大数定律
大数定律
一、问题的提出
二、随机变量序列的收敛性
回
三、常用的四种大数定律
停 下
一、问题的提出
在第一章有关概率的统计定义中讲到, 随 机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律 性, 即事件发生的频率具有稳定性.
贝努里于1713年首先提出关于频率稳定性的 定理, 被称为贝努里大数定律.
大数定律的客观背景
g(Yn ) P g(C).
证 由 g() 在C处连续可知，对任意实数 0, 存在实数 0, 使当 | y C | 时，总有 | g( y) g(C) | , 从而
{| Yn C | } {| g(Yn ) g(C ) |},
1 P{| g(Yn) g(C) | } P{| Yn C | }
定义4.5 设X1, X2, , Xn , 是随机变量序列 ,
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这样一个常数序列a1,a2, ,an, , 对任意的ε 0,恒有
lim P
n
Yn an ε
1
则称随机变量序列X n 服从大数定律 .
定理4.3 切比谢夫大数定律
设X1, X2, , Xn, 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
lim
n
Fn (
x)
F
(
x)
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y，
简记为
Yn LY
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn( x) 收敛于Y 的分布函数 F ( x), 它是概率论中 较弱的一种收敛性. 定义4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量Y，若对
任意实数 0, 有Biblioteka 切比谢夫大数定理大 数
概率论中的大数定律分析
概率论中的大数定律分析在概率论中，大数定律是一组重要的数学定理，描述了随机变量序列的极限行为。
它们告诉我们，随着样本容量的增大，随机事件的平均结果趋向于确定的常数。
本文将对大数定律进行分析，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、初识大数定律大数定律最早可以追溯到十七世纪的赌博问题。
法国数学家帕斯卡和费马独立地思考了在赌博中连续成功的概率，并提出了类似的解决方法。
可以说，大数定律的研究源远流长。
二、大数定律的基本原理大数定律的基本原理可以归结为以下两种形式：辛钦定律（辛钦大数定律）和伯努利定律（伯努利大数定律）。
1. 辛钦定律辛钦定律是较早被证明的一种大数定律，其内容是：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列的期望值存在有限，即 E(Xᵢ) = μ，其中i = 1,2,...,n，那么对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - μ| < ε) = 1这意味着样本均值的极限等于总体均值，当n趋近于无穷大时。
辛钦定律的一个重要应用是该定律能够反映频率与概率的关系。
2. 伯努利定律伯努利定律是概率论中另一种重要的大数定律，描述了在独立重复试验中，事件发生的频率接近其概率。
该定律可以表示为：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列中事件A发生的概率为p，则对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - p| < ε) = 1这意味着在重复独立的试验中，事件A发生的频率将趋近于其概率p，当n趋近于无穷大时。
伯努利定律是大数定律中最为经典的定律之一。
三、大数定律在实际应用中的重要性大数定律在许多领域中都有着广泛的应用，例如金融、统计学、物理学和工程学等。
在金融领域中，大数定律被应用于风险管理和投资决策。
通过对金融市场中的样本序列进行分析，可以推断出未来市场走势，帮助投资者做出较为准确的决策。
大数定律的证明
大数定律的证明大数定律是概率论中的一个重要定理，它表明对于一系列独立随机变量取均值的情况，随着样本数的增大，这些随机变量的均值趋近于其期望。
即当样本数趋近于无限大时，样本均值趋近于总体均值。
（注：下文中大写字母X表示随机变量的取值，小写字母x表示样本的取值）下面是大数定律的证明。
假设Xi是独立同分布随机变量，其期望是μ，方差是σ²。
则样本均值Xn的表达式为：Xn = (X1+X2+...+Xn) / n样本均值Xn的期望E(Xn)可以表示为：由于每一个随机变量的期望为μ，则有：E(Xn) = E[(X1+X2+...+Xn) / n]= (E(X1)+E(X2)+...+E(Xn)) / n= (n×μ) / n= μ即样本均值的期望等于总体均值。
为了证明大数定律，我们还需要计算样本均值的方差Var(Xn)：根据独立同分布随机变量的性质，有：E[(X1+X2+...+Xn)²] = Var(X1+X2+...+Xn) + E(X1+X2+...+Xn)²正在使用翻译：Var(X1+X2+...+Xn)=∑i=1nP(Xi)(Xi−μ)2将以上的式子代入Var(Xn)的式子中，得到：Var(Xn) = (1/n²)×(nσ²+nμ² - 2nμ² + nμ²)= σ²/n因此，样本均值Xn的方差是随样本数的增大而减小的，即随着n的增大，Var(Xn)趋于0。
根据切比雪夫不等式，对于任何ε>0，有：P(|Xn-μ|≥ ε) ≤ Var(Xn) / ε²当n→∞时，上式中右侧趋于0，因此P(|Xn-μ| ≥ ε)也趋于0，即样本均值与总体均值之间的差距随着n的增大而越来越小，趋于无限逼近。
综上所述，当样本数趋近于无限大时，样本均值趋近于总体均值，即大数定律成立。
大数定律
k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理） 设随机变量 数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记 相互独立，它们具有 ，
