概率论大数定律与强大数定理优秀课件
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大学课件-概率论之大数定律和中心极限定理
依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y
若对任意的 >0，有
nlim
P
:
Xn() Y ()
0
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于Y, 记为
Xn P Y
弱大数定律讨论的就是依概率收敛.
以概率1收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y
如果
P(
:
lim
x
X
n
()
P(t1
vn
t2 )
P
t1
np npq
vn
np npq
t2
np npq
t2
np npq
t1
np npq
查分布表
当n 较小时，误差较大，公式可修正为
P(t1
vn
t2 )
t2
(1/ 2) npq
np
t1
(1/ 2) npq
np
查正态分布表
例5.2.2设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较 大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者 约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4 的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位 数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能 超过0.1，问设多少座位为好？
X3
X
2 4
X5
X6
n
n
X2 3n2
X 3n1 X 3n
P14 , n
a 14
习题5.11 假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间Xi服从区间[5,53] (单位：分钟)上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问
当n
时，n次服务时间的算术平均值 1 n
5大数定律与中心极限定理 课件(共31张PPT)- 《概率论与数理统计(第2版)》同步教学(人民邮电
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 12
定理4（独立同散布大数定律）
设随机变量序列X1, X2, , Xn, 独立同分布，若E Xi ，D Xi = 2 ，
i 1, 2, 。则对任意 0，有
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
这里随机变量序列X1, X2, , Xn , 独立同分布指随机变量序列相互独立， 且序列中随机变量的分布类型及参数均相同。
例2 设X ~ N (, 2，) 用切比雪夫不等式估计概率P( X 3 ) 。
解
因为 =3 ，由切比雪夫不等式得
P X EX DX 2
P
X
3
D(X )
3 2
=
1 9
一、切比雪夫不等式
第5章 大数定律及中心极限定理 7
例3
设随机变量 X 的方差 D X 0，求证，X 服从参数为 c 的退化散布。
n
n i 1
X
2 i
P 1 n
n i 1
E
X
2 i
E
X
2 i
D Xi
E2
Xi
三、大数定律
第5章 大数定律及中心极限定理 17
例4续
01 当Xi B(m, p)时，E Xi =mp, E
X
2 i
=mp 1 p m2 p2, 有
OPTION
X P mp,
1 n
n i 1
X
2 i
P mp 1
p
m2 p2
02 OPTION
当X i
E 时，E
Xi
=
1
,
E
X
2 i
=
2
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论课件第五章资料
vn n
np 1
n2
p
p 1
n
p
由切比雪夫不等式，对任意正数ε，有
0
P
vn n
p
p 1 p
n 2
n 0
lim
P
n
vn n
p
0
历史上，伯努利是第一个研究弱大数定理的， 他在1713年发表的论文中，提出了上述定理， 那是概率论的第一篇论文。
依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量
可以证明，若 Xn a.s Y 则 Xn P Y
强大数定律讨论的就是以概率1收敛.
二、强大数定律 定义
设有独立随机变量序列X1, X2,…, Xn，如
n
Xi EXi
P lim i=1
=0 1
n
n
则称{Xn}满足强大数定律。
柯尔莫哥洛夫不等式 （引理5.1.2）
设X1, X2,…, Xn为独立随机变量序列，具有 有限的数学期望和方差，则对任意 >0 ，有
n i 1
X
i
1 n2
n
Var Xi
i 1
2 n
P{Yn
EYn
}
Var Yn
2
2
n 2
0
(n )
得证。
辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是独
立同分布的随机变量序列，且有有限的期望μ， 则对任意ε>0，有
lim
n
P
X1
X2 n
Xn
0
显然
E
X1
X2
n
Xn
n
证
令Var Xi 2,
n i 1
EX i
大数定律弱大数定律强大数定律
大数定律弱大数定律强大数定律大数定律是概率论中的重要定理之一，用来描述随机试验中样本均值的收敛性质。
