高中数学求函数值域的类题型和种方法
高中数学求函数值域的类
题型和种方法
Last updated on the afternoon of January 3, 2021
求函数值域的
7类题型和16种方法
一、函数值域基本知识
1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。
2.确定函数的值域的原则
①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;
②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;
③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地,常见函数的值域:
1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.
2.二次函数()2
0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ??
-+∞??
??
,当0a <时的值域为24,4ac b a ??
--∞ ???., 3.反比例函数()0k
y k x
=
≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型
题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值)
1、一次函数:()0y ax b a =+≠当其定义域为R ,其值域为R ;
2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。
题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值)
1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,当其定义域为R 时,其值域为
()()22
4 044 04ac b y a a
ac b y a a ?-≥>???-?≤?
2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b
x a
=-
与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -∈,则当0a >时,()2b
f a
-是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中
较大者;当0a <时,()2b
f a
-是函数的最大值,最大值为
(),()f m f n 中较小者。
(2)若[],2b
m n a
-
?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒:
①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域;
③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1:已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为()1,17。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=
k x k
y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d
y ax b
+=+的值域:
(1)若定义域为b x R x a ??∈≠-????时,其值域为c y R y a ?
?
∈≠
????
(2)若[],x m n ∈时,我们把原函数变形为d by
x ay c
-=-,然后利用[],x m n ∈(即x 的有界性),便可求出函数的值域。
例3:函数23321x x y -=-的值域为[)1,3,3?
?-∞+∞ ??
?;若[]1,2x ∈时,其值域为11,511??-
???
?。 例4:当(]3,1x ∈--时,函数1321x y x -=
+的值域34,2?
?--????
。(2)已知()312x f x x -+=-,
且[)3,2x ∈-,则()f x 的值域为6,5?
?-∞- ??
?。
例5:函数2sin 13sin 2x y x -=
+的值域为[)1,3,5??-∞?+∞ ???;若3,
22
x ππ
??
∈????
,其值域为12,23??
-????
。 题型四:二次分式函数22dx ex c
y ax bx c
++=++的值域
一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题:①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。 例6:2216x x y x x +-=+-;()21,,7?
?+∞?-∞ ??
?
例7:22
2
1x x y x +-=-;{}1y R y ∈≠ 例8:432+=x x y ;33,44??
-????
例9:求函数()21
1,21
x y x x x -=∈-+∞++的值域
解:由原函数变形、整理可得:()22110yx y x y +-++=
求原函数在区间()1,-+∞上的值域,即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围
当0y =时,解得:()11,x =∈-+∞也就是说,0y =是原函数值域中的一个值…① 当0y ≠时,上述方程要在区间()1,-+∞上有解,
即要满足()10f -<或0
211
2y y ≥??
-?->-??
解得:108y <≤……②
综合①②得:原函数的值域为:10,8?
?
????
题型五:形如y ax b =+±这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。
例10:求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域[]4,4- 题型六:分段函数的值域:
一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11:21++-=x x y [)3,+∞ 例12:241y x x =-++(],5-∞ 题型七:复合函数的值域
对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。
例13:)11y x =
-≤≤[]0,2
例14:y =50,2??
????
四、函数值域求解的十六种求法 (1)直接法(俗名分析观察法):
有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。
例1:已知函数()112
--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。{}1,0,3-
例2:求函数1y =的值域。[1,)+∞
例3:求函数()1y x =≥的值域。)
+∞
例4:求函数y =[)1,+∞ (2)配方法:
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不能改变定义域。对于形如()20y ax bx c a =++≠或
()()()()2
0F x a f x bf x c a =++≠????类的函数的值域问题,均可使用配方法。
例1.求函数322+--=x x y 的值域。
分析与解答:因为0322≥+--x x ,即13≤≤-x ,4)1(2++-=x y ,于是:
44)1(02≤++-≤x ,20≤≤y 。
例2.求函数x x x y 422++=在区间]4,4
1
[∈x 的值域。
分析与解答:由x x x y 422++=配方得:62242
+????
