费马大定理的美妙证明
解答数学“大问题”证明费马大定理的故事
解答数学“大问题〞——证明费马大定理的故事为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。
2022年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。
怀尔斯成为整个数学界的英雄。
费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。
2022多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。
即X^2＋Y^2=Z^2。
大约在公元1637年前后，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：X^n＋Y^n=Z^n,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。
费马在?算术?这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。
〞这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。
费马制造了一个数学史上最深奥的谜。
大问题在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以表达得如此简单和明晰，却长久不解。
E·T·贝尔(EricTempleBell)在他的?大问题?(TheLastProblem)一书中写到，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。
证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事。
安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。
少年时代的怀尔斯已着迷于数学了。
他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。
不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。
〞一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答,怀尔斯被吸引住了。
这就是E·T·贝尔写的?大问题?。
它表达了费马大定理的历史，这个定理让一个又一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。
费马大定理
费马大定理费马大定理，也称費馬最後定理乃下述定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x n + y n = z n.的整数解都是平凡解，即当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)這個定理，本來又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。
費馬宣稱他已找到一個絕妙證明。
但經過三个半世紀的努力，這個世紀数论难题才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1995年成功證明。
證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。
而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由于成功證明此定理，獲得了2005年度邵逸夫獎的數學獎。
歷史1637 年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
對很多不同的n，費馬定理早被證明了。
但數學家對一般情況在首二百年內仍一籌莫展。
1908 年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。
世界数学难题——费马大定理
世界数学难题——费马大定理费马大定理简介：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.（(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁•怀尔斯和他的学生理查•泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
[编辑本段]理论发展1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。
但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
怀尔斯证明费马大定理的过程原稿
怀尔斯证明费马大定理的过程原稿1. 引言说到费马大定理，很多人第一反应就是：“哎，这是什么神奇的东西？”其实，这个定理就像一道无形的围墙，把数论界的研究者们困得不要不要的。
说它有多难，难就难在，数学家费马在17世纪的时候，写下了一句话，放了个巨大的烟雾弹：“我发现了一个惊人的定理，但这里没有空间来写下证明。
”你说，这不是给后来的数学家们留了个大坑吗？就这样，费马的大定理成为了数学界的“白月光”，美丽却遥不可及。
直到1994年，怀尔斯这位现代数学的“英雄”，才终于把这个定理的证明搞定。
真是让人感叹：“时间不负有心人”啊！2. 怀尔斯的旅程2.1 早期的兴趣那么，怀尔斯是个什么样的人呢？他出生在1953年，从小就对数学情有独钟，简直就是个“数学小天才”。
在他还是个孩子的时候，就经常沉迷于各种数学难题，像个小侦探一样寻找答案。
听说他在上小学时，就已经把老师的数学题目搞得一团糟，连老师都对他刮目相看。
就这样，他的数学之路可谓是一步一个脚印，走得相当稳健。
2.2 努力不懈的追求怀尔斯长大后，进入了剑桥大学，继续追寻自己的数学梦。
他的目标就像“打了鸡血”一样，坚定不移。
他甚至在十几年的时间里，几乎每天都在努力研究这个费马大定理，脑海中思考着，如何才能把这个千年难题揭开面纱。
