大数定律
大数定律
对任意ε > 0 ,估计 µ n 偏离 p 不小于ε 的概率 P(| µ n − p |≥ ε )
P(| µ n − p |≥ ε ) = P(| Sn − np |≥ nε )
(k − np) 2 = ∑ P ( Sn = k ) ≤ ∑ P ( Sn = k ) 2 2 nε k :|k − np|≥ nε k :|k − np|≥ nε
1 0
述计算积分 A = ∫ f ( x) dx 的 Monte Carlo 法.
设 X1 , Y1 , X 2 , Y2 ,⋯ 是相互独立的随机变量序列, 且都服从[0,1] 上的均匀分布.设 1 若f ( X i ) ≥ Yi Zi = , 0 若f ( X i ) < Yi
则 Zi = 1当且仅当 ( X i , Yi ) 落在曲线 f ( x) 下面阴影中.因而
µ n = Sn / n
当 n 无限增大时,频率 µ n 在某一确定值附近趋于稳定，这一确 定值称为 A 的概率。
如果 µ n 有极限,自然会把这极限看作这确定值,即 A 的概率.
µ n 是随机变量,通常的数列的极限的定义不适用.
下面证明频率 µ n “依概率收敛”(定义见后)于 p ,因而
概率的统计定义与(以公理 1.1 和公理 1.2 为基础的建立 起来的)概率论理论是相容的.
P(| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
证 2 2) 分别用 ( X − EX ) 2 和ε 2 代替 1)中的 X 和ε 有. 1
P (( X − EX ) 2 |≥ ε 2 ) ≤ E ( X − EX ) 2 / ε 2 ，
由此得
P (| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
大数定律
k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理） 设随机变量 数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记 相互独立，它们具有 ，
若存在正数 使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每 个别因素对这种综合 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大。 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布。 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题。 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
第五章 大数定律
二、基本定理
定理4（独立同分布的林德贝尔格-勒维(Lindeberg －Levy)中心极限定理）设X1，X2，…，Xn，…是相 互独立，且服从同一分布的随机变量序列，并具有数 学期望和方差：
EX i , DX i 2 0, i 1,2,
则对任意的x有
n X i n i 1 lim P n x n
即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小，但 它们迭加的和却以标准正态分布作为极限。
例1有100个电子器件，它们的使用寿命X1，X2，…， X100 均服从参数为=0.05(h-1)的指数分布，其使用情 况为：第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三
个立即使用等等。令X表示这100个电子器件使用的总
意思？
这与高等数学中的极限概念是否有联系？本章将 从理论上讨论这一问题。
二、基本定理
首先，我们引进依概率收敛的概念。
定义 设X1，X2，…，Xn，…是一个随机变量序列，a
是一个常数，若对任意的正数，有
n
lim P{| X n a | } 1
或
n
lim P{| X n a | } 0
解得
x 21.23
取最接近的整数 x=22，即总机至少应配备22 条外线，才能有95%以上的把握保证各个分机在 使用外线时不必等候。
伯努利大数定律说明了当n很大时事件发生的频率会非常接近概率而这里的辛钦大数定律则表明当n很大时随机变量x在n次观察中的算术平均值也会接近它的期望值即52一问题的引入二基本定理在第二章介绍正态分布时曾经特别强调了它在概率论与数理统计中的地位与作用为什么会有许多随机变量遵循正态分布
第五章 大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
第05章 大数定律
二、主要内容
大数定律
辛 钦 大 数 定 律 伯 努 利 大 数 定 律
中心极限定理
定 理 一 定 理 二 定 理 三
辛钦定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ), X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望
则对于任意正数
,
E(Xk)
n n
D X k k 1
n
.
的分布函数
F n ( x ) 对于任意
n
Байду номын сангаас
x 满足
X k n k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n n
x
1 2π
t
2
e
2
d t ( x ).
近似
定理二(李雅普诺夫定理定理)
设随机变量 们具有数学期望 E(Xk) k , 记 Bn
2
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 和方差： D(X k )
n 2 k
,它
0 ( k 1 , 2 , ),
k 1
2 k
,
若存在正数 1 B
2 k 1 n
Yn a .
P
辛钦大数定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ),
则
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望 E(Xk)
,
X
X n
k 1
1
n
k
依概率收敛于 , 即X .
P
伯努利大数定理
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大数定律的更一般的形式
定理 2：设 { X k , k 1, 2, } 是相互独立同分布的随机变量序列，且其数学期望为
， 方差为 2 。 则对于任意给定的 0 ，lim P
n
1 ( X1 n
Xn ) 0 ．
此时，我们称随机变量序列 { X k , k 1, 2, } 服从大数定律。 证明：由于 X1 , X 2 , , X n , 相互独立（实际上只需两两不相关即可）且同分布，故
1 n 1 n P X k E X k 1. 的正数 ，有 lim n n k 1 n k 1
1 n 1 n 1 n 1 n P Xi E Xi 1 P Xi E Xi n i 1 n i 1 n i 1 n i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n 1 n X EX k 1 0 ， P k n k 1 n k 1
1 n Var n Xk i 1
2
1
辛钦大数定律
设 { X k , k 1, 2, } 是独立同分布的随机变量序列。如果其期望 E X 1 ，则
**********************************************************
“频率收敛于概率”， 抽样次数越多频率越接近于概率， 平均值越接近于期望。
考虑 a 个白球， b 个黑球的盒子，摸到白球的概率为
a 。 ab
概率为
a 的含义为：重复次数 n ， n 次抽到白球，则 n 越大， n 越接近于 n ab
1 n Var X i n i 1 1
2
1 n 1 n Var X Var X Cov X X 0 i i i j n n2 1 i j n i 1 i 1
马尔科夫大数定律
大数定律等。其中，辛钦大数定律只要求独立同分布且存在期望，对方差没有限 制。目前，各种形式的大数定律的研究仍然远远没有达到完善的程度，仍然在继 续。 **********************************************************
切比雪夫大数定律
设 X 1 , X 2 ,, X k 是两两不相关的随机变量序列，方差有界，则对于任意给定
p 1 p E n p ， Var n n n n
p 1 p Var n A n n 1 p 1 2 n 2
P
n 1.