??-=++=x x x x y , 当
241≤≤x 时,函数24++=x x y 是单调减函数,所以4
1
186≤≤y ; 当42≤≤x 时,函数24
++=x
x y 是单调增函数,所以76≤≤y 。
所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是4
1
186≤≤y 。
(3)最值法:
对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。 例1求函数y =3-2x -x 2的值域。
解:由3-2x -x 2≥0,解出定义域为[-3,1]。函数y 在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x -x 2的最大值为4,最小值为0。 ∴函数的值域是[0,2]
例2:求函数2x y =,[]2,2x ∈-的值域。1,44??
????
例3:求函数2256y x x =-++的值域。73,8?
?-∞ ??
?
(4)反函数法(逆求或反求法):
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。即通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围。对于形如)0(≠++=
a b
ax d
cx y 的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例1:求函数1212x
x
y -=+的值域。
解:由1212x x y -=+解得121x
y y -=+,
∵20x >,∴
101y
y
->+,∴11y -<< ∴函数1212
x
x
y -=+的值域为(1,1)y ∈-。 (5)分离常数法:
分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数)0(≠++=
c d
cx b
ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量
的要求)内,值域为???
???
≠
c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc a
d d cx c ad
b c a y ≠+-
+
=,用复合函数法来求值域。 例1:求函数125
x
y x -=+的值域。
解:∵177(25)112222525225x x y x x x -++
-===-++++, ∵7
2025
x ≠+,∴1
2y ≠-,
∴函数125x y x -=+的值域为1
{|}2y y ≠-。
(6)换元法(代数/三角):
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。
对形如()
1
y f x =
的函数,令()f x t =;形如
,,,,0)y ax b a b c d ac =+≠均为常数t =构的函数,可利用三角代换,令[]cos ,0,x a θθπ=∈,或令sin ,,22x a ππθθ??
=∈-????
.
例1:求函数2y x =+
解:令t =0t ≥),则2
12t x -=,
∴2215
1()24
y t t t =-++=--+
∵当12t =,即38x =时,max 5
4
y =,无最小值。
∴函数2y x =+5
(,]4
-∞。
例2.求函数21)45)(125(22++-+-=x x x x y 的值域。
分析与解答:令4925452
2
-??? ?
?
-=+-=x x x t ,则49-≥t 。
()()542182182
2++=++=++=t t t t t y ,
当49-≥t 时,161854492
min =+??
?
??+-=y ,值域为??????≥1618|y y
例3.求函数23102--+=x x x y 的值域。
分析与解答:由23102--+=x x x y =()2
52--+x x ,令θcos 25=-x ,
因为()1cos 10cos 2205222
≤≤-?≥-?≥--θθx ,],0[πθ∈,则
()2
52--x =θsin 2,
于是54sin 25cos 2sin 2+??? ??
+=++=πθθθy ,]45,4[4πππθ∈+,
14sin 22≤??? ?
?
+≤-
πθ,所以725≤≤-y 。 (7)判别式法:
把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =;通过方程有实数根,判别式0?≥,从而
求得原函数的值域。对形如2111
2
222a x b x c y a x b x c ++=++(1a 、2a 不同时为零)的函数的值域,通常转化成关于x 的二次方程,由于方程有实根,即0≥?从而求得y 的范围,即值域。值得注意的是,要对方程的二次项系数进行讨论。
注意:主要适用于定义在R 上的分式函数,但定义在某区间上时,则需要另行讨论。
例1:求函数223
1
x x y x x -+=-+的值域。
解:由223
1
x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=,
当1y =时,此方程无解;
当1y ≠时,∵x R ∈,∴,2(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥ 解得1113y ≤≤
,又1y ≠,∴1113
y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11
{|1}3
y y <≤
(8)函数单调性法:
确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例如,
()()0,0b
f x ax a b x
=+
>>.当利用不等式法等号不能成立时,可考虑利用函数的单调性解题。
例1
:求函数y x =
解:∵当x 增大时,12x -随x
的增大而减少,x 的增大而增大,
∴函数y x =-1
(,]2
-∞上是增函数。
∴1122
y ≤
-=,
∴函数y x =-1
(,]2
-∞。
例2.求函数x
x y 1
+=在区间()+∞∈,0x 上的值域。
分析与解答:任取()+∞∈,0,21x x ,且21x x <,则
()()()()
2
12121211x x x x x x x f x f --=
-,因为210x x <<,所以:0,02121><-x x x x ,
当211x x <≤时,0121>-x x ,则()()21x f x f >;
当1021<< x y 1 + =在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。 构造相关函数,利用函数的单调性求值域。 例3:求函数()x x x f -++=11的值域。 分析与解答:因为11010 1≤≤-????≥-≥+x x x ,而x +1与x -1在定义域内的单调性不 一致。现构造相关函数()x x x g --+=11,易知)(x g 在定义域内单调增。 ()21max ==g g ,()21min -=-=g g ,()2≤?x g ,()202≤≤x g , 又()()422 =+x g x f ,所以:()422 ≤≤ x f ,()22≤≤x f 。 (9)基本不等式法 利用基本不等式求函数值域,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值。 利用基本不等式a b +≥,用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相 等”.如利用a b +≥求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件①0,0a b >>;② ()a b ab +或为定值;③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可。此外,有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数(0,)n k y x k n N x =+ >∈的值域。 例1求函数1 2++= x x y 的值域. 解:211 11 2≥++== +++x x x x y ,当且仅当1=x 时""=成立.