1986年高考数学试题及其参考答案
1986年高考数学试题及其参考答案
(理工农医类)
一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.
(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是
【】
(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是
(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1
(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1
【】
(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线
(C)一个圆(D)一条抛物线
【】
【】
(5)给出20个数
87919488939189879286
90928890918689929588
它们的和是
(A)1789(B)1799
(C)1879(D)1899
【】
(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的
(A)充分条件(B)必要条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件
【】
(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有
(A)D=E(B)D=F
(C)E=F(D)D=E=F
【】
(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S—EFG中必有
(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面
(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面
【】
(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是
【】
(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是
【】
二、只要求直接写出结果.
(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.
三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B 的任意一点.
求证:平面PAC垂直于平面PBC.
四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.
五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、
B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.
六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:
七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.
九、(附加题不计入总分)
(1)求y=xarctgx2的导数.
1986年试题(理工农医类)答案
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)B;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B;
(6)D;(7)A;(8)A;(9)D;(10)C.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.
证明:设圆O所在平面为α.
由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,
因此PA⊥BC.
因此∠BCA是直角,
因此BC⊥AC.
而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,
因此BC⊥△PAC所在平面.
从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.
四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.
解:满足sin2x>0的x取值范围是
而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到
x2-2x-15<x+13,②
x2-2x-15>0,③
x+13>0,④
解不等式②得:
-4<x<7,⑤
解不等式③及④得
-13<x<-3或x>5.⑥
综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为
(-π,-3)∪(2π,7).
五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.
解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.
记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.
六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.
解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,
A∪B元素的个数是12+12-4=20.
解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.
七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.
解:由已知条件可知,直线l1的方程是
y=k(x+1),①
把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②
因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:
(2k2-4)2-4k2·k2>0,③
及k≠0.④
解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).
今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得
定义域是(-1,0)∪(0,1).
注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.
八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.
证明:首先,
由于x1>0,由数列{x n}的定义可知
x n>0,(n=1,2…)
那么当n=k+1时
从而对一切自然数n都有x n+1>x n.
(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有x n+1<x n.
九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.。
1986年全国高考数学(理科)试题
1986年全国高考数学试题(理工农医类)一、（本题满分30分）本题共10个小题，每一个小题都给出代号为A,B,C,D 的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.1.在下列各数中,已表示成三角形式的复数是 A.2(cossin )44i ππ- B. 2(cos sin )44i ππ+ C.2(sin cos )44i ππ+ D. 2(sin cos )44i ππ-- 2.函数(0.2)1x y -=+的反函数是A.5log 1y x =+B. log 51x y =+C. 5log (1)y x =-D. 5log 1y x =-3.极坐标4cos 3ρθ=表示 A.一条平行于x 轴的直线 B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线4.函数2cos 2y x x =是A.周期为2π的奇函数 B. 周期为2π的偶函数 C. 周期为4π的奇函数 D. 周期为4π的偶函数 5.给出20个数87 91 94 88 93 91 89 87 92 86 90 92 88 90 91 86 89 92 95 88 它们的和是A.1789B.1799C.1879D.18996.设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7.如果方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线 y x =对称,那么必有A. D E =B. D F =C. E F =D. D E F ==8.在正方形123SG G G 中,E F 分别是12G G 及23G G 的中点, D 是EF 的中点,现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使123,,G G G 三点重合,重合后的点记为G .