**********************************************************
n
n
0.7 0.6 0.7 0.4 0.5 0.4 0.6 0.4 0.7 0.4
0.44 0.44 0.40 0.58 0.46 0.46 0.52 0.48 0.54 0.46
0.56 0.46 0.42 0.51 0.54 0.53 0.56 0.53 0.56 0.40
0.518 0.517 0.504 0.503 0.498 0.495 0.504 0.490 0.514 0.504
a 。 ab
这个事实虽然感觉很显然，但是 n 是不确定的，这种越来越接近的确切含义到 底是什么，它与确定性的序列的极限是不同的。直到18世纪，数学家伯努利才 给出了一个严格的数学描述和理论证明。 ********************************************************** 伯努利大数定律 定理1：设 n 为 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数， p 为每次试验中 A 出现
是相互独立同分布的随机变量序列，且其数学期望为
1 X1 n 0, 若x ， Xn x 1, 若x .
，方差为 2 。则 lim P
n
********************************************************** 为了直观的理解定理2和3，我们分别考虑两个独立同分布随机变量序列
大 数 定 律
12.1 大数定律
抛掷一枚均匀硬币，记 n 次抛掷中出现正面的次数为 n ， n 是不确定的，但 直观经验告诉我们，当 n 越来越大时，出现正面的频率
n
n
将逐渐接近于
1 。 2
利用计算机模拟抛硬币的过程： 随机生成一个 0-1 之间的数， 如果这个数大 于 1/2 就认为是抛到了正面， 否则即为抛到了背面。 关于如何用计算机生成随机 数，我们在 12.3 中会进一步介绍。模拟 n 次抛硬币的过程算一次试验，记录得 到的正面的次数 n 。 表中给出了 n 分别等于 10,50,100 和 1000 时的一些模拟结果，对每个 n 重 复 10 次试验，每次试验模拟抛硬币 10 次。当 n 10 时，得到的频率 0.4 到 0.7 不等，与 1/2 有较明显的偏离；而当 n 50 和 100 时，10 次试验的频率都在 0.4 到 0.6 之间；当 n 1000 时，与 1/2 偏离最大的频率是 0.518。可以明显地看出 随着 n 的增大，出现正面的频率越来越接近于 1/2。
n 1 Var Xk 0 （ 马 尔 科 夫 条 件 ） ， 则 { X k , k 1, 2, } 服 从 大 数 律 ， 2 n k 1
1 n 1 n lim P X k E X k 1. n n k 1 n k 1
由切比雪夫（Chebyshev）不等式知，对任意 0 ，有
1 Var ( X 1 n Xn) 2 Xn) 2 0， 2
1 P ( X1 n
n
(n )
********************************************************** 依概率收敛
n 10
n 50
n 100
n 1000
n
7 6 7 4 5 4 6 4 7 4
n
n
n
22 22 20 29 23 23 26 24 27 23
n
n
n
56 46 42 51 54 53 56 53 56 40
n
n
n
518 517 504 503 498 495 504 490 514 504
{ X k , k 1, 2, } 和 {Yk , k 1, 2, } ，满足 X k ~ U 0, 2 ， Yk ~ Exp 1 ，并分别记
1 X X2 n 1 Xn ，Y
X
1 Y Y2 n 1
Yn
显然 E ( X ) 1, Var ( X )
X n , n 1,2, 为一个随机变量序列， X 为一随机变量，如果对任意的 0
lim P X n X 1 ，则称 X n , n 1,2,
n
依概率收敛于 X ，记作 X n X 。
P
大数定律的一般形式还有另一中表述方法 定理 3：设 X n , n 1,2,
对任意 0 ，当 n 时，都有 P
X1 X 2 n
Xn
1。
**********************************************************
P n p 1 。 的概率。则对任意的 0 ，有 lim n n
证明： 利用切比雪夫不等式 若随机变量 X 的期望、 方差存在， 则对任意 0 , P X E X
Var X
2
。
n ~ B n, p ， E n np ， Var n np 1 p ，则
1 , 3n
E (Y ) 1, Var (Y )
1 。 n
这里我们仅画出了 n 分别取1，2，4，16 ，100 时， X 及 Y 的分布密度的图 像。可以看出，随着 n 的增大， X 和 Y 的取值越来越集中在它们各自的均值1的 周围。
由定理 2 所给出的大数定律中， 随机变量序列 { X k , k 1, 2, } 需要满足独立同分 布且期望和方差均存在的条件。人们又进一步研究这些条件可以得到什么样程 度的减弱， 其中比较常用的结论有切比雪夫大数定律， 马尔科夫大数定律和辛钦