大数定律的四种证法
大数定律例题
1 P
1 n
n k 1
Xk
0
1
1 n
2
因此 0
lim P n
1 n
n k 1
Xk
0
1
所以
1 n
n k 1
Xk
P
0 即 Xn 服从大数定律。
练习题
设 且
XPn(为Xn独立k2k同2 ) 分 2布1k 的,k 随 1机, 2变, 量序列，
证明 Xn 服从大数定律。
证明： 因为 1) Xn为独立同分布随机序列，
2) n, E
Xn
2k k2
k 1
1 2k
1 k2
k 1
存在，
故满足辛钦大数定律的条件，
所以，
1 n
n k 1
Xk
P
,
即，Xn 服从大数定律。
例1 某市有50个寻呼台,设每一寻呼台每分钟收到的
呼叫数服从 P 0.05.试求该市在某时刻开始一分
钟内的呼叫次数总和大于3的概率。
解：记 Xi 第 i 个寻呼台在某时刻一分钟内
Xi
作为对D的估计.
若使对D的估计精
度在 0.25 光年之间的概率大于0.98, n至少为多少?
解：题意: P X D 0.25 0.98
n?
X1, X2,
, Xn 独立同分布,
EX D, DX 4 n
由中心极限定理知
X
近似
N
D,
4 n
例3 题意: P X D 0.25 0.98
例1 设 Xn为独立随机序列，
且 Xn
2n 22n1
0 1 22n
2n 22n1
证明 Xn 服从大数定律。
4-1 大数定理
定理4.4 泊松大数定理 如果在一个独立试验序 列中, 事件A在第k 次
试验中出现的概率等于pk , 以 μn记在前n次
试验中事件A出现的次数, 则对任意的 ε 0, 都有
μn 1 n lim P pk ε 0 n k 1 n n
A={(x, y):0 yf(x); x[0, 1]} 并定义随机变量序列
1, 第k次掷的点落于A中 Xk 反之 0, 则{Xk: k1}独立同分布, 而且
E(Xk) P(Xk 1) |A|
0 f x dx
Байду номын сангаас
1
|A|表示A的面积, 由贝努里大数定理知 1 1 n P X k E X k 0 f x dx n k 1
1 n D X i n C i 1 ε2 nε 2
注1 当 n 很大时, 随机变量 X1 , X 2 ,, X n 的 1 n 算术 平均值 X i 接近于它们的数学期望 的 n i 1
1 n 算术平均值 E X i . n i 1
这种接近是概 率意义下的！
n
lim P Yn an ε 0
定义4.2 设Y1 ,Y2 ,,Yn ,是随机变量序列,
Y是随机变量. 如果对任意的 ε 0, 有
n
lim P Yn Y ε 0
则称随机变量序列Yn依概率收敛于 , 记为 Y
Yn Y
P
定理4.1 切比谢夫大数定律 设X1 , X 2 ,, X n ,是两两不相关的随机变 量序列, 每一随机变量都有有限 的方差, 并有公共的上界
1 n 1 n C D X i 2 D X i n n n i 1 i 1
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
4概率基础6_大数定律
E{| Y |k } P{| Y |≥ ε} ≤ , k ε k = 1,2,L
马尔科夫不等式证明 仅证明连续型随机变量的情形， 证 仅证明连续型随机变量的情形，设随机变 量Y 的概率密度函数为 fY ( y ), 有
解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X ∼ b ( n, p) , n = 10000, p = 0.017
由德莫佛--拉普拉斯中心ห้องสมุดไป่ตู้限定理，保险公司亏本的概率为：
思考题：
P (10000 X > 10000 × 200 )
= P ( X > 200 )
= 1 − Φ ( 2.321) ≈ 0.01
有
1 D( Xn ) = pn(1− pn ) ≤ , k = 1,2,L 4
中心极限定理
背景： 背景：
有许多随机变量， 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的， 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布， 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 限分布是正态分布， 学上论证了这一现象， 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。 时期内曾是概率论研究的中心课题。
p是事件 在每次试验中发生的概率 则对任意 是事件A在每次试验中发生的概率 是事件 在每次试验中发生的概率,
m 的 ε > 0, 有lim P{ − p |< ε} =1 ∀ | n→ ∞ n
概率论大数定律
概率论大数定律一、引言概率论大数定律是概率论中的重要理论之一，它描述了在独立随机变量序列的情况下，随着样本数量的增加，样本均值趋向于总体均值的现象。
本文将对概率论大数定律进行深入探讨，并介绍其应用。
二、大数定律的历史背景大数定律最早可以追溯到17世纪的拉普拉斯和伯努利，他们通过模拟实验观察到了大数定律的现象。
之后，克拉美导数、切比雪夫和伯努利等数学家对大数定律进行了进一步的研究和证明。
三、大数定律的表述大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
