一元二次方程经典练习题及答案知识讲解
一元二次方程100道计算题练习(附答案解析)
一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2xx2、x x 4)1(23、22)21()3(x x 4、31022x x5、（x+5）2=166、2（2x －1）－x （1－2x ）=07、x 2 =64 8、5x 2 -52=0 9、8（3 -x ）2–72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y ）2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=014、x 2－4x+ 3=015、x 2－2x －1 =016、2x2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =018、5x 2－3x+2 =019、7x2－4x －3 =0 20、-x 2-x+12 =021、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x 23、x 2-2x-4=0 24、x 2-3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法）26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x －3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x ＋2) 2＝8x34、(x －2) 2＝(2x ＋3)235、2720xx 36、24410tt 37、24330x x x 38、2631350xx 39、2231210x 40、2223650xx 补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x －2) 2＝(2x-3)242x x3(1)33x x xx 2-23x+3=0 0165852x x 二、利用开平方法解下列方程51)12(212y 4（x-3）2=2524)23(2x三、利用配方法解下列方程25220xx 012632x x1072x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝02x （x －3）=x －3．3x 2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程(x ＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝022(21)9(3)x x 2230xx 21302xx4)2)(1(13)1(xx x x3(x211x x（x＋1）－5x＝0. 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).)()2应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，若商场平均每天盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.3、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E在AB上，F在BC上，G在AD上，若矩形铁板的面积为 5 m2，则矩形的一边EF长为多少？4、如右图，某小在长32米，区规划宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为566米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998年初投资100万元生产某种新产品，1998年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999年初的投资，到1999年底，两年共获利润56万元，已知1999年的年获利率比1998年的年获利率多10个百分点，求1998年和1999年的年获利率各是多少？思考：1、关于x 的一元二次方程04222ax xa的一个根为0，则a 的值为。
一元二次方程经典习题及深度解析
一元二次方程经典习题及深度解析姓名___________班级__________学号__________分数___________1．（16615）下列方程中是一元二次方程的序号是 ．①24x =；②225x y +=；③01332=-+x x ；④250x =；⑤2352x x +=；⑥214x x+=；⑦323410x x -+=；⑧2(5)2x x x x +=-；2．（3556）已知关于x 的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a ____________．3．（16566）当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．4．（7701）解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ．5．（16569－2004²沈阳）方程0322=--x x 的根是 ．6．（16617）不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ．7．（16571－2004²锦州）若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．8．（16572）已知：当m 时，方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．9．（16620）关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是____________．10．（16621－2004²北京市海淀区）若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立，则a 的值为( )A ．5；8．4；C ．3；D ．2；11．（16622）把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后，a 、b 、c 的值分别为( )A ．0，－3，－3；B ．1，－3，－3；C ．1，3，－3；D ．1，－3，－3；12．（16576）方程02=+x x 的解是( )A ．x ＝±1；B ．x ＝0；C ．x 1＝0，x 2＝－1；D ．x ＝1；13．（16577－2006²广安市）关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ＞－1；B ．k ＞1；C ．k ≠0；D ．k ＞－1且k ≠0；14．（16625－2006²广州市）一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为( )A ．121,3x x ==；B ．121,3x x ==-；C ．121,3x x =-=；D ．121,3x x =-=-；15．（16626）解方程①270x -=；②29710x x --=；③2(23)3(32)0x x -+-=；④2121225x x +=； 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法C ．①用直接开平方法，②④用公式法，③用因式分解法D ．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法16．（16627－2004²云南省）用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为( )A ．2(4)9x -=；B ．2(4)9x +=；C ．2(8)16x -=；D ．2(8)57x +=；17．（16581）一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >；B ．2k <且1=/k ；C ．2k <；D ．2k >且1=/k ；18．（16582）下列方程中有两个相等的实数根的方程是( )A ．241290x x ++=；B ．2230x x +-=；C ．220x x ++=；D ．2270x x +-=；19．（16630－2004²大连市）一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根20．（16631）下列命题正确的是( ) A ．