勾股定理五种证明方法
勾股定理的常见证明方法
勾股定理的常见证明方法引言勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中的边与斜边的关系。
在本文中，我们将介绍勾股定理的常见证明方法，包括几何证明、代数证明和平面解析几何证明。
通过这些方法，我们可以深入理解勾股定理的本质，并且能够应用到实际问题中。
一、几何证明几何证明是最常见的证明方法之一，它通过图形的构造和性质来证明定理的正确性。
下面我们将介绍两种常见的几何证明方法。
1.1 三角形面积法这是一种简单而直观的证明方法，它利用三角形的面积关系来证明勾股定理。
具体步骤如下：步骤一：构造一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角。
步骤二：以BC为底边，构造一个高AD，使得D落在直角三角形外部。
步骤三：根据三角形的面积公式S=1/2×底边×高，可以得到以下等式：S(ABC) = 1/2×AB×BCS(ABC) = 1/2×AC×AD步骤四：将等式两边进行整理，得到以下等式：AB×BC = AC×AD步骤五：根据相似三角形的性质，可以得到以下等式：AC/AB = AB/AC步骤六：根据等式AB×BC = AC×AD和等式AC/AB = AB/AC，可以得到以下等式：AB^2 = AC^2 + BC^2步骤七：根据勾股定理的定义，得证。
通过以上步骤，我们可以看到勾股定理可以通过三角形的面积关系进行证明。
1.2 直角三角形相似法这是另一种常见的几何证明方法，它利用直角三角形的相似性质来证明勾股定理。
具体步骤如下：步骤一：构造一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角。
步骤二：以AC为直角三角形的斜边，构造一个三角形ACD，使得∠ACD为直角。
步骤三：根据直角三角形的相似性质，可以得到以下等式：AB/AC = AC/AD步骤四：将等式两边进行整理，得到以下等式：AB×AD = AC^2步骤五：根据勾股定理的定义，得证。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
勾股定理常见的证明方法
勾股定理常见的证明方法摘要：一、引言二、勾股定理的定义及应用三、常见的证明方法1.欧几里得证明法2.切比雪夫证明法3.平方差证明法4.三角函数证明法5.切线证明法四、证明方法的比较与选择五、结论正文：一、引言勾股定理是数学领域中一条著名的定理，距今已有约2500年的历史。
它在我国古代称为“方圆之术”，在几何学中具有广泛的应用。
本文将对勾股定理的常见证明方法进行详细介绍，以帮助大家更好地理解和应用这一定理。
二、勾股定理的定义及应用勾股定理是指在直角三角形中，直角边平方和等于斜边的平方。
用数学公式表示为：a + b = c。
其中a、b为直角边，c为斜边。
勾股定理的应用十分广泛，如在建筑、航海、测量等领域都有涉及。
三、常见的证明方法1.欧几里得证明法：利用勾股定理的逆定理，即如果一个三角形的三边满足a + b = c，那么这个三角形一定是直角三角形。
此证明方法简单易懂，适用于初学者。
2.切比雪夫证明法：利用切比雪夫不等式，即对于任意实数x，有(x +1/x) ≥ 4。
将勾股定理中的斜边c看作x，直角边a、b分别看作1和1/x，代入切比雪夫不等式，可得到a + b ≥ c，从而证明勾股定理。
3.平方差证明法：利用(a + b)(a - b) = a - b，将勾股定理中的a、b、c 分别代入，可得到(a + b)(a - b) + 2ab = a - b + 2ab = (a + b) - c，进而证明勾股定理。
4.三角函数证明法：利用正弦函数和余弦函数的定义，设直角三角形ABC 的角A、B、C分别为90°、45°、45°，可得sinA = a/c，sinB = b/c，从而证明勾股定理。
5.切线证明法：在直角三角形ABC中，作斜边c上的任一点D，连接AD、BD。
利用切线的性质，可得到AD + BD = AB，即a + b = c，证明勾股定理。
四、证明方法的比较与选择以上五种证明方法各有特点，适用于不同层次的学生和学习阶段。
几种简单证明勾股定理的方法
几种简单证明勾股定理的方法勾股定理是一个著名的数学定理，它描述了直角三角形三条边的长度之间的关系。
下面是几种简单证明勾股定理的方法：方法一：特例验证法对于任意一个直角三角形，我们可以列出它的两条直角边的长度的平方和，以及斜边的长度的平方，验证它们是否相等。
例如，对于一个直角边分别为3和4的直角三角形，我们可以计算出它的斜边的长度为5，然后验证3²+4²=5²。
这种方法虽然简单，但是只适用于特例，不能推广到一般情况。
方法二：几何构造法将两个大小相同的直角三角形放在同一直线上，使得它们的斜边成为一条直线。
这时，我们可以证明两个三角形的面积之和等于底边长度之和的两倍。
由于两个三角形面积相等，因此可以得出底边长度之和等于斜边长度。
例如，对于两个直角边分别为a和b的直角三角形，它们的斜边长度分别为c，将它们放在同一直线上，使得它们的斜边成为一条直线。
可以证明两个三角形的面积之和等于底边长度之和的两倍，即ab/2+ab/2=c²/2。
因此，可以得出a²+b²=c²。
方法三：代数推导法通过代入特殊值的方式，可以得到勾股定理的公式。
例如，当直角三角形的两条直角边分别为3和4时，可以得出斜边的长度为5，然后代入公式3²+4²=5²得到验证。
这种方法虽然简单，但是只适用于已知直角三角形两条直角边长度的特殊情况。
方法四：平方法通过平方法证明勾股定理的思路是：将直角三角形的一条直角边平移到斜边所在的直线上方，与斜边重合。
这时，可以将直角三角形的一条直角边看作是斜边减去一条直角边的长度所得的差，因此可以得出斜边的平方等于两条直角边的平方和。
例如，对于一个直角边分别为a和b的直角三角形，可以将其一条直角边平移到斜边所在的直线上方，与斜边重合。
这时，可以将直角三角形的一条直角边看作是斜边减去一条直角边的长度所得的差，即a²+b²=c²。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明勾股定理，即建立在三角形中的根号三，是一个被越来越多的人所熟知的数学定理，它表明了任何一个正三角形的斜边的平方加上邻边的平方等于对角线的平方。
此定理也经常被用来解决三角形的面积，甚至有益于解决复杂的数学问题。
这里，我们会介绍十种有关勾股定理的证明，让大家可以更好地理解这个定理：第一种：边角平方法。
此法将三角形的斜边和邻边分别平方，并将它们相加，得出的结果也是对角线的平方。
第二种：相似三角形法。
这个方法建立在相似三角形的概念基础上，根据同比例的相似，将斜边和邻边分别乘以相应的比值，即可得出对角线平方的结果。
第三种：重心三角形法。
按照重心三角形的性质，将三角形的斜边和邻边分别乘以对应的比值，将它们相加，就可以得到对角线的平方。
第四种：字母替换法。
这种方法利用三角形的相关性，将斜边和邻边分别替换成字母a，b和c，然后将a的平方加上b的平方和c的平方替换回原来的数字，就可以得到对角线的平方。
第五种：四边形证明法。
这种方法是基于将一个正三角形分解成四个相等的小三角形，并且每个小三角形都满足勾股定理的要求。
第六种：变形法。
