概率论大数定律及其应用
大数定律的直观解释
大数定律的直观解释大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值的现象。
这个定律在统计学和实际应用中具有广泛的应用价值。
本文将从直观的角度解释大数定律，并探讨其背后的原理和应用。
一、大数定律的直观解释大数定律的直观解释可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个均匀的硬币，正面和反面的概率都是50%。
我们进行一次抛硬币的实验，记录下正面朝上的次数。
重复进行这个实验多次，每次都记录下正面朝上的次数，并计算出平均值。
根据大数定律，随着实验次数的增加，这个平均值会趋近于50%。
为了验证这个定律，我们进行了100次抛硬币的实验。
结果显示，正面朝上的次数分别为48、51、49、50、52、49、50、51、50、49……我们可以看到，每次实验的结果都有一定的波动，但是随着实验次数的增加，正面朝上的次数逐渐接近50%。
当实验次数增加到1000次时，正面朝上的次数接近500次，当实验次数增加到10000次时，正面朝上的次数更加接近5000次。
这个例子说明了大数定律的直观解释：随着试验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
在这个例子中，总体均值是50%，而样本均值是每次实验中正面朝上的次数与实验次数的比值。
当实验次数增加时，样本均值会逐渐接近总体均值。
二、大数定律的原理大数定律的原理可以通过概率论和数理统计的知识来解释。
在独立重复试验中，每次试验的结果是一个随机变量，它们之间相互独立且具有相同的分布。
根据概率论的知识，随机变量的均值是一个稳定的量，它的波动会随着试验次数的增加而减小。
根据大数定律的原理，当试验次数趋于无穷大时，样本均值会收敛到总体均值。
这是因为随着试验次数的增加，样本均值的波动会逐渐减小，最终趋于稳定。
当试验次数足够大时，样本均值与总体均值之间的差异可以忽略不计。
三、大数定律的应用大数定律在统计学和实际应用中具有广泛的应用价值。
它为我们提供了一种估计总体均值的方法。
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本而又重要的概念。
本文将详细探讨这两个定律，并阐述它们在概率论中的应用。
一、大数定律大数定律是概率论中最为基本的定律之一。
它描述了在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率会趋于稳定，即其概率的长期平均值会趋于事件的真实概率。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
弱大数定律是指在概率分布具有一定条件时，频率收敛到概率的几乎必然成立。
也就是说，如果一个事件发生的概率为p，那么当试验次数增加时，该事件发生的频率会趋于p。
这种定律的典型应用是频率稳定的硬币投掷问题。
当试验次数趋于无穷大时，正面朝上的频率会收敛于0.5，即硬币的正反面概率相等。
强大数定律是指在一般条件下，频率收敛到概率的几乎必然成立。
它比弱大数定律更为强大，可以涵盖更广泛的情况。
例如，当试验次数无限大时，独立同分布随机变量的均值收敛于其数学期望。
这种定律对于实际问题的应用更为广泛，可以用于解释一系列现象，如赌博、股票市场等。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中最为重要的定理之一。
它描述了当独立同分布随机变量的和的样本容量足够大时，这个和的分布会趋近于正态分布。
中心极限定理包括三种形式：李雅普诺夫定理、林德贝格-列维定理和棣莫弗-拉普拉斯定理。
李雅普诺夫定理是中心极限定理的一种形式，描述了独立随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
它要求随机变量具有有限的方差，并且样本容量足够大。
在实际应用中，李雅普诺夫定理可以用于描述大量相互独立事件的和的分布。
林德贝格-列维定理是中心极限定理的另一种形式，描述了独立同分布随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
与李雅普诺夫定理相比，林德贝格-列维定理的条件更为宽松，不再要求有限的方差。
这使得林德贝格-列维定理在实际应用中更为通用。
棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的一种特殊情况，适用于二项分布。
概率与统计中的大数定律与中心极限定理的应用
概率与统计中的大数定律与中心极限定理的应用概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性，并通过数学模型来描述和分析这些现象。
在概率与统计的理论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有广泛的意义和重要性。
一、大数定律的应用大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了大样本下随机现象的平均值趋于期望值的稳定性。
具体而言，大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
在实际应用中，大数定律被广泛运用于统计学、经济学、生物学等领域。
以统计学为例，当我们对一个总体进行抽样调查时，根据大数定律可以知道，样本的平均值会趋于总体的平均值。
通过对样本数据的分析，可以推断和预测总体的特征。
另外，大数定律还可以用于对概率分布进行估计。
例如，在投掷硬币的实验中，我们可以统计投掷n次后正面朝上的频率，根据大数定律可以得到正面出现的概率接近0.5。
二、中心极限定理的应用中心极限定理是概率论中的另一个经典定理，它描述了独立随机变量和的和的分布在一定条件下逼近正态分布。
中心极限定理不仅在理论中有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
在实际应用中，中心极限定理可以用来估计总体的分布以及参数。
例如，在企业的市场调研中，我们可以通过对一定数量的样本进行调查，根据中心极限定理对总体的特征进行估计。
这对于制定营销策略、定价和产品开发等具有重要意义。
此外，中心极限定理还被广泛应用于信号处理、通信工程、金融学等领域。
以信号处理为例，当我们对信号进行采样和处理时，根据中心极限定理可以知道，经过处理后的信号近似服从正态分布，这对于信号的分析和处理具有指导意义。
总结起来，概率与统计中的大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有重要的意义和价值。
大数定律揭示了大样本下随机现象的规律性，可以用于参数估计和预测；中心极限定理描述了独立随机变量和的和的分布的特性，在总体分布的估计和分析中具有重要作用。
对于从事概率与统计相关工作的人员来说，熟练掌握大数定律和中心极限定理的应用，能够更好地理解和解决实际问题。
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
概率论大数定律及其应用
概率论大数定律及其应用Revised as of 23 November 2020概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。
概率论中讨论的向的定律。
概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。
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概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。
概率论中讨论的向的定律。
概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。
大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。
那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。
即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。
