常见的数学思想方法

x
y 2=
常见的数学思想方法
一、中考考点：
1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。

在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。

2. 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。

通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。

3. 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。

二、基础练习： （一）整体思想 1.如果代数式
1322+-x x 的值为2，
那么代数式x x 322
-的值等于( )A ．2
1 B ．3 C ．6 D ．9 2.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ） A ．图（1）需要的材料多 B ．图（2）需要的材料多 C ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D ．无法确定 （二）方程思想
的图象在第一象限内的交点，
3.如图，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数
点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2 B ．2
2
C ．2
D ．22 （三）数形结合思想
4.如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA （A 与O 点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________．
5.函数)0(≠=
k x
k
y 的图象如图所示，那么函数k kx y -=的图象大致是（ ）
（四）化归思想
6.如图，当半径为30cm 的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A 移动的距离为________cm ．（计算结果不取近似值）
7.将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是__________cm ．
8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n 个多边形中，所有扇形的面积之和是__________．
（五）数学建模思想
9.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）
（六）函数思想
10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表： 煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生
产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．（1）写出m 与x 之间的关第式；
（2）写出y 与x 的函数表达式（不要求写自变量的范围）；
（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大最大利润是多少
（七）统计思想
11．某地区有一条长100千米,宽千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树． 12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球
P A D
Q
C
E B
除了颜色外没有其他区别，两袋中的球都已经搅匀．如果只给一次机会，蒙上眼睛从一个口袋中摸出一只球，摸到黑球即获奖，那么选哪个口袋摸球获奖的机会大请说明理由．
三、典型例题：
例1、如图，△ABC 中，∠C=90°，BE 是角平分线，DE
⊥BE
交AB 于D ，半圆O 是△BDE 的外接半圆。

⑴求证：AC 是半⊙O 的切线； ⑵若AD=6，AE=62，求DE 的长。

例3、 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝14cm ，AD ＝18cm ，
BC ＝21cm ，点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm ／秒的速度移动，点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm ／秒的速度移动。

如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发。

设移动的时间为t 。

求：（1）t 为何值时，梯形PQCD 是等腰梯形；
（2）t 为何值时，AB 的中点E 到线段PQ 的距离为7 cm 。

例4、如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P 从B 点出发沿BO 向终点O 运动，动点O 从A 点出发沿AB 向终点B 运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运
动了x s ．
(1)Q 点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x 的代数式表示） (2)当x 为何值时，△APQ 是一个以AP 为腰的等腰三角形
(3)记PQ 的中点为G ．请你探求点G 随点P ，Q 运动所形成的图形，并说明理由.
四、课后作业：
1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∠B=60○
，AD=8，BC=14，求梯形ABCD 的周长．
2. 已知二次函数2
12
y x bx c =++的图象经过点A （－3，6）并且与x 轴相交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D 为线段OC 上一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标
3．已知二次函数y=
2
1x 2
+bx+c 图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0） 和点C ，顶点为P 。

⑴求这个二次函数的解析式；⑵设D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC=∠BAC ，求点D 的坐标。

A
B
C
D
E
例2、
A
G(O)
E C B F
① A
G(O)
E
C
B F ②
K H
5．已知ABC △，904BAC AB AC BD ===o
∠，，是AC 边上的中线，分别以AC AB ，所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系（如图）．
（1）在BD 所在直线上找出一点P ，使四边形ABCP 为平行四边形，画出这个平行四边形，并简要叙述其过程；
（2）求直线BD 的函数关系式；
（3）直线BD 上是否存在点M ，使AMC △为等腰三角形若存在，求点
说明理由．
6．把两个全等的等腰直角三角形ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°＝，四边形CHGK 是旋转过程中两三
角板的重叠部分（如图②）。

(1)在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系四边形CHGK 的面积有何变化证明你发现的结论；(2)连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=x ，△GKH 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ABC 面积的5
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若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由.。