苏教版高中数学必修二1.2.2 平面的基本性质 学案 1
高中数学苏教版必修二平面的基本性质(1)自主学习任务单
1.2.1 平面的基本性质（1）自主学习任务单一、学习目标1.初步了解平面的概念，掌握它的基本画法；2.理解平面的基本性质（三个公理），掌握它的应用；3.会用图形、文字和符号描述点、直线、平面及其相互位置关系.二、学习过程1.新课导入问题1：以下图片给你什么样的直观形象？2.问题导学问题2:在问题1中，如果一支铅笔的两端都在同一桌面上能否说明该铅笔都在桌面上？将铅笔抽象成直线，桌面抽象成平面可得到一个结论，该结论称为公理1.公理1 ________________________________________________.公理1可用符号表示为________________________.公理1的作用：______________________________.问题3：把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只有一个公共点？为什么？问题4：通过问题3的探究，表明如果两个平面有一个公共点，那么它们的公共点唯一吗？请你尝试把结论写出来.我们把该结论称为公理2.公理2 ________________________________________________.公理2可用符号表示为________________________.公理2作用：_____________________________________.问题5：用两个合页和一把锁可以将一扇门固定，为什么？问题6：通过问题5的探究，确定一个平面需要什么样的条件？请你尝试把结论写出来.该结论我们称为公理3.公理3 ________________________________________________.公理3的作用：______________________________. 三、例题导析例1.已知:l D l C l B l A ∉∈∈∈,,,,求证：直线CD BD AD ,,共面. 问题1：如何确定直线CD BD AD ,,所共的面α？ 问题2：如何证明CD BD AD ,,都在平面α内？例2.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，P 为棱1BB 的中点，画出由P C A ,,11三点所确定的平面α与长方体表面的交线.问题1：点可以有哪些基本图形作用形成？问题2：如两条直线分别在不同的平面，他们的交点具有什么特点？ 问题3：确定两个面的交线需要找什么样的点？ 问题4：如何寻找这样的点？P.1A 1B 1C 1D ABCDA BCD αl四、课堂反馈1. 作出集合语言描述的空间图形并回答以下问题. l =⋂βα，l A ∈,α⊂AB ,β⊂AC⑴l =⋂βα的含义是：_____________________. ⑵l A ∈的含义是：______________________. ⑶α⊂AB 的含义是：________________________. ⑷β⊂AC 的含义是：________________________. 2.判断对错⑴线段AB 在平面内，则直线AB 在平面内.（ ）⑵如果两个平面有两个公共点B A ,，那么他们就有无数个公共点，这些公共点都在直线AB 上.（ ）⑶经过一条直线的平面有无数多个.（ ） ⑷空间三点确定一个平面.（ ）五、反思总结1.平面的概念及其画法.2.能够用图形、文字和符号描述点、直线、平面及其相互位置关系.3.平面的基本性质（公理1,2,3）. 六、课后作业完成教材2524-P 练习2,3,5,8,91.2.1 平面的基本性质（1）自主学习任务单答案二、学习过程 1.新课导入问题1：以上图片给我们以平面的形象.2.问题导学问题2：能够说明铅笔全部都在桌面上.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理1可用符号表示为: 如果A ∈α，B ∈α，那么直线AB ⊂α． 公理1作用：判断一条直线是否在一个平面内.问题3：不是. 由于平面是可以无限延展的，将三角板所在平面延展后，即与桌面所在的平面交于一条直线,且公共点在这条交线上. 问题4公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.符号表示为：l P l P P ∈=⋂⇒⎭⎬⎫∈∈且βαβα公理2作用：①判断两个平面相交的依据. ②判断点在直线上.问题5：两个合页和一把锁确定了一个平面. 问题6公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. “有且只有一个”的含义是指平面存在并且是唯一的. 公理3作用：确定平面的依据. 3.例题导析例1.已知:l D l C l B l A ∉∈∈∈,,,,求证：直线CD BD AD ,,共面. 问题1：通过公理3确定一个平面.问题2：根据公理1寻找两点在某一平面内来证明线在面内. 证 因为l D l B l A ∉∈∈,,所以D B A ,,三点确定平面α（公理3）AB C α...αβlP.A Bα..A BCD αl因为α∈A ，又α∈B ，所以α⊂AB (公理1）即α⊂l同理α⊂BD ，α⊂AD .又l C ∈，所以α∈C ,又α∈D 故α⊂CD . 所以直线CD BD AD ,,在同一平面α内，即它们共面.例题总结：(1)本题由D B A ,,三点确定平面α，也可以有D C A ,,、D C B ,,来确定平面.只要不共线三点都可以确定一个平面（公理3）.(2)证明一条直线在一个平面内只要证明直线上两点在一个平面内（公理1）.例2.如图⑴，在长方体1111D C B A ABCD -中，P 为棱1BB 的中点，画出由P C A ,,11三点所确定的平面α与长方体表面的交线.