这种方法是基于将正三角形变形成其他图形，例如正方形、矩形或梯形，然后将斜边和邻边拆分成几部分，并将这些部分分别平方，加和，就可以得到对角线的平方。
第七种：勾股余弦定理法。
这种方法是基于勾股余弦定理，其基本思想是将三角形的夹角和边长之间的关系作出表达，然后将斜边和邻边分别平方，加和，就可以得到对角线的平方。
第八种：勾股坐标表达法。
这种方法是基于以坐标表示法表达勾股定理，其中将斜边、邻边和对角线分别表示成坐标形式，然后将坐标形式的斜边和邻边分别平方，加和，就可以得到对角线的平方。
第九种：向量表示法。
根据向量的性质，将三角形的斜边和邻边分别表示成向量形式，然后根据公式，将其分别平方后相加，就可以得到对角线的平方。
第十种：贝塞尔准则法。
根据贝塞尔准则，将三角形的斜边和邻边分别乘以各自的比例，将乘积相加，就可以得到对角线的平方。
勾股定理的证明方法5种
勾股定理的证明方法5种勾股定理是几何学中最为经典的定理之一，它揭示了直角三角形中直角边与斜边的关系。
勾股定理有多种不同的证明方法，下面我们将依次介绍其中五种不同的证明方法。
方法一：几何法证明这种证明方法是最为直观的，它通过几何形状的变换来证明勾股定理。
首先，我们先画出一个直角三角形ABC，然后作出辅助线AD ⊥BC，将三角形ABC分成两个小三角形ΔABD和ΔADC。
根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AB=AB/AC，即BD*AC=AB^2。
同理，我们可以得到CD*AB=AC^2。
将这两个式子相加起来，我们就可以得到BD*AC+CD*AB=AB^2+AC^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到BC*AD=AB^2+AC^2，而BC*AD就是直角三角形ABC的斜边的平方AC^2。
因此，通过几何法证明，我们可以得到勾股定理成立。
方法二：代数法证明这种证明方法是使用代数运算来证明勾股定理。
我们可以用直角三角形的三条边的长度来表示三角形的面积。
假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c 为斜边，利用面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形面积的两种表达式：S=1/2* a*bS=1/2* c*h通过这两个表达式，我们可以得到c*h=a*b，即c^2=a^2+b^2。
方法三：相似三角形法证明这种证明方法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
我们可以在直角三角形ABC中找到一个与之全等的直角三角形DEF。
然后我们可以发现直角三角形ABC和DEF分别是直角三角形ACB和EDF的相似三角形。
由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。
利用这个性质，我们可以得到AB^2=DE^2+DF^2和AC^2=DE^2+EF^2。
将这两个式子相加起来，我们可以得到AB^2+AC^2=DE^2+DF^2+DE^2+EF^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到AB^2+AC^2=2*DE^2+2*DF^2。
勾股定理证明方法大全
勾股定理证明方法大全勾股定理是数学中一个重要而古老的定理，它在几何学中有广泛的应用。
勾股定理的证明有很多种方法，本文将介绍一些较常见的证明方法，以帮助读者更好地理解和掌握这一定理。
一、几何证明法几何证明法是最传统和直观的证明方法之一。
根据勾股定理的内容，我们可以构造一个直角三角形，然后利用三角形的性质进行证明。
首先，我们假设三边长度分别为a、b、c，其中c是斜边，而a和b是两个直角边。
然后，我们通过画一条高到斜边上，将三角形分为两个直角三角形。
分别利用这两个直角三角形的面积进行推理，可以得到a² + b² = c²，即勾股定理成立。
二、代数证明法代数证明法利用平面直角坐标系和代数运算的原理来证明勾股定理。
我们可以将直角三角形的顶点放在坐标系的原点和两个轴上，然后根据三角形的性质，写出斜边的方程和直角边的方程。
通过代入数值计算，我们可以验证勾股定理的成立，例如，当a=3、b=4、c=5时，计算(3² + 4²) - 5² 的结果，应该等于0。
若结果为零，则证明了定理的正确性。
三、相似三角形证明法相似三角形证明法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
根据三角形的相似关系，我们可以得到两个直角三角形的对应边比例相等，进而利用比例关系计算出三角形的边长。
例如，我们将较小的直角三角形的直角边和斜边分别记为a/b/c，将较大的直角三角形的直角边和斜边分别记为ka/kb/kc（k为正实数）。
根据相似三角形的定义，我们可以得到a/b = ka/kb，从而得出ka² + kb² = kc²。
通过确认两个三角形相似真实成立，我们可以证明勾股定理的正确性。
四、向量证明法向量证明法是一种利用向量运算的证明方法。
我们可以考虑两个向量（a，b）和（c，0），这两个向量的内积等于它们的模的乘积。
根据向量的定义，我们可以得到a·c + b·0 = (a² + b²)·(c² +0²)^1/2。
勾股定理16种经典证明方法
b a22+【证法1】〔课本的证明〕做8a 、b 、c 的正.2a 整以a 、b ab21.把这四个直角三角C 、G、D 三点在一条直线上.∵Rt Δ∴∠AHE = ∠BEF . ∵∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA .∵∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵∠GHE = 90º,∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴222c b a =+.【证法3】〔爽证明〕以a 、b 为直角边〔b>a 〕， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如下图形状.∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB .∵∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴()22214c a b ab =-+⨯.∴222c b a =+. 【证法4】〔1876年美国总统Garfield 证明〕以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如下图形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵Rt ΔEAD ≌Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC .∵∠AED + ∠ADE = 90º, ∴∠AED + ∠BEC = 90º. ∴∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD ∥BC .∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴()222121221c ab b a +⨯=+. ∴222c b a =+.【证法5】〔梅文鼎证明〕 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED ，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵AB = BE = EG = GA = c ，∴ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC = ∠EBD .∴∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴222c b a =+. 【证法6】〔项明达证明〕做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b 〔b>a 〕 ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如下图的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上.过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N .∵∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴∠MPC = 90º， ∵BM ⊥PQ ，∴∠BMP = 90º，∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴∠QBM = ∠ABC ，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】〔梅文鼎证明〕. 【证法7】〔欧几里得证明〕做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如下图形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点L .∵AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ， ∵ΔFAB 的面积等于221a，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形∴222b ac += ，即 222c b a =+. 【证法8】〔利用相似三角形性质证明〕如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ΔADC ∽ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ΔACB ，从而有AB BD BC •=2.∴()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+.【证法9】〔作玫证明〕做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b 〔b>a 〕，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如下图的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º， ∴∠DAH = ∠BAC . 又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c ，∴Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA . ∴DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵Rt ΔDGT ≌Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA .∴Rt ΔDGT ≌Rt ΔDHA .∴DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +〔b ―a 〕. 用数字表示面积的编号〔如图〕，则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++=①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438=ab b 212-， 985S S S +=，∴824321S ab b S S --=+=812SS b --.② 把②代入①，得=922S S b ++ = 22a b +. ∴222c b a =+. 【证法10】〔锐证明〕设直角三角形两直角边的长分别为a 、b 〔b>a 〕，斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如下图形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号〔如图〕.∵∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴∠TBH = ∠ABE .又∵∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE . ∴HT = AE = a . ∴GH = GT ―HT = b ―a .又∵∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90∴∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴Rt ΔHGF ≌Rt ΔBDC . 即27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌Rt ΔQAM .即58S S =.由Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴∠FQM = ∠CAR .又∵∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴Rt ΔQMF ≌Rt ΔARC . 即64S S =.∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=， 又∵27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++ =2c ，即 222c b a =+. 【证法11】〔利用切割线定理证明〕在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+ = 22a c -， 即222a c b -=，∴222c b a =+. 【证法12】〔利用多列米定理证明〕在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 接于一个圆. 