数学中的概率分析之伯努利大数定律
伯努利定理 概率论
伯努利定理概率论伯努利定理是概率论中的一项重要定理，它描述了在随机试验中，某个事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
本文将从概率论的角度对伯努利定理进行详细解析。
一、伯努利试验的概念伯努利试验是指满足以下条件的随机试验：1. 试验只有两个可能结果，分别记为事件A和事件A的对立事件非A；2. 每次试验的结果相互独立，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果；3. 每次试验中事件A发生的概率为p，非A发生的概率为1-p。
二、伯努利定理的表述根据伯努利试验的定义，我们可以得到伯努利定理的表述：在n次独立重复进行的伯努利试验中，事件A发生k次的概率为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
三、伯努利定理的应用伯努利定理在概率论和统计学中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。
1. 二项分布当伯努利试验重复进行n次时，事件A发生k次的概率符合二项分布。
二项分布可以用来描述多次重复试验中事件发生次数的概率分布。
2. 投硬币问题将一枚硬币抛掷n次，每次出现正面的概率为p。
根据伯努利定理，我们可以计算出在n次抛掷中，出现k次正面的概率。
3. 赌博问题在赌博中，常常需要计算在多轮游戏中获胜的概率。
如果每轮游戏中获胜的概率为p，那么根据伯努利定理，我们可以计算出在n轮游戏中获胜k次的概率。
四、伯努利定理的意义伯努利定理是概率论中的基础定理之一，它揭示了随机试验中事件发生的规律。
通过应用伯努利定理，我们可以计算出各种概率问题的解答，帮助我们更好地理解和分析概率事件。
除了伯努利定理，还有一些与之相关的概率定理，如大数定律和中心极限定理。
大数定律指出，当试验次数足够多时，事件发生的频率会趋近于事件发生的概率。
中心极限定理则指出，当试验次数足够多时，多次试验结果的平均值将近似服从正态分布。
伯努利定理是概率论中的重要定理，它描述了在伯努利试验中事件发生的概率与其对立事件不发生的概率之间的关系。
数学中的概率分析之伯努利大数定律
三、伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数定律的第4部分。
回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝aa b +。
有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以XN 去估计p 。
这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。
这一点在实践中并不见得容易。
例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。
伯努利企图证明的是：用XN 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件X p N ε⎧⎫−>⎨⎬⎩⎭的概率不超过η。
这意思是很显然：Xp N ε−>表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。
为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1()a b −+，虽然其证明对一般ε也有效。
他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个，则p 不改变，rb 1()a b −+改为1ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。
其次，伯努利要证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使X X P p cP p NN εε⎛⎞⎛−≤>−>⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠. (8) 这与前面所说是一回事。
因为由上式得1(1)X P p c N ε−⎛⎞−><+⎜⎟⎝⎠, (9)取c 充分大可使它小于η。
另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。
概率论中的大数定律分析
概率论中的大数定律分析在概率论中，大数定律是一组重要的数学定理，描述了随机变量序列的极限行为。
它们告诉我们，随着样本容量的增大，随机事件的平均结果趋向于确定的常数。
本文将对大数定律进行分析，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、初识大数定律大数定律最早可以追溯到十七世纪的赌博问题。
法国数学家帕斯卡和费马独立地思考了在赌博中连续成功的概率，并提出了类似的解决方法。
可以说，大数定律的研究源远流长。
二、大数定律的基本原理大数定律的基本原理可以归结为以下两种形式：辛钦定律（辛钦大数定律）和伯努利定律（伯努利大数定律）。
1. 辛钦定律辛钦定律是较早被证明的一种大数定律，其内容是：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列的期望值存在有限，即 E(Xᵢ) = μ，其中i = 1,2,...,n，那么对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - μ| < ε) = 1这意味着样本均值的极限等于总体均值，当n趋近于无穷大时。
辛钦定律的一个重要应用是该定律能够反映频率与概率的关系。
2. 伯努利定律伯努利定律是概率论中另一种重要的大数定律，描述了在独立重复试验中，事件发生的频率接近其概率。
该定律可以表示为：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列中事件A发生的概率为p，则对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - p| < ε) = 1这意味着在重复独立的试验中，事件A发生的频率将趋近于其概率p，当n趋近于无穷大时。
伯努利定律是大数定律中最为经典的定律之一。
三、大数定律在实际应用中的重要性大数定律在许多领域中都有着广泛的应用，例如金融、统计学、物理学和工程学等。
在金融领域中，大数定律被应用于风险管理和投资决策。
通过对金融市场中的样本序列进行分析，可以推断出未来市场走势，帮助投资者做出较为准确的决策。
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
伯努利Bernoulli大数定律
或
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列 的算术平均值依概率收敛于数学期望.