3.1 弱大数定律弱大数定律又称为大数定律的矛盾形式，它表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值与总体均值之间的差异趋向于零。
数学表达式如下：P(|X n−μ|<ε)=1limn→∞其中，X n表示样本均值，μ表示总体均值，ε表示一个足够小的正数。
3.2 强大数定律强大数定律表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值几乎必然等于总体均值。
数学表达式如下：P(limX n=μ)=1n→∞四、大数定律的证明大数定律的证明可以通过数学推导和概率论方法进行。
4.1 切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式是大数定律证明中常用的工具之一。
它将样本均值与总体均值之间的差异与样本数量的关系联系起来，从而得出大数定律的结论。
4.2 独立随机变量序列的性质大数定律的证明需要利用独立随机变量序列的性质。
独立性保证了样本观测之间的相互独立性，使得样本均值可以准确地逼近总体均值。
4.3 极限定理的应用极限定理是大数定律证明的另一个重要工具。
通过使用中心极限定理和大数定律的关系，可以推导出大数定律的结论。
五、大数定律的应用大数定律在概率论和统计学中有着广泛的应用，它能够帮助我们理解和解释实验结果的规律性。
5.1 抽样理论大数定律为抽样理论提供了坚实的理论基础。
它告诉我们，通过抽取足够数量的样本，可以准确地估计总体的特征。
5.2 统计推断大数定律在统计推断中扮演着重要的角色。
通过大数定律，我们可以通过样本均值来推断总体均值，从而做出关于总体的统计推断。
概率统计——大数定律
Xi
1 n
n i 1
E(Xi ) | }
0
成立，即随机变量{Xi ,i 1}服从大数定律.
证明：记Yn
1 n
n i 1
X i，则
E(Yn )
1 n
n i 1
E( Xi ),
D(Yn )
1 n2
n
D(
i 1
Xi ),
对Yn应用切比雪夫不等式，并结合条件(5.1.8)，得
0
P{|
Yn
E(Yn
解：设机器出故障的台数为X ,则X B 400, 0.02，
1. 用二项分布计算
证略.
推论5.1.4：
设{Xi ,i 1}为独立同分布的随机变量序列，
若h(x)为一连续函数，且E | h( X1 ) | ,
则对 0，有：
lim
n
P
1 n
n k 1
h(Xi )
a
0，
其中,a E(h( X1)), 即随机变量{h( Xi ),i 1}也服从大数定律.
§2 中心极限定理
0.74
X n
0.76
1
1875 n
0.90
n 18750
几种大数定律
定义5.1.2：设Y1,,Yn ,为一个随机变量序列，
若存在常数序列{cn , n 1}，使得对 0,均有：
lim
n
P
1 n
n
Yi cn
i 1
0,
（或写为
lim
n
P
1 n
n
Yi cn
i 1
1）
成立，即有 1
前面的定理和推论中均要求随机变量的方差存在，但当 随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。
大数定律和中心极限定理的证明及应用
大数定律和中心极限定理的证明及应用大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们在实际应用中具有重要的作用。
随着21世纪的到来，计算机科学的发展和人工智能技术的不断突破，这些定理在数据分析、机器学习等领域中的应用也越来越广泛。
大数定律是概率论中的一条非常重要的定理，它描述了重复实验的结果会越来越接近于总体的平均值。
具体而言，如果我们对某个随机事件进行了N次实验，并对N个数据点求平均值，那么这个平均值在N变得越来越大时，会趋近于总体的期望值。
在实际中，大数定律可以用于各种数字数据的分析。
例如，我们可以在股市交易中使用大数定律，以预测股市的长期结果。
我们可以通过对每天的股票价格进行记录并验证大数定律是否成立，从而得到预测指数。
另外，在物理学中，大数定律也有重要的应用。
例如，我们可以使用大数定律来确定大量粒子的平均位置。
这种方法可以在许多物理领域中找到应用，如计算电磁场的平均值。
大数定律的证明比较复杂。
一种常用的证明方法是通过上极限和下极限来证明。
上极限和下极限分别代表了随着实验次数增加，平均值逐渐趋向于总体期望值的上限和下限。
根据大数定律的规定，这两个极限应该相等。
证明的核心是要建立一个独立的同分布序列，通过样本与总体一致性的性质，尽可能接近于总体。
中心极限定理是另一个与大数定律相关联的概率论定理。
它描述了当N次独立实验的结果之和趋近于一个标准正态分布时，经过N次标准化后的分布会趋向于一个正态分布。
中心极限定理在实际中的应用非常广泛。
例如，在医学研究中，我们可以使用中心极限定理来估计医疗样本的均值和标准偏差。
我们还可以使用该定理来评估航空公司的航班订购量。
通过使用中心极限定理来计算航班预订量的分布，我们就可以确定需要多少飞机来完成航班任务。
与大数定律的证明相比，中心极限定理的证明相对简单。
它使用了矩母函数和生成函数等概率论方法，通过对傅里叶变换的应用，将一些信息从时域转移到了频域，实现了由多个随机事件的组合到高斯分布的转化。
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对于一般人来说，大数定律的非严格表述是这样的：X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u，S_n=X_1+...+X_n，则S_n/n收敛到u.