那么,在四面体S EFG -中必有A. SG EFG ⊥∆所在平面B. SD EFG ⊥∆所在平面C. GF SEF ⊥∆所在平面D. GD SEF ⊥∆所在平面9.在下列各图中, 2y ax bx =+与y ax b =+ (0ab ≠)的图象只可能是10.当[]1,0x ∈-时,在下面关系式中正确的是A. arccos()x π--=B. arcsin()x π--=C. arccos x π-=D. arcsin x π-=二、（本题满分24分）本题共有6个小题，每小题满分4分.只要求直接写出结果.1.=.2.已知ω=,求21ωω++的值.3.在xoy 平面上,四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及 (0,3),求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积.4.求113(2)lim 3(2)n nn n n ++→∞+-+- 5.求3521(2)x x-展开式中的常数项. S G 2 G 1 G 3E F D6.已知1sin cos 2θθ-=,求33sin cos θθ-的值. 三、（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC 垂直于平面PBC .四、（本题满分12分）当sin 20x >时,求不等式20.50.5log (215)log (13)x x x -->+的解集.五、（本题满分10分）如图,在平面直角坐标系中,在y 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点,A B . 试在x 轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C ,使ACB ∠取得最大值.六、（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素, A B 含有4个元素,试求同时满足下面 两个条件的集合C 的个数:（1）C A B =，且C 中含有3个元素；（2）C A ≠∅.七、（本题满分12分）过点(1,0)M -的直线1l 与抛物线24y x =交于12,P P 两点.记:线段12PP 的中点为 P ；过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为2l ；1l 的斜率为k .试把直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时B O说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.八.已知10x >,11x ≠,且212(3)31n n n n x x x x ++=+,1,2,3,n =,试证：数列{}n x 或者对任意自然数n 都满足1n n x x +<，或者对任意自然数n 都满足1n n x x +>.九、(附加题,本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分)（1）求2tan y xarc x =的导数.（2）求过点(1,0)-并且与曲线12x y x +=+相切的直线方程.。
江西省新余市1986数学高考题目
江西省新余市1986数学高考题目一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数.则实数（）A． B． C． D．32．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（）A． B． C． D．3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要4．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，以下结论不正确的是（）A．估计这1000名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是300 B．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85C．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75D．估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是23.8755．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：，联系两个天体的星等和它们对应的亮度 .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是，猎户星座的“参宿一”星等是，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（）倍.（当较小时，）A． B． C． D．6．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．C． D．7．使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（）A． B． C． D．8．已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（）A． B． C． D．9．已知平面向量满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（）A． B．C． D．11．已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）A． B． C． D．12．已知函数，有下述四个结论：①函数是奇函数②函数的最小正周期是③函数在上是减函数④函数在上的最大值是1其中正确的结论一共有（）个A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，，则______.14．已知正整数，若的展开式中不含x5的项，则n的值为_______ 15．若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______16．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：1 2 3 4 52.4 2.7 4.1 6.4 7.9（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式：参考数据：，（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．18．已知数列满足.（1）证明为等差数列，并求数列的通项；（2）设，求数列的前项和.19．如图，在四棱锥，，，平面，.（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点为，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，.（1）求椭圆的方程；（2）直线l过点，与椭圆交于两点，且点在轴上方. 记的内切圆半径分别为，若，求直线的方程.21．已知函数．（1）若轴是曲线的一条切线，求的值；（2）若当时，，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．。
点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用
[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５(１)求直线ＡＢ的方程ꎻ(２)如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于ＣꎬＤ两点ꎬ那么ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点是否共圆ꎬ为什么?解㊀(１)由题意知ꎬ直线ＡＢ的斜率存在且不为０ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＢ的斜率为ｋꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ꎬｙ１＋ｙ２＝４ꎬｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２.由ｘ２１－ｙ２１２＝１ｘ２２－ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝１ꎬ从而ｋ＝１.故直线ＡＢ的方程为ｙ－２＝１ (ｘ－１)ꎬ即ｘ－ｙ＋１＝０.(２)解略.评注㊀此问题用常规方法也易求解ꎬ但没有用点差法来得快.２.用点差法简求轨迹方程例２㊀(２００１年春季高考上海卷 文理２１)已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２２＝１ꎬ点Ｐ(ａꎬｂ)的坐标满足ａ２＋ｂ２２ɤ１ꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｑ为线段ＡＢ的中点ꎬ求:(１)点Ｑ的轨迹方程ꎻ(２)点Ｑ的轨迹与坐标轴的交点的个数.