问题1：线线相交、线面相交可以产生点. 问题2：交点在两个平面内，是两个平面的公共点. 问题3：确定两个面的交线需要找两个平面的公共点.问题4：通过寻找两个平面内两条直线的交点或是一平面内直线与另一平面的交点来确定.解： ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂P P A BB P A AB BB 11111α平面平面点P 既在平面α内又在平面1AB 内⇒点P 在平面α与平面1AB 的交线上.同理，点1A 在平面α与平面1AB 的交线上.因此1PA 就是平面α与平面1AB 的交线.作法 连结1111,,C A PC P A ,它们就是平面α与长方体表面的交线（图⑵）例题总结：找两个平面的交线需要找两平面的公共点，公共点往往通过寻找两个平面内两条直线的交点或是一平面内直线与另一平面的交点来确定.两个公共点的连线就是交线.四、课堂反馈1.作出集合语言描述的空间图形并回答以下问题. l =⋂βα，l A ∈,α⊂AB ,β⊂AC)1()2(Aαlβ.BCP .1A 1B 1C 1D A B CD P.1A 1B 1C 1D ABCD⑴平面α与平面β的交线为l . ⑵点A 在直线l 上. ⑶直线AB 在平面α内. ⑷直线AC 在平面β内. 2.⑴正确 ⑵正确 ⑶正确 ⑷错误六、课后作业(教材2524-P 练习2,3,5,8,9答案)2.⑴ α⊂∈l l A , ⑵ αβα⊂=⋂m l , ⑶ αα⊄∈∈l l A A ,, ⑷3.5.D 8.延长AB P A,1相交于点M ,则AB M P A M ∈∈,1,又因为ABCD AB 平面⊂,所以ABCD M 平面∈,故直线P A 1与平面ABCD 相交，交点为M ;同理知直线P D 1与平面ABCD 相交，交点为N .9.⑴平面PAC 与平面ABCD 交线为AC ;⑵平面C PA 1与平面ABCD 交线为CM .延长AB P A ,1相交于点M ,则AB M P A M ∈∈,1,PC A P A 11面⊂,ABCD AB 平面⊂,所以PC A M ABCD M 1,面平面∈∈,又ABCD C C PA C 平面平面∈∈,1.所以C M ,为平面C PA 1与平面ABCD 的公共点.故CM 为平面C PA 1与平面ABCD 的交线.1A 1B 1C 1D ABCDP.MN1A 1B 1C 1D A BCDP .M )2()4(αβlαβlαβl)3(。
高中数学新苏教版精品教案《1.2.1 平面的基本性质》
平面的根本性质及推论教学设计一、教材分析本课是“平面〞的第二课时，是在最根本“平面〞知识以及了解点、线、面图形语言及符号语言的根底上进一步研究平面的根本性质．平面的根本性质是研究立体几何的根本理论根底，是学生能否学好立体几何的关键之一．二、教学目标1理解平面根本性质1、2、3,和平面根本性质的三个推论2初步了解空间直线与平面、平面与平面的位置关系；3初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；4、能从实际生活中抽象出数学模型并利用一些几何的理论去解释生活中的现象。
三、教学重难点：重点：理解平面的三条根本性质及推论；难点：运用集合语言描述点、直线、平面之间的关系；运用平面根本性质及其推论解释生活中遇到的一些问题；四、任务分析这节课是立体几何学习的根底，但由于学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如在墙上固定木条至少需要两根钉子、自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的笔去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面、门与门框之间的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的根本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的根底上开展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象．五、教学设计〔一〕复习1平面的概念及特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
2平面的表示3 用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系〔二〕问题情景1问题1：如果想将一张长形纸条固定在黑板面上至少需要确定几个点？为什么？2思考1：如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？3问题2：观察以下图片，你能得到什么结论？4问题3：如果想将一张长形纸片固定在黑板面上至少需要确定几个点？这些点需要满足什么位置关系？5思考2：用手指头将一张硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指头？手指的位置需要满足什么条件？6思考3：把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在的平面与桌面是否交只相交于一点P？为什么？对此你有什么结论？〔利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与笔、三角板与平面相交、矩形硬纸与讲台面及相应的问题．与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活泼课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题〕〔三〕建立模型1 探究公理〔1〕问题1、2，思考1的探究教师提出问题，引发学生思考：回忆初中学到过的两点确定一条直线，并将学生思维中的点、线关系拓宽到点、线、面三者之间的关系。