弱大数定律和强大数定律是大数定律的两种形式，它们分别适用于不同条件下的样本均值收敛情况。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍大数定律和它们的区别。
一、大数定律的概念大数定律是概率论的基础定理之一，它描述了当样本容量逐渐增大时，样本均值将会接近于总体均值的现象。
换句话说，大数定律说明了随机事件的平均结果会趋于稳定。
大数定律是统计学中非常重要的理论基础，对于判断样本均值是否能够代表总体均值具有重要意义。
二、弱大数定律的表述与证明弱大数定律也被称为伯努利定律或辛钦大数定律，它是大数定律的一种形式。
弱大数定律的表述是：对于独立同分布的随机变量序列，样本均值收敛于总体均值的概率为1。
换句话说，无论样本容量多大，样本均值与总体均值之间的差异都会在概率上趋于0。
弱大数定律的证明通常使用切尔诺夫辩证法。
根据独立同分布的条件，可以通过计算随机变量序列的方差和协方差来推导出样本均值的极限分布。
经过一系列推导，可以得到样本均值与总体均值之间的差异的概率极限为0，从而证明了弱大数定律。
三、强大数定律的表述与证明强大数定律也被称为布尔查诺夫大数定律，它是大数定律的另一种形式。
强大数定律的表述是：对于满足一定条件的随机变量序列，样本均值几乎处处收敛于总体均值。
与弱大数定律不同的是，强大数定律要求随机变量序列满足更严格的条件，如独立同分布序列的方差有界等。
强大数定律的证明比较困难，常采用盖希尔定理、泛函不等式等方法。
通过引入随机变量序列的独立性和方差有界性等条件，可以推导出样本均值的收敛性。
强大数定律表明，样本均值几乎必然收敛于总体均值，这是一种强收敛性的结果。
四、大数定律的应用大数定律在实际应用中具有广泛的意义。
首先，大数定律为统计推断提供了理论基础，使得我们能够根据样本均值对总体均值进行有力的估计。
其次，在金融和经济领域，大数定律被广泛用于建立风险模型和评估投资回报率。
概率论与数理统计-五大数定理-PPT
5
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
300
P
Xi 0
i 1
n
10
n
P
300
Xi
i 1
5
0
2
2 2 2 2 1 0.9544
15
德莫威尔—拉普拉斯定理
设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为
p0 p 1， 随机变量 表Yn示事件A 在n 次实验中发生的次
数，则有
lim
n
P
Yn
Ai 表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。
n
Bn Ai 而 P( Ai ) p
i 1
P(Bn )
P n Ai i1
1
P
n i 1
Ai
1 P
A1
A2 An
1 P A1 P A2 P An 1 (1 p)n
显然，当n 时，P(Bn ) 1. [注] 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验
X1 , X 2的, 算, X术n平均值：
X n 的数学期望是：EX n
1 n
n i 1
EX i
X n 的方差为：
DX n
1 n2
n
DX i
i 1
1 n
X n n i1 X i
∴若方差一致有上界，则
DX n
1 n2
nK
K n
由此，当
n
充分大时，
随机变量
X
分散程度是很小的，
n
也就是说， X n的值较紧密地聚集在它的数学期望 EX n的附近.
P200 (6)
26 6!
e2
0.012
此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，
∴不能相信该工厂的次品率不大于0.01。
第一节大数定律PPT资料15页
P
g(Xn,Yn) g(a,b)
[证明]：见教材P 146页下方的小字体
概率统计
二. 贝努利大数定理
定理3. (贝努利定理) 设随机变量 X1,X2, Xn,
相互独立，且同时服从以 p 为参数
的(0 – 1)分布。则对任意正数 有：
limP n
nA p n
1
或
limP n
则对任意的正数 有:
limP n
n 1kn 1Xk
1
辛钦
概率统计
注: 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了
一条实际可行的途径。
请看演示 辛钦大数定律
总的：
大数定律从各个角度描述了样本的算术 平均值的及频率的稳定性 。也为人们习 惯上经常采用的用样本的算术平均值去 代替或 估计其平均值；用频率去代替或 估计其“概率”提供了理论上的依据。
概率统计
指的:是 对P 任意正 有数 lni m P(Yna)1
记为：Y n a
由此，定理2的结论可叙述为：序列
依概率收敛于常数
Xn
1 n
n k1
Xk
▲ 依概率收敛的序列具有如下性质:
P
P
设 Xna, Ynb 又设函数 g ( x, y ) 在点
( a, b ) 处连续，则有：
1 n
n
D(n 1kn1Xk)n12
n
D(Xk)
k1
1 n2
n2
12
n
由切比雪夫不等式可得: (P(XE(X))D(X 2 )
Pn 1kn 1Xk 122n
概率统计
令：n, 并注意到概率 1 , 所以得：
概率与数理统计_课件_第5章_大数定律
如图,钉板有n=16层，可以 求出标准差 16 4 ,
5%的时间要使用外线通话.设每部电话是否使 用外线通话是相互独立的. 求:该单位总机至少需要安装多少条外线 才能以90%以上的概率保证每部电话需要使用 外线时可以打通?
