伯努利大数定律
大数定律
百科名片大数定律概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一。
又称弱大数理论。
主要含义大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。
有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”数学家伯努利在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
确切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出现的随机现象的统计规律性，即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。
[1]通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。
这种情况下，偶然中包含着必然。
必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。
简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。
发展历史1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
举例说明例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。
bernoulli大数定律
bernoulli大数定律
bernoulli大数定律是伯努利大数律。
关于伯努利试验的弱大数律.设产，是n重伯努利试验中事件A出现的次数，而p(0<p<1)是每次试验中事件A出现的概率。
它的含义是指，在n重伯努利试验中，事件A出现的频率，依概率收敛于事件A在一次试验中出现的概率.这个定理用数学概念说明了n充分大时，频率具有稳定性，稳定于相应的概率.伯努利大数律是切比雪夫大数律最简单的特例.历史上，瑞士数学家雅各布第一·伯努利首先证明了这个定理，发表于1713年，是大数律中的第一个定理.。
数学中的概率分析之伯努利大数定律
三、伯努利大数定律现在我们来介绍伯努利《推测术》的最重要部分――包含了如今我们称之为伯努利大数定律的第4部分。
回到本章开始那个缶中抽球的模型：缶中有a 白球，b 黑球，p ＝aa b +。
有放回地从缶中抽球N 次，记录得抽到白球得次数为X ，以XN 去估计p 。
这个估计法现今仍是数理统计学中最基本的方法之一。
此处的条件是，每次抽取时都要保证缶中a ＋b 个球的每一个有同等机会被抽出。
这一点在实践中并不见得容易。
例如，产生中奖号码时用了复杂的装置。
在实际工作中，统计学家有时用一种叫做“随机数表”的工具。
这时一本大书，各页按行、列排列着数字0，1，…,9,它们是用据信是“充分随机”的方法产生的。
在使用时，“随机地”翻到其中一页并“随机”点到一个位置，以其处地数字决定抽出地对象。
伯努利企图证明的是：用XN 估计p 可以达到事实上的确定性――他称为道德确定性。
其确切含义是：任意给定两个数0ε>和0η>，总可以取足够大的抽取次数N ，使事件X p N ε⎧⎫−>⎨⎬⎩⎭的概率不超过η。
这意思是很显然：Xp N ε−>表明估计误差未达到指定的接近程度ε，但这种情况发生的可能性可以随心所欲地小（代价是加大N ）。
为忠实于伯努利地表达形式，应指出两点：一是伯努利把ε限定为1()a b −+，虽然其证明对一般ε也有效。
他作这一限定与所有缶子模型的特殊性有关：必要时把缶中的白、黑球分别改为ra 和个，则p 不改变，rb 1()a b −+改为1ra rb +，只须r 取足够大，可使此数任意小。
其次，伯努利要证的是：对任给c>0，只须抽取次数N 足够大，可使X X P p cP p NN εε⎛⎞⎛−≤>−>⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠. (8) 这与前面所说是一回事。
因为由上式得1(1)X P p c N ε−⎛⎞−><+⎜⎟⎝⎠, (9)取c 充分大可使它小于η。
另外要指出的是：伯努利使用的这个缶子模型使被估计的p 值只能取有理数，因而似乎有损于其结果的普遍性，但其证明对任意的p 成立，故这一细节并不重要。
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
伯努利大数定律
伯努利大数定律何为伯努利大数定律，年，伯努利也是以研究堵术为目的开始写作一部真正奠定“概率论”基础的历史性巨著《猜度术》，在这本著作当中，他创立了概率论中的第一极限定理：“伯努利大数定律”。
“大数定理“与“中心极限定理”一起，成为了现代概率论的基石。
这个神奇的“大数定理”用公式进行了严格地证明：在任何看似公平的堵场中，任何一个堵徒书银的机率看起来是一样的，但是只要长期堵下去，必然会书个精光。
在百家游戏当中，更是把这种定律充分发挥至了极致，如何战胜这种概率，变成了许多玩家须要化解的最小难题。
想化解这种貌似已经紧固的结果，首先我们必须返回最初，当年伯努利就是根据什么订下了此率为。
就是人，要说，正是利用了每个人类都存有的劣根性，无论是貪允，还是恐惧，还是狂妄在一场堵塞局当中都就是同意你成敗的关键因素。
想要胜利首先就要不把自己当成一个人，需要近乎变态的冷静和控制力，不以胜为喜，不以败而悲。