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｘꎬｙ)ꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ｘꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ.由ｘ２１＋ｙ２１２＝１ｘ２２＋ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘｙꎬ又ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｂ－ｙａ－ｘꎬ从而ｂ－ｙａ－ｘ＝－２ ｘｙꎬ即２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.故点Ｑ的方程为２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.(２)解略.３.用点差法简求圆锥曲线的方程例３㊀(２０１３年高考新课标全国卷Ⅱ 理２０)平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ过椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ且ＯＰ的斜率为１２.(１)求Ｍ的方程ꎻ(２)ＣꎬＤ为Ｍ上两点ꎬ若四边形ＡＣＢＤ的对角线ＣＤʅＡＢꎬ求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１ꎬｙ０－０ｘ０－０＝１２.ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬ㊀①ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï①－②并整理ꎬ得ｂ２(ｘ１＋ｘ２)ａ２(ｙ１＋ｙ２)＝－ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２ꎬ所以ｂ２ ２ｘ０ａ２ ２ｙ０＝１ꎬ故ｂ２ａ２ ２＝１ꎬ即ａ２＝２ｂ２.又由题意知ꎬＭ的右焦点为(３ꎬ０)ꎬ故ａ２－ｂ２＝３.因此ꎬａ２＝６ꎬｂ２＝３.所以Ｍ的方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１.(２)解略.评注㊀此问题若没有想到点差法ꎬ就不易求解了ꎬ甚至解不出来.４.巧用点差法简解对称题型一般地ꎬ对称直线㊁对称点的题目ꎬ用点差法求解较为简便.例４㊀(１９８６年高考广东卷 理４)已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ试确定ｍ的取值范围ꎬ使得对于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍꎬ椭圆Ｃ上有不同的两点关于该直线对称.解㊀设椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１上不同两点Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)关于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍ对称ꎬ线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｋｐｐ＝－１４.ｘ２１４＋ｙ２１３＝１ꎬ㊀①ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï４５①－②并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－３４ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ又因为ｋｐｐ＝－１４ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１４ꎬ所以－１４＝－３４ ２ｘ０２ｙ０ꎬ即ｙ０＝３ｘ０.由ｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｙ０＝３ｘ０ꎬ{解得ｘ０＝－ｍꎬｙ０＝－３ｍ.{因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１内ꎬ所以ｘ０２４＋ｙ０２３<１ꎬ即ｍ２４＋９ｍ２３<１ꎬ解得－２１３１３<ｍ<２１３１３ꎬ即为所求ｍ的取值范围.评注㊀解此类题关键是用了点在圆锥曲线内部的充要条件ꎬ应认真领会.５.注意中点的构造ꎬ创造点差法的条件简解题例５㊀(２０１６年高考浙江卷 理１９)设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１).(１)求直线ｙ＝ｋｘ＋１被椭圆截得的线段长(用ａꎬｋ表示)ꎻ(２)若任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点ꎬ求椭圆离心率的取值范围.分析㊀(１)略.(２)因为此问题ꎬ正面情况较多或正面入手困难ꎬ所以想到从反面入手ꎬ即运用正难则反思想ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至少有４个公共点.而在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的公共点数不可能是５ꎬ６ꎬ７ꎬ ꎬｎ.故而ꎬ在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)有４个公共点.解㊀(１)略.(２)假设圆与椭圆有４个公共点ꎬ则圆与椭圆在ｙ轴左侧有２个交点ＰꎬＱ.设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ线段ＰＱ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ于是ｘ２１ａ２＋ｙ１２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２＝１ꎬ两式相减整理ꎬ得(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ａ２(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０.因为ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬ又ｋＡＭ ｋＰＱ＝－１ꎬ即ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｘ０ｙ０－１ꎬ从而ｘ０＋ａ２ｙ０ －ｘ０ｙ０－１＝０ꎬ由ｘ０ʂ０ꎬ得ｙ０＝１１－ａ２.因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１内ꎬ所以ｘ０２ａ２＋ｙ０２<１.故ｘ０２ａ２＋１(１－ａ２)２<１ꎬ即ｘ０２<ａ２－ａ２(１－ａ２)２.又存在ｘ０２ɪ(０ꎬａ２)使上式成立ꎬ所以ａ２－ａ２(１－ａ２)２>０ꎬ即ａ>２.因此ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点的充要条件为１<ａɤ２ꎬ由离心率ｅ＝ｃａ＝ａ２－１ａꎬ得所求离心率的取值范围为(０ꎬ２２].评注㊀(１)命题者(官方)给出的解答计算量较大ꎬ详见文[４].(２)此问题ꎬ解法较多(详见文[１])ꎬ上述解法最简捷.点差法在高考中有着广泛的运用ꎬ如:２０１０年高考ꎬ山东卷 文９ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１２ꎬ安徽卷 理１９ꎻ２０１２年高考ꎬ湖北卷 理２１ꎻ２０１３年高考ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１０ꎻ２０１５年高考ꎬ全国卷Ⅱ 理２０ꎬ浙江卷 理１９ꎻ２０１８年高考ꎬ全国卷Ⅲ 理２０.综上所述ꎬ点差法在各式各样的题目中均有广泛的应用ꎬ同时作为一种基础数学方法ꎬ它与其它数学方法之间有着极大的相关性ꎬ这是我们在解题过程中所不能忽视的ꎬ在学习点差法的解题过程中要熟练掌握运用其它方法ꎬ才能够把数学解题思想方法运用到解题过程中ꎬ来提高解题效率与质量.㊀㊀参考文献:[１]李美君.数学 入题 三维度:直接㊁间接㊁转换 以２０１６年浙江省数学高考理科第１９题为例[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１６(１１):３３－３７.[２]赵建勋.点差法及其应用[Ｊ].中学生数学(高中)ꎬ２０１２(１２):２０－２１.[３]汤伊静.浅谈点差法在高中数学中的应用[Ｊ].数理化解题研究(高中)ꎬ２０１９(２):９－１０.[４]天利高考命题研究中心.２０１６高考真题(数学 理科)[Ｍ].拉萨:西藏人民出版社ꎬ２０１６.[责任编辑:李㊀璟]５５。
一九八六年上海市高考数学(理)试题
二 尸
兀
且与
相切 的 圆的 圆 心 轨 迹是
( B ) 双 曲线 ( D )直线 1
二
,
5
.