解:
1 第i部电话使用外线通话. 令 Xi 0 第i部电话未使用外线通话.
设该单位总机安装k条外线,则:
∴ Xi ∼ b(1,p).X1,X2 , ,X200相互独立.
20 np np (1 p) 5
X
i 1 n
n
i
np
3 np np (1 p) 5
np (1 p)
}
P{
25 0.995 25 0.995 25 0.995 (1) ( 1) 2 (1) 1 0.6826
X
i 1
Sn p | } 0 任给ε>0， lim P{| n n 贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小.
请看演示 贝努里大数定律 贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在. 定理3（辛钦大数定律） 设随机变量序列X1,X2, …独立同 分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
则
Sn X i
i 1 n
n
Sn 1 X i 是事件A发生的频率 n n i 1
于是有下面的定理：
贝努里
定理2（贝努里大数定律） 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0，
或
5%的时间要使用外线通话.设每部电话是否使 用外线通话是相互独立的. 求:该单位总机至少需要安装多少条外线 才能以90%以上的概率保证每部电话需要使用 外线时可以打通?
解:
1 第i部电话使用外线通话. 令 Xi 0 第i部电话未使用外线通话.
设该单位总机安装k条外线,则:
∴ Xi ∼ b(1,p).X1,X2 , ,X200相互独立.
20 np np (1 p) 5
X
i 1 n
n
i
np
3 np np (1 p) 5
np (1 p)
}
P{
25 0.995 25 0.995 25 0.995 (1) ( 1) 2 (1) 1 0.6826
X
i 1
Sn p | } 0 任给ε>0， lim P{| n n 贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A 的概率p有较大偏差的概率很小.
请看演示 贝努里大数定律 贝努里大数定律提供了通过试验来确 定事件概率的方法.
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在. 定理3（辛钦大数定律） 设随机变量序列X1,X2, …独立同 分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ,
则
Sn X i
i 1 n
n
Sn 1 X i 是事件A发生的频率 n n i 1
于是有下面的定理：
贝努里
定理2（贝努里大数定律） 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0，
或
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显 然 , X 1 , X 2 ,, X n 是 相 互 独 立 的 , 且 P { X i = 1 } = p
故有
E X k p ,D X k p 1 p 1 4 k 1 ,2 , ,n
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、常用的四种大数定律
定义4.5 设 X1,X2, ,Xn, 是随机变 , 量
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这序 样a 列 一 1,a2,个 ,an常 , ,数
对任ε意 0,恒 的有
liP m Y n a n ε 0
n
或 者 l n i m P Y n a n 1
总 次 数 ， p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ( 0 p 1 ) , 则对任ε意 0,的 有
n l iP m n n p 0
证 引入随机变量
Xk＝ 1 0,,
在k第 次试验A 中 不事 发件 生 在k第 次试验A 中 发事 生件
n
k1,2, ,n.unX1X2 Xn Xi i1
或 者 ln i m P n 1i n 1X in 1i n 1E X i 1
【证】因 为 X n 两 两 不 相 关 , 故
D n 1in 1X i n 1 2in 1D X iC n
再 由 车 贝 晓 夫 不 等 式 得 到
0P n 1i n1Xin 1i n1EiXε
概率论大数定律与强大数定理
主要内容 问题提出 马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律 泊松大数定律 辛钦大数定律
一、问题的引入
概率论是研究随机现象统计规律性的学 科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是 说，要从随机现象中去寻求统计规律，应该 研究大量随机现象.
【定律】车贝晓夫大数定律
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 两 两 不 相 关 的 随 机 变 量 序 列 , 每一随机变量的都方有 ,并 差有 有限 公共的上
D X 1 C , D X 2 C , , D X n C ,
则对任ε 意 0,恒 的有
n l i P m n 1 i n 1 X i n 1 i n 1 E i X ε 0
注2 当 n 很 大 时 , 随 机 变 量 X 1 , X 2 ,, X n 的
算术 平均n1值 in1Xi接近于它们的数 的学 算术平n 1均 in 1E值 Xi.