当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数学 期望
可被
算术 均值
近似代替
二、中心极限定理
定 林德伯格-列维中心极限定理 理 (Lindeberg-levi) 一 [ 独立同分布的中心极限定理 ]
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson分布近似计算
取 = 1000
P X 1 0.01
6000 6
P940 X 1060
1059 1000k e1000
k 941
k!
0.937934
例： 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90?
E(Yn
)
1
2
pq n
故
lim
n
P
n
n
p
0
伯努利(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
n n“稳定于”事件A在一次试验中发生
的概率是指：
频率 n
n
与
p
有较大偏差
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律包括切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。
切比雪夫大数定律是最一般的大数定律，它要求随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
这个定律在现实生活中很多场景都能体现，例如在大量的抛硬币实验中，正面向上的频率会接近于理论概率1/2。
辛钦大数定律则是随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
这个定律为依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
这三个定律都是描述在大量重复实验中，某一事件发生的频率趋于稳定，并且可以用来估计其概率。
大数定理和中心极限定理
大数定理概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
发展历史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
表现形式大数定律有若干个表现形式。
这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：∙切比雪夫大数定理设是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望和方差。
若存在常数C使得：则对任意小的正数ε，满足公式一：将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
∙伯努利大数定律设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二：该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。
∙辛钦大数定律辛钦大数定律：常用的大数定律之一设{，i>=1}为独立同分布的随机变量序列，若的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0，有公式三：、中心极限定理中心极限定理（central limit theorem）是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
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三、伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数定律的第4部分。
回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝aa b +。
有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以XN 去估计p 。
这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。
这一点在实践中并不见得容易。
例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。
伯努利企图证明的是：用XN 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件X p N ε⎧⎫−>⎨⎬⎩⎭的概率不超过η。
这意思是很显然：Xp N ε−>表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。