22x x =只有一个实根；B ．2111x x -=+有两个不等的实根； C ．方程032=-x 有两个相等的实根；D ．方程04322=+-x x 无实根；21．（16585－2006²浙江）解方程.222=+x x22．（16633）用因式分解法解方程：⑴2312150x x +-=；⑵221150x x -+=；⑶8(21)15x x +=；23．（16587）解关于x 的方程：(1)()()0(0)mx x c c x m -+-==/；(2)2()0(0)mx m n x n m ---==/．24．（16588）不解方程，判别下列方程根的情况．5)3(2)1(=+x x ；;0352)2(2=--x x ;04129)3(2=++x x .0)2()12)(4(2=++-y y y25．（16589）已知关于z 的方程,03)12(22=-+++k x k x 当k 为何值时，(1)方程有两个不相等的实数根?(2)方程有两个相等的实数根?(3)方程无实根?26．（16637）已知：023242=+--a ax x 无实根，且a 是实数，化简.3612912422+-++-a a a a27．（16591）k 取何值时，方程0)4()1(2=++++k x k x 有两个相等的实数根?并求出这时方程的根．28．（16592）求证：关于x 的方程013)32(2=-+++m x m x 有两个不相等的实数根．29．（16593）求证：无论k 为何值，方程03)1(4)12(22=+-+--k k x k x 都没有实数根．30．（16594）当c b a 是实数时，求证：方程0)()(22=-++-c ab x b a x 必有两个实数根，并求两根相等的条件．31．（16595）如果关于z 的一元二次方程06)4(22=+--x mx x 没有实数根，求m 的最小整数值．32．（16596）方程01)1()3(24=-+-+-x m x m n 是关于x 的一元二次方程，则m ≠______，n ＝_____．33．（16597）关于z 的方程;1)32()2(2++=+-x x x m mx(1)当m 时，这个方程是一元二次方程；(2)当m 时，这个方程是一元一次方程．34．（16645）已知方程1)12(2-=--k x k x 的根是,2=x 则=k ____________．35．（16646－2004²郴州市）方程0562=-+x x 的左边配成完全平方后所得方程为( )A ．2(3)14x +=；B ．2(3)14x -=；C ．21(6)2x +=；D ．以上答案都不对； 36．（16647）已知：关于2的方程019)13(22=-+--m x m mx 有两个实数根，则m 的范围为( )A ．15m ≤；B ．15m ≤；C ．0m =/；D ．15m <； 37．（16601）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三条边，且方程0)(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等实数根，那么，这个三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形38．（16602－2004²海南省）已知关于2的方程0)12(22=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是( )A ．－2；B ．－1；C ．0；D ．1；39．（16603）用因式分解法解下列方程：(1)24(3)(3)0x x x ---= (2)7(3)39x x x -=-(3)216(1)25x += (4)2225(32)(23)x x -=-40．（16651）解方程.04||52=+-x x41．（16652）(1)已知方程,091022=+-yxy x 求证：y x 9=或;y x = (2)已知方程,065422=-+z xz x 求证：z x 2-=或.43z x =42．（16606）m 为何值时，方程0)12(4)1(22=-+++m mx x m 有两个不相等的实数根?43．（16654）已知方程022)1(2=-++-m mx x m 有实根，求m 的取值范围．44．（16655）若关于x 的方程041)1(22=+--a x a x 有两个不相等的实数根，试化简代数式45．（16609）当m 是什么整数时，0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数?46．（16610）求方程014934881141422=++-+-y x y xy x 的实数解．47．（16685－唐山路北2011－2012九上期中）一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为____________．(结果保留π)48．（16612）若方程2222222()2()0a c x b c x c b ++-+-=有两个相等的实数根，且a 、b 、c 是△ABC 的三条边，求证：△ABC 是等腰三角形．49．（16613）设m 、k 为有理数，当k 为何值时，关于z 的方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根为有理数?50．（16614）已知关于x 的一元二次方程.012=-+kx x(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根分别为z ，x ，且满足,2121x x x x ⋅=+求k 的值．。
一元二次方程经典例题及详细解答
一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。
本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。
一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。
一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。
一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。
1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。
这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。
2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。
一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。
1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。
解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。
所以方程的根为x1=3，x2=2。
2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。
解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。
所以方程的根为x1=3/2，x2=2。
九年级数学上册《解一元二次方程(因式分解法)》练习题