高一数学苏教版必修2教学案：第1章3平面的基本性质(1)
高一数学教学案(120)必修 2 平面的基本性质(1)班级姓名目标要求1、理解平面的基本概念，掌握它的基本画法，会用图形、文字和符号语言描述点、直线、平面及其位置；2、了解公理1、公理2，并能使用它们解释生活中的一些现象；3、初步学习几何中的证明．重点难点重点：使用符号语言及公理1、公理2的正确理解和使用；难点：公理1、公理2的正确理解和使用．典例剖析例1、（1）已知平面α与平面β相交，且lαβ=，试画出图形；（2）用符号语言表示“点C在直线AB上，直线AB与平面α交于点P，C不在平面α内”，并画出图形；（3）将判断：“Pl P lPααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且”改写成文字语言叙述．例2、已知：如图，三角形ABC在平面α外，αRQ PCBA,,AB P BC Q AC R ααα===， 求证：P 、Q 、R 三点共线．例3、：三个平面两两相交，得到三条交线，求证：如果其中有两条交线交于一点，那么第三条交线必通过这一点．学习反思公理1： ； 它的作用为：判断直线是否在平面内、点是否在平面内；公里2：______________________________________________________________________它的作用为：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； 两平面的公共点必在它们的交线上． 课堂练习1、用符号语言表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”, _________________.2、判断下列叙述的真假 ①、因为,P Q αα∈∈, 所以PQ α∈②、因为,P Q αβ∈∈, 所以PQ αβ=③、因为,,,AB C AB D AB α⊂∈∈ 所以CD α∈④、因为,AB AB αβ⊂⊂, 所以()A αβ∈且()B αβ∈3、若,,,A B A l B l αα∈∉∈∈，那么直线l 与平面α有 个交点．4、用符号语言表示“平面α与平面β的交线为a ，直线a 不在平面γ内，点P 在β内，点P 不在α内”： ．5、在正方体1111ABCD A B C D -中，Ｐ为棱1BB 中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．高一数学作业(120)班级 姓名 得分1、若,,,a b c a b M αβαβ⊂⊂==，则点M 与直线c 关系为________________.2、用符号语言表示语句“直线,a b 相交于平面α内的一点M ”3、一个平面把空间分成 部分；两个平面把空间分成 部分；三个平面把空间分成 部分．4、下列推理正确的是 （1）,,A A l l B B l ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭ （2）,,A A AB B B αβαβαβ∈∈⎫⇒=⎬∈∈⎭（3）a A A a αα⊂⎫⇒∉⎬∉⎭ (4) a A a A ββ⊂⎫⇒∉⎬∉⎭5、根据条件画出下列图形： （1）,,,A B A l B l αα∈∉∈∈；（2）l αβ=，ΔABC 的顶点,,,,A l B B l C Clαβ∈∈∉∈∉．C 1A 1CBA6、用符号语言叙述下列图形.7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， 点P 在棱1CC 上，点M 在棱1BB 上． （1）画出直线AP 和平面1111A B C D 的交点E ； （2）作出平面ACM 和平面1111A B C D 的交线l ．8、如图，平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，求证： 若EH 与FG 所在的两条直线相交于点P ，则P 必在BD 所在的直线上．PHGFEDCBAb aAαlaNMβαγβαabc OPC 1B 1A 1A9、1O 是正方体1111ABCD A B C D 的上底面1111A B C D 的中心，M 是对角线1AC 和截面11B D A 的交点．求证：1,,O M A 三点共线．高一数学教学案(133)必修 2 平面与平面的位置关系（5）班级 姓名目标要求1、进一步掌握面面垂直的判定定理及其应用；2、理解两平面垂直的性质定理；3、线面平行、垂直关系的综合应用． 重点难点重点：两平面垂直的性质定理及应用； 难点：线面平行、垂直关系的相互转化． 典例剖析例1、求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．O 1M D 1C 1B 1A 1DCBA例2、如图，已知平面α平面β＝l ，,αβ同垂直于平面γ．求证：l γ⊥．例3、如图，已知PA ⊥平面,ABCD ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若平面PDC 与平面ABCD 成045角，求证：平面MND ⊥平面PDC ．学习反思1、两平面垂直的性质定理是 , 其实质是 ．2、领悟转化思想：线⊥线线⊥面面⊥面．课堂练习1、已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的真命题的序号是__________________.