注3 车贝晓夫大数定律的另一种叙述
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 两 两 不 相 关 的 随 机 变 量 序 列 , 每一随机变量的都方有 ,并 差有 有限 公共的上
4σ2
n2n12
n
i2
i1
4n n 6 n 2 1 n 2 n 1 2 1 σ22 3 2 n n n 1 1 σ 2
从而对任意给定的 0, 由车贝晓夫不等式得
0P {Y |nμ|ε}D ε Y 2 n
2 3n 2n n 1 1σ ε2 2 0 n 因此 Yn P .
例： 设随机变量 X1, X2,, Xn, 相互独立,
D X 1 C , D X 2 C , , D X n C ,
则序 X列 n 1i n1Xi依概率 n 1i n 收 1EX 敛 i, 于
即
X Pn1in1EXi
注4 车贝晓夫大数定律与马尔可夫大数定律的 区别与联系
车 贝 晓 夫 大 数 定 理 显 然 可 由 马 尔 可 夫 大 数 定 理 推 出 ， 而 马 尔 可 夫 大 数 定 理 没 有 任 何 关 于 不 相 关 的 假 设 。
有有限方 差
D X n E X n 2 E X n 2 a 2
因 此 ,随 机 变 量 X n n 1 ,2 , 有 限 的 方 差 ,且 有
公 共 上 界 .
故满足车贝晓夫大数定律的条件.
【定律】 贝努里大数定律
设 n 是 n 次 独 立 重 复 贝 努 里 试 验 中 事 件 A 发 生 的
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限理论进行研究. 极 限理论的内容很广泛，其中最重要的两种 是:
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景
在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平 均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大 量随机现象中平均结果的稳定性的理论.
具有如下分布律:
Xn na 0 na
P
1 2n2
1
1 n2
1 2n2
问是否满足车贝晓夫大数定律的条件? 解
检验是否有 数学期望
由题意可知随机变量彼此不相关条件满足. E(Xn)n2 a n 120 1n 1 2 n2 a n 12 0,
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
检验是否
所E 以 X n 2n2 a n 1 2a2
则 称 随 机 变 量 序 列 X n 服 从 大 数 定 律 .
【定律】马尔可夫大数定律
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 随 机 变 量 序 列 , 如 果 下 式 成 立
1 n
n2D(i1Xi)0 (n)
则对任ε 意 0,恒 的有
n l i P m n 1 i n 1 X i n 1 i n 1 E i X ε 0
例：设X1, X2,, Xn 是独立同分布的随机变量
序 ,E (X 列 i) μ ,D (X i) σ 2 均 ,证 存明 在
Y nn n 2 1 i n 1iX i
依概率收敛到.
解 因为 EYnEnn21i n1iX i
nn21in1iEXi
2
nn
1
n i1
i
DYnn2n412iε2
Xi
C nε2
于是，当 n 时，有
1n 1n
l n i m P n i 1X i n i 1E X i 0
注1
车 贝 晓 夫 大 数 定 律 的 条 件 ： X i之 间 彼 此 不 相 关 ， 每 一 个 E (Xi)都 存 在 ， 方 差 D(Xi)有 限 ， 且 有 公 共 的 上 界
故有
E X k p ,D X k p 1 p 1 4 k 1 ,2 , ,n
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
二、常用的四种大数定律
定义4.5 设 X1,X2, ,Xn, 是随机变 , 量
令
Yn
1 n
n i 1
Xi
如果存在这序 样a 列 一 1,a2,个 ,an常 , ,数
对任ε意 0,恒 的有
liP m Y n a n ε 0
n
或 者 l n i m P Y n a n 1
总 次 数 ， p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ( 0 p 1 ) , 则对任ε意 0,的 有
n l iP m n n p 0
证 引入随机变量
Xk＝ 1 0,,
在k第 次试验A 中 不事 发件 生 在k第 次试验A 中 发事 生件
n
k1,2, ,n.unX1X2 Xn Xi i1
或 者 ln i m P n 1i n 1X in 1i n 1E X i 1
【证】因 为 X n 两 两 不 相 关 , 故
D n 1in 1X i n 1 2in 1D X iC n
再 由 车 贝 晓 夫 不 等 式 得 到
0P n 1i n1Xin 1i n1EiXε
概率论大数定律与强大数定理
主要内容 问题提出 马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律 泊松大数定律 辛钦大数定律
一、问题的引入
概率论是研究随机现象统计规律性的学 科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是 说，要从随机现象中去寻求统计规律，应该 研究大量随机现象.
