大数定律
大数定律
对任意ε > 0 ,估计 µ n 偏离 p 不小于ε 的概率 P(| µ n − p |≥ ε )
P(| µ n − p |≥ ε ) = P(| Sn − np |≥ nε )
(k − np) 2 = ∑ P ( Sn = k ) ≤ ∑ P ( Sn = k ) 2 2 nε k :|k − np|≥ nε k :|k − np|≥ nε
1 0
述计算积分 A = ∫ f ( x) dx 的 Monte Carlo 法.
设 X1 , Y1 , X 2 , Y2 ,⋯ 是相互独立的随机变量序列, 且都服从[0,1] 上的均匀分布.设 1 若f ( X i ) ≥ Yi Zi = , 0 若f ( X i ) < Yi
则 Zi = 1当且仅当 ( X i , Yi ) 落在曲线 f ( x) 下面阴影中.因而
µ n = Sn / n
当 n 无限增大时,频率 µ n 在某一确定值附近趋于稳定，这一确 定值称为 A 的概率。
如果 µ n 有极限,自然会把这极限看作这确定值,即 A 的概率.
µ n 是随机变量,通常的数列的极限的定义不适用.
下面证明频率 µ n “依概率收敛”(定义见后)于 p ,因而
概率的统计定义与(以公理 1.1 和公理 1.2 为基础的建立 起来的)概率论理论是相容的.
P(| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
证 2 2) 分别用 ( X − EX ) 2 和ε 2 代替 1)中的 X 和ε 有. 1
P (( X − EX ) 2 |≥ ε 2 ) ≤ E ( X − EX ) 2 / ε 2 ，
由此得
P (| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
大数定律
k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理） 设随机变量 数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记 相互独立，它们具有 ，
若存在正数 使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每 个别因素对这种综合 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大。 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布。 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题。 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
第05章 大数定律
二、主要内容
大数定律
辛 钦 大 数 定 律 伯 努 利 大 数 定 律
中心极限定理
定 理 一 定 理 二 定 理 三
辛钦定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ), X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望
则对于任意正数
,
E(Xk)
n n
D X k k 1
n
.
的分布函数
F n ( x ) 对于任意
n
Байду номын сангаас
x 满足
X k n k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n n
x
1 2π
t
2
e
2
d t ( x ).
近似
定理二(李雅普诺夫定理定理)
设随机变量 们具有数学期望 E(Xk) k , 记 Bn
2
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 和方差： D(X k )
n 2 k
,它
0 ( k 1 , 2 , ),
k 1
2 k
,
若存在正数 1 B
2 k 1 n
Yn a .
P
辛钦大数定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ),
则
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望 E(Xk)
,
X
X n
k 1
1
n
k
依概率收敛于 , 即X .
P
伯努利大数定理
大 数 定 律
5
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 定理5.1.1 设 X1, X2, …, Xn…是相互独立的随机变量序列, 具有 数学期望 E( Xn ) , 且存在常数C, 使得方差 D(Xn)<C (n = 1, 2, …), 则随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 服从大数定律,
n
令Yn Xk , 即 k 1
概率论与数理统计
❖ 前言
➢ 在第一章学习概率的概念时，我们已经提出了在随机试 验的大量重复试验中，某一随机事件出现的频率总是稳 定于某一数值就是概率. 也就是说，大量的随机现象往 往呈现几乎必然的规律，其平均结果具有稳定性，这个 规律就是大数定律.
概率论与数理统计
2
❖ 1.基本概念 首先介绍两个常用概念.
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 推论5.1.1表明, 当n充分大时，独立同分布的随机变量序
列的算术平均值
1 n
n i 1
Xi
接近于数学期望 E(Xi) = , 也就
是说n个相互独立同分布随机变量的算术平均值, 当n无
限增大时, 几乎变成了一个常数. 这一结论从理论上说明
了大量观测值的算术平均具有稳定性, 为实际应用提供
概率论与数理统计
12
❖ 2.大数定律 辛钦大数定律
➢ 定理5.1.3 设随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 独立同分布, 具有
有限的数学期 E(Xk) = , 则对任给 >0, 有
➢ 证明从略.
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
➢ 辛钦大数定律表明, 当要测量一个物理量的精确值 时, 若在 相同条件下重复测量n次, 用其算术平均值作为精确值 的近
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由 独立同分布的中心极限定理可证
例 某车间有200台机床独立工作，设每台机器实 际工作时间占全部工作时间的75％，问任意时刻 有144至160台机器正在工作的概率
解 设X为200台机器中工作着的机器台数，
则 X ~ B(200,0.75)
E(X ) 200 0.75 150 D(X ) 200 0.75 0.25 37.5
俄国数学家李亚普诺夫证明了在某些非常 一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布， 当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分 布的。
在概率论中，把大量独立的随机变量和的 分布以正态分布为极限的这一类定理统称为
中心极限定理。
依分布收敛
设随机变量序列X, X1,X2,…,Xn…的分布 函数依次是F(x), F1(x), F2 (x),, Fn (x),
第五章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题
1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？
大数
定律
2.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？
中心极 限定理
§大数定律-阐述大量随机现象平均结果的稳定性
切比雪夫不等式
设X 具期望 E(X ) 和方差 D(X ) 2 ，则对于
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理.