(1) 若//a b ，则//αβ (2) 若αβ⊥，则a b ⊥γβlα_ M_ E _ P_ N_ D _ C_ B _ A(3) 若,a b 相交，则,αβ相交 (4) 若,αβ相交，则,a b 相交 2、设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥ ； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ． 其中正确命题的序号是__________________．3、E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 、BD 相交于O , 以EF 为棱将正方形折成直角二面角，则BOD ∠= ．4、如图,αβ⊥ ，l αβ=，,,,,AB AB l BC DE BC DE αββ⊂⊥⊂⊂⊥ ．求证：AC DE ⊥．高一数学作业(133)班级 姓名得分1、l 、m 、n 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题中正确的序号是________________. (1)若//,,,//l n l n αβαβ⊂⊂则 (2)若,,l l αβαβ⊥⊂⊥则 (3)若,,//l n m n l m ⊥⊥则 (4)若,//,l l αβαβ⊥⊥则2、m 、n 表示直线，,,αβγ表示平面，给出下列四个命题 ①若m αβ=，n α⊂，n m ⊥，则αβ⊥；②若αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥ ；③若αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥则αβ⊥． 其中正确命题为 ．3、ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A BD C --, E 为CD 的中点， 则AED ∠的大小为________．αl A B ECDβ4、三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，点P 到三个面的距离分别是3，4， 5， 则OP 的长为 ．5、,αβ是两个不同的平面，,m n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：① m n ⊥；②αβ⊥； ③n β⊥； ④m α⊥ ．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：． 6、在直二面角l αβ--内放置木棒AB ,,A B αβ∈∈．如果AB 与平面β成045的角，AB 在平面β内的射影与棱l 成045的角，求AB 与平面α所成的角．7、如图，在四面体ABCD 中，DA ⊥平面ABC ，090ABC ∠=,AE CD ⊥,AF DB ⊥．求证：（1）EF DC ⊥；（2）平面DBC ⊥平面AEF ．BAαlβDFECBA8、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把BCD ∆折起，使C 移到1C 点，且1C 在平面ABD 上的射影O 恰好在AB 上． （1）求证：1AD BC ⊥；（2）求证：面1ADC ⊥面1BDC ．c 1ODCBA。
苏教版必修2导学案 121平面的基本性质2学案.doc
课题：平面的基本性质(2)学习目标：1. 了解推论1、推论2、推论3,并能运用推论解释生活中的一些现象.2.初步学习立体几何中的证明.学习重点：二个推论的理解和应用.学习难点：推论的正确理解和正确应用.一、预习提纲：1 -完成下表：文字语言符号语言图形语言用途公理1公理2公理32.问题：根据公理3,不共线的三个点可以确定一个平面，那么,一条直线和这条直线外一点能否确定一个平面呢？两条相交直线呢？两条平行直线呢？为什么？3.公理3的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.文字语言(位置关系) 符号表示点P在直线上点C不在直线上点M在平面4C内点Aj不在平面AC内直线AB、BC交于B点、直线在平面4C内直线不在平面AC内已知：__________________________ ,求证：过点4和直线/有目.只有一个平面。
证明：类似地，得出以下两个推论：推论2：___________________________________ »已知：_______________________ ,求证：经过两条相交直线a,b的平面有目.只有一个。
这两个平面的交线即找A,Be a, C E 卩,试画出平面ABC 与平面a,0的交分析：确定两个平面的交线，只需找到两个平面的两个证明：证明：（存在性）：设anb = C,在a 上取不同于点C 的点4,则Aib,由推论1得，过直线b 和点A 有一个平面a,Ae （z,Ce cr,aua,因此，经过a,b 有一个平面a 。
（唯一性）：经过的平面一定经过A 和b,由推论1,这样的平面只有一个，所以经过两条相交直线a,b 的平面有且只有一个。
推论3 ： ______________________________________________ »二、课堂展不： 例 1：已知：Ae/,5e/,Ce/,Dg/,求证：直线 AD,BD,CD 共面。
高中数学 1.2.1平面的基本性质(1)教案 苏教版必修2
1.2.1 平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1，2，3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
三、建构数学
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
思考：公理1的作用是什么？
它是判定直线在平面内的依据，同时说明了平面的无限延展性(因为直线是向无穷远处延伸的).