九年级数学上册《解一元二次方程（因式分解法）》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．方程x 2﹣x ＝0的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝﹣1D ．x 1＝0，x 2＝12．关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( )A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝33．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ）A ．12B ．7C ．6D ．54．若m ，n 是方程x 2－x －2 022＝0的两个根，则代数式（m 2－2m －2 022）（－n 2＋2n ＋2 022）的值为（）A ．2 023B ．2 022C ．2 021D ．2 0205．下列关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的命题中，真命题有（ ）∠若0a b c -+=，则240b ac -≥；∠若方程()200++=≠ax bx c a 两根为1和－2，则0a b -=；∠若方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，则1b ac =+A ．∠∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠6．若函数y ＝m 22m m x +++4是二次函数，则m 的值为（ ）A ．0或﹣1B ．0或1C ．﹣1D ．17．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．15D ．12或158．下列式子运算正确的是（ ）A ．（2a+b ）（2a ﹣b ）=2a 2﹣b 2B ．（a+2）（b ﹣1）=ab ﹣2C ．（a+1）2=a 2+1D ．（x ﹣1）（x ﹣2）=x 2﹣3x+29．已知方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，则另一个方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0的解是（ ）A ．x 1=﹣1，x 2=3B ．x 1=1，x 2=﹣3C ．x 1=2，x 2=6D ．x 1=﹣2，x 2=﹣6 10．下列解方程变形：∠由3x ＋4＝4x －5，得3x ＋4x ＝4－5；∠由1132x x +-=，去分母得2x －3x ＋3＝6； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x －2－3x ＋9＝1；∠由344x =，得x ＝3．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题11．一元二次方程()()120x x --=可化为两个一次方程为______________，方程的根是_________．12．方程2x 2+1=3x 的解为________．13．已知()()212x kx x a x b ++=++，()()215x kx x c x d ++=++，其中a b c d ,,,均为整数，则k =____________ 14．已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．15．若a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，则242a a b ++的值是_________．三、解答题16．已知关于x 的方程()()2222130k k x k x +-++-=（k 为常数）．(1)该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由；如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k 的值；(2)求1k =时方程的解；(3)求出一个()1k k ≠的值，使这个k 的值代人原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的一个解相同．（本小题只需求一个k 的值即可）17．为解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0，我们可以将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解此方程得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2﹣1＝1，所以x =当y ＝4时，x 2﹣1＝4，所以x =所以原方程的根为1x =，2x =3x =4x =．以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4；（2）x 4+x 2﹣12＝0．参考答案与解析：1．D【分析】因式分解后求解即可.【详解】x 2﹣x ＝0，x （x -1）=0，x =0，或x -1=0，解得x 1＝0，x 2＝1，故选：D【点睛】此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：∠移项，使方程的右边化为零；∠将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；∠令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；∠解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．2．D【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∠x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∠（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝5或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．B【分析】根据已知条件可以推出△CEF∠∠OME∠∠PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．【详解】解：∠在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∠OM∠AB∠PN∠EF，EO∠FP，∠C=∠EOM=∠NPF=90°，∠∠CEF∠∠OME∠∠PFN，∠OE：PN=OM：PF，∠EF=x，MO=3，PN=4，∠OE=x-3，PF=x-4，∠（x-3）：4=3：（x-4），∠（x-3）（x-4）=12，即x2-4x-3x+12=12，∠x=0（不符合题意，舍去）或x=7．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x 的表达式表示出对应边．4．B【详解】解：∠m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，∠m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，∠m2-m=2022，n2-n=2022，∠（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)=-mn=2022，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m 2-m -2022=0，n 2-n -2022=0，mn =-2022是解此题的关键．5．A【分析】把b =a +c 代入判别式中得到24b ac -=（a -c ）2≥0，则可对∠进行判断；利用根与系数的关系得到2c a=-，根据根的定义可得0a b c ++=，于是可对∠进行判断；由方程的根的定义可得20ac bc c -+=，即可对∠进行判断．【详解】解：a -b +c =0，则b =a +c ，24b ac -=（a +c ）2-4ac =（a -c ）2≥0，所以∠正确；∠方程ax 2+bx +c =0两根为1和-2， ∠2c a=-，则2c a =-，0a b c ++= 20a b a ∴+-=∠0a b -=，所以∠正确；∠方程()200++=≠ax bx c a 有一个根是()0c c -≠，∠20ac bc c -+=0c ≠∠10ac b -+=∠1b ac =+所以∠正确．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．6．C【分析】利用二次函数定义可得m 2+m +2＝2，且m ≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m 2+m +2＝2，且m ≠0，解得：m ＝﹣1，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．7．C【分析】利用因式分解法求出x 的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解【详解】解：∠ x 2﹣9x +18＝0，∠（x﹣3）（x﹣6）＝0，则x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．故选：C．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论．