故函数的值域为),2[+∞∈y . 此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2:求函数的值域:2211212x x y x x -+?? => ?-?? . 解:()2 1 21121111 2121212122 2 x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++---- 当且仅当1 1 2122 x x -=-时,即12x +=时等号成立, 122y ∴≥+ ,所以元函数的值域为12,2??++∞???? . 例3.求函数 的值域。 解:原函数变形为: 当且仅当 即当 时 ,等号成立 故原函数的值域为: 例4.求函数的值域。 解: 当且仅当,即当 时,等号成立。 由 可得: 故原函数的值域为: (10)函数有界性法: 利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如d x b c x a y ++= cos sin ,由于正余弦函数 都是有界函数,值域为[-1,1],利用这个性质可求得其值域。 例1:求函数221 1 x y x -=+的值域。 解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为R ,对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+, ∵1y ≠,∴21 1 y x y +=- -(x R ∈,1y ≠), ∴1 01 y y +- ≥-,∴11y -≤<,s ∴函数221 1 x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 形如2),(sin x y f =α0,1sin ),(2≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。 例2.求函数121 2--=x x y 的值域 解:由1 212--=x x y 得11 2--=y y x 例3:求函数2cos 13cos 2x y x += -的值域。[)1,3,5? ?-∞?+∞ ?? ? 例4:求函数2sin 2sin x y x -=+的值域。1,33?? ???? (11)数型结合法: 如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,可借助几何图形的直观性来求函数的值域,如由12 21 y y x x --可联想到两点()11,x y 与()22,x y 连线的斜率或距离。 2 2 O V U A B C D E 例1:求函数y =|x +1|+|x -2|的值域。 解法1:将函数化为分段函数形式: ?? ? ??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象,由图象可知,函 数的值域 是{y |y ≥3}。 解法2(几何法或图象法):∵函数y =|x +1|+|x -2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]。如图 例2.求函数224548y x x x x =++-+ 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。 解:原函数变形为222()(2)1(2)2f x x x =++-+作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ,再切割成12个单位正方形。设HK =x ,则 EK =2x -,KF =2x +,AK =22(2)2x -+, KC 2(2)1x ++ 由三角形三边关系知, AK +KC ≥AC =5。当A 、K 、C 三点共线时取等号。 ∴原函数的知域为{y |y ≥5}。 例3.求函数x x y -++=11的值域。 解析:令x u +=1,x v -=1,则0,0≥≥v u ,222=+v u ,y v u =+,原问题转化为:当直线y v u =+与圆222=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时, 求直线的截距的取值范围。 2-13 x O y 由图1知:当y v u =+经过点)2,0(时,2m in =y ; 当直线与圆相切时,() 2222 max ====OC OD y 。 所以,值域为22≤≤y 例4.求函数226+134+5y x x x x =-+ 解:将函数变形为2222(3)(02)(2)(01)y x x =-+-++-上式可看成定点A (3,2)到点P (x ,0)的距离与定点(2,1)B -到点(,0)P x 的距离之差。即y AP BP =- 由图可知:(1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P ',则构成 ABP '?,根据三角形两边之差小于第三边,有22(32)(21)26AP BP AB -<=++-=即2626y -<< (2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有AP BP AB -==综上所述,可知函数的值域为(26,26]- 注:求两距离之和时,通常需要将函数式变形,使A 、B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A ,B 两点在x 轴的同侧。 (12)复合函数法: 对函数(),()y f u u g x ==,先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域,从而求出 ()y f u =的值域的方法。 例1、求函数1 33+=x x y 的值域 (复合函数法)设t x =+13, 则()11 11 31113113>-=+-=+-+= t t y x x x 例2:求函数212 log (253)y x x =-++的值域。49,8?? +∞???? (13)非负数法 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数2 16x y -=的值域。(2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 解析:(1)161602≤-≤x ,41602≤-≤∴x 故所求函数的值域为[]40, ∈y 。 (2)012>+x ,∴原函数可化为3)1(22-=+x x y ,即3)1(2+=-y y x ,当1≠y 时, y y x -+= 132,02≥x ,013 ≥-+∴ y y ,解得13≤≤-y 又1≠y ,所以13<≤-y , 故所求函数的值域为),13[-∈y 。 (不等式性质法) 例2:求下列函数的值域: (1)y =262x +;(2)y =22241022x x x x ++++;(3)y =62sin 1 x - (4)y 2)y =13()4(1)2x x -+≤-;(3)y =2211 log ()()42 x x +> (14)导数法 若函数f 在),(b a 内可导,可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值,然后再计算f 在a ,b 点的极限值.从而求得f 的值域. 例1:求函数x x x f 3)(3-=在)1,5(-内的值域. 分析:显然f 在)3,5(-可导,且33)(2-='x x f .由0)(='x f 得f 的极值点为1,1-==x x . , 2)1(=-f 2)01(-=-f .140)05(=+-f . 所以,函数f 的值域为)140,2(-. (15)“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种,如:“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合 采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题. 1.