在空间
a
,
下 列 命题 正 确 的 是
。
、
( 月 ) 抛物 线 ( C )椭圆
13
.
( A )如 果 两 直 线
b 与直 线 l 右与平 面
a
所成 的 角 所成 的 角
相等 相等
,
那么
才b / 儿
,
( B ) 如 果两直 线
。
函数
小
19
( 晋) ( 导 )
一
— 6 正 方 体 的 全 面 积是
-
一一
-
-
-
一
-
-
-
-
-
一
,
)
g
g
则其 内切球
’
的 体 积是 _
n
-
-
11 m
、
曲
l + 3+
5
n
+
…
+
一 (
Zn 一 l )
(n +
l )
x (
+
了尸 二
门)
x 〔R ) (
4
.
.
( A ) 是 奇函 数 ( B )是 偶 函数
不是 偶函数 不是 奇函数
,
,
(
。
“万
一
“
尹户
的展 开式 中
,
$ x J
-
( C ) 既不是 奇 函数
。
又 不 是 偶函 数
a
1986年高考数学试题及其参考答案
1986年高考数学试题及其参考答案(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【】(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【】(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【】【】(5)给出20个数8791948893918987928690928890918689929588它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899【】(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【】(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【】(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S—EFG中必有(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面【】(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是【】(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是【】二、只要求直接写出结果.(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B 的任意一点.求证:平面PAC垂直于平面PBC.四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.九、(附加题不计入总分)(1)求y=xarctgx2的导数.1986年试题(理工农医类)答案一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)C;(3)B;(4)A;(5)B;(6)D;(7)A;(8)A;(9)D;(10)C.二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为α.由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,因此PA⊥BC.因此∠BCA是直角,因此BC⊥AC.而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,因此BC⊥△PAC所在平面.从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x>0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-15<x+13,②x2-2x-15>0,③x+13>0,④解不等式②得:-4<x<7,⑤解不等式③及④得-13<x<-3或x>5.⑥综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为(-π,-3)∪(2π,7).五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,A∪B元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知,直线l1的方程是y=k(x+1),①把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2·k2>0,③及k≠0.④解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得定义域是(-1,0)∪(0,1).注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x1>0,由数列{x n}的定义可知x n>0,(n=1,2…)那么当n=k+1时从而对一切自然数n都有x n+1>x n.(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有x n+1<x n.九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.。
1986年全国普通高等学校招生统一考试