8．D【分析】A、原式利用平方差公式计算即可得到结果；B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、原式=4a2-b2，错误；B、原式=ab-a+2b-2，错误；C、原式=a2+2a+1，错误；D、原式=x2-3x+2，正确．故选D．【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．9．D【分析】根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．【详解】解：∠方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∠方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．10．B【分析】根据解一元一次方程的步骤进行逐一求解判断即可．【详解】解：∠由3x +4=4x -5，得3x -4x =-5-4；方程变形错误，不符合题意；∠由1132x x +-=，去分母得2x -3x -3=6；方程变形错误，不符合题意； ∠由()()221331x x ---=，去括号得4x -2-3x +9=1；正确，符合题意；∠由344x =，得x =163．方程变形错误，不符合题意； 综上，正确的是∠，只1个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 11． x ﹣1＝0，x ﹣2＝0 11x =，22x =【分析】两个因式的积为0，这两个因式都可以为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．【详解】解：（x ﹣1）（x ﹣2）＝0∠x ﹣1＝0或x ﹣2＝0∠11x =，22x =．故答案分别是：x ﹣1＝0，x ﹣2＝0；11x =，22x =． 【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，因式分解得到两个因式的积为0，这两个因式分别为0，得到两个一次方程，然后求出方程的根．12．1211,2x x == 【分析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．【详解】解：移项得：22310x x -+=，∠()()2110x x --=，∠210x -=或10x -=， 解得：1211,2x x ==， 故答案为：1211,2x x ==． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．13．8±．【分析】根据等式两边对应相等的关系，可得到ab 和cd 的值，以及a+b 和c+d 的关系，再根据a 、b 、c 、d 是整数，即可得到结果．【详解】解：由题可得()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，()()()2x c x d x c d x cd ++=+++12ab ∴=，15cd =，a b c d k +=+=又a b c d ，，，均为整数，∠2a =，6b =，3c =，5d =或2a =-，6b =-，3c =-，5d =-即8k =±．故答案为：±8．【点睛】本题考查多项式乘多项式，属基础知识．14．7【分析】换元法，令22x y t +=，将原方程化为t （t －1）＝42（t 0≥）， 求解一次方程即可．【详解】令22x y t +=（t 0≥），∠原方程化为t （t －1）＝42，解得t ＝7，或t ＝－6（舍），∠227x y +=，故答案为：7．【点睛】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．15．2018【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到222022a a +=，再根据根与系数的关系得到2a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2220220a a +-=∠222022a a +=∠a ，b 是一元二次方程2220220x x +-=的两个实数根，∠2a b +=-，∠242a a b ++2222a a a b =+++()222a a a b=+++()202222=+⨯-2018=故答案为：2018．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键．16．(1)不一定是，1k=-(2)x1=1，x2=-3；(3)4-或8 3 -【分析】（1）不一定，当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得k的值即可；（2）把k=1代入方程计算即可；（3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可．（1）解：不一定是．当2220k k+-=时该方程为一元一次方程，解得：1k=-±答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为1-（2）解：当k=1代入得：2230x x+-=解得：x1=1，x2=-3；（3）解：x=1代入得k=-4，或x=-3代入得k＝83 -，答：k的值为4-或83 -．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键．17．（1）x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）12x x ==【分析】（1）设x 2﹣x ＝a ，原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，求出a 的值，再代入x 2﹣x ＝a 求出x 即可；（2）设x 2＝y ，原方程化为y 2+y ﹣12＝0，求出y ，再把y 的值代入x 2＝y 求出x 即可．【详解】解：（1）（x 2﹣x ）（x 2﹣x ﹣4）＝﹣4，设x 2﹣x ＝a ，则原方程可化为a 2﹣4a +4＝0，解此方程得：a 1＝a 2＝2，当a ＝2时，x 2﹣x ＝2，即x 2﹣x ﹣2＝0，因式分解得：（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x 1＝2，x 2＝﹣1，所以原方程的解是x 1＝2，x 2＝﹣1；（2）x 4+x 2﹣12＝0，设x 2＝y ，则原方程化为y 2+y ﹣12＝0，因式分解，得（y ﹣3）（y +4）＝0，解得：y 1＝3，y 2＝﹣4，当y ＝3时，x 2＝3，解得：x =当y ＝﹣4时，x 2＝﹣4，无实数根，所以原方程的解是1x 2x =【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程和用因式分解法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．。
初中数学解一元二次方程经典练习题(含答案)
初中数学解一元二次方程经典练习题（含答案）解下列解一元二次方程：1、x2=121；2、（2x+3）2=9；3、3（4x+5）2-147=0；4、（2x−7）2+9 =6（2x-7）；5、7x（x-6）=3（12-2x）；6、（3x-5）（2x+5）= x+7；7、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；8、x（2x+5）=4（2x-1）+3；9、（x−3）2+4=5（3-x）；10、4x2+7x +1=0；11、512x2+ 13= x；12、（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3；13、14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x2；14、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；15、x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2；16、x2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0；参考答案1、x2=121；解：x2=121等式两边同时开平方x= 11故原方程的根是：x1=11，x2= -112、（2x +3）2=9；解：（2x +3）2=9等式两边同时开平方（2x +3）=±3令2x +3 = 3，即2x=0，解得x=0令2x +3 =-3，即2x=-6，解得x=-3故原方程的根是：x 1=0，x 2=-33、3（4x +5）2-147=0；解：3（4x +5）2-147=03（4x +5）2=147等式两边同时除以3（4x +5）2= 49等式两边同时开平方4x+5=±7令4x+5=7， 解得x= 12 令4x+5= -7，解得x=-3故原方程的根是：x 1= 12，x 2=-34、（2x −7）2+9 =6（2x-7）；解：（2x −7）2 +9 =6（2x-7）右边的项移到等号左边（2x−7）2-6（2x-7）+9 =0（2x−7）2 -2・3・（2x-7）+32=0[（2x−7）−3 ]2=0令（2x−7）−3 =0，解得 x=5故原方程的根是：x1=x2=55、7x（x-6）=3（12-2x）；解：7x（x-6）=3（12-2x）等号左边提取-27x（x-6）=-6（x-6）右边的项移到等号左边7x（x-6）+6（x-6）=0提取公因式（x-6）（x-6）（7x+6）=0令x-6=0，解得x=6令7x+6=0，解得x= - 67故原方程的根是：x1=6，x2=- 676、（3x-5）（2x+5）= x+7；解（3x-5）（2x+5）= x+7等号左边去括号6x2+15x-10x-25 =x+76x2+5x-25=x+76x2+4x-32=03x2+2x-16=0（3x+8）（x-2）=0令3x+8=0，解得x= - 83令x-2 =0，解得x=2故原方程的根是：x1=- 8，x2=237、3（3x-4）+ x（4-3x）=0；解：3（3x-4）+ x（4-3x）=0 3（3x-4）- x（3x-4）=0 提取公因式（3x-4）（3x-4）（3- x）=0令3x-4=0，解得x= 43令3- x =0，解得x=3，x2=3 故原方程的根是：x1= 438、x（2x+5）=4（2x-1）+3；解：x（2x+5）=4（2x-1）+3 2x2 +5x =8x-4+32x2 +5x =8x-12x2 -3x +1=0（2x-1）（x-1）=0令2x-1=0，解得x= 12 令x-1=0，解得x=1故原方程的根是：x 1= 12 ，x 2=19、（x −3）2 +4=5（3-x ）；解：（x −3）2 +4= 5（3-x ）等号左边提取-1（x −3）2 +4= -5（x-3）右边的项移到等号左边（x −3）2 +5（x-3）+4=0[（x -3）+1][（x-3）+4]=0（x-2）（x+1）=0令x-2=0，解得x=2令x+1=0，解得x=-1故原方程的根是：x 1=2，x 2=-110、4x 2+7x +1=0；解：4x 2+7x +1=0判别式△=72 -4×4×1 =33x= −7 ±√332×4 = −7 ±√338故原方程的根是：x 1=−7 +√338，x 2=−7 −√33811、512x 2 + 13 = x ； 解：512x 2 + 13 = x等式两边同时乘以125x 2 +4 =12x5x 2 +4 -12x =0（5x-2）（x-2）=0令5x-2=0，解得x= 25 令x-2=0，解得x=2故原方程的根是：x 1= 25，x 2=212、（x−1）（x−2）2-1 = （x+1）（x−3）3 ； 解：（x−1）（x−2）2 -1 = （x+1）（x−3）3 等式两边分子去括号x 2−3x+22 -1 = x 2−2x−33等式两边同时乘以63（x 2−3x +2）-6 =2（x 2−2x −3） 3x 2 -9x+6 -6= 2x 2 -4x −6x 2 -5x +6=0（x-2）（x-3）=0令x-2=0，解得x=2令x-3=0，解得x=3故原方程的根是：x 1=2，x 2=313、 14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2；解：14[12（x+1）+13（x+2）+2] =x 2等号两边同时乘以412（x+1）+13（x+2）+2 =4x 2等号两边同时乘以63（x+1）+2（x+2）+12 =24x 23x+3+2x+4+12=24x 224x 2-5x-19=0（24x+19）（x-1）=0令24x+19=0，解得x= −1924令x-1=0，解得x= 1故原方程的根是：x 1=−1924，x 2= 114、（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32；解：（x+1）（x+2）+（x+3）（x+4）=（x+2）（x+3）+32 等号两边去括号x 2+3x+2+x 2+7x+12 =x 2+5x+6+32整理得x 2+5x-24=0（x+8）（x-3）=0令x+8=0，解得x= -8令x-3=0，解得x= 3故原方程的根是：x 1=-8，x 2= 315、x=2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2 ； 解：x= 2（0.3x+21）3 - （0.2x−1）（x+2）2等号两边同时乘以66x=4（0.3x+21）-3（0.2x-1）（x+2） 去括号6x=1.2x+84-0.6x 2+1.8x+6整理得0.6x 2+3x-90=0等号两边同时乘以10，然后再除以6 x 2+5x-150=0（x+15）（x-10）=0令x+15=0，解得x= -15令x-10=0，解得x= 10故原方程的根是：x 1= -15，x 2= 1016、x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0； 解：x 2+（1+ 2√5）x +（ 4+√5）=0 判别式△=（1+ 2√5）2-4・1・（ 4+√5）=1+4√5+20-16-4√5=5x= −（1+ 2√5）±√52∙1即x= −（1+ 2√5）+√52=−（1+ √5）2或 x= −（1+ 2√5）−√52=−（1+3 √5）2故原方程的根是：x1=−（1+ √5）2，x2= −（1+3 √5）2。
部编数学九年级上册专题一元二次方程的解法(考点题型)【一题三变系列】考点题型精讲(解析版)含答案
专题02 一元二次方程的解法【思维导图】◎题型1：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【解析】【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程210x -=的解是（ ）A ．121x x ==B ．120,1x x ==C ．121,1x x ==-D ．120,1x x ==-【答案】C【解析】【分析】先移项，再两边开平方可得解．【详解】解：由原方程可得：x 2=1，两边开平方可得：121,1x x ==-，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【解析】【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数【答案】A【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（）A．(x＋2)2＝5B．(x－2) 2＝5C．(x－2) 2＝3D．(x＋2) 2＝3【答案】D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】解：∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =-1，∴x 2+4x +4=-1+4，即（x +2）2=3，故选：D ．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程2610x x -+=，原方程可变形为（ ）A ．()2335x -=B ．()238x -=C ．()238x +=D ．()2335x +=【答案】B【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．【详解】解∶ 2610x x -+=，变形得-=-261x x ，配方得26919x x -+=-+，即2(3)8x -=．故选∶B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程241x x =+，配方后得到的方程是（ ）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)1x -=【答案】B【解析】【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．