适合函数特征 设()f x (x D ∈)是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征: (1)()f x 的值总是非负,即对于任意的x D ∈,()0f x ≥恒成立; (2)()f x 具有两个函数加和的形式,即12()()()f x f x f x =+(x D ∈); (3)()f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即 2212()[()()]()f x f x f x c g x =+=+(x D ∈,c 为常数), 其中,新函数()g x (x D ∈)的值域比较容易求得. 2.运算步骤 若函数()f x (x D ∈)具备了上述的三个特征,则可以将()f x 先平方、再开方,从而得到 ()f x =x D ∈,c 为常数).然后,利用()g x 的值域便可轻易地求出()f x 的值域.例 如()[,]g x u v ∈,则显然()f x ∈. 3.应用四例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1求函数()f x =[,]x a b ∈,a b <)的值域. 解:首先,当[,]x a b ∈时,()0f x ≥; 其次,()f x 是函数1()f x =与2()f x =的和; 最后,2()f x b a b a =-+=-+ 可见,函数()f x 满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对()f x 平方、开方得 ()f x =([,]x a b ∈).这里,()g x =([,]x a b ∈). 对()g x 根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得()g x 的值域为[0,]b a -.于是,()f x 的 值域为. 例2求函数()f x =([,]a b x k k ∈,a b <,0k >)的值域. 解:显然,该题就是例1的推广,且此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特 征.于是,对()f x 平方、开方得()f x [,]a b x k k ∈).这里, ()g x =([,]a b x k k ∈).对()g x 根号下面的二次函数采用“配方法”,即可 求得()g x 的值域仍为[0,]b a -.于是,()f x 的值域也仍为. 例3求函数()|sin ||cos |f x x x =+(x R ∈)的值域. 解:参照例1的验证步骤,显然,此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是,对()f x 平方、开方得()f x =(x R ∈).这里,()|sin 2|g x x =(x R ∈).易 知,()g x 的值域为[0,1].于是,()f x 的值域为. 例4求函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-(x R ∈)的值域. 解:参照例1的验证步骤,显然,此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征. 于是,对()f x 平方、开方得()f x =x R ∈).这里,()2|cos2|g x x =(x R ∈). 易知,()g x 的值域为[0,2].于是,()f x 的值域为. 例5求函数x x y -+-=53的值域 解:(平方法)函数定义域为:[]5,3∈x 平方法)函数定义域为:[]5,3∈x (16)一一映射法 原理:因为)0c (d cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中,若知道 一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例1.求函数1 x 2x 31y +-=的值域。 解:∵定义域为? ??? ??->-<21x 2 1x |x 或 由1 x 2x 31y +-=得3 y 2y 1x +-= 故213y 2y 1x ->+-= 或2 1 3y 2y 1x -<+-= 解得2 3y 2 3y ->-<或 故函数的值域为?? ? ??+∞-?? ? ? ?-∞-,2 323, (17)其他方法 其实,求解函数值域的方法,只不过是从解题过程中,对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上,其解法也远非上面总结的16种方法,还有倒数法等。此外我们还要明白:多种方法的配合使用,以及一题采用多种方法,在不断积累过程中,体会不同方法的长短,和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。 例1.求函数3 x 2x y ++=的值域。 解:令)0t (2x t ≥+=,则1t 3x 2+=+ (1)当0 t >时,21 t 1t 11t t y 2≤ +=+= ,当且仅当t =1,即1x -=时取等号,所以 2 1y 0≤ < (2)当t =0时,y =0。 综上所述,函数的值域为:?? ????21,0 注:先换元,后用不等式法 例2.求函数4 24 32x x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域。 解:423 4242x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=22 22x 1x x 1x 1++??? ? ??+-= 令2tan x β=,则β=??? ? ??+-22 22cos x 1x 1 ∴当4 1sin =β时,16 17y max = 当1sin -=β时,2y min -= 此时2 tan β都存在,故函数的值域为?? ?? ? ?-1617,2 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用βsin 的有界性。 例3.求函数)0(2≤=x y x 的值域 解:(图象法)如图,值域为(]1,0 例4.求函数x x y 2231+-? ? ? ??=的值域 解(复合函数法):令1)1(22 2 +--=+-=x x x t ,则)1(31≤?? ? ??=t y t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为?? ? ???+∞,31 例5.求函数21x x y -+=的值域 解(三角代换法):11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x 小结: (1)若题目中含有1≤a ,则可设 (2)若题目中含有122=+b a 则可设θ θsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤ (3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x θθ22sin ,cos r y r x ==。其中?? ? ??∈2,0πθ 例6、求函数1 1 22+-=x x y 的值域 解法一:(逆求法)110112<≤-∴≥-+= y y y x 解法二:(复合函数法)设t x =+12, 则)1(2 11 212≥-=+- =t t x y 解法三:(判别式法)原函数可化为010)1(2=++?+-y x x y 1) 1=y 时不成立 2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 综合1)、2)值域}11|{<≤-y y 解法四:(三角代换法)∴∈R x 设?? ? ??-∈=2,2tan ππθθx ,则 ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 小结: 已知分式函数)0(2222≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法 求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 )(二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的 最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x x a x y 的单调性去解。 