实验2：
αβ=且
l
P
可以帮助我们解决哪些几何问题？
）判断两个平面是否相交；（2）判定点是否在直线上，证明点共线问题。
高中数学苏教版必修2第1章《1.2.1 平面的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学苏教版必修2第1章《1.2.1 平面的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法;
2.初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化;
3.了解公理1、公理2、公理3,并能应用性质解决一些简单的问题.
2学情分析
学生初步接触立体几何中的文字语言、图形语言和符号语言,三种语言的熟练相互转换对学生来说比较困难。
3重点难点
重点:掌握使用符号语言及三个公理的正确理解与使用.
难点:三个公理的正确理解与使用.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】复习引入
我们知道简单几何体是由点、线、面所构成的,那么空间中的点、直线和平面又有怎样的位置关系呢?与初中平面几何学习一样,对这些位置的研究,我们也要学会严格的度量与论证。
在初中我们学过了直线,请同学们回忆一下直线有那些特性?
活动2【导入】问题情境
辽阔的草原、平静的湖面和海面(PPT展示)。
师(拿起一张A4纸):同学们想一想,如果这张A4纸没有厚薄,没有轻重无限延伸,它将变成怎样的“怪物”呢?(引出课题)平面是构成空间图形最基本的要素。
师:通过刚刚的感知并类比直线,请大家谈谈平面有什么特性?
活动3【讲授】形成概念。
高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质学案苏教版必修2
∴ Q在平面 A1BCD1 与 ABC1D1 的交线上，即 Q∈ BD1， ∴ B，Q， D1 三点共线． 跟踪训练 3 证明 方法一 ∵AB∩ α＝P， ∴ P∈ AB， P∈平面 α. 又 AB? 平面 ABC，∴ P∈平面 ABC.
A?l ? A和 l 确 (1) 确定一个平面的 定一个平面 α 依据 .
(2) 证明平面重合； a∩ b＝A? a， b (3) 证明点、线共面 确定一个平面 α
a∥ b? a， b 确 定一个平面 α
类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
例 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系
______.
5. 如图， a∩ b＝ A， a∩c＝ B， a∩ d＝ F， b∩ c＝ C， c∩ d＝ D， b∩ d＝ E，求证： a， b， c， d
共面 .
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1. 解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集 合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文 字语言描述出来，再转换为符号语言 . 文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言 所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚 . 2. 在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再 整体的思想 .
. 和点、直线一样，平面也是从现实世界中
抽象出来的几何概念 .
(2) 平面的画法
一般用水平放置的 ____________ 作为平面的
直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立 体感，被遮挡部分用 ____ 画出来 .
(3) 平面的表示方法 平面通常用希腊字母 α ， β， γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表 示，如图中的平面 α、平面 AC等 .
