定积分的基本公式
《高等数学》第二节 定积分基本公式
例 1 设f (x) sin 2t d t, 求f (x) 0 x 2 2 解:f (x) sin 2t d t sin 2x 0
2
x
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则 I (x) f (t )dt
a x
是f (x)在[a, b]上的一个原函数.
或记作
证明
b f ( x ) d x F ( x ) a F (b) F ( a ). b a
b a
F (x)是f (x)的一个原函数， 而I (x) f (t )dt也是f (x)的一个原函数，
a x
F (x) I (x) C.
令x a有 F (a) I (a) C.
1 1 1 x2 1 lim . 2 x 0 1 2
I I' ( x) lim lim f ( ) f (x)， x 0 x x
即
d x I ' (x ) f (t )dt f (x ). dx a
a
结论：变上限积分所确定的函数 x f (t )dt 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).
注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x 是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限 x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间 变化的，因此常记为
x a
x
f (t )dt.
定理1
如果函数f (x)在区间[a, b]上连续，则变上限 I (x) f (t )dt
1 1 dx arctan x 1 2 1 x
1 1
arctan 1 arctan( 1) π π ( ) 4 4 π . 2
定积分基本计算定律-定积分的计算定律
2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个在微积分中，定积分是一个非常重要的概念，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
定积分公式作为定积分的重要工具，可以帮助我们解决各种复杂的问题。
在本文中，我们将介绍24个常见的定积分公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。
1. 基本积分公式。
定积分的基本公式是。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a) \]其中，\(F(x)\)是\(f(x)\)的不定积分。
这个公式是定积分的基础，我们可以通过它来求解更复杂的积分问题。
2. 定积分的线性性质。
如果\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，\(k\)是任意常数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} [kf(x)+g(x)]dx=k\int_{a}^{b} f(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理复杂的函数时非常有用。
3. 定积分的换元积分法。
如果\(u=g(x)\)在\([a,b]\)上具有连续导数，\(f(u)\)在对应区间上可积，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
4. 定积分的分部积分法。
如果\(u=f(x)\)和\(v=g(x)\)都在\([a,b]\)上具有连续导数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} u dv=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v du \]这个公式可以帮助我们将原来的积分转化为更容易处理的形式，从而简化计算。
5. 定积分的换限积分法。
如果\(f(x)\)在\([a,b]\)上可积，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，那么有。
\[ \int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a} f(x)dx \]这个公式可以帮助我们简化定积分的计算过程，尤其是在处理对称函数时非常有用。
定积分基本计算公式
定积分基本计算公式定积分是微积分中的一种重要的概念。
它是对连续函数在一定区间上的积分运算，可以用于计算曲线下的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
在求定积分时，可以使用一些基本的计算公式来简化运算过程。
下面将介绍一些定积分基本计算公式。
1.基本积分公式(1) 常数积分：∫kdx=kx+C (k为常数，C为常数)(2) 幂函数积分：∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1)+C (n≠-1，C为常数)(3) 指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C (C为常数)(4) 对数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C (C为常数)(5)三角函数积分：∫sinxdx=-cosx+C (C为常数)∫cosxdx=sinx+C (C为常数)∫sec^2xdx=tanx+C (C为常数)∫csc^2xdx=-cotx+C (C为常数)2.基本定积分公式(1)以x为变量的定积分：∫kdx=kx (其中k为常数)∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1) (其中n≠-1)∫e^xdx=e^x∫1/xdx=ln，x∫sinxdx=-cosx∫cosxdx=sinx∫sec^2xdx=tanx∫csc^2xdx=-cotx∫secx·tanxdx=secx (其中x≠π/2+kπ，k为整数)∫cscx·cotxdx=-cscx (其中x≠kπ，k为整数)(2)基本函数的定积分：∫sin(ax+b)dx=-1/a·cos(ax+b)+C (C为常数)∫cos(ax+b)dx=1/a·sin(ax+b)+C (C为常数)∫e^(ax+b)dx=1/a·e^(ax+b)+C (C为常数)(3)积分的线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，k为常数，则有：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx3.牛顿-莱布尼茨公式若函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则有：∫f(x)dx=F(x)+C (C为常数)4.分部积分法若函数u(x)和v(x)都是可导函数，则有：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx5.代换法当计算定积分过程中，可以进行变量代换，将原来的积分变为更简单的形式。
定积分的基本公式和运算法则
定积分的基本公式和运算法则定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际应用中都有着广泛的用途。
那咱们就来好好聊聊定积分的基本公式和运算法则。
先来说说定积分的基本公式。
这就好比是我们在数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开很多难题的大门。
比如，牛顿-莱布尼茨公式，这可是个相当重要的家伙。
它告诉我们，如果函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么定积分∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) 。
这就像是找到了一个直接通往答案的捷径，让复杂的计算变得简单了许多。
再谈谈定积分的运算法则。
加法法则就像是搭积木，两个函数的定积分之和等于它们分别定积分的和。
比如说，∫[a,b] [f(x) + g(x)]dx =∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx 。
这就好像你有两堆糖果，要算它们加起来的总数，分别算出每一堆的数量再相加就好啦。
还有乘法法则，这个稍微有点复杂，但也不难理解。
就像是做乘法运算一样，只不过是在定积分的世界里。
给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。
有一次我给学生们讲定积分的运算，有个学生怎么都搞不明白。
我就拿分糖果打比方，假如有一堆糖果，我们要按照不同的规则来分配，这就好比是不同函数的定积分运算。
然后我一步一步地带着他分析，最终他恍然大悟，那种开心的表情让我也特别有成就感。
在实际应用中，定积分的这些公式和法则用处可大了。
比如计算图形的面积、计算物体的体积、求解物理问题等等。
就拿计算图形面积来说吧，通过定积分，我们可以把不规则的图形分割成很多小的部分，然后利用公式和法则算出每一部分的面积，最后加起来就得到了整个图形的面积。
这就像是拼图，一块一块地拼起来，最终呈现出完整的画面。
再比如在物理中，计算变力做功的问题。
力不是恒定的，而是随着位置或者时间变化的，这时候定积分就派上用场啦。
通过对力函数进行积分，就能算出力在一段距离或者一段时间内所做的功。
总之，定积分的基本公式和运算法则是我们解决各种数学和实际问题的有力工具。
定积分基本计算公式-定积分的计算公式
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 l1 n l2 n l2 . n 2
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
成的平面图形的面积.