全国普通高等学校招生统一考试物理一、(27分)每小题3分．把答案填写在题中横线上空白处,不要求写出演算过程．其中第(5)、(6)小题按题中要求做答．(1)平衡下列核反应方程:在核反应堆中,石墨起的作用;镉棒起的作用．(2)肥皂泡在阳光照射下呈彩色,这是属于光的现象．低压汞蒸气发光产生的光谱,是属于连续光谱、明线光谱、吸收光谱中的哪一种?答: ．无线电波、可见光、伦琴射线、γ射线中的哪一种是原子内层电子受到激发后原子辐射的电磁波?答: ．(3)汽车沿半径为R的圆跑道行驶,设跑道的路面是水平的,路面作用于最大不能超过(4)某金属用频率为ν1的光照射时产生的光电子的最大初动能,是用频率为ν2的光照射时产生的光电子的最大初动能的2倍,则这种金属的逸出功W= ．(5)附图是电台发出的无线电信号的接收电路图(P为耳机),图中少画了一个元件,请用惯用的符号把这个元件补画在电路图中．图中电容器C1起着的作用．电容器C2起着的作用．(6)一列振幅是2．0厘米,频率是4．0赫兹的简谐横波,以32厘米/秒的速度沿上图中x轴的正方向传播．在某时刻,x坐标为-7．0厘米处的介质质点正好经平衡位置且向y轴正方向运动．试在图中画出此时刻的波形图(要求至少画出两个波长)．(7)在图示的电路中,灯泡A和B都是正常发光的．忽然灯泡B比原来变暗了些,而灯泡A比原来变亮了些．试判断电路中什么地方出现了断路的故障(设只有一处出了故障)．答: ．(8)长为l的导体棒原来不带电,现将一带电量为q的点电荷放在距棒左端R处,如图所示．当达到静电平衡后,棒上感应的电荷在棒内中点处产生的场强的大小等于．(9)如下图所示,平行板电容器的极板沿水平方向放置,电子束从电容器左边正中间a处沿水平方向入射,电子的初速都是v0,在电场力的作用下,刚好从图中所示的c点射出,射出时的速度为v．现若保持电场不变,再加一个匀强磁场,磁场的方向跟电场和电子入射的方向都垂直(图中垂直于纸面向里),使电子刚好由图中d点射出,c、d两点的位置相对于中线ab是对称的,则从d点射出时每个电子的动能等于．二、(28分)每小题4分．本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的．把正确的说法全选出来,并将正确说法前的字母填写在题后方括号内．每小题,全部选对的,得4分;选对但不全的,得2分;有选错的,得0分;不答的,得0分．填写在方括号外的字母,不作为选出的答案．(1)卢瑟福提出原子的核式结构学说的根据是,在用α粒子轰击金箔的实验中发现α粒子．A．全部穿过或发生很小的偏转．B．绝大多数穿过,只有少数发生很大偏转,甚至极少数被弹回．C．绝大多数发生很大的偏转,甚至被弹回,只有少数穿过．D．全都发生很大的偏转．(2)两个分子甲和乙相距较远(此时它们之间的分子力可忽略),设甲固定不动,乙逐渐向甲靠近直到不能再靠近的整个过程中,A．分子力总是对乙做正功．B．乙总是克服分子力做功．C．先是乙克服分子力做功,然后分子力对乙做正功．D．先是分子力对乙做正功,然后乙克服分子力做功．(3)如图所示,一个箱子放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆,在杆上套着一个环．箱和杆的质量为M,环的质量为m．已知环沿着杆加速下滑,环与杆的摩擦力的大小为f,则此时箱对地面的压力A．等于Mg．B．等于(M+m)g．C．等于Mg+f．D．等于(M+m)g-f．E．无法确定．(4)在有空气阻力的情况下,以初速v1竖直上抛一物体,经过时间t1到达最高点．又经过时间t2,物体由最高点落回到抛出点,这时物体的速度为v2．则A．v2=v1,t2=t1．B．v2>v1,t2>t1．C．v2<v1,t2<t1．D．v2>v1,t2<t1．E．v2<v1,t2>t1．(5)指出下页左图所示的哪些情况中,a、b两点的电势相等,a、b两点的电场强度矢量也相等．A．平行板电容器带电时,极板间除边缘附近外的任意两点a、b．B．静电场中达到静电平衡时的导体内部任意两点a、b．C．离点电荷等距的任意两点a、b．D．两个等量异号的点电荷,在其连线的中垂线上,与连线中点O等距的两点a、b．(6)下页右图是氢原子中电子绕核做快速的圆周运动(设为逆时针)的示意图．电子绕核运动,可等效为环形电流．设此环形电流在通过圆心并垂直于圆面的轴线上某一点P处产生的磁感应强度的大小为B1．现在沿垂直于圆轨道平面的方向加一磁感应强度为B0的外磁场,这时设电子的轨道半径没变,而它的速度发生了变化．若用B2表示此时环形电流在P点产生的磁感应强度的大小．则当B0的方向A．垂直于纸面向里时,B2>B1．B．垂直于纸面向里时,B2<B1．C．垂直于纸面向外时,B2>B1．D．垂直于纸面向外时,B2<B1．E．不论是垂直于纸面向里还是向外,B1总是等于B2(7)汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动．当它路过某处的同时,该处有一辆汽车乙开始做初速为0的匀加速运动去追赶甲车．根据上述的已知条件:A．可求出乙车追上甲车时乙车的速度．B．可求出乙车追上甲车时乙车所走的路程．C．可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间．D．不能求出上述三者中任何一个．三、(14分)(1)有一电阻Rx,其阻值大约在40—50欧姆之间．需要进一步测定其阻值,手边现有下列器材:有两种可供选用的电路如图1和图2所示．实验要求多测几组电流、电压值,画出电流-电压关系图．为了实验能正常进行并减小测量误差,而且要求滑动变阻器便于调节,在实验中应选图所示的电路,应选代号是的毫安表和代号是的滑动变阻器．(2)用螺旋测微器测量一矩形小零件的长和宽时,螺旋测微器上的示数如图1和图2所示．图1的读数是毫米．图2的读数是毫米．(3)一个学生用带有刻度的注射器做验证玻意耳-马略特定律的实验,他做实验时的主要步骤如下:1．用刻度尺测出注射器全部刻度之长,用这个长度去除它的容积得出活塞的横截面积S．