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.1 平面的基本性质》
课题：平面一、教学目标1联系实际了解平面的3个公理，能用文字、图形、符号三种语言进行描述；2通过直观感知、操作确认、归纳总结加深对公理的认识；3初步培养学生的空间想象能力。
二．教学重点、难点教学重点：正确理解3个公理。
教学难点：用符号语言表达点、线、面的位置关系。
三、教学过程课题性问题：上一节我们已经对简单几何体有了直观的认识。
简单几何体是由空间的点、线、面所构成的，本节我们将对点、线、面的位置关系进行讨论。
空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系？如何用数学语言来表述和研究这些位置关系？初中我们已经学习了点和直线的概念，本节课我们将学习平面概念及平面的相关性质。
问题1：如何理解平面及其表示？先行组织者：什么是数学？恩格斯说：数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的一门科学。
〔1〕数学首先具有高度的抽象性。
物理、化学、生物等学科，都有具体的物质和具体的物质运动形态作为自己的研究对象。
而数学的研究对象是从众多的物质和物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。
〔如何理解平面？〕〔2〕数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言。
数学语言往往需要依靠符号来表达，而世界各国又采用相同的数学符号，使得数学语言成为人类文明的共同语言。
如等任何一个民族、任何一个地域的人都能明白。
〔符号语言〕数学语言是宇宙文明的共同语言，202170年代，美国发射一艘宇宙飞船，目的是与可能存在的“外星人〞取得联系。
为了让星外文明了解地球文明，这艘飞船带去了地球上山川、河流、白云、海洋的照片，地球上动物、植物、微生物的照片，各种年龄、性别、民族的人的照片，还带去了许多声音，如狂风暴雨、森林中的鸟鸣声、大海的浪涛声，以及不同民族的人类叫“妈妈〞的声音，同时还带去了刻有黄金制作的图板，如下图：〔图形语言〕伽利略认为：“数学是上帝用来书写宇宙的文字。
〞数学语言最明晰、严谨、简洁、标准、通用。
综上，数学语言包括：文字语言、图形语言、符号语言。
苏教版数学高一必修2学案 平面的基本性质
1．2.1平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都给我们以平面的感觉．那么我们能够将这些面定义为平面吗？测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上，你知道其中的道理吗？1．我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是：①A∈α，读作：“点A在平面α内”；B∉α，读作：“点B在平面α外或点B不在平面α内”．②A∈l，读作：“点A在直线l上”；B∉l，读作：“点B在直线l外或点B不在直线l上”．③l⊂α，读作：“直线l在平面α内”；l⊄α，读作：“直线l在平面α外或直线l不在平面α内”．2．公理1.(1)文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)符号语言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α．3．公理2.(1)文字语言：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．(2)符号语言：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，P∈l．4．公理3.(1)文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(2)符号语言：A∈l，B∈l，C∉l⇒三点A、B、C确定唯一平面α．5．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．6．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．7．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．,一、公理1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．该公理是判定直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内，即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可．二、公理2公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．该公理主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上．证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内)，这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上．证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线．三、公理3及其三个推论公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道．基础巩固知识点一平面的概念及符号表示1．下列说法中，正确的有________(填序号)．①一个平面长4 m，宽2 m；②2个平面重叠在一起比一个平面厚；③一个平面的面积是25 cm2；④一条直线的长度比一个平面的长度大；⑤圆和平行四边形都可以表示平面．解析：根据平面定义，前4个说法均不正确，⑤正确．答案：⑤2．点M在直线a上，且直线a在平面α内，可记为________．解析：点、线、面的关系采用集合中的符号来记．答案：M∈a⊂α3．根据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解析：由题意画图形如下：知识点二平面基本性质三条公理4．平面α、β有公共点A，则α、β有________个公共点．解析：根据公理2.答案：无数5．如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D ，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过点________．解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线，可确定无数个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．答案：1个或4个或无数知识点三平面基本性质三条推论7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中不同三点确定一个平面；②空间中两两相交的三条直线确定一个平面；③一条直线和一个点能确定一个平面；④梯形一定是平面图形．解析：根据三个公理及推论知①②③均不正确．答案：④8．下列各图的正方体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．答案：0或1能力升级综合点一点共线的问题10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B、E、D1三点的关系是________________________________．