【定律】车贝晓夫大数定律
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 两 两 不 相 关 的 随 机 变 量 序 列 , 每一随机变量的都方有 ,并 差有 有限 公共的上
D X 1 C , D X 2 C , , D X n C ,
则对任ε 意 0,恒 的有
n l i P m n 1 i n 1 X i n 1 i n 1 E i X ε 0
注2 当 n 很 大 时 , 随 机 变 量 X 1 , X 2 ,, X n 的
算术 平均n1值 in1Xi接近于它们的数 的学 算术平n 1均 in 1E值 Xi.
注3 车贝晓夫大数定律的另一种叙述
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 两 两 不 相 关 的 随 机 变 量 序 列 , 每一随机变量的都方有 ,并 差有 有限 公共的上
4σ2
n2n12
n
i2
i1
4n n 6 n 2 1 n 2 n 1 2 1 σ22 3 2 n n n 1 1 σ 2
从而对任意给定的 0, 由车贝晓夫不等式得
0P {Y |nμ|ε}D ε Y 2 n
2 3n 2n n 1 1σ ε2 2 0 n 因此 Yn P .
例： 设随机变量 X1, X2,, Xn, 相互独立,
D X 1 C , D X 2 C , , D X n C ,
则序 X列 n 1i n1Xi依概率 n 1i n 收 1EX 敛 i, 于
即
X Pn1in1EXi
注4 车贝晓夫大数定律与马尔可夫大数定律的 区别与联系
车 贝 晓 夫 大 数 定 理 显 然 可 由 马 尔 可 夫 大 数 定 理 推 出 ， 而 马 尔 可 夫 大 数 定 理 没 有 任 何 关 于 不 相 关 的 假 设 。
有有限方 差
D X n E X n 2 E X n 2 a 2
因 此 ,随 机 变 量 X n n 1 ,2 , 有 限 的 方 差 ,且 有
公 共 上 界 .
故满足车贝晓夫大数定律的条件.
【定律】 贝努里大数定律
设 n 是 n 次 独 立 重 复 贝 努 里 试 验 中 事 件 A 发 生 的
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限理论进行研究. 极 限理论的内容很广泛，其中最重要的两种 是:
大数定律 与 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景
在实践中, 人们认识到大量测量值的算术平 均值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大 量随机现象中平均结果的稳定性的理论.
具有如下分布律:
Xn na 0 na
P
1 2n2
1
1 n2
1 2n2
问是否满足车贝晓夫大数定律的条件? 解
检验是否有 数学期望
由题意可知随机变量彼此不相关条件满足. E(Xn)n2 a n 120 1n 1 2 n2 a n 12 0,
可见, 每个随机变量的数学期望都存在.
检验是否
所E 以 X n 2n2 a n 1 2a2
则 称 随 机 变 量 序 列 X n 服 从 大 数 定 律 .
【定律】马尔可夫大数定律
设 X 1 , X 2 ,, X n ,是 随 机 变 量 序 列 , 如 果 下 式 成 立
1 n
n2D(i1Xi)0 (n)
则对任ε 意 0,恒 的有
n l i P m n 1 i n 1 X i n 1 i n 1 E i X ε 0
例：设X1, X2,, Xn 是独立同分布的随机变量
序 ,E (X 列 i) μ ,D (X i) σ 2 均 ,证 存明 在
Y nn n 2 1 i n 1iX i
依概率收敛到.
解 因为 EYnEnn21i n1iX i
nn21in1iEXi
2
nn
1
n i1
i
DYnn2n412iε2
Xi
C nε2
于是，当 n 时，有
1n 1n
l n i m P n i 1X i n i 1E X i 0
注1
车 贝 晓 夫 大 数 定 律 的 条 件 ： X i之 间 彼 此 不 相 关 ， 每 一 个 E (Xi)都 存 在 ， 方 差 D(Xi)有 限 ， 且 有 公 共 的 上 界