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用sin β的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 求函数值域的十种方法 一.直接法(观察法):对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1.求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥,∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1.求下列函数的值域: ①32(11)y x x =+-≤≤; ②x x f -+=42)(; ③1 += x x y ; ○ 4()112 --=x y ,{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-;②[2,)+∞;③(,1) (1,)-∞+∞;○4{1,0,3}-。 二.配方法:适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题,均可使用配方法。 例2.求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤,∴321x -≤-≤-,∴21(2)9x ≤-≤,∴23(2)65x -≤--+≤,∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++([1,1]x ∈-)的值域为[3,5]-。 例3.求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设: )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出:]0,2y ?∈?。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为: 0)(≥x f 。 例4.若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。 第 二章 函数 一.函数 1、函数的概念: (1)定义:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中 的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作:y =)(x f ,x ∈A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素:定义域、值域、对应法则 (3)相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域: (1)定义域定义:函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 (2)确定函数定义域的原则:使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 (3)确定函数定义域的常见方法: ①若)(x f 是整式,则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1. 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2. 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数,则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零,如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (4)求抽象函数(复合函数)的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1)求)31(x f -的定义域 3、值域 : (1)值域的定义:与x 相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。 (2)确定值域的原则:先求定义域 (3)常见基本初等函数值域: 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数(正余弦、正切) 最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3,5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域; 2的表达式,f(a),记∈[0,1]f(a)为其最小值,求-练习已知函数y=-3x+2ax1,x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域;例 ,的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法:形如;常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值.在区间例4求函数[2,1x? 2)的取值范围是(在R上单调递增,且f(m )>f(-m),则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为,最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈,则函数3.若函数y=f(x)的值域是[-2,3],则函数y=∣f(x)∣的值域是() A.[-2,3] B.[2,3] C.[0,2] D.[0,3] 2ax?bx?c;判别式法:形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?,a 212ax?bx?c2221的值域;求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法:形如的函数也可用此法求值域;bax?13x??y 例5求函数的值域;2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数(方法一可用到图象法)例 2xxxy( ) ,3],的最大值、最小值分别为1.函数∈=4[0-当堂检测3 0 (D)4,0 (B)2,0 (C)3,(A)4,1( ) .函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??)〕上的最大值、最小值分别是( 3、函数在区间〔0,52?x33333,,0,0 B.,无最小值。 D. A. C. 最大值72727)(ff(x)的值域为[a,b],则(x+a)的值域为.定义域为4R的函数y = ] ba+[-a,a[0,b-a] C.[,b] D.[2A.a,a+b] B.) (-.函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤.y.{y|y≤} C.{|y≥0} D{yB|A.{yy≥} 22252]?[?4,,则m,值域为的定义域为[0,m]的取值范围是()6.若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27.函数=4--1 ∈-.______3)2,的值域为2.______8.函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8.函数11 .的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。;.函数的值域是12.函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。.若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1),求b22 15.求下列函数的值域:2x?x?y x?2?x?1y)(2)1 (21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根,求.