2．用天平称出活塞的质量M．3．把适量的润滑油均匀地抹在注射器的活塞上,把活塞插进注射器内一部分,然后将注射器的小孔用橡皮帽堵住,记下这时空气柱的体积V．4．用烧瓶夹把注射器竖直固定在铁架上,利用砝码重量向下压活塞,使空气柱体积减小．改变砝码个数,再做两次,记下每次砝码的质量m和相应的空气柱的体积V．6．求出每次压强p跟相应的体积V的乘积,看看它们是否相等．根据你做这个实验的经验,这个学生的实验步骤中有些什么重要错误或疏漏．答．四、(8分)图中abcd是一个固定的U形金属框架,ab和cd边都很长,bc边长为l,框架的电阻可不计,ef是放置在框架上与bc平行的导体杆,它可在框架上自由滑动(摩擦可忽略),它的电阻为R．现沿垂直于框架平面的方向加一恒定的匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里．已知当以恒力F向右拉导体杆ef时,导体杆最后匀速滑动．求匀速滑动时的速度．五、(8分)甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的质量共为M=30千克,乙和他的冰车的质量也是30千克．游戏时,甲推着一个质量为m=15千克的箱子,和他一起以大小为v0=2．0米/秒的速度滑行,乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力,求(1)甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞．(2)甲在推出时对箱子做了多少功．六、(9分)一个质量为m=50千克的均匀圆柱体,放在台阶的旁边,台阶的高度h是柱体半径r的一半,如图所示(图为其横截面),柱体与台阶接触处(图中P点所示)是粗糙的．现要在图中柱体的最上方A处施一最小的力,使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚,求(1)所加的力的大小．(2)台阶对柱体的作用力的大小．七、(6分)有两只伏特表A和B,量程已知,内阻不知等于多少．另有一干电池,它的内阻不能忽略,但不知等于多少．只用这两只伏特表、电键和一些连接用导线,能通过测量计算出这个电池的电动势(已知电动势不超出伏特表的量程,干电池不许拆开)．(1)画出你测量时所用的电路图．(2)以测得的量做为已知量,导出计算电动势的式子．八、(10分,本题是附加题,成绩不计入总分)有一个平行板电容器,当两极板间为空气时,其电容为C0=40皮法,把它连接到一个电动势为ε=500伏的电源上．现将一块厚度等于极板间距离的石蜡块塞进两极板间,使它充满极板间空间的一半,如图．已知石蜡的介电常数ε=2．求(1)塞入石蜡块后,电容器的电容C．(2)在石蜡块塞入过程中,电源所提供的电能．1986年全国普通高等学校招生统一考试物理参考答案一、全题27分,每小题3分．答案正确的,按下列该答案后面方括号内的分数给分;错误的,给0分．(1)(1分)．使快中子减速(1分)．吸收中子控制链式反应速度(1分)．第二个空白内填"减速",第三个空白内填"控制反应速度"的,都可不扣分．(2)干涉(1分)．明线光谱(1分)．伦琴射线(1分)．(4)h(2υ2-υ1) (3分)．(5)补画的元件如下图所示(1分)．选台(或调频)(1分)．通高频阻低频使音频信号通过耳机(1分)．(6)如右图(3分)．(7)R2所在的支路发生了断路(3分)．二、(1)B．(2)D．(3)C．(4)E．(5)B、D．(6)B、C．(7)A．评分标准:全题28分,每小题4分．每小题,答案全部选对的,给4分;未选全而无选错的,给2分;有选错的,给0分;未答的,给0分．三、(1)本小题共7分．1(3分)．A2(2分)．R1(2分)．(2)8．474,6．576．(允许最后一位差±1)．评分标准:本小题共3分,只答对一个的给1分．在进行步骤5之前要读气压计所指示的大气压强p0的值．评分标准:本小题共4分．改正计算公式占2分;读气压计示数占2分．四、当导体杆向右滑动时,通过回路ebcf的磁通量将发生变化,从而在回路中产生感生电动势ε和感生电流I．设导体杆做匀速运动时的速度为v,根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知ε=vlB,(a)根据安培定律可知,磁场对导体杆的作用力为f=IBl, (c)方向向左,即与外力F的方向相反．当导体杆做匀速运动时,有f=F．(d)由以上可解得评分标准:本题8分．列出(a)式的,给2分;列出(b)式的,给2分;列出(c)式的,给2分;列出(d)式的,给1分．最后结果正确的,再给1分．五、(1)在推出和抓住的过程中,小孩、冰车和箱子的总动量守恒．要想刚能避免相碰,要求抓住后甲和乙的速度正好相等．由此就可求得推出时的最小速度．设箱子推出后其速度为v,甲孩的速度为v1,根据动量守恒可得mv+Mv1=(m+M)v0 (a)设乙孩抓住箱子后其速度为v2,根据动量守恒可得(m+M)v2=mv-Mv0．(b)刚好不相碰的条件要求v1=v2．(c)由(a)、(b)、(c)三式可解得代入数值可得v=5．2米/秒．(2)设推出时甲对箱子做功为W,根据功能关系可知代入数值可得W=1．7×102焦耳．评分标准:本题8分．(1)占6分;(2)占2分．(1)中,列出(a)式的,给1分;列出(b)式的,给1分;列出(c)式的,给3分．答数正确的,再给1分．(2)中,列出(d)式的,给1分;答数正确的,再给1分．六、(1)要在A处施一最小的力,则力的方向应与AP垂直,这样力臂最大．因为r=2h,由几何关系可推知∠PAO=30°,∠POB=60°．