若存在正数 使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每 个别因素对这种综合 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大。 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布。 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题。 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4
大数定律的证明
大数定律的证明
大数定律是概率论中的一个重要定理，它指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值趋近于总体期望值的概率越来越大。
这个定理的证明需要用到强大的数学工具，包括切比雪夫不等式、马尔可夫不等式、刘维尔定理等等。
大数定律有两种形式，一种是弱大数定律，另一种是强大数定律。
弱大数定律指出，当随机变量的方差存在时，样本平均值以总体期望值为中心的区间会越来越窄，但不会收敛到总体期望值。
强大数定律则更为严格，它可以保证样本平均值收敛到总体期望值的概率为1。
大数定律的证明需要从样本的角度出发，通过估计样本平均值与总体期望值之间的差异来推导定理。
切比雪夫不等式可以用来测量样本平均值与总体期望值之间的差异的上界。
马尔可夫不等式可以用来证明样本平均值与总体期望值之间的差异趋近于0的概率越来越大。
刘维尔定理则为推导强大数定律提供了重要的数学工具。
总之，大数定律是概率论中的一个重要定理，它为我们理解随机事件的规律提供了坚实的理论基础。
它的证明需要用到强大的数学工具，但对于喜欢数学的人来说，这也是一次难得的挑战。
- 1 -。
大数定律的四种证法
对于一般人来说，大数定律的非严格表述是这样的：X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u，S_n=X_1+...+X_n，则S_n/n收敛到u.如果说“弱大数定律”，上述收敛是指依概率收敛(in probability)，如果说“强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。
这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石之一，重要性在本人看来甚至不弱于微积分。
（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。
而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。
例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。
）最早的大数定律的表述可以追朔到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。
1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。
不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现，因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。
后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。
直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolgomorov才真正证明了最后的强大数定律。
下面均假设X, X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u。
独立同分布随机变量和的大数定律常有的表现形式有以下几种。
初等概率论(1). 带方差的弱大数定律：若E(X^2)小于无穷，则S_n/n-u依概率收敛到0。
证明方法：Chebyshev不等式即可得到。
大数定律在概率论中的应用
大数定律在概率论中的应用概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象和概率规律。
在概率论的发展过程中，大数定律是一个十分重要的概念。
大数定律指出，当试验次数足够多时，随机事件的频率将接近于其概率。
本文将重点探讨大数定律在概率论中的应用，并展示它在实际问题中的重要性。
一、大数定律概述大数定律是概率论的核心内容之一，它主要研究随机试验次数足够多时，事件发生频率的稳定性。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两类，其中弱大数定律是指事件发生频率的期望值可以逼近其概率值，而强大数定律则是指事件发生频率的几乎必然收敛于其概率值。
二、大数定律的应用1. 投资收益率大数定律在金融领域中有广泛的应用。
比如，当投资者进行大量投资时，根据大数定律，投资收益率的均值将逐渐接近投资组合的期望收益率。
这对于评估投资风险和预测未来收益具有重要意义。
2. 统计调查在统计调查中，大数定律可以保证样本的代表性和可信度。
通过采集足够多的样本，可以使样本统计量接近总体参数，从而得到对总体的准确推断。
这在社会调查、市场研究等领域中具有重要应用价值。
3. 数字模拟数字模拟是一种通过计算机模拟随机实验的方法，用于分析复杂系统的行为。
大数定律在数字模拟中扮演着重要的角色，通过大量的模拟实验，可以得到收敛准确的近似解。
这在工程设计、风险评估等领域中被广泛使用。
4. 股票市场分析大数定律在股票市场分析中有着重要的应用。
通过分析历史数据并进行足够多的交易，可以根据大数定律，得到股票价格的趋势和波动范围，从而指导投资决策。
5. 生物统计学在生物统计学中，大数定律可用于描述生物学实验结果的稳定性。
通过重复实验并取得足够多的样本，可以保证实验结果的可靠性，为疾病治疗、药品研发等提供科学依据。
三、大数定律的重要性大数定律在概率论中的应用广泛且重要。
它为我们理解和分析随机事件提供了可靠的数学基础，有助于我们从大量试验中总结规律，并为实际问题的解决提供准确的依据。
大数定律与中心极限定理
大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。
本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。
一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。