【详解】解：把方程x 2＝4x ＋1移项，得：x 2−4x ＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4，配方得（x−2）2＝5，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x 2﹣4x ＝﹣3，配方得，x 2﹣4x +22＝1，故C 错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．◎题型3：配方法的应用例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【解析】【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程264x x -+=W ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-【答案】C【解析】【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．【详解】设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7，x 2-2px +p 2=7，∴x 2-2px =7-p 2，∴x 2-2px +4=11-p 2，∵方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，∴-2p =-6，a =11-p 2，∴p =3，a =11-32=2，即印刷不清的数字是2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键．变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-【答案】A【分析】由2104m m c -+=变形得214m m c -=-，代入22112124n m m c =-++中得到2134n c c =-+，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．【详解】2104m m c -+=Q \ 214m m c -=-\22111(244m m m -=--³-1c \£22222211111121212()12()344444n m m c m m c c c c c \=-++=-++=´-++=-+23(22n c \=-- 231(24c -³Q 74n \³- 故选：A ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【解析】【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【详解】配方得：226(3)9x x c x c-+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．◎题型4：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a ≠0)的求根公式。
(完整版)一元二次方程经典习题及深度解析
一元二次方程及解法经典习题及解析知识技能： 一、填空题：1．下列方程中是一元二次方程的序号是 ．42=x ① 522=+y x ② ③01332=-+x x 052=x ④5232=+x x ⑤ 412=+x x⑥ x x x x x x 2)5(0143223-=+=+-。
⑧⑦ ◆答案：⑤④③①,,,◆解析：判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件 ①含有一个未知数；②未知数的最高次数是③;2整式方程．若同时符合这三个条件的就是一元次方程，否则缺一不可．其中方程②含两个未知数,不符合条件①;方程⑥不是整式方程，lil 不符合条件③；方程⑦中未知数的最高次数是3次,不符合条件②；方程⑧经过整理后;次项消掉，也不符合条件②． 2．已知,关于2的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a◆答案：5-=/◆解析：方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数 的最高次数是2，因此，二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 3．当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程．◆答案：2±◆解析：方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于2的一元二次方程，则二次项系数.042=-k 故.2±=k4．解一元二次方程的一般方法有 ， ， ， ·◆答案：直接开平方法；配方法；公式法;因式分解法 5．一元二次方程)0(02=/=++a c bx ax 的求根公式为： ．◆答案：◆解析：此题不可漏掉042≥-ac b 的条件．6．（2004·沈阳市)方程0322=--x x 的根是 ．◆答案：3.1-◆解析：.4)1(,412,032222=-=+-=--x x x x x 所以.3,121=-=x x7．不解方程,判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是 ．◆答案：有两个不相等的实数根◆解析：原方程化为,02)26(32=++-x x,04864348234)]26([422>-=-=⨯-+-=-ac b．‘．原方程有两个不相等的实数根．8．(2004·锦州市）若关于X 的方程052=++k x x 有实数根,则k 的取值范围是 ．◆答案：425≤k ◆解析：‘．．方程有实根，⋅≤∴≥-=-∴425,045422k k ac b 9．已知:当m 时,方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．◆答案:43≥◆解析：.．‘方程0)2()12(22=-+++m x m x 有实数根．⋅≥∴≥-=-+-++=--+=-∴43,0152016164144)2(4)12(42.2222m m m m m m m m ac b 10．关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是 ．◆答案:无实根 ◆解析:,)2(4)44(4162044)4)(1(4)2(422242422222+-=++-=---=++--=-k k k k k k k k k ac b∴<-∴>+∴≥,04,02,0222ac b k k 原方程无实根． 二、选择题：11．(2004·北京市海淀区)若a 的值使得1)2(422-+=++x a x x 成立,则a 的值为（ ) A ．5 8．4 C ．3 D ．2◆答案:C◆解析：,341441)2(222++=-++=-+x x x x x a 的值使得,3,341)2(4222=∴++=-+=++a x x x a x x 故C 正确．12．把方程x x 332-=-化为02=++c bx ax 后,a 、b 、c 的值分别为( ）3.3.0.--A 3.3.1.--B 3.3.1.-C 3.3.1.--D◆答案：C ◆解析:方程x x 332-=-化为.0332=-+x x 故.3.3.1-===c b a 故C 正确． 13．方程02=+x x 的解是( )x A .=土1 0.=x B 1,0.21-==x x C 1.=x D◆答案：C◆解析:运用因式分解法得,0)1(=+x x 故.1,021-==x x 故C 正确．14．（2006·广安市)关于X 的一元二次方程有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )1.->k A 1.>k B 0.=/k C 1.->k D 且0=/k ◆答案：D◆解析：由题意知⎩⎨⎧>+=/.044,0k k 解得1->k 且.0=/k15．(2006·广州市）一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为（ )3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D◆答案：C16．解方程.251212;0)23(3)32(;0179;072222x x x x x x x =+=-+-=--=-④③②① 较简便的方法是( )A ．依次为：开平方法、配方法、公式法、因式分解法B ．