解
面积
A
sinxdx
0
y
cos x 2. o 0
x
.
二 定积分的换元公式 定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
.
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证 (x x)a x xf(t)dyt
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
.
牛顿—莱布尼茨公式
a bf(x)d x F (b )F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之 间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在 [a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，
一定积分计算的基本公式
x
2
1 x2
原 式 0x 2 d x1 xd 2 x x 2 dx 11 .
2
0
1
2
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例7 求 1 1dx .
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
§4. 定积分的计算
例11 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a a
f
( x)dx
2 a 0
f
( x)dx ；
②
f
( x)为奇函数，则
a a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 a
f[(t)](t)d.t
注意 当 时，换元公式仍成立.
Yunnan University
§4. 定积分的计算
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
原 式 12xdx2 5dx 6.
0
1
o 1 2x
Yunnan University
§4. 定积分的计算
例6
求
2
m
axx,x{2}dx.
2
y
解 由图形可知
y x2
f(x)max,xx2{}
定积分基本定理
1 x 3 2 x 1 x6 .
例2 求 lim 0
x 0
x
sin t 2 dt x3
0 解 当 x 0 时,原式为 型不定式,可用洛必达法则求 0
得
lim
x 0
x
0
sin t dt x3
2
lim
x 0
( sin t dt )
2 0
x
'
( x3 )'
a
b
性质 1 (1) 可推广到有限多个函数代数和的 情况，即
f ( x) f ( x) f
b a 1 2
n
( x )dx
b
f1 ( x )dx f 2 ( x )dx f n ( x )dx.
a a a
b
b
性质 3 (积分对区间可加性) 如果积分区间 [a, b] 被点 c 分成两个区间 [a, c] 和 [c, b]，那么
a
O
a
x
b
x
是上限变量 x 的函数. 记作 F (x)，即 x F ( x) f (t )dt (a ≤ x ≤ b).
a
通常称积分式
x
a
f ( t )dt 为变上限的积分
注意到教材中的积分式 ,积分上限中的积分变量 x ， 与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的 含义是不同的,为避免混淆,这里改用 t 为积分变量. 由于 定积分的值与积分变量的记号无关 , 把积分变量改用别的 字母表示,不影响积分结果.
b
a
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx.
a c
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x
f ( x )dx 常记为
x
f (t )dt.
a
a
称为“变上限的积分函数”
x x a
f
tdt
定理1 如 果 函f(数 x)在 区[间 a,b]上 连 续 ， 则 变 的积分函数
Φ(x)axf(t)dt (axb) 在[a,b]上 具 有 导 数 ， 且
Φ '(x ) d d x a xf(t)d t f(x )(a x b ).
例1 求 ddx x1ln1 (t2)dt.
解 d d x x 1ln(1t2)dt ln(1x2).
例2 求 lxim0 0xarcxt2antdt .
x 解
xarctantdt00 型
lim0
x 0
2
lxi m 0d d x0x(ax r2 c)t'antdt
limarctanx
b
a f(x)dxF(b)F(a)
或 a b 记 f( x ) d x F 作 ( x ) b a F ( b ) F ( a ).
牛顿—莱布尼茨公式
牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积 分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积 函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在 区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.
0 0
型
1lim(arctanx)'
x0 2x
2 x0 (x)'
1
1 lim 1 x2 1 .
2 x0 1
2
例3 求下列函数的导数:
(1)
f x
x sint dt
(2)
f x
t
et
dt
1 t
x
(3)
x
f x
tdt
(4) f(x)xx3tsintdt
解 (1)
f(x)1xsitntdt
例3
2
计算 0
f (x) d x ，其中
f(x)2 5xx,,
0≤ x≤ 1 1x≤ 2
2
1
2
解 0f(x)dx0f(x)dx1f(x)dx
0 12 xd x1 25 xd xx21 05 2x21 21 2 7
例4 计算由曲线 y x 2 、直线 x=2 与x轴围成的图形的
面积．
解 由定积分f(x)(x 3tetd)t(3xtetd)t(3xtetd)t xex;
(3)
f(x)(0 x2
1t2d)td(0x2
1t2d
t)
d(x2)
d(x2)
dx
1(x2)22x 2x 1x4
3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
定理2 微积分学基本定理
设函 f(x数 )在区 [a,间 b]上连续 F(， x)是 f且 (x)在 [a,b]上的任一个原函数，则
A 02x2dx13x3 2 83 0
例1 求 01 x2dx. 解 因为 x33是被积函 x2的 数一个原函数，
根据牛顿莱布尼茨公式，有
01x2dx
x31
3
13 03 1.
3 33
例2 解
求因11为 a1r1cxt2axd是 xn. 0被积1函 1x2数 的一个原函数
根据牛 莱 顿布尼茨公式，有
1111x2dxarctxa11n π2
3.2 微积分学基本公式
3.2.1 变上限积分函数 3.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
3.2.1 变上限的积分函数及其导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x
( axb)，积分ax f ( x)dx 存在，且对于给定的x( axb)
就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分
是上限x的函数