有人调侃说：“他简直像是个数学版的福尔摩斯！”怀尔斯心中所想，绝对不仅仅是为了名声，更是对数学本质的探索。
他不怕困难，勇往直前，简直是个“死磕型”的选手。
3. 证明过程3.1 灵光一现终于，在1993年，怀尔斯给我们带来了一个“惊喜”——他声称找到了证明！当时，他自己都没敢相信，心里想：“这到底是真的吗？”他的证明过程像极了破案的高潮，充满悬念和紧张。
数学界的朋友们兴奋得像是打了鸡血，纷纷聚在一起，准备见证这个历史性的时刻。
3.2 持续的挑战然而，事情并没有那么简单。
没过多久，怀尔斯的证明被发现存在漏洞，简直是“晴天霹雳”！他又一次被推回到了起点，心里那叫一个五味杂陈。
费马大定理非常美妙的证明
费马大定理非常美妙的证明
费马大定理，又名费马欧拉定理，是古希腊数学家尤里乌斯·费马在300年前发现的一个非常重要的定理。
定理的全称叫做：任何一个大于等于3的自然数，都可以表示成2的幂次的和。
比如，21可以表示成2的4次方加2的0次方，即16+1；而25则可以表示成2的4次方加2的2次方，即16+4；以此类推，任意一个大于等于3的正整数都可以表示成2的幂次之和的形式。
费马定理非常美妙，但到目前为止，它仍然是一些未解决的数学掘臼。
在已经知道这个定理之前，费马有一段时间都在探索这个问题，但他没有真正意识到这一实质性问题。
直到他孤身一人在他的实验室里探索这个问题，他才永久的突破性的证明了这一定理。
除了费马，还有一些古希腊数学家也在研究这个定理，包括伟大的欧拉，当他研究完事实证明，这一定理的正确性时，它被命名为“费马欧拉定理”。
尽管已经有一些它被认可的证明，但费马定理仍然具有重要的理论价值，因为它可以帮助我们理解和研究数字、空间和时间的联系。
总体而言，费马大定理是由费马发现的一个非常美妙的定理，它有着重要的理论价值，对于解释飞电的某些特殊性质有着重要的启示意义。
它足以证明，数学有力地证明和强调了可预测性和超然。
费马大定理的初等巧妙证明(完全版)
费马大定理的初等巧妙证明(完全版)李联忠（营山中学 四川 营山 637700）费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。
即不定方程n n n y x z +=当n ≥3时无正整数解。
证明： 当n=2时，有 222y x z +=∴ ))((222y z y z y z x +-=-= （1）设 22)(m y z =- 则 22m y z += 代入（1）得222222222222)(2)22(2l m m y m m y m y z x =+=+=-=∴ ml x 2= 22m l y -= 22m l z +=当n=3时，有 333y x z +=∴ ))((22333y zy z y z y z x ++-=-= （2）设 323)(m y z =- 则 323m y z +=代入（2）得］［23223232333)3()3(3y y m y m y m y z x ++++=-= )3333(36432232m y m y m +⨯+=)33(36332233m y m y m ++=设 363322)33(l m y m y =++ （3）则 ml x 3= （4）323m y z += （5）若z,y 的公约数为k,即 (z,y)=k ，k>1时，方程333y z x -=两边可以除以3k ，下面分析k=1 即（z,y ）=1 , 方程333y z x -=的正整数解因为（z,y ）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l 为正整数时，x,y,z 可能有正整数解，由（3）得)33)(3(3)3(4222263332m l m l m l m l m y y ++-=-=+ (6)∵ y, m, l 都取正整数，∴)3(32m y y +< )33()3(42222m l m l m l ++<-∴ )33(4222m l m l y ++≠∴ y 没有形如y )33(4222m l m l ++=的正整数解。
世界数学难题——费马大定理
世界数学难题——费马大定理费马大定理简介：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.（(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁•怀尔斯和他的学生理查•泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁•怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
[编辑本段]理论发展1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
对很多不同的n，费马定理早被证明了。
但数学家对一般情况在首二百年内仍一筹莫展。
1908年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
微积分费马定理证明
微积分费马定理证明
费马大定理的证明方法：x+y=z有无穷多组整数解，称为一个三元组；x^2+y^2=z^2也有无穷多组整数解，这个结论在毕达哥拉斯时代就被他的学生证明，称为毕达哥拉斯三元组，我们中国人称他们为勾股数。
但x^3+y^3=z^3却始终没找到整数解。
最接近的是：6^3+8^3=9^-1，还是差了1。
于是迄今为止最伟大的业余数学家费马提出了猜想：总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。
因此，就有了：
已知：a^2+b^2=c^2
令c=b+k，k=1.2.3……，则a^2+b^2=(b+k)^2。
因为，整数c必然要比a与b都要大，而且至少要大于1，所以k=1.2.3……
设：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；
则a^2+b^2=c^2就可以写成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……
当n=1时，d+h=p，d、h与p可以是任意整数。