解析：连接AC、A1C1、AC1，则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B、E、D1三点共线．答案：共线11．如右图，E、F、G、H分别是空间四边形中AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明：∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可证O∈平面BCD.∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即B、D、O三点共线．综合点二线共点问题12．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、AB的中点，求证：D1E、CF、DA三线共点．证明：如图，连接EF，A1B，D1C，∵E、F为AA1、AB的中点，∴EF綊12A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊12D1C.故直线D1E、CF在同一个平面内，且D1E、CF不平行，则D1E、CF必相交于一点，设该点为M.又∵M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，∴M∈AD，即D1E、CF、DA三线共点．综合点三点、线共面问题13．下列叙述中，正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l、m、n共面；②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l、m共面；③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l、m、n不共面；④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面；⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l、m不共面．解析：∵P∈l，P∈m，∴l∩m＝P.由推论2知，l、m共面．答案：②综合点四同一法证直线共面14．已知：a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a、b、c、l四线共面．证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面α.∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.∴AB⊂α，即l⊂α.同理，由b∥c，得b，c确定一个平面β，可证l⊂β.∴l、b⊂α，l、b⊂β.∵l∩b＝B，∴l、b只能确定一个平面．∴α与β重合．故c在平面α内．∴a、b、c、l四线共面．。
苏教版必修2《平面的基本性质》教案及教学反思
苏教版必修2《平面的基本性质》教案及教学反思教学目标本节课程的教学目标主要包括以下几个方面：1.能够了解平面的基本性质，如平行、垂直、相交等概念的定义；2.能够熟练掌握平行线的判定方法和垂直线的判定方法；3.能够运用所学知识解决平面几何中的常见问题，如求两条平行线的距离、求一条直线在平面内的垂线等；4.能够发现问题、分析问题、解决问题的能力。
授课方法本节课程采用“启发式教学法”，主要方法包括：1.通过讲解二维平面几何的实际例子，激发学生的学习兴趣和求知欲；2.依托视觉教学，使用简单易懂的图片和图表，让学生更加直观地理解概念和知识点；3.通过问题解决的方法，引导学生发现问题、分析问题、解决问题的思维方式，培养学生的思维能力。
课程设计导入环节通过导入环节，让学生感受到二维平面几何与自己生活息息相关，从而激发学生的学习兴趣和探究欲望。
具体内容如下：•引导学生回顾日常生活中有哪些与平面几何有关的现象；•提出问题：如何判断两条线是平行的？如何判断两条线是垂直的？•通过讨论，引导学生自主探究平行、垂直的定义和判定方式。
拓展环节在学生掌握基本知识的基础上，通过拓展问题，巩固已掌握的知识，同时培养学生的分析和推理能力。
具体内容如下：•针对判定平行、垂直线的方法，让学生自主设计问题，探究知识的灵活应用；•引导学生在实践中发现不同问题的共性和差异；•演示实际应用场景，让学生认识到数学知识与生活实际的紧密联系。
总结环节通过总结环节，让学生掌握知识点，并加深对问题解决思路的理解。
具体内容如下：•小结当天学习内容，梳理概念和知识；•回顾实践环节中的问题解决思路，强化学生的思维方式；•通过讨论，进一步提高学生的思维能力和解决问题的能力。
教学反思通过本节课程的教学，我认为可以对教学内容和方法进行以下反思和改进：1.授课方法需要更加多样化，可以不仅仅使用视觉教学，通过实物教学、实践操作等多种方式，激发学生的学习兴趣和求知欲；2.需要更加注重巩固性的教学环节，通过拓展问题、练习题等方式，全面提高学生的应用和掌握能力；3.需要更加注重个性化的教学，根据学生的差异性，采用不同的教学策略和手段，实现教学效果的最大化。
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平面的基本性质 【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解平面基本性质的3个推论, 了解它们各
自的作用. 2.能运用平面的基本性质解决一些简单的问
题. 【课堂互动】
自学评价
1．推论１： .
已知：
求证：
解答：见书22页推论１
2．推论２：
已知：
求证：
听课随笔
３．推论３：
符号表示：
仿推论1、推论2的证明方法进行证明。
【精典范例】
一、如何证明共面问题．
例1：已知: 如图A ∈l , B ∈l , C ∈l , D
l , 求证: 直线AD 、BD 、CD 共面.
解答：见书22页例１
思维点拔：
简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂
例2.如图: 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, P 为棱BB 1的中点, 画出由A 1 , C 1 , P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线.
解答：见书2３页例２ 追踪训练一
证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．
已知：
A B
D
C l α
C A 1
求证：
证明：
（１）如图，设直线a,b ，c 相交于点
Ｏ，直线d 和a,b ，c 分别交于M,N,P
直线d 和点Ｏ确定平面α，证法如例１
(2)
设直线a,b ，c, d M,N,P,Q,R,G
∵直线a 和b 确定平面α
∴a ∩c=N,b ∩c=Q
∵N,Q 都在平面α内
∴直线c 平面α，同理直线d 平面α
∴直线a,b ，c, d 共面于α 【选修延伸】
如图, 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, E 、F AC ∩BD=P , A 1C 1∩EF=Q , 求证:
(1) D 、B 、F 、E 四点共面’
(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点, 则P 、Q 、R
证明略
C A 1M N o P d α a c b N G P α d c M a b R
追踪训练二
1.空间四点中, 如果任意三点都不共线, 那么由这四点可确定___１或４____个平面?
2.已知四条不相同的直线, 过其中每两条作平面, 至多可确定____６____个平面.
3.已知l与三条平行线a,b,c都相交，求证：l与a,b,c共面．
证明略。