依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法①.C 用直接开平方法，②④用公式法,③用因式分解法 ①.D 用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 ◆答案:D17．(2004·云南省）用配方法解一元二次方程.0782=++x x 则方程可变形为（ ）9)4.(2=-x A 9)4.(2=+x B 16)8.(2=-x C 57)8.(2=+x D ◆答案：B18．一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( ）2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k◆答案:B◆解析:‘．‘方程有两个不相等的实根4)2(4,22--=-∴ac b(1,048)1()>-=-⨯-k k 2<∴k 且,1=/k 故B 正确．19．下列方程中有两个相等的实数根的方程是( ）09124.2=++x x A 032.2=-+x x B 02.2=++x x C 072.2=-+x x D ◆答案：A◆解析:只有A 的判别式的值为零，故A 正确．20．(2004·大连市）一元二次方程0422=++x x 的根的情况是( ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根 ◆答案:D◆解析：∴<-=⨯-=-,012442422ac b 方程没有实数根，故D 正确 21．下列命题正确的是( )x x A =22.。
《一元二次方程》知识梳理及经典例题
《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。
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练习一一、选择题：(每小题3分,共24分) 1.下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1 B.2x 2-x-12=12； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+22.下列方程:①x 2=0,② 21x-2=0,③22x +3x=(1+2x)(2+x),④32x =0,⑤32x x -8x+ 1=0中,一元二次方程的个数是( )A.1个 B2个 C.3个 D.4个3.把方程（+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是( )A.5x 2-4x-4=0 B.x 2-5=0 C.5x 2-2x+1=0 D.5x 2-4x+6=0 4.方程x 2=6x 的根是( )A.x 1=0,x 2=-6B.x 1=0,x 2=6C.x=6D.x=0 5.方2x 2-3x+1=0经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C.231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是56,则它们的和是( ) A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( )A.-x 2=2x-1 B.4x 2+4x+54=0; C. 20x --= D.(x+2)(x-3)==-58.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000 C.200+200×3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题：(每小题3分,共24分)9.方程2(1)5322x x -+=化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 10.关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________. 11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________. 14.如果关于x 的方程4mx 2-mx+1=0有两个相等实数根,那么它的根是_______.15.若一元二次方程(k-1)x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则k 的取值范围是_______.16.某种型号的微机,原售价7200元/台,经连续两次降价后,现售价为3528元/台,则平均每次降价的百分率为______________.三、解答题(2分)17.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题5分,共15分)(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y 2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a 2(a 是常数)18.(7分)已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的一个解是2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x 的解,你能求出m 和n 的值吗? 19.(10分)已知关于x 的一元二次方程x 2-2kx+12k 2-2=0. (1)求证:不论k 为何值,方程总有两不相等实数根. (2)设x 1,x 2是方程的根,且 x 12-2kx 1+2x 1x 2=5,求k 的值. 四、列方程解应用题(每题10分,共20分)20.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.21.某商场今年1月份销售额为100万元,2月份销售额下降了10%, 该商场马上采取措施,改进经营管理,使月销售额大幅上升,4月份的销售额达到129.6万元,求3, 4月份平均每月销售额增长的百分率.答案一、DAABC,DBD二、9.x 2+4x-4=0,4 10. 240b c -≥ 11.因式分解法 12．1或2313．2 14．18 15．115k >≠且k 16．30%三、17．（1）3，25-；（2）3；（3）1，2a-118.m=-6,n=819.(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根. (2) k =四、 20．20% 21．20%练习二一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共24分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0232057x +-=2下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+2 3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、、3 C 、6 D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )A.6B.-1或6C.-1D.-68.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( )A.k>-74B.k ≥-74 且k ≠0C.k ≥-74D.k>74且k ≠09.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题:(每小题4分,共20分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________. 13.22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______. 16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____. 17.已知3-2是方程x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = . 三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）21.22(3)5x x -+= 22.22330x x ++=四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？26.解答题（本题9分）已知关于x 的方程222(2)40x m x m +-++=两根的平方和比两根的积大21，求m 的值参考答案一、选择题：1、B2、D3、C4、B5、D6、B7、A8、B9、C 10、D二、填空题：11、提公因式 12、-23或1 13、94，3214、b=a+c 15、1 ，-216、3 17、-6 ，、x2-7x+12=0或x2+7x+12=0 19、-220、2 ，1（答案不唯一，只要符合题意即可）三、用适当方法解方程：21、解：9-6x+x2+x2=5 22、解：)2=0x2(x-1)(x-2)=0 x1=x2x1=1 x2=2四、列方程解应用题：23、解：设每年降低x，则有 (1-x)2=1-36%(1-x)2=0.641-x=±0.8x=1±0.8x 1=0.2 x2=1.8（舍去）答：每年降低20%。
