(完整版)反比例函数难题拓展(含答案)
反比例函数难题汇编及答案解析
反比例函数难题汇编及答案解析一、选择题1 .下列函数：①y=-x ； @y=2x ； （3） y = ~— ； （4）y=x 2.当x<0时，y 随x 的增大而减小x的函数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质进行逐一判断即可. 【详解】一次函数y=-x 中k<0,随x 的增大而减小，故本选项正确；・ ・,正比例函数y=2x 中，k=2,・,•当xVO 时，y 随x 的增大而增大，故本选项错误； ・ ・•反比例函数丁二一^1■中，k= -1V0,・♦.当xVO 时函数的图像在第二象限，此时y 随x 的 增大而增大，故本选项错误；・ ・,二次函数y=x2,中o=1>0,・,•此抛物线开口向上，当xVO 时，y 随x 的增大而减小， 故本选项正确. 故选B. 【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数及二次函数的性质，解题关键是根据题意判断出各函 数的增减性.2.如图，o/WOC 的顶点的坐标分别是4（0,-3）,8 （1, 0）,顶点C,。
在双曲线k y 二一上，边8D 交V 轴于点£,且四边形ACO 石的面积是A45石面积的3倍，则Z 的值x为：（）【答案】A 【解析】A. -6c. -3 D. -12B. -4过D作DF〃>'轴，过C作CE〃x轴，交点为厂，利用平行四边形的性质证明△DCF = AA80,利用平移写好C, D的坐标，由四边形ACDE的面积是AA8E面积的3倍，得到DB = 2BE,利用中点坐标公式求横坐标，再利用反比例函数写。
的坐标，列方程求解女.【详解】解：过D作DF〃y轴，过c作b//x轴，交点为尸，则CF ± DF,:D ABDC,・•・/CDF, /BAO的两边互相平行，AB = DC,.・.ZCDF = NBAO,・・/DFC = 404 = 90。
(完整版)反比例函数压轴题
反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。
下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。
(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。
1.如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ；2.如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -= .3.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 .CBA oyxEP DCA oyx图① E P CBAoyx图②DC B A o xyF ECB Aoxy4. 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．5.如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．O ABCxyDOx A yB6.如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．Ex67.如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1y x b2=-+过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．8.如图，将边长为4的等边三角形AOB 放置于平面直角坐标系xOy 中，F 是AB 边上的动点（不与端点A 、B 重合），过点F 的反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）与OA 边交于点E ，过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，连结EF 、OF ．（1）若S △OCF =，求反比例函数的解析式；（2）在（1）的条件下，试判断以点E 为圆心，EA 长为半径的圆与y 轴的位置关系，并说明理由；（3）AB 边上是否存在点F ，使得EF ⊥AE ？若存在，请求出BF ：FA 的值；若不存在，请说明理由．9.如图，过点P (－4，3)作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线xk y =（k ≥2）于E 、F 两点．（1）点E 的坐标是________，点F 的坐标是________；（均用含k 的式子表示） （2）判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； （3）记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由． Ex9xA B OEF P y10.如图，已知正比例函数y = ax （a ≠0）的图象与反比例函致xky（k ≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k 2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E ．（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式； （2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍．11.如图，已知双曲线y=经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ． （1）求k 的值；（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．E D B A xy OC12.如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（﹣1，5）、C（，0）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．13.如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．14.如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF 分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k=4，则△OEF的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG=，则k=1．其中正确的命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．15.如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数42myx-=（x>0）图象于点A、B，交x轴于点C．（1）求m的取值范围；（2）若点A的坐标是（2，－4），且13BCAB=，求m的值和一次函数的解析式；Ex1516.如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD△x轴于点D，BC△x轴于点C，DC=5．