要使柱体刚能绕P轴上滚,即意味着此时地面对柱体的支持力N=0, (a)这时,拉力F和重力mg对P轴的力矩平衡,由此可得mgrsin60°=F·2rcos30°, (b)所以F=2．5×102牛顿．(2)设台阶对柱体的作用力为f,因为刚能开始运动时,f与重力mg及拉力F三力平衡,所以必为共点力．由此可知力f的方向是沿PA方向．即力f的方向与F的方向垂直,所以f的大小必等于重力在AP方向上的分力．即f=mgcos30°．(c)f=4．3×102牛顿．评分标准:本题9分．(1)占6分;(2)占3分．(1)中,知道F与AP垂直的,给3分;列出(a)式的,给1分;列出(b)式的,给1分;答数正确的,再给1分．(2)中,列出(c)式的,给2分;答数正确的,再给1分．七、(1)测量时用的电路图如图所示．(2)将任一只伏特表,如表A,与电源连通,记下伏特表所示的电压值U A．再将两只伏特表与电源串联,记下伏特表所示的电压值U’A和U B．设表A的内阻为R A,表B的内阻为R B,电源内阻为r,电源电动势为ε,只将表A与电源连通时电流强度为I1,两表与电源串联时电流强度为I2,根据欧姆定律可得ε=I1(R A+r) (a)ε=I2(R A+R B+r)．(b)因为U A=I1R A,U’A=I2R A,U B=I2R B, (c)所以由以上诸式可得评分标准:本题6分．(1)占2分;(2)占4分．(1)中,只画出一个电路图的,给0分．(2)中,列出(a)式和(b)式的,给1分,只列出其中一个的,给0分;列出(c)式的,给1分;得出(d)式的,再给2分．八、(1)石蜡塞入后,电容器可视为两个平行板电容器并联．每个的极板间距离都是d,每个的极板面积都是原电容器的极板面积S之半．因此,极板间是空气的那一半的电容极板间是石蜡的那一半的电容所以电容器的总电容C=C1+C2．(c)由(a)、(b)、(c)三式,代入数值可解得C=60皮法．(2)电源提供的能量W应等于电动势和通过电源的电量的乘积．设插入石蜡前极板上的电量为Q0,插入后为Q,则W=ε(Q-Q0)．(d)因为Q0=C0ε,Q=Cε,(e)所以得W=ε2(C-C0)．代入数值得W=5．0×10-6焦耳．评分标准:本题10分．(1)占5分;(2)占5分．(1)中,列出(a)式的,给1分;列出(b)式的,给1分;列出(c)式的,给2分;答数正确的,再给1分．(2)中,列出(d)式的,给3分;列出(e)式的,给1分;答数正确的,再给1分．。
一九八六年全国普通高等学校招生统一考试 数学试题(文科)
一九八六年全国普通高等学校招生统一考试数学试题(文科)佚名
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】1986(000)010
【总页数】4页(P32-35)
【正文语种】中文
【中图分类】G6
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一九八六年全国普通高等学校招生统一考试 数学试题(理科)
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1986年四川高考理科数学试题
1986年四川高考理科数学试题1986年四川高考理科数学试题在考查学生基础知识的同时，注重考查学生的逻辑思维能力和运用能力。
试题涵盖了数学的各个分支，包括代数、几何、三角学和概率统计等。
以下是对1986年四川高考理科数学试题的详细介绍：一、试题结构与题型分布1986年四川高考理科数学试题共包括多个题目，题型包括选择题、填空题、解答题和应用题等。
试卷的总分为100分，每个部分的分数比例约为：选择题和填空题共30分，解答题和应用题共70分。
二、试题内容1. 选择题和填空题：这部分试题主要考查学生对数学基础知识的掌握，包括代数、几何、三角学和概率统计等领域的知识点。
题目形式简单，要求学生选择正确的答案或填入正确的数值。
2. 解答题：这部分试题要求学生运用所学的数学知识解决实际问题，包括计算题、证明题和应用题等。
题目内容涉及各种数学分支，要求学生运用逻辑思维能力和数学方法进行解答。
3. 应用题：这部分试题将数学知识与实际生活相结合，要求学生解决实际问题。
题目内容涉及物理、化学、生物等学科，要求学生运用数学知识进行分析和解题。
三、试题特点1. 综合性：1986年四川高考理科数学试题注重考查学生的综合素质，不仅考查了学生的学科知识，还考查了学生的逻辑思维能力和运用能力。
2. 实践性：试题中的应用题部分，要求学生运用所学的数学知识解决实际问题，培养了学生的实践能力。
3. 创新性：试题中的一些题目要求学生运用创新思维解决问题，培养了学生的创新精神。
4. 灵活性：试题题型多样，学生可以根据自己的特长选择不同的解题方法，充分展示自己的学习成果。
四、教学建议1. 注重基础知识的教学，加强对代数、几何、三角学和概率统计等基础知识的系统学习。
2. 培养学生的逻辑思维能力和运用能力，注重解决实际问题的训练。
3. 增加应用题的练习，将数学知识与实际生活相结合，提高学生的实践能力。
4. 鼓励学生进行创新思维的训练，培养学生的创新精神。
1986年全国高考数学试题及答案解析