24、解：设道路宽为xm (32-2x)(20-x)=570 640-32x-40x+2x2=570 x2-36x+35=0(x-1)(x-35)=0x 1=1 x2=35（舍去）答：道路应宽1m 25、⑴解：设每件衬衫应降价x元。
(40-x)(20+2x)=1200800+80x-20x-2x2-1200=0x2-30x+200=0(x-10)(x-20)=0x1=10(舍去) x2=20⑵解：设每件衬衫降价x元时，则所得赢利为(40-x)(20+2x)=-2 x2+60x+800=-2(x2-30x+225)+1250=-2(x-15)2+1250所以，每件衬衫降价15元时，商场赢利最多，为1250元。
26、解答题：解：设此方程的两根分别为X1,X2，则(X12+X22)- X1X2=21(X1+X2)2-3 X1X2=21[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21m2-16m-17=0m1=-1 m2=17因为△≥0，所以m≤0，所以m＝-1练习三一、填空题1．方程3)5x (2=+的解是_____________． 2．已知方程02x 7ax 2=-+的一个根是－2，那么a 的值是_____________，方程的另一根是_____________．3．如果5x 2x 41x 222--+与互为相反数，则x 的值为_____________．4．已知5和2分别是方程0n mx x 2=++的两个根，则mn 的值是_____________．5．方程02x 3x 42=+-的根的判别式△＝_____________，它的根的情况是_____________． 6．已知方程01mx x 22=++的判别式的值是16，则m ＝_____________．7．方程01k x )6k (x 92=+++-有两个相等的实数根，则k ＝_____________． 8．如果关于x 的方程0c x 5x 2=++没有实数根，则c 的取值范围是_____________．9．长方形的长比宽多2cm ，面积为2cm 48，则它的周长是_____________．10．某小商店今年一月营业额为5000元，三月份上升到7200元，平均每月增长的百分率为_____________．二、选择题11．方程0x x 2=+的解是( )A ．x ＝±1B ．x ＝0C ．1x 0x 21-==，D ．x ＝112．关于x 的一元二次方程01x 6kx 2=+-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k>9B ．k<9C ．k ≤9，且k ≠0D ．k<9，且k ≠013．把方程084x 8x 2=--化成n )m x (2=+的形式得( )A ．100)4x (2=-B ．100)16x (2=- C ．84)4x (2=-D ．84)16x (2=- 14．用下列哪种方法解方程4x 2)2x (32-=-比较简便( )A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法15．已知方程(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，那么x ＋y 的值是( )A ．2B ．3C ．－2或3D ．－3或2 16．下列关于x 的方程中，没有实数根的是( )A ．02x 4x 32=-+B ．x 65x 22=+C ．02x 62x 32=+-D ．01mx x 22=-+17．已知方程0q px x 22=++的两根之和为4，两根之积为－3，则p 和q 的值为( ) A ．p ＝8，q ＝－6B ．p ＝－4，q ＝－3C ．p ＝－3，q ＝4D ．p ＝－8，q ＝－618．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )A ．53x --=，k ＝－6B ．53x --=，k ＝6C ．53x +=，k ＝－6D ．53x -=，k ＝6 19．两根均为负数的一元二次方程是( )A ．05x 12x 72=+- B ．05x 13x 62=-- C ．05x 21x 42=++D ．08x 15x 22=-+20．以3和－2为根的一元二次方程是( )A ．06x x 2=-+ B ．06x x 2=++ C ．06x x 2=--D ． 06x x 2=+-三、解答题21．用适当的方法解关于x 的方程(1)12)1x 2(4)1x 2(2=---；(2)6)1x ()3x 2(22=--+；(3)x 4)3x )(3x (=+-；(4)027)1x 4(2=--．22．已知7x y 3x 2x y 221+=--=，，当x 为何值时，0y y 221=+？23．已知方程0b ax x 2=++的一个解是2，余下的解是正数，而且也是方程52x 3)4x (2+=+的解，求a 和b 的值．24．试说明不论k 为任何实数，关于x 的方程3k )3x )(1x (2-=+-一定有两个不相等实数根．25．若方程01x )3m 2(x m 22=+--的两个实数根的倒数和是S ，求S 的取值范围．26．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边长为5，两直角边的长分别是关于x 的方程0)1m (4x )1m 2(x 2=-+--的两个根，求m 的值．27．某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到129.6万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．28．若关于x 的方程0m 3x )5m (x 22=---的两个根21x x 、满足43x x 21=，求m 的值．一、1．35x 35x 21--=+-=， 2．4，41 3．1或32-4．－70 5．－23，无实数根 6．62m ±= 7．0或24 8．425c >9．28cm 10．20%二、11．C 12．D 13．A 14．D 15．C 16．B 17．D 18．B 19．C 20．C三、21．(1)用因式分解法21x 27x 21-==，； (2)先整理后用公式法3437x 3437x 21--=+-=，；(3)先整理后用公式法72x 72x 21-=+=，； (4)用直接开平方法4133x 4133x 21+-=+=，．22．x ＝1或21． 23．a ＝－6，b ＝8．24．解：3k )3x )(1x (2-=+-，整理得0k x 2x 22=-+． ∵0k 44k 42222>+=+=∆，∴不论k 为任何实数，方程一定有两个不相等实数根． 25．23S -≤，且S ≠－3．26．m ＝4．27．解：设增长的百分率为x ，则6129)x 1%)(101(1002.=+-⨯．22x 20x 21.，.-==(不合题意舍去)．∴增长的百分率为20%．28．解：提示：解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⋅-=+43x x m 3x x 5m x x 2122121，解得m ＝10，或310m =．练习四◆基础知识作业1.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为____________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=_________________求得方程的解.2、把方程4 —x 2 = 3x 化为ax 2 + bx + c = 0(a ≠0)形式为 ，则该方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为 。