已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211 求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ,当0a <时的值域为 24,4ac b a ?? --∞ ??? ., 3.反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ,其值域为R ; 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值) 课题7:函数的概念(一) 一、复习准备: 1.讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时y 是x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: (一)函数的定义: 设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数(function ),记作: (),y f x x A =∈其中,x 叫自变量,x 的取值范围A 叫作定义域(domain ),与x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域(range )。显然,值域是集合B 的子集。 (1)一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R,值域也是R; (2)二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R,值域是B;当a>0时,值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ;当a﹤0时,值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。(3)反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠,值域是{}0y y ≠。(二)区间及写法: 设a 、b 是两个实数,且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习:用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} (三)例题讲解: 例1.已知函数2()23f x x x =-+,求f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值。 变式:求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2.已知函数1()2f x x =+,(1)求()()2 (3),(),33f f f f --的值;(2) 当a>0时,求(),(1)f a f a -的值。(四)课堂练习: 1.用区间表示下列集合: {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2.已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值; 3.课本P 19练习2。 高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地,常见函数的值域: 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ,当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???., 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值) 1、一次函数:()0y ax b a =+≠当其定义域为R ,其值域为R ; 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值) 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,当其定义域为R 时,其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤? 2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b x a =- 与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -∈,则当0a >时,()2b f a -是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中 较大者;当0a <时,()2b f a -是函数的最大值,最大值为 (),()f m f n 中较小者。 (2)若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒: ①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1:已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为()1,17。 题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx d y ax b +=+的值域: 高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为[3,+∞]。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二、反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y >1}) 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4], ∴0≤√(-x2+x+2)≤3/2,函数的值域是[0,3/2]。 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√(15-4x)的值域。(答案:值域为{y∣y≤3}) 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可 高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高中数学:求函数值域的十三种方法 一、观察法(☆ ) 二、配方法(☆) 三、分离常数法(☆) 四、反函数法(☆) 五、判别式法(☆) 六、换元法(☆☆☆) 七、函数有界性 八、函数单调性法(☆) 九、图像法(数型结合法)(☆) 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法:从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥, ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是: ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1- =f f,()1 1- f所以: = 2 0= f,()()0 ∈ 3 x,而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意:求函数的值域时,不能忽视定义域,如果该题的定义域为R x∈,则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二.配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题,均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得:∵由二次函数的性质可知:当x=1 ∈[-1,2]时,,当时,故函数的值域是:[4,8] 【变式】已知,求函数的最值。 【解析】由已知,可得,即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数的最小值为,最大值为。 图2 函数定义域、值域求法总结 一。求函数得定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式得被开方数非负。 (3)对数中得真数部分大于0。 (4)指数、对数得底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。 ( 6 )中x 二、值域就是函数y=f(x)中y得取值范围。 常用得求值域得方法: (1)直接法(2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学得始终。 定义域得求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数得定义域: ①;②;③ 解:①∵x—2=0,即x=2时,分式无意义, 而时,分式有意义,∴这个函数得定义域就是、 ②∵3x+2〈0,即x<-时,根式无意义, 而,即时,根式才有意义, ∴这个函数得定义域就是{|}. ③∵当,即且时,根式与分式同时有意义, ∴这个函数得定义域就是{|且} 另解:要使函数有意义,必须: 例2 求下列函数得定义域: ①② ③④ ⑤ 解:①要使函数有意义,必须: 即: ∴函数得定义域为: [] ②要使函数有意义,必须: ∴定义域为:{ x|} ③要使函数有意义,必须: ? ∴函数得定义域为: ④要使函数有意义,必须: ∴定义域为: ⑤要使函数有意义,必须: 即 x< 或 x〉∴定义域为: 2定义域得逆向问题 例3若函数得定义域就是R,求实数a得取值范围(定义域得逆向问题) 解:∵定义域就是R,∴ ∴ 练习: 定义域就是一切实数,则m得取值范围; 3复合函数定义域得求法 例4 若函数得定义域为[-1,1],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: ∴函数得定义域为: 例5 已知f(x)得定义域为[—1,1],求f(2x—1)得定义域。 分析:法则f要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2x-1在[-1,1]内取值,即-1≤2x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域;或者从位置上思考f(2x-1)中2x-1与f(x)中得x位置相同,范围也应一样,∴—1≤2x-1≤1,解出x得取值范围就就是复合函数得定义域。 (注意:f(x)中得x与f(2x-1)中得x不就是同一个x,即它们意义不同。) 解:∵f(x)得定义域为[—1,1], ∴—1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1, ∴f(2x-1)得定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)得定义域为[-1,1],求f(x2)得定义域。 答案:—1≤x2≤1 x2≤1-1≤x≤1 练习:设得定义域就是[-3,],求函数得定义域 解:要使函数有意义,必须: 得: ∵≥0 ∴ ∴函数得定域义为: 例7 已知f(2x-1)得定义域为[0,1],求f(x)得定义域 因为2x-1就是R上得单调递增函数,因此由2x-1, x∈[0,1]求得得值域[-1,1]就是f(x)得定义域、 练习: 1已知f(3x-1)得定义域为[—1,2),求f(2x+1)得定义域。) (提示:定义域就是自变量x得取值范围) 2已知f(x2)得定义域为[-1,1],求f(x)得定义域 求函数值域的解题方法总结(16种) 在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法: 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出 ()x 3-2的值域。 解:由算术平方根的性质知()0x 3-2≥,故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)、被开方数的非负性,(2)、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧发。 练习:求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。(答案:{}5,4,3,2,1,0) 二、反函数法: 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例:求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数2 x 1x y ++=的反函数为:y y --=112x ,其定义域为1y ≠的实数,故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。(答案:{}1y 1-y |y 或)。 三、配方法: 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域。 例:求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。 解:由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++= 前言: 总有人求助如何学好数学,这个问题很宽泛,并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” :教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。 三要素之间的关系:典型习题归纳数学思想,数学思想指导数学方法,数学方法解决典型习题。 数学思想举例:数形结合的思想等。 数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体:教、学、练。 老师教什么:数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生,深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。 如何做练习: 01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用,多做类型才有用。典型习题,做一顶 百。 02,做题:一题多解。对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决,然后比较各个方法的优劣,归纳出某类型题对应的最佳方法。 03,总结:针对错题。大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结,避免两次踏入同一条水沟。 由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出?有思路才怪! 言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” (高中数学最重要就是函数,函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题) 方法一:配方法 用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简单),但常与其他方法综合使用。 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0, 故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*) 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。 五.最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。 当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。 君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也;仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也;得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域(最值)的常用方法 姓名: 一、基本函数的值域: 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R . 