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．17.平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y 1=（x ＞0）与y 2=﹣（x ＜0）的图象上，A 、B 的横坐标分别为a 、b ．（1）若AB△x 轴，求△OAB 的面积；（2）若△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab 的值；（3）作边长为3的正方形ACDE ，使AC△x 轴，点D 在点A 的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a ，CD 边与函数y 1=（x ＞0）的图象都有交点，请说明理由．18.如图1，反比例函数)0(>=x xky 的图象经过点A （32，1），射线AB 与反比例函数图象交与另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，y AD BAC ⊥=∠,75ο轴，垂足为D ．（1）求k 的值；（2）求DAC ∠tan 的值及直线AC 的解析式； （3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线x l ⊥轴，与AC 相交于N ，连接CM ，求CMN ∆面积的最大值．图1A BCD Ox y图2AB CDO xyMNl19.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．20.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．Ex2021.如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．22.如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图，定义：若双曲线y ＝ kx (k ＞0)与它的其中一条对称轴y ＝x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线y ＝ kx (k ＞0)的对径．(1)求双曲线y ＝ 1x 的对径；(2)若双曲线y ＝ kx (k ＞0)的对径是102，求k 的值； (3)仿照上述定义，定义双曲线y ＝ kx (k ＜0)的对径．24.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（2,2），反比例函数xky（x ＞0，k ≠0）的图像经过线段BC 的中点D .（1）求k 的值；（2）若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围.25.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合．A ，C 分别在坐标轴上，点B 的坐标为(4，2)．直线321+-=x y 交AB ,BC 分别于点M ,N ,反比例函数x k y =的图像经过点M ，N.（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在y 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 坐表标． Ex2526.如图，已知矩形OABC 中，OA =2，AB =4，双曲线（k ＞0）与矩形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。
反比例函数难题汇编及答案解析
错误；
B、y＝x 是一次函数 k＝1＞0，y 随 x 的增大而增大，错误；
C、y＝x+1 是一次函数 k＝1＞0，y 随 x 的增大而减小，错误；
D、 y 1 是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限 y 随 x 的增大而减小，正确； x
故选 D．
【点睛】
本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的
7．下列函数中，当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2 【答案】D
B．y＝x
C．y＝x+1
D． y 1 x
【解析】
【分析】
需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小的函数．
【详解】
解：A、y＝x2 是二次函数，开口向上，对称轴是 y 轴，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，
图象过第一、三
试题分析：分别根据题意确定 k 的值，然后相加即可．∵关于 x 的分式方程 =2 的解为
非负数，∴x= ≥0，解得：k≥-1，∵反比例函数 y= 图象过第一、三象限，∴3﹣k＞ 0，解得：k＜3，∴-1≤k＜3，整数为-1,0,1，2，∵x≠0 或 1，∴和为-1+2=1，故选，B． 考点：反比例函数的性质．
解：依题意得方程 x3 2x 1 0 的实根是函数 y x2 2 与 y 1 的图象交点的横坐标，
x 这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当
1
x=
时， y
x2
22
1
，y
1
4 ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
4
16
x
当 x= 1 时， y x2 2 2 1 ， y 1 3 ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
反比例函数难题(含答案)
反比例函数典型例题1、（2011•宁波）正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y=x 2（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y=x2（x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则P 2点的坐标为___________，则点P 3的坐标为__________。
答案：P 2（2，1） P 2（3+1，3-1）2、已知关于x 的方程x 2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程（k-1）x 2+3x-2a=0有实根，且k 为正整数，正方形ABP 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y=x1k +（x ＞0）图象上，顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，求点P 2的坐标．答案：（2，1）或（6，26） 3、如图，正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点D 的坐标．答案：（1） y=x4(2) (15+,1-5)4、两个反比例函数y=x 3，y=x6在第一象限内的图象如图所示，点P 1、P 2在反比例函数图象上，过点P 1作x 轴的平行线与过点P 2作y 轴的平行线相交于点N ，若点N （m ，n ）恰好在y=x3的图象上，则NP 1与NP 2的乘积是______。