如果说“弱大数定律”，上述收敛是指依概率收敛(in probability)，如果说“强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。
这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石之一，重要性在本人看来甚至不弱于微积分。
（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。
而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。
例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。
）
最早的大数定律的表述可以追朔到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。
1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。
不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现，因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。
后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。
直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolgomorov才真正证明了最后的强大数定律。
下面均假设X, X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u。
独立同分布随机变量和的大数定律常有的表现形式有以下几种。
初等概率论
(1). 带方差的弱大数定律：若E(X^2)小于无穷，则S_n/n-u依概率收敛到0。
证明方法：Chebyshev不等式即可得到。
这个证明是Chebyshev给出的。
(2). 带均值的弱大数定律：若u存在，则S_n/n-u依概率收敛到0。
证明方法：用Taylor展开特征函数，证明其收敛到常数，得到依分布收敛，然后再用依分布收敛到常数等价于依概率收敛。
现代概率论
(3). 精确弱大数定律：若xP(|X|>x) 当x趋于无穷时收敛到0，则S_n/n-u_n依概率收敛到0，其中u_n=E[X 1_{|X|<n}]. （在这个定理里，不需要u存在。
）
证明方法：需要用到截断随机变量X 1_{|X|<n}. 然后要用的三角阵列的依概率收敛定理和Fubini定理分析积分变换。
(4). 带4阶矩的强大数定律：若E(X^4)小于无穷，则S_n/n-u几乎必然收敛到0.
证明方法：与(1)类似，先用Chebyshev不等式。
然后因为4阶矩的存在，得到P(S_n>nt)对任意常数t的收敛速度足够快，满足Borel-Cantelli的要求，用Borel-Cantelli引理得到大数定律。
(5). 带方差的强大数定律：若E(X^2)小于无穷，则S_n/n-u几乎必然收敛到0.
证明方法：用Kolgoromov三级数定理和Kronecker引理。
(6). 精确强大数定律：若u存在，则S_n/n-u几乎必然收敛到0.
证明方法：这个大数定律的证明确实有几种不同的方法。
最早的证明是由数学大师Kolgoromov给出的。
现在Durrett (2010)的书上用的是Etemadi (1981)的方法，需要截断X，用到现代概率论的知识如Borel-Cantelli引理、Kolgomorov三级数定理、Fubini定理等。
（感谢读者指出，Durrett的书在倒向鞅一章中给出了大数定律的倒向鞅方法证明，只需要用到倒向鞅的知识和Hewitt-Savage 0-1律，不过这也是现代概率论的知识。
）
此外，还有很多不同的大数定律，不同分布的，不独立的序列等。
定律也不一定是关于随机变量的，也可以是关于随机函数的，甚至随机集合的等等。
以数学家命名的也有Khinchin 大数定律(不独立序列的强大数定律)、Chebyshev大数定律(弱大数定律(1))、Poisson大数定律(不同概率的随机事件序列的大数定律)、Bernoulli大数定律(随机事件的大数定律)、Kolgomorov大数定律(强大数定律(6))等等……
以上(1-6)是常见的独立同分布序列的大数定律。
其中，(3)和(6)是最严格也是最精妙的结果，证明所涉及的高等概率论知识也最多。
它们成立的条件不仅是充分条件，也是必要条件，因此它们算是完结了大数定律的发展。
大数定律的发展符合数学的一般规律：想证明某一结论，条件越弱（弱大数定律：2阶矩条件->1阶矩条件->没矩条件；强大数定律：4阶矩条件->2阶矩条件->1阶矩条件），证明也就变得越难。
虽然只有(3)和(6)是最精确的结果，但是必须认识到，数学的发展是一个循序渐进的过程，如果没有前面那些更强条件下的定理，也无法得到最后的大数定律。
从最开始的自然界观察到大数定律的存在，到最后证明最终形式，历时数百年，现代概率论也在这个过程中建立起来。
此外，虽然(3)和(6)比前面的(1)和(5)强很多，但是(1)和(5)的条件仅仅是2阶矩（或方差）的存在，因此他们在几百年间早就被广泛使用，对于一般的社会科学问题、统计问题等已经足足够用了。
总之，大数定律包含概率论里核心的知识。
“大数定律的四种证法”尽管表述模糊，原意也充满调侃，但并不是真如《孔乙己》里"回字四种写法"所暗示的那样迂腐或毫无价值。
作为概率或统计专业的研究生，弄懂这些定理表述的区别和证明方法的区别和联系，了解前代数学家的工作，对于深刻理解现代概率论是很有好处的。
当然，任何人也不应去死记硬背这些证法（我自己也记不住这些证法），只要能理解、弄清其中微妙即可。