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????, 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?. 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R . 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R . 二、其它函数值域 一、观察法(根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数) 1、求242-+-=x y 的值域. 2 、求函数y = 的值域. 二、配方法(当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域) 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域. 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制. 2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求xy 的最大值。 三、反表示法(分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型) 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域. 2、求函数2241x y x +=-的值域. 四、判别式法(分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断) 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域. 2、求函数2122 x y x x += ++的值域. 3、 五、换元法(通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是无理函数、三角函数(用 三角代换)等) 1、求函数x x y 41332-+-=的值域. 六、数形结合法(对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图像,然后利用函数图像求其值域) 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法(能利用几个重要不等式及推论来求得最值.(如:ab b a ab b a 2,222≥+≥+), 利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取""=成立的条件.) 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域. 高中数学函数的12种求值域法 高中数学函数的12种求值域法 高中数学高考复习 下面数学不好的同学们,福利来啦,这里有12种关于高中数学求值域的好方法,举一反三,还有练习题哦,赶紧收藏起来备用吧! 一.观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。 ∴函数的值域为{y∣y≥3}. 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5}) 二.反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y ∣y<-1或y>1}) 三.配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 函数值域求法十一种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解:∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞ 2. 求函数x 3y - =的值域。 解:∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是:]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解:将函数配方得: 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知:当x=1时,4y m i n =,当1x -=时,8y m a x = 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法 4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解:原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- (1)当1y ≠时,R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得:2 3y 2 1≤≤ (2)当y=1时,0x =,而??????∈23,211 故函数的值域为?? ? ???23,21 5. 求函数)x 2(x x y -+ =的值域。 解:两边平方整理得:0y x )1y (2x 222 =++-(1) ∵R x ∈ 求函数的值域 作为函数三要素之一,函数的值域也是高考中的一个重要考点,并且值域问题通常会渗透在各类题目之中,成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法,当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点,寻找对应的方法从容解决。 一、基础知识: 1、求值域的步骤: (1)确定函数的定义域 (2)分析解析式的特点,并寻找相对应的方法(此为关键步骤) (3)计算出函数的值域 2、求值域的常用工具:尽管在有些时候,求值域就像神仙施法念口诀一样,一种解析式特点对应一个求值域的方法,只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作,但也要掌握一些常用的思路与工具。 (1)函数的单调性:决定函数图像的形状,同时对函数的值域起到决定性作用。若()f x 为单调函数,则在边界处取得最值(临界值)。 (2)函数的图像(数形结合):如果能作出函数的图像,那么值域便一目了然 (3)换元法:()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体,通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。 (4)最值法:如果函数()f x 在[],a b 连续,且可求出()f x 的最大最小值,M m ,则()f x 的值域为[],m M 注:一定在()f x 连续的前提下,才可用最值来解得值域 3、常见函数的值域:在处理常见函数的值域时,通常可以通过数形结合,利用函数图像将值域解出,熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。 (1)一次函数(y kx b =+):一次函数为单调函数,图像为一条直线,所以可利用边界点来确定值域 (2)二次函数(2 y ax bx c =++):二次函数的图像为抛物线,通常可进行配方确定函数的对称轴,然后利用图像进行求解。(关键点:①抛物线开口方向,②顶点是否在区间内)高中数学-函数定义域、值域求法总结
高中数学求值域的10种方法
高中数学函数知识点详细
高中数学必修一函数的值域求法
高中数学求函数值域的7类题型和16种方法
高中数学函数的定义定义域值域解析式求法
高中数学求函数值域的类题型和种方法
高中函数值域的12种解法(含练习题)
高中数学求函数值域的方法十三种审批稿
高中数学函数定义域值域求法总结
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
(完整word版)【高中数学讲义】函数求值域的十种方法.docx
高中函数值域的经典例题 12种求法
LS 高一数学函数值域求法及例题
高中数学函数的12种求值域法
智爱高中数学--函数值域求法十一种(详解)
全国高考数学复习微专题:函数值域的求法