1986年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.(1)在下列各数中,已表示成三角形式的复数是【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)B;(2)函数y=(0.2)-x+1的反函数是(A)y=log5x+1(B)y=log x5+1(C)y=log5(x-1)(D)y=log5x-1【】[Key] (2)C;(A)一条平行于x轴的直线(B)一条垂直于x轴的直线(C)一个圆(D)一条抛物线【】[Key] (3)B;【】[Key] (4)A;(5)给出20个数8791948893918987928690928890918689929588它们的和是(A)1789(B)1799(C)1879(D)1899【】[Key] (5)B;(6)设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么丁是甲的(A)充分条件(B)必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【】[Key] (6)D;(7)如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E(B)D=F(C)E=F(D)D=E=F【】[Key] (7)A;(8)在正方形SG1G2G3中E、F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S EFG 中必有(A)SG⊥△EFG所在平面(B)SD⊥△EFG所在平面(C)GF⊥△SEF所在平面(D)GD⊥△SEF所在平面【】[Key] (8)A;(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图象只可能是【】[Key] (9)D;(10)当x∈[-1,0]时,在下面关系式中正确的是【】[Key] (10)C.二、只要求直接写出结果.(3)在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0)、(1,0)、(2,1)及(0,3),求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积.[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.三、如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点.求证:平面PAC垂直于平面PBC.[Key] 三、本题考查空间直线和平面的位置关系及推证能力.证明:设圆O所在平面为α.由已知条件,PA⊥平面α,又BC在平面α内,因此PA⊥BC.因此∠BCA是直角,因此BC⊥AC.而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线,因此BC⊥△PAC所在平面.从而证得△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直.四、当sin2x>0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)的解集.[Key] 四、本题主要考查对数和不等式知识及运算推导能力.解:满足sin2x>0的x取值范围是而由log0.5(x2-2x-15)>log0.5(x+13)以及对数函数的定义域及性质得到x2-2x-15<x+13,②x2-2x-15>0,③x+13>0,④解不等式②得:-4<x<7,⑤解不等式③及④得-13<x<-3或x>5.⑥综合①、⑤及⑥,可知所求的解集为(-π,-3)∪(2π,7).五、如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值.[Key] 五、本题主要考查三角函数、函数最大(小)值知识及分析问题的能力.解:设点A的坐标为(0,a)、点B的坐标为(0,b),0<b<a,又设所求点C的坐标为(x,0),x>0.记∠BCA=α,∠OCB=β,则∠OCA=α+β.六、已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:[Key] 六、本题考查排列组合、集合等知识与分析问题的能力.解法一:因为A、B各含12个元素,A∩B含4个元素,因此,A∪B元素的个数是12+12-4=20.解法二:由题目条件可知,属于B而不属于A的元素个数是12-4=8.七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2;l1的斜率为k.试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数,并指出这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.[Key] 七、本题考查直线、抛物线和函数的基本知识及综合推导能力.解:由已知条件可知,直线l1的方程是y=k(x+1),①把①代入抛物线方程y2=4x,整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0,②因此,直线l1与该抛物线有两个交点的充要条件是:(2k2-4)2-4k2·k2>0,③及k≠0.④解出③与④得到k∈(-1,0)∪(0,1).今记l1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2,由韦达定理及②得定义域是(-1,0)∪(0,1).注:可先解出k的取值范围作为定义域,后给出函数f(k)的表达式,也可先给出函数表达式,后解出k的取值范围作为定义域.[Key] 八、本题主要考查数列的概念及运用数学归纳法解题的能力.证明:首先,由于x1>0,由数列{x n}的定义可知x n>0,(n=1,2…)那么当n=k+1时从而对一切自然数n都有x n+1>x n.(ii)若x1>1,同理可证,对一切自然数n都有x n+1<x n.九、(附加题不计入总分)(1)求y=xarctgx2的导数.[Key] 九、(附加题,不计入总分)本题主要考查导数的运算及几何意义.。