根据多列米定理，圆接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB •+•=•，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴222c b a =+.【证法13】〔作直角三角形的切圆证明〕在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边O ，切点分别为D 、E 、F 〔如图〕，设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即r c b a 2=-+，∴c r b a +=+2. ∴()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵abS ABC 21=∆， ∴ABC S ab ∆=42， 又∵AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴()ab rc r242=+，∴22222c ab ab b a +=++， ∴222c b a =+. 【证法14】〔利用反证法证明〕如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵∠A = ∠A ， ∴假设 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵∠B = ∠B ，∴假设BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵∠ACB = 90º，∴∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴222c b a =+.【证法15】〔辛卜松证明〕ABCD . 把正方形ABCD 划分ABCD 划分成上方右图 ()2b a +∴2a +2c =.【证法〔b>a 〕a 、b 的正方形〔b>a 〕，把它. . D D在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c .∵EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴DM = EM ―ED = ()a b +―a = b .又∵∠CMD = 90º，CM = a ，∠AED = 90º， AE = b ， ∴Rt ΔAED ≌Rt ΔDMC .∴∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ΔABF ≌ΔADE .∴∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中，∵AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴Rt ΔABF ≌Rt ΔBCG .∵54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=，732S S a +=， 76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++ =5432S S S S +++ =2c∴222c b a =+.。
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2
2 ， 整理得
a2 b2 c2.
【证法 2】（邹元治证明）
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1 ab 形的面积等于 2 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点
在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a.
∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形.
同理，HP面积为 S，则
∵ D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形.
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 a b2 .
a b2 4 1 ab c2
∴
2
.
∴ a2 b2 c2.
【证法 3】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P.
a 2 b2 S 2 1 ab, 2
∴ a2 b2 c2.
c2 S 2 1 ab 2,
【 】（ ） 证法 4 1876 年美国总统 Garfield 证明
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角 1 ab
三角形的面积等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上.
a b2 4 1 ab c2
2
= 2ab c 2 .
∴ a 2 b2 2ab 2ab c 2 ,
∴ a2 b2 c2.
初二（1）
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的
正方形. 它的面积等于 c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,
b
C
设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正
方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形
ABCD 的面积为 a b2 a 2 b2 2ab ；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示
的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为
勾股定理五种证明方法
【证法 1】
勾股定理五种证明方法
做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为
c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即
a 2 b2 4 1 ab c 2 4 1 ab
1 a b2
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2
.
1 a b2 2 1 ab 1 c2
∴2
2 2.
∴ a2 b2 c2.
【证法 5】（辛卜松证明）
A
b
a
D
a ab
a2
a
b
b2
B
b
ab b aC
A
b
1 ab a2 c
c2
aD
1 ab 2b c
b
c 1 ab
2
Ba
c
1 ab
a
2
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
1 c2 它的面积等于 2 .
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.