定理（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，2 i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
| } 1
伯努利大数定律
设nA为n次独立重复试验中事件A发生的次数，每
则对于任意实数 x,
n
Xk
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
2
(x)
它表明，当n充分大时 ，n个具有期望和方差
的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.
n
说明
记
X k n
Yn k1 n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
用的因素Xk的总和 Xk，而这个总和服从 k
或近似服从正态分布.
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
k 1
lim
n
PYn
x
( x)
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数
近似
Yn ~ N (0,1)
例. 某人一次射击,命中环数X的分布为
X
6
7
8
9
10
P 0.05 0.05 0.10 0.30 0.50
求100次射击中命中总环数在900环到930环之间的概率.
g( X n ,Yn ) P g(a,b).
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律）
设 X1, X2, …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差是一致有上界的，即
D(Xi) ≤C，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
lim
n
P{|
1 n
n k 1
P(144 X 160) P144 150 X 150 160 150
37.5
37.5
37.5
160 150 144 150 37.5 37.5
查表得
1.63 0.98
0.7849
应用中心极限定理的求概率的方法
构造一串独立同分布的随机变量，将所求的 概率问题转化为这一串随机变量之和在某一 范围内的概率
中心极限定理是概率论中著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似 概率的简单方法，而且有助于解释为什么正 态分布最常见的这一值得注意的事实.
作业：教材习题五 1, 3， 6， 8，
解:设X表示100次中命中的总环数, Xi表示第i次命中
的环数(i=1,…,100),
100
则 X1,X2,…,X100 相互独立同分布, 且 X X i i 1 E(X ) 100 E(Xi ) 915 D(X ) 100 D(Xi ) 123
P(900 X 930) F(930) F(900)
Xk
1 n
n k 1
E(Xk
)
|
}
1
即：
1 n
n k 1
Xk
P 1 n
n
E(X k )
k 1
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1
n
n i 1
X
i
与其数学期望
1 n
n i1
E( Xi )偏差很小的
概率接近于1.
切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
p)
p(1 n
p)
0
1
P
nA n
p
1
D nA n
2
1
p(1 p)
n 2
即:
lim
n
P
nA n
p
1
伯努利
定理（贝努里大数定律）
设 n A 是n重贝努里试验中
事件A发生的次数，p是事件A
发生的概率，则对任给的ε> 0，
辛钦
分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ,
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
|
}1
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性
它是随机现象统计规律的具体表现.
中心极限定理
为什么大量的随机变量都服从正态分布？
如果对于 F(x)的每一个连续点x，都有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
则并称记随为机变量序列{Xn}依分布收敛于X，
X n L X
定理（独立同分布下的中心极限定理）
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立且服从同一分布, 且有期望和方差：
E( X k ) , D( X k ) 2 0 , k 1,2,
次试验中事件A发生的概率为p， 则 0
lim
n
P
nA n
p
1
即 nA P p n
证明（由切比雪夫不等式可直接证明）
nA ~ B(n, p)
D( nA n
)
1 n2
D(nA )
E(
nA n
)
1 n
E(nA
)
1 np p n
1 n2
np(1
(930 915) (900 915)
123
123
=0.8230
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
(即这些因素的叠加)的结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，
任意实数 > 0,
P(|
X
|
)
2 2
或
P(| X | ) 1 2
证
2
P( X
)
f (x)dx
x
(x )2
x
2
f (x)dx
1
2
(x )2 f (x)dx D( X )
2
依概率收敛
此定理说明二项分布的近似分布是正态分布
证 引入 随机变量序列{Xk}
1, 第k次试验A发生
Xk
0,
第k次 试 验A 发 生
设P(X k 1) p,
X1, X 2,, X n 相互独立，
n
Yn X k k 1
E(Yn ) np, D(Yn ) np(1 p)
lim P{| nA p | } 1
n
n
贝努里
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分
大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有
较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了
通过试验来确定事件概率的方法.
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在.
定理（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
设X1,X2,…,Xn是一个随机变量序列
a是一个常数，如果对于任意的正数 ，
有
lim P
n
Xn a
1
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于
常数a，并记为
X n P a
依概率收敛的序列还有以下性质.
设X n P a,Yn Pb, 又设函数g(x, y)在点(a,b)连续,则