为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1()a b −+，虽然其证明对一般ε也有效。
他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个，则p 不改变，rb 1()a b −+改为1ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。
其次，伯努利要证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使X X P p cP p NN εε⎛⎞⎛−≤>−>⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠. (8) 这与前面所说是一回事。
因为由上式得1(1)X P p c N ε−⎛⎞−><+⎜⎟⎝⎠, (9)取c 充分大可使它小于η。
另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。
伯努利上述对事实上确定性的数学理解，即（8）式，有一个很值得赞赏之点，即他在概率论的发展刚起步的阶段，就给出了问题的一个适当的提法。
因为，既然我们想要证明的是当N 充分大时，XN 和p 可以任意接近，则一个看来直截了当的提法是limN X p N →∞=, (10)而这不可能实现。
因为原则上不能排除“每次抽到白球”的可能性，这时XN 总为1，不能收敛于p<1。
或者退一步：要求（10）式成立的概率为1，这个结论是对的，但直到1909年才由波莱尔证明，其难度也比伯努利的提法大得多。
设想如当时伯努利就采用这个提法，他也许不一定能在有生之年完成这一工作。
波莱尔得结论比伯努利强，故现今把它们得结论分别称为强大数律和弱大数律。
如今具有概率论初步知识的人都知道，伯努利大数律是契比谢夫不等式的简单推论。
但在伯努利时代尚无方差概念，更不用说这一不等式了。
伯努利用的是直接估计概率的方法，大意如下：令()0A P Np X Np N ε=<<+，((1))A P Np kN X Np k N k εε=+<≤++，k=1,2,……只须证明：当N 充分大时有（注3）, (11)()012A c A A >++⋅⋅⋅这就解决了X>Np 的一边。
对X<Np 的一边如法炮制，即可得处（8）式。
附带指出：可以把伯努利的结论（9）引申一点点：如果我们知道缶中球的总数a+b ，或者更广一些，知道a ＋b 不超过某已知数M ，则可以把（3）式改进为：可以找到p 的一个估计（不是ˆ()p X XN ），使当N 充分大时有 。
（12）1ˆ(())(1)P pX p c −≠<+但如不给定a+b 的界限，则找不到这样的估计量（注4）。
ˆ()p X 伯努利当初提出的目标，比单纯证明（9）式要高：（9）式只肯定了当取N 充分大时，用XN估计p 可达到任意指定的精度ε，而可靠度不小于11(1)c −−+。
伯努利希望弄清楚到底需要N 多大。
解决了这个问题，在实用上就可以根据所需的精度和可靠度，去规划所须观测次数N 。
他证明了以下的结果：定义＝不小于1m[]log (1)log(1)log c b a −+−a 的最小整数， （13）＝不小于2m[]log (1)log(1)log c a b −+−b 的最小整数， （14）111()()(11m a b b a b m N a +++−=+)， （15） 222()()(11m a b a a b m N b )+++−=+。
（16）则取能满足（9）式。
伯努利给了若干数字例子，其一为：a ＝30，b ＝20（p ＝max(,)12N N N =35），150ε=，c ＝1000。
用上述结果算出所需的次数N 为25550。
可以与由契比谢夫不等式计算的结果作一比较。
按此不等式，有（注5）23113260015505055X P N N N −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−>≤=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠。
为使此值不超过11(1)1001c −+=，N 至少应为600600，这比伯努利给出的值大20多倍。
这反映了一个事实：伯努利在证明（9）式中所作的概率估值，比契比谢夫不等式所作出的要精细得多。
虽然如此，25550这个数仍嫌过大。
美国统计史学者斯蒂格勒认为，伯努利之所以久未发布其研究成果，与他对一点的不满意有关。
因为在伯努利时代，一个中等城市的规模尚不过几千人，25550简直可算时“天文数字”。
不过，后世的学者所看重的不在这些地方。
如今大家都公认由伯努利工作发端的大数定律已成为整个数理统计学的基础。
人们也对伯努利工作的哲学意义给予很高的评价。
如斯蒂格勒指出：伯努利证明了数学家不仅可以后验地认识世界，还可以用数学去估量他们的知识的限度。