答案：3答案：35、（2007•泰安）已知三点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（1，-2）都在反比例函数y=xk的图象上，若x 1＜0，x 2＞0，则下列式子正确的是（ ）答案：D A ．y 1＜y 2＜0B ．y 1＜0＜y 2C ．y 1＞y 2＞0D ．y 1＞0＞y 26、如图，已知反比例函数y=x1的图象上有点P ，过P 点分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，使四边形BA 1P 1B 1为正方形，则点P 1的坐标是________。
(完整版)反比例函数练习题(含答案)
1.已知矩形的面积为10，则它的长与宽之间的关系用图象大致可表示为（）A．B．C．D．2.某乡的粮食总产量为a（a为常数）吨，设该乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x，则y与x间的函数关系的图象为（）A．B．C．D．3.甲、乙两地相距100千米，汽车从甲地到乙地所用的时间y（小时）与行驶的平均速度x （千米/小时）的函数图象大致是（）A．B．C．D．4.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当时，气体的密度是（）A．5kg/m3B．2kg/m3C．100kg/m3D．1kg/m35.在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离s（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，P（5，1）在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是（）米A．10B．5C．1D．0.56.物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为. 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为（）A．B．C．D．7.如图，已知□ABCD中，AB=4,AD=2,E是AB边上的一动点（动点E与点A不重合，可与点B重合），设AE= ,DE的延长线交CB的延长线于点F，设CF=，则下列图象能正确反映与的函数关系的是（）A．B．C．D．8.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （kPa ）是气体体积V （m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（）A．不小于m3B．小于m3C．不小于m3D．小于m39.已知，且，则函数与在同一坐标系中的图象不可能是（）A．B．C．D．10.若A（a-1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（）A．b1＜b2B．b1 = b2C．b1＞b2D．大小不确定11.已知：两点，反比例函数与线段相交，过反比例函数上任意一点作轴的垂线为垂足，为坐标原点，则面积的取值范围是（）A．B．C．D．或12.某闭合电路中，电源电压为定值，电流与电阻成反比例．图表示的是该电路中电流与电阻之间函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.如图，直线y=kx+b与双曲线相交于A（-1，6）、B（n，3），则当x<0时，不等式kx+b>的解集是．14.如图，已知A（-3，0），B（0，-2），将线段AB平移至DC的位置，其D点在y轴的正半轴上，C点在反比例函数的图象上，若S△BCD=9，则k= .15.两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示, 点，，，…，在反比例函数图象上，它们的横坐标分别是，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P 1，P2，P3，…，P2005分别作轴的平行线，与的图象交点依次是（1，y1），（2，2），（3，3），…，（2005，2005），则2005= -．16.蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I（安）与电阻R（欧）之间关系图象如图所示，若点P在图象上，则I与R（R＞0）的函数关系式是_．答案部分1.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:A2.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:D3.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:B4.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:D5.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:D6.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:C7.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:B8.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:C9.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:B10.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:D11.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:B12.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:A13.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:-2<x<-114.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:1215.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:2004.516.考点:17.2 实际问题与反比例函数试题解析:答案:。
最新初中数学反比例函数难题汇编附答案解析
A．气压P与体积V的关系式为
B．当气压 时，体积V的取值范围为
C．当体积V变为原来的一半时，对应的气压P也变为原来的一半
6．如图，A，B是反比例函数y= 在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD= ×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC= （BD+AC）•CD= ×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．
∴点A的坐标是（ a，a）
同理可得点B的坐标是（ a，-3a）
∴k1= a×a= a2，k2= a×（-3a）=-3 a
∴ .
故选A.