跟许多沉醉在此道的堵徒见过面天，辨认出他们书小銭都存有几个相同的特点，不分后任何时间的回去堵塞，把生活中的苦恼都带入了堵塞桌，往往越是心急赚銭书的越慢，而他们只要书了銭就确实不愿跑，不能想著再加个时间卷土重来而是直至书TNUMBERDC也缴不掏钱年才。
赚銭的时候更是恋恋不舍，从来都不晓得见好就收，收放自如这个词永远用没他们身上。
我们不能把运气当作自己唯一制胜的武器，毕竟每个人都不可能一直一帆风顺。
所以这个时候对于心态的把控就成了胜负关键，在百家游戏当中，最忌讳的一点往往就是嗦哈。
嗦哈就意味着你把所有的希望都放在了虚无缥缈的运气上，运气好固然可以，但是一旦运气稍差便会满盘皆书。
正确的做法是冷静下来，重新规划一下手中的稠马，定出一个合理的计划，并且保证实施。
像是笔者通常，在每次驳弈前，都会厘定一个严苛的计划，为了确保自己的情绪不能被输赢所所苦。
在这个计划中我会详尽的写下各种可能将发生的结果，和化解的办法。
把自己当做一部机器，严苛的按照预设的程序去看待一局游戏，能够努力做到这点，你就已经战胜了伯努利大数定律。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
伯努利Bernoulli大数定律
或
lim P
n
1 n
n k 1
Xk
1
定理的意义
具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列 的算术平均值依概率收敛于数学期望.
当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.
数学 期望
可被
算术 均值
近似代替
二、中心极限定理
定 林德伯格-列维中心极限定理 理 (Lindeberg-levi) 一 [ 独立同分布的中心极限定理 ]
1 6
k
5 6
6000k
0.959036
用Poisson分布近似计算
取 = 1000
P X 1 0.01
6000 6
P940 X 1060
1059 1000k e1000
k 941
k!
0.937934
例： 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90?
E(Yn
)
1
2
pq n
故
lim
n
P
n
n
p
0
伯努利(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
n n“稳定于”事件A在一次试验中发生
的概率是指：
频率 n
n
与
p
有较大偏差
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律
大数定律的三个重要定律包括切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律。
切比雪夫大数定律是最一般的大数定律，它要求随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
这个定律在现实生活中很多场景都能体现，例如在大量的抛硬币实验中，正面向上的频率会接近于理论概率1/2。
辛钦大数定律则是随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。
这个定律为依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
这三个定律都是描述在大量重复实验中，某一事件发生的频率趋于稳定，并且可以用来估计其概率。
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关于伯努利定理的说明:ຫໍສະໝຸດ nA 伯努利定理表明事件发 生的频率 依概率收 n 敛于事件的概率 p, 它以严格的数学形式表 达了频 率的稳定性 .
故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较 大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数 很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概 率.
所以 E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p), k 1, 2,.
根据定理一有
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1, n n 即 nA lim P p 1. n n
证明 引入随机变量
0, 若在第k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第k 次试验中 A 发生, k 1, 2,.
显然
nA X 1 X 2 X n ,
因为 X 1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的 (0 1) 分布,
伯努利大数定律
定理（伯努利大数定理）
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次 数 , p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任 意正数 0 , 有 nA nA lim P p 1 或 lim P p 0. n n n n