伯努利在结束《推测术》时就其结果的意义作了如下的表述：如果我们能把一切事件永恒地观察下去，则我们终将发现：世间的一切事物都受到因果律的支配，而我们也注定会在种种极其纷纭杂乱的事象中认识到某种必然。
关于决定最小N 的问题，一些与伯努利同时或稍后的学者也研究过。
例如伯努利的侄儿尼科拉斯在1713年给以为友人的信件中报告了他得出的一个有关结果，比伯努利的上述结果有所改善。
如对伯努利的例子，用尼科拉斯的公式估出所需N 未17350。
稍后到1733年，狄莫弗发展了用正态分布逼近二项分布的方法（见第二章），这是一个实质性、意义深远的改进。
按此法估出的N 约为6600，这已是没有改进余地的了。
6600这个数字仍然很大，它显示，虽然自然界的奥秘可通过实验观察发现，但自然界并不轻易露出自己的真面目。
这个例子也提醒我们：在报章杂志等中不时可以看到的、根据一小批样本而计算出的某种特征的个体的比率，作为样本来自的大群体中该特征所占比率的估计，其准确度和可靠性，通常远小于没有受过统计学训练的公众所认为的程度。
注1：（3）、（4）两式等价的证明。
把 写为 ，（4）式化为 ()12r i −+(1)112222r r r −+−−−i1 。
1(1)1121212(,)2212101r r r r i r i e r r C r i −−+−−+−+=⋅∑−=此式与（3）式比较看出：只须证明。
（A1）1111221212200r r r r r i r iC C i ii i −−+−−+−+=∑∑==此式当 时成立。
用归纳法，假定（A1）在 12r =2r k≤时成立，在(A1)左边令。
因为12r k =+ ,111111r k r k r k C C C i i i ++−+=+−−−有111111000k k k r k r k r k C C C i i i i i i ++−+=+∑∑∑−===1111100k k r k r k C C i ii i −+−+−=+∑∑==1111120k r k r k C Ck ii −+−+−=+∑=。
对后一和用归纳假设，由（A1）得+1111111122000k k k r k r k r i r k k i k iC C C C i k i ii i i −++−−+−+++=+=∑∑∑===，证明了（A1）在12r k =+也成立。
注2：（7）式地证明以记在A 已胜i 局、B 已胜j 局的情况下，A 最终获胜的概率。
则我们要求的就是。
按规定，有(,)h i j (0,0)h (,)1h i j =，当； 4,2i i j ≥−≥(,)0h i j =，当； 4,2j j i ≥−≥(2,2)(3,3)h h ==⋅⋅⋅假定再赌一局。
若A 胜（概率p ），情况变为(1,)i j +。
若B 胜（概率q ），情况变为(,1)i j +。
故按全概率公式，有。
(,)(1,)(,1)h i j ph i j qh i j =+++令i ＝j ＝3，得，分别在上式中令（i,j ）=(4,3)及(3,4)，得(3,3)(4,3)(3,4)h ph qh =+(4,3)h 及(3,4)h 的表达式，代入上式得22(3,3)(5,3)2(4,4)(3,5)h p h pqh q h =++。
22(3,3p pqh =+)于是得22222(3,3)1p r h p q r ==++。
再在式中令(i,j)=(2,3)，得22(2,3)(3,3)(2,4)1pr h p h qh r =+=+。
注意到 1p p r q p ==−，有1r p r =+。
于是332(2,3)1r h r r r =+++。
循此以往，依次得，，，，…，直至，就是（1）式。
(3,2)h (2,2)h (3,1)h (1,3)h (0,0)h 这个问题可以推广为：一方胜局达到m 且比对方得胜局多n ，则此方获胜。
（1）式对应于m ＝4，n ＝2的情况。
一般情况原则上也可用上述步骤求解，但对大的m 和n 公式将繁杂得难以想象。
例如乒乓球相当于m ＝21和n ＝2。
注3：（11）式得证明。
我们先介绍一个证明，其思想与伯努利得原始证明一致，但形式略广一些，然后指出伯努利原始证明差异之处。
我们只点明主要的步骤，一些容易的细节请读者自己补出。
1. 1. 先证明存在常熟u （与k 无关），使,1A uA k <+k 0k=0,1,2,… (A2) 若此式已证，则有，故 0k A u Ak< 1(1)12A A u u −++⋅⋅⋅<−A。
（A3） 为证(A2)，记1k b Np kN ε=++。
按Ak 的定义，有1111()(1)(()(1)(1)k k k k kk k k A P X b P X b P X b N A P X b P X b P X b N 1)εε++++=+=++⋅⋅⋅+=+−==+=++⋅⋅⋅+=+−11()(max ,,()(1)k k k k P X b P X b N P X b P X b N εε++⎡⎤==+≤⎢⎥==+⎣⎦L 1)−−。