当n=2时，a=d，b=h，c=p，则d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。
当n≥3时，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。
因为，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保证d、h、p 为整数，就必须保证a、b、c必须都是完全平方数。
a、b、c必须是整数的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中为整数。
假若d、h、p不能在公式中同时以整数的形式存在的话，则费马
大定理成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
费马大定理的美妙证明
成飞
中国石油大学物理系
摘要：1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”
0、费马大定理：
当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。
1、当n=1，X+Y=Z，有任意Z≥2组合的正整数解。
任意a.b.c；只要满足方程X+Y=Z；a,b.c 由空间平面的线段表示，有
a b
c
可见，线段a和线段b之和，就是线段c。
2、当n=2，X2+Y2=Z2，有正整数解，但不任意。
对于这个二次不定方程来说，解X=a,Y=b,Z=c，在空间平面中，a,b,c不能构成两线段和等于另外线段。
又因为，解要满足二次不定方程，解必然a+b>c且c>a,b。
可以知道，二次不定方程的解，a,b,c在空间平面中或许可以构成三角形，
B
c A
根据三角形余弦定理，有
c2=a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)
此时，a,b,c，即构成了三角形，又要满足二次不定方程X2+Y2=Z2 ，只有当且仅当ɑ=900，cosɑ=0,a,b,c构成直角三角形时c2=a2+b2，既然X=a,Y=b,Z=c，那么二次不定方程X2+Y2=Z2有解。
3、当n=3，X3+Y3=Z3，假设有正整数解。
a,b,c就是三次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。
此时，a,b,c也必构成三角形，
B A
根据三角形余弦定理，有
c2 = a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)
因为，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在[-1,1]内取值可以是无穷个分数。
根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60º，180º），由此我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，½）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b，
1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到，
c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内正分数；
等式两边同乘以c，有
c3 = a2c + b2c + mabc 因为c>a，b，那么
c3 > a3+ b3
2、当cosɑ=½，三角形余弦定理关系式得到，
c2 = a2+b2-ab 等式两边同乘以a+b，有
(a+b)c2 = a3+ b3
又因为a+b>c，
所以，c3 < a3+ b3 （根据三角形大角对大边，c>a，b，即ɑ不可能等于600）
那么，cosɑ=［0，½）时，更加满足c3 < a3+ b3
既然，a,b,c是三次不定方程X3+Y3=Z3的解，又a3+ b3≠ c3，
那么，X3+Y3≠Z3，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。
即，n=3时，X3+Y3=Z3 ，三次不定方程没有正整数解。
4、n>3, X n +Y n=Z n，假设有正整数解。
a,b,c就是n次不定方程的解，即X=a,Y=b,Z=c，a+b>c,且c>a,b。
此时，a,b,c构成三角形，根据三角形余弦定理有，
c2 = a2+b2-2ab× cosɑ( 0<ɑ< π)
因为，a,b,c是n次不定方程X n +Y n=Z n的正整数解，cosɑ是连续函数，因此在［-1,1］内取值可以是无穷个分数。
根据大边对大角关系，ɑ角度取值范围(60º，180º），我们cosɑ的取值分成两部分，（-1,0］和［0，½）范围内所有分数；而a+b>c,且c>a，b，
1、当cosɑ=（-1,0］，三角形余弦定理关系式得到，
c2 = a2+b2+mab m=［0,1）内分数；
等式两边同乘以c n-2，有
C n = a2 c n-2 + b2 c n-2+ mabc n-2因为c>a，b，那么
C n > a n+ b n
2、当cosɑ=0，三角形余弦定理关系式得到，
c2 = a2+b2等式两边同乘以c n-2，有
c n-2c2 = c n-2a2+ c n-2b2
又因为a+b>c，c>a，b
所以，c3＞a3+ b3
那么，cosɑ=［0，½）时，更加满足c3＞a3+ b3
既然，a，b，c是n次不定方程X n +Y n=Z n的解，又c n > a n+b n，
那么，X n + Y n < Z n，得到结果与原假设相矛盾，所以，假设不成立。
即，n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程没有正整数解。
根据分析，c n=a2c n-2+b2c n-2+abc n-2, c>a，b ；可知，n越大，等式两边不对称也越大，其实当n>3时，X n +Y n=Z n，n次不定方程的正整数解，a，b，c;a+b>c,且c>a，b,构成三角形可能性越小，或者说没有这样的正整数解可以构成三角形。
费马大定理，证毕！。