概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件大数定律和中心极限定理
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概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
概率论与数理统计 第5章 大数定律和中心极限定理
5.1 大 数 定 律 作为上述定理得特殊情况，可以得到如下重要定 理： 定理 5.3 （伯努利大数定律）设 nA 是 n 重伯努利试 验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中 发生的概率，则对于任意正数，有
nA P nA 即 (5.4) p ( n ) limP p 1 n n n
第五章 大数定律和中心极限定理 【吸烟率调查问题】 某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将 被调查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在 要保证有 90% 以上的把握，使得调查对象吸烟者的
频率与该城市成年男子的吸烟率p之间的差异不大于
5%，问至少要调查多少对象？
5.1
大 数定 律
对某个随机变量 X进行大量的重复观测，所得到 的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于 这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的 条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时 出现的规律统称为大数定律．
即对于任意正数，有
1 n limP X i 1 n n i 1
1 n P X (n ) 也即 (5.3) i n i 1 n n 1 1 1 证：因为 E ( X i ) E ( X i ) n n n i 1 n i 1 1 n 1 D( X i ) 2 n i 1 n
nA p 实际上几乎是必定要发生的，即对于给 n
用事件发生的频率来近似地代替事件发生的概率．
5.1 大 数 定 律 上 述 契 比 谢 夫 大 数 定 律 中 要 求 随 机 变 量 X1 ， X2 ， … ， Xn ， … 的方差存在，实际上，在高等概率
论中已经证明了在不要求D(Xi)（i = 1，2，…）存在
大学《概率论与数理统计》课件第五章 大数定律与中心极限定理
n 100, p 0.2, E(X ) np 20, D(X ) npq 16 4,
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 其中 设有N 条外线.由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称 依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱 一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量 服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即 或
证 因为 所以 其中 相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率. 解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为
例5 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间 要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解 设有X 部分机同时使用外线，则有 其中 设有N 条外线.由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理得
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律 一、切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
定义1 设随机变量序列
在常数 a ，使得对于任意
有:
则称 依概率收敛于a ，记为
，如果存
注意
以概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛弱 一些，它具有某种不确定性.
且
是独立同分布的随机变量. 且
累计误差即总距离误差为1200 X k 近似 N (0,100) k 1
由定理1可得
下面介绍定理1 的特殊情况.
定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理（De Moivre-Laplace）
设随机变量 服从参数为
的二项分布
则对任意的x ，有
即 或
证 因为 所以 其中 相互独立，且都服从（0-1）分布。
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列独立同分布的随机变量，
且具有相同的期望和方差
则对任意实数x,有
即
，或
例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命 是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率. 解 设第i 只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知，诸Xi 独立，E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000 16只元件的寿命的总和为
概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件资料.
5
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1, X2, X3, ,若存在某常数，
使得 0,均有：lim P n
Xn
0,
则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数，
记为：Xn p 。
性质：已知Xn p ，并知函数g(x)在x=处连续，
则g Xn p g
6
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
,
, Xn,
相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)
由定理5.4,
lim
n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np源自 np(1 p)). 二项分布和正态分布的关14 系
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证明：由于E
Yn
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n k 1
则对于任意 0,都有：P
X EX
2 2
定理的等价形式为：P
X
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论与数理统计第5章-大数定律与中心极限定理
又设函数 g ( x , y ) 在点 (a , b ) 连续,
P 则 g( X n , Yn ) g(a , b ).
证明
因为 g( x , y ) 在 (a , b) 连续,
0, 0,
g( x , y ) g(a , b) ,
g ( x, y) g (a, b) ,
因此0 P{ g( X n , Yn ) g(a, b) }
n 0, P X n a P Yn b 2 2
P 则 g( X n , Yn ) g(a , b).