【点睛】
考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k，是解决问题的方法．
10．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数 、 的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）
【详解】
解：由反比例函数y2＝﹣ （x＜0）经过C，点C的横坐标为﹣1，得
y＝﹣ ＝5，即C（﹣1，5）．
反比例函数难题汇编附答案
x 轴，交 y 轴
A．6 【答案】D 【解析】
B．8
C．10
D．12
【分析】
过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，过点 B 作 BE⊥x 轴于 E，得出四边形 ACOD 是矩形，四边形 BCOE
是矩形，得出 S矩形ACOD =4， S矩形BCOE k ，根据 AB=2AC，即 BC=3AC，即可求得矩形 BCOE
∵ y 2 x 0 ，过整点（-1，-2），（-2，-1），
x
当 b= 4 时，如图：区域 W 内没有整点， 3
当 b= 2 时，区域 W 内没有整点， 3
∴ 4 b 2 时图形 W 增大过程中，图形内没有整点，
3
3
故选：D.
【点睛】
此题考查函数图象，根据函数解析式正确画出图象是解题的关键.
y1＞y2 的 x 的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2
B．x＞2
C．x＞2 或-2＜x＜0 D．x＜－2 或 0＜x＜2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据反比例函数与正比例函数的性质求出 B 点坐标，由函数图象即可得出结论.
【详解】
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B 两点关于原点对称.
【解析】
【分析】
首先根据 A,B 两点的横坐标，求出 A,B 两点的坐标，进而根据 AC//BD// y 轴,及反比例函数
2
2
几何意义得到 1 |k|= 3 ，然后利用反比例函数的性质确定 k 的值． 22
【详解】
连接 OC，如图，
∵BA⊥x 轴于点 A，C 是线段 AB 的中点，
∴S△AOC= 1 S△OAB= 3 ，
2
2
而 S△AOC= 1 |k|， 2
(完整版)反比例函数练习题及答案
反比例函数综合一．选择题（共23小题）1．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x 轴，且AC=BC，则AB等于（）A．B．2C．4 D．3第1题第2题第3题第5题2．如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（）A．B．6 C．3 D．123．反比例函数y=的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴垂足是点B，如果S△AOB=1，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx（k＞0）与y=（k＞0）的图象可能是（）A．B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点T．下列各点P（4，6），Q（3，﹣8），M（2，﹣12），N（，48）中，在该函数图象上的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．已知反比例函数y=（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（）A．﹣1＜a B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜17．如图，双曲线y=与直线y=kx+b交于点M，N，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x不等式＜kx+b的解为（）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0 C．﹣3＜x＜1 D．﹣3＜x＜0 或x＞1第7题第9题第11题第12题8．点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y39．如图，A、B是双曲线y=（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长=3．则k的值为（）线交x轴于点C，若S△AOCA．2 B．1.5 C．4 D．610．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y211．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y=（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO=8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣412．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC 的面积是8，则这个反比例函数的解析式是（）A．y=B．y=C．y=D．y=13．如图，在平面直角坐标系中，函数y=的图象与函数y=x的图象相交于A，B两点，点C是函数y=的图象右支上一点，连结AC，BC，若∠C=90°，则点C的坐标为（）A．（2，4）B．（3，6）C．（4，2）D．（，）第13题第14题第15题第16题14．如图，直线y=x﹣3与x轴交于点A，与双曲线y=（k≠0）在第一象限内交于点B，过点A 作AC⊥x轴，交该双曲线于点C，若AB=AC，则k的值是（）A．B．C．D．15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在第二象限和第一象限，AB与x轴平行，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，函数y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象分别经过点AB，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）经过▱ABCD的顶点B、D，点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，CD经过点（0，2），▱ABCD的面积是18，则点D的坐标是（）A．（﹣2，2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（﹣6，1）17．如图，点M是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P是x轴上的动点，则△MNP的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．不能确定第17题第18题18．如图，已知点A（0，4），B （1，4），点B在双曲线y=（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD=DE，则线段CE长度的取值范围是（）A．4≤CE＜4B．4≤CE＜2C．