简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。
大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。
而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。
在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。
例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。
此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。
也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。
中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。
例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。
此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。
假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。
而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。
综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。
大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。
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试验中事件A出现的次数, 则对任意的 ε 0, 都有 μn 1 n lim P pk ε 0 n n n k 1 证 令
0, 第k次试验中 A不发生 k 1, 2,, n X k＝ 1, 第k次试验中 A发生
n
lim P{| Yn Y | } 1 lim P{| Yn Y | } 0
或
n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛与随机变量Y， 简记为
Yn Y
P
Y 依概率收敛表示： n 与 Y 的绝对误差小于任意小 的正数 的可能性(即概率)将随着n增大而愈来愈 大，直至趋于1. P C 定理4.1 设 {Yn } 为一随机变量序列， Yn 且 g() 在点C处连续，则有 (常数)，又函数
第一节 大数定律
一、问题的提出 二、随机变量序列的收敛性
回
三、常用的四种大数定律
停 下
一、问题的提出
在第一章有关概率的统计定义中讲到, 随 机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律 性, 即事件发生的频率具有稳定性. 贝努里于1713年首先提出关于频率稳定性的 定理, 被称为贝努里大数定律.
大数定律的客观背景 在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平 均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大 量随机现象中平均结果的稳定性的理论.
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
因为
2 Xn
0 1 1 2 n
na 2
检验是否 有有限方 差
1 P n2 2 na 2 1 a 2 所以 E X n n2
2 D X n E X n E X n 2 a 2
因此, 随机变量 X n n 1, 2,有有限的方差, 且有 公共上界.
DYn
4
n 2 n 1
i 2 D X i 2
i 1
n
4σ 2
2
n n 1
i2 2
i 1
n
4nn 12n 1 σ 2
n 12 6n
2
22n 1 σ 2 3nn 1
从而对任意给定的 0, 由切比谢夫不等式得 DYn 0 P{| Yn μ | ε } ε2 22n 1 σ 2 0 n 2 3nn 1ε P 因此 Yn .
(2) 若 X n X ，则
。
a .e
P
r
Xn X ;
Xn X ; Xn X .
L P
P
(3) 若 X n X ，则
。
r
X ，则 (4) 若 X n
P
三、常用的四种大数定理
定义4.5 设X 1 , X 2 ,, X n , 是随机变量序列 ,
通俗地说, 在定理条件下, n 个随机变 量的算术平均值, 当 n无限增加时, 几乎变 成一个常数.
2
切比谢夫大数定理的另一种叙述
设X 1 , X 2 ,, X n ,是两两不相关的随机变量序列,
每一随机变量都有有限的方差, 并有公共的上界
D X 1 C , D X 2 C ,, D X n C ,
2 2 2 X1 , X 2 ,, X n ,也是相互独立的. 由 E X k 0,
得
2 E( X k )
D X k E X k 2 .
2
由辛钦大数定理知, 对于任意正数 , 有 1 n 2 2 lim P X k 1. n n k 1
n
或简记为
P{ lim Yn Y } 1
n
则称随机变量序列 {Yn }以概率1（或几乎处处） 以概率1（或几乎处处）收敛于随机变量 Y
。
简记为
Yn Y
a .e
下面定理揭示了四种收敛之间的关系。 定理 4.2 设随机变量序列 { X n } 和随机变量 X
X ; (1)若 X n X ，则 X n
b
y＝f(x)
A 1 x
z: x (ba)za后, 可将 x 轴上的区间[a, b]变为 z
2 Yn iX i n n 1 i 1
依概率收敛到 .
n 2 因为 E Yn E iX i n n 1 i 1
n
解
n n 2 2 iE X i nn 1 i n n 1 i 1 i 1
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛与随机变量Y， 简记为
Yn Y
L
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn ( x ) 收敛于Y 的分布函数 F ( x ), 它是概率论中
较弱的一种收敛性. 定义4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量Y，若对 任意实数 0, 有
证毕.