一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。
正文：发展历史：概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是大数定律要研究的问题.1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显着进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。
它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。
不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于21。
频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。
而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。
随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如切比雪夫大数定律，伯努利大数定律就是切比雪夫大数定律的一个特例。
再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。
主要含义：大数定律(law of large numbers)，又称，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。
但是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是大数定律并不是经验规律，而是了的定理。
有些无规律可循，但不少是有规律的，这些“有规律的随机事件” 数学家伯努利在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
确切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出现的的，即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。
简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。
该描述即。
相关数学家：拉普拉斯拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎数学教授，1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。
1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长，1827年3月5日卒于巴黎。
拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的、和，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
德莫佛），法国数学家。
德莫佛对数学最着名的贡献是德莫佛公式（de Moivre Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，以及他对正态分布和概率理论的研究。
德莫佛还写了一本概率理论的教科书，The Doctrine of Chances，据说这本书被投机主义者（gambler）高度赞扬。
德莫佛是和概率理论的先驱之一；他还最早发现了一个二项分布的近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。
大数定理的意义：在一个中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有稳定性。
在数理统计中，一般有三个定理，贝努利定理和定理，如：反映和频率的稳定性。
当n很大时，算术平均值接近；频率以概率收敛于事件的概率。
表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。
由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
大数定律的表现形式：由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。
定义1 设有一列随机变量1,2,ηηηK ，如果对于任意的0ε>，有()lim 1n n P ηηε→∞-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),pn n ηη−−→→∞。
定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若(){}lim 1n n P ηωη→∞==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a en n ηη−−→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ⋅⋅⋅,使得对任意的0ε>,有11lim 1n i n n i P a n ξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （8） 成立，则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律。
定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、r n E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0rn n E ηη→∞-=则称n ηr 次平均收敛到η。
记作 rLn ηη−−→。
此时必有rr n E E ηη=。
当r=2时是常用的二阶矩，2Lnηη−−→称为均方收敛。
定义5 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有则称随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从弱大数定律。
定义6 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有()1lim 01n k k n i P E n ξξ→∞⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑或等价地.110n n a ek k i i E n n ξξ-−−→∑∑， 则称12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从强大数定律。
上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。
定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξζεε-≥≤， 则称此式子为切比雪夫不等式。
粗糙地说，如果D ξ越大，那么()Pa ζε-≥也会大一些。
大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1）,则0ε∀>，有lim 1n n P p n με→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭（5） 此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3 （切比雪夫大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C>,使有,1,2,3i D C i ξ≤=⋅⋅⋅，则对于任意的0ε>,有1111lim 1n ni i n i i P E n n ξξε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑ （9）在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。