[证毕]
定理5.1(贝努里大数定律) 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的 次数, p是事件A在一次试验中发生的概率, 则对于任意的 0, 有
P P 注 : 若X n X , Yn Y , 则 P P (1) X n Yn X Y ;(2) X n Yn X Y;
Xn P X (3) X nYn XY ;(4) Yn Y
P
依概率收敛序列的性质
P P 设 Xn a , Yn b, (a , b为常数）
第五章 大数定律与中心极限定理
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到，当随机 试验的次数无限增大时，频率总在其概率附近摆动， 逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。 正态分布是概率论中的一个重要分布，它有着非常广 泛的应用。 中心极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机 变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从正态分 布。这两类定理是概率统计中的基本理论，在概率统 计中具有重要地位。
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
概率论与数理统计：大数定律与中心极限定理ppt课件
ห้องสมุดไป่ตู้
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
123456 7 14916 25 36 91 2 E x ,E x 6 2 6 6 91 49 182 147 35 2 2 D x E x (E x) 6 4 12 12 D x 35 2 7 1: 2 P (|x |1 ) 12 3 2 D x 35 35 1 7 2: 2 P (|x |2 ) 4 12 48 3 2
X ,X , ,X 1 2 n 相互独立， nA X k
n k 1
1n pq 记Y Xk , E ( Y ) p , D ( Y ) n n n n k1 n
由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
0 . 1875 n P |X 0 . 75 n | 0 . 01 n 1 2 ( 0 . 01 n )
令
0 .1875 n 1 0 .90 2 (0 .01 n )
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计 1 P |X | 3 0 . 1111 9 1 P |X | 2 0 . 25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
实际精确计算：
X 1 P 0 . 01 P 940 X 1060 6 6000
1 5 C 6 6
k 1059 k 6000 k 941
6000 k
0 . 959036
用Poisson 分布近似计算：
5.1
大数定律
概率论与数理统计图文课件最新版-第5章-大数定律及中心极限定理
0
p 是事件 A 在每次试验 中发生的概率
其中: nA X1 X2 L Xn
概率统计
其中: nA X1 X2 L Xn
p 是事件 A 在每次试验中 发生的概率。
证明: Q Xk 服从 (0 1 ) 分布
n 次独立 重复试验 中事件A 发生的次
数
E(Xk ) p n
令:
Xk
k 1
指的是：对任意正数 , P
lim
n
P(
Yn
a
)1
记为：Yn a
由此，定理2 的结论可叙述为：序列
依概率收敛于常数
Xn
1 n
n k 1
Xk
▲ 依概率收敛的序列具有如下性质:
P
P
设 Xn a , Yn b, 又设函数 g ( x, y ) 在点
( a, b ) 处连续，则有：
P
g( Xn , Yn ) g(a, b)
概率统计
第一节 大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性：
大量抛掷硬币 正面出现频率
概率统计
生产过程中 的废品率
……
字母使用频率
一. 切比雪夫大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1 , X2, … 是相互独立的随机变 量序列，它们都有有限的方差，并且方
差有共同的上界，即 D( Xi ) ≤ K， i=1,
k 1, 2,L , 作前 n 个随机变量的算术平均值：
概率统计
1 n
Xn n k1 Xk ,
1 n
Xn n k1 Xk ,
则对任意的 0有：
lim P
n
Xn
lim P
n
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n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
关键词： 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
23
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
24
§1 总体和样本
总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
P
X
2
1
P( X
1)
1
1 np npq
贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方 们法便，可既以然通频过率做试nA/验n与确概定率某p事有件较发大生偏的差频的率可并能把性它很作小为，相我 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。
n
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
设nA为n次贝努里试验中A发生的次数，P A p 0 p 1,
则对任意x，有：lim n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
e
t2 2
dt
(x),
2
证明：令X i
1 0
第i次试验时A发生 第i次试验时A未发生
则X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
1
lim
n
P
n
n i 1
Xi
1
或者，
序列
X
1 n
n i=1
Xi
以概率收敛于
即 X P
03,3,4分
7
定理5.3 贝努里大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验
中A发生的次数, 则
0, 有：lim
P
式，因nA bn, p,故：
3
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1, X2, X3, ,若存在某常数，
使得 0,均有：lim P n
Xn
0,
则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数，
记为：Xn p 。
性质：已知Xn p ，并知函数g(x)在x=处连续，
则g Xn p g
4
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X bn, p,n 10000, p 0.017
由德莫佛--拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：
P10000X 10000200 P X 200
1
200 np
np 1 p
思考题： 求保险公司至少 盈利10万元的概率。
12.321 0.01 答案：0.937
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)
由定理5.4,
lim
n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)). 二项分布和正态分布的关系
第六章 样本及抽样分布
x 2
x
2
f x dx
1
2
x 2 f x dx
DX
2
2 2
17
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证明：由于E
Yn
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n k 1
定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布，
E Xi , D Xi 2 0,i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
思考题：
X
1 n
n
Xi的近似
i=1
分布是什么？
x R,有：
n
Xi n
lim P
相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)
由定理5.4,
lim
