2 sec xdx dx
启示: 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论: 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式. 比如: (arcsin x )
1 1 x2
x
dx arcsin x C .
微积分 五②
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1.2、基本积分公式
dx 2 ⑻ sec xdx tan x C; 2 cos x ⑴ 0dx=C (k是常数); dx csc 2 xdx cot x C ; 1 ⑼ 2 x C ( 1); sin x ⑵ x dx 1 ⑽ secxtanxdx sec x C ; dx ln x C ; ⑶ ⑾ cscxcot xdx csc x C ; x 1 x x ⑿ ⑷ e dx e C ; dx arctan x C ; 1 x2 ax 1 a x dx ⑸ C; ⒀ dx arcsin x C ; 2 ln a 1 x ⑹ cosx dx sin x C ; 零常幂幂对，指无指有对；
2
tan x x C
微积分 五②
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例6. 求 cos 2
x dx 2
1 1 1 cos x 解：原积分= dx dx cos xdx 2 2 2 1 ( x sin x ) C 2 dx (sin 2 x cos 2 x )dx 2 2 sin 2 x cos 2 x sin x cos x
2
5 2
2
2 7 C x2 C. 7
判断积分结果是否正确,只要对结果求导,看导数是否 等于被积函数,相等时,结果是正确的,否则是错误的。 5 2 7 2 x 2 x2 x 验证：（ x C） 7 说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系
微积分 五②
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xdx
例8 设生产某产品 x 单位时的边际成本函数为
C ( x )
解 C ( x ) (
且固定成本是5000元，求总成本函数C(x).
x
由C () 代入上式 可求得C 故 , ,
x
)dx dx x
⑺ sinx dx cos x C ; 三角有三对，原反只一对.
微积分 五②
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2.1、直接积分法 利用基本积分公式、不定积分的基本性质，并结合被 积函数的恒等变形可求积分的方法称为直接积分法。 5 例1 求积分 x 2 xdx . 1
x 解 x xdx x dx 1 5 1 x C 2 根据积分公式⑵ x dx 1
⑴ 利用乘除法分项
例1. 求 ( 2
x ) xdx ( 2 x x 3 / 2 )dx 解：原积分=
2 xdx x 3 / 2dx x 1 3 / 2 x2 C 1 3/ 2 2 5/ 2 2 x x C 5
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t 3 3t 1 例2. 求 dt t 1 2 解：原积分 ( t 3 )dt t 1 2 t dt 3dt dt t 3 t 3t ln t C 3 2 ( x 1)( x 2) x 3x 2 dx dx x 1 x 1 2 xdx 2 dx x / 2 2 x C