μA 注1 贝努里大数定理表明事件发生的频率 n 依概率收敛于事件的概率p.
用严格的数学形式 表达频率的稳定性 ! 当 n 很大时, 事件发生的频率与概率 有较大偏差的可能性很小.在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的
频率来代替事件的概率.
定理4.6 泊松大数定理
如果在一个独立试验序列中, 事件A在第 k 次
1 n Yn X i n i 1
令
如果存在这样一个常数序列 a1 , a2 ,, an ,,
对任意的ε 0, 恒有
则称随机变量序列X n 服从大数定律.
n
lim P Yn an ε 0
定理4.3 切比谢夫大数定律
设X 1 , X 2 ,, X n ,是两两不相关的随机变量序列,
n lim P p 0 n n
证
引入随机变量
0, 在第k次试验中事件 A不发生 X k＝ 1, 在第k次试验中事件 A发生 k 1, 2,, n .
显然, 由于X 1 , X 2 ,, X n是相互独立的, 且同服从
B1, p 分布, 故有
n
Y
E | Yn |r (n 1,2) 时，有
lim E | Yn Y | 0
r
r 则称随机变量序列 {Yn } 阶收敛于随机变量Y
，简记为
Yn Y
r
特别的有
1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 可以证明：均方收敛则平均收敛。
定义 4.4 设随机变量序列 {Yn ( )} 和随机变量 Y ( ) ，若 P{ : lim Yn ( ) Y ( )} 1
由定理4.3可得结论.
且具有数学期望 E X k 任意的 0, 都有
定理4.7 辛钦大数定理 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n相互独立, 服从同一分布,
k 1, 2,, n , 则对
1 n lim P X i 0 n n i 1
例2 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立,
具有如下分布律: X n na 0 1 1 P 1 2 2 2n n
na 1 2n 2 检验是否有 问是否满足切比谢夫大数定理? 数学期望 解 由题意可知独立性. 1 1 1 E ( X n ) na 2 0 1 2 na 2 0, 2n n 2n
注1 与切比谢夫大数定理相比, 不要求方差存在 且有界. 2 贝努里大数定理是辛钦大数定理的特例.
例3 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , 独立同分布, 且E ( X k ) 0, D( X k ) σ 2 , k 1, 2, ,证明对任意 正数ε , 有 1 n 2 2 lim P X k σ ε 1 n n k 1 解 因为 X 1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的 , 所以
g(Yn ) g(C ).
P
证 由 g() 在C处连续可知，对任意实数 0, 存在实数 0, 使当 | y C | 时，总有
| g( y ) g(C ) | , 从而
{| Yn C | } {| g(Yn ) g(C ) |},
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、随机变量序列的收敛性
定义4.1 设随机变量 Yn ( n 1,2,) 和随机变量Y
的分布函数分别为Fn ( x )( n 1,2,)和F ( x ),若在
F ( x ) 的所有连续点 x 上都有
n
lim Fn ( x ) F ( x )
故满足切比谢夫大数定理的条件.
定理4.4
设Yn为一随机变量序列, 且Yn C 常数,
P
又函数g在点C处连续, 则 gYn gC .
P
定理4.5 贝努里大数定理
设 μn 是 n 次独立重复贝努里试验 中事件A 发生的次数, p是事件 A 在每次试验中发生的概率 , 则对任意的ε 0, 有
1 P{| g(Yn ) g(C ) | } P{| Yn C | }
1 P{| Yn C | } 1, n
这就表明：
g(Yn ) g(C )
P
定义 4.3 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量 对 r0 r 和 E | Y | ，若
例4 设 f(x) (a x b) 是连续函数, 试用概率论
方法近似计算积分 f x dx . a y 1 解 设 |f(x)| 的一个上界 为M (M>0), f(x)的最小值
f x h 1, 为h, 则 0 O 2M 故不妨假定 0 f(x) 1, 引进新变量证Βιβλιοθήκη 因为X n 两两不相关, 故