n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)). 二项分布和正态分布的关12 系
证明：仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x,
则 P X f x dx x
f (x)
x 2
x
2
f x dx
1
2
x 2 f x dx
DX
2
2 2
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
根据独立同分布的中心极限定理:
16
Y
i 1
Xi 16100 4 100
X
1600 400
近似服从N
0,1
P X 1920 1 P X 1920
1
1920 1600 400
1 0.8 0.2119
14
例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。
§1 大数定律
背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
1
定理5.1 契比雪夫不等式：
设随机变量X具有数学期望E X ,方差D X 2
则对于任意 0,都有：P
X EX
2 2
定理的等价形式为：P
X
E
X
1
2 2
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证明：由于E
Yn
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n k 1
Xk
1 n2
n
D Xk
k 1
1 n2
n 2
2
n
由契比雪夫不等式得：P
1 n
n k 1
Xk
1
2
2
n
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
18
定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布，
E Xi , D Xi 2 0,i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
思考题：
X
1 n
n
Xi的近似
i=1
分布是什么？
x R,有：
n
Xi n
lim P
E
nA n
1 n
E
nA
1 n
np
p,
D
nA n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
关键词： 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
23
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
24
§1 总体和样本
总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
3. 用正态分布近似计算
npq 400 0.02 0.98 2.8
P
X
2
1
P( X
1)
1
1 np npq
贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方 们法便，可既以然通频过率做试nA/验n与确概定率某p事有件较发大生偏的差频的率可并能把性它很作小为，相我 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。
n
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
设nA为n次贝努里试验中A发生的次数，P A p 0 p 1,
则对任意x，有：lim n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
e
t2 2
dt
(x),
2
证明：令X i
1 0
第i次试验时A发生 第i次试验时A未发生
则X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
1
lim
n
P
n
n i 1
Xi
1
或者，
序列
X
1 n
n i=1
Xi
以概率收敛于
即 X P
03,3,4分
7
定理5.3 贝努里大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验
中A发生的次数, 则
0, 有：lim
P
式，因nA bn, p,故：
3
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1, X2, X3, ,若存在某常数，
使得 0,均有：lim P n
Xn
0,
则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数，
记为：Xn p 。
性质：已知Xn p ，并知函数g(x)在x=处连续，
则g Xn p g
4
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X bn, p,n 10000, p 0.017
由德莫佛--拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：
P10000X 10000200 P X 200
1
200 np
np 1 p
思考题： 求保险公司至少 盈利10万元的概率。
12.321 0.01 答案：0.937
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)
由定理5.4,
lim
n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)). 二项分布和正态分布的关系
第六章 样本及抽样分布
x 2
x
2
f x dx
1
2
x 2 f x dx
DX
2
2 2
17
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证明：由于E
Yn
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n k 1
定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布，
E Xi , D Xi 2 0,i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
思考题：
X
1 n
n
Xi的近似
i=1
分布是什么？
x R,有：
n
Xi n
lim P
相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)
由定理5.4,
lim
n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)). 二项分布和正态分布的关12 系
证明：仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x,
则 P X f x dx x
f (x)
x 2
x
2
f x dx
1
2
x 2 f x dx
DX
2
2 2
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
根据独立同分布的中心极限定理:
16
Y
i 1
Xi 16100 4 100
X
1600 400
近似服从N
0,1
P X 1920 1 P X 1920
1
1920 1600 400
1 0.8 0.2119
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例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。
§1 大数定律
背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
1
定理5.1 契比雪夫不等式：
设随机变量X具有数学期望E X ,方差D X 2
则对于任意 0,都有：P
X EX
2 2
定理的等价形式为：P
X
E
X
1
2 2
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证明：由于E
Yn
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n k 1
Xk
1 n2
n
D Xk
k 1
1 n2
n 2
2
n
由契比雪夫不等式得：P
1 n
n k 1
Xk
1
2
2
n
lim P n
1 n
n k 1
Xk
1
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定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布，
E Xi , D Xi 2 0,i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
思考题：
X
1 n
n
Xi的近似
i=1
分布是什么？
x R,有：
n
Xi n
lim P
E
nA n
1 n
E
nA
1 n
np
p,
D
nA n