2＜CE＜4 D．4＜CE＜219．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=的图象上，作射线AB，交反比例函数图象于另一点M，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则CM的长度为（）A．5 B．6 C．4D．5第19题第20题第21题第23题20．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小21．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大22．函数y=k（x﹣1）与y=﹣在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．23．如图，点A，C都在函数y=（x＞0）的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD 都是等边三角形，则点C的坐标是（）A．（+1，﹣）B．（+1，﹣1）C．（+1，﹣）D．（+1，﹣）二．填空题（共9小题）24．如图，点M是函数图象上的一点，直线l：y=x，过点M分别作MA⊥y轴，MB⊥l，A，B为垂足，则MA•MB=．第24题第25题第30题第31题25．如图将直线向左平移m个单位，与双曲线交于点A，与x轴交于点B，则OB2﹣OA2+AB2=．26．如果反比例函数y=（m﹣3）的图象在第二、四象限，那么m=．27．已知双曲线y=（k≠0）上有一点P，PA⊥x轴于A，点O为坐标原点，且S△PAO=12，则此反比例函数的解析式为．28．反比例函数的图象同时过A（﹣2，a）、B（﹣3，b）、C（1，c）三点，则a、b、c 的大小关系是．29．函数y=（m2﹣m）x m2﹣3m+1是反比例函数，则m的值是，它的图象分布在象限，在每一个象限内，y随x的增大而．30．如图，A、B是反比例函数y=上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，S四边形=14，则k=．ABDC31．如图，B为双曲线y=（x＞0）上一点，直线AB平行于y轴交直线y=x于点A，若OB2﹣AB2=12，则k=．32．如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为．三．解答题（共8小题）33．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．34．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），M、N分别是AB、BC的中点．（1）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（2）若反比例函数y=（x＞0）的图象与△MNB（包括边界）有公共点，请直接写出m的取值范围．35．如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）观察图象，直接写出x为何值时，一次函数值大于反比例函数？（3）求△AOB的面积．36．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）、两点．（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积；（2）根据图象直接写出不等式的解集；（3）若点P是坐标轴上的一点，且满足△PAB面积等于△AOB的面积的2倍，直接写出点P的坐标．37．如图，若直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点，与双曲线在第二象限交于点B，且OA=OB，△OAB的面积为（1）求直线AB的解析式及双曲线的解析式；（2）求tan∠ABO的值．38．已知反比例函数y=和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式？（2）已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？（3）利用②的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？39．如图，双曲线y=在第一象限的一支上有一点C（1，5），过点C的直线y=﹣kx+b（k＞0）与x 轴交于点A（a，0）．（1）求点A的横坐标a与k的函数关系式（不写自变量取值范围）．（2）当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D的横坐标是9时，求△COA的面积．40．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OM、ON，求三角形OMN的面积．（3）连接OM，在x轴的正半轴上是否存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一．选择题（共23小题）1．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x 轴，且AC=BC，则AB等于（B）A．B．2C．4 D．3设C（a，），则B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，2．如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（B）A．B．6 C．3 D．12解：如图，将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．双曲线C3，的解析式为y=﹣过点P作PB⊥y轴于点B∵PA=PB∴B为OA中点．∴S△PAB=S△POB=3∴△POA的面积是6由反比例函数比例系数k的性质，S△POB3．反比例函数y=的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴垂足是点B，如果S△AOB=1，则k的值为（D）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx（k＞0）与y=（k＞0）的图象可能是（C）A．B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象经过点T．下列各点P（4，6），Q（3，﹣8），M（2，﹣12），N（，48）中，在该函数图象上的点有（C）A．4个B．3个C．2个D．1个第5题第7题第9题6．已知反比例函数y=（k≠0）过点A（a，y1），B（a+1，y2），若y2＞y1，则a的取值范围为（B）A．﹣1＜a B．﹣1＜a＜0 C．a＜1 D．0＜a＜17．如图，双曲线y=与直线y=kx+b交于点M，N，并且点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x不等式＜kx+b的解为（D）A．x＜﹣3 B．﹣3＜x＜0 C．﹣3＜x＜1 D．﹣3＜x＜0 或x＞18．点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（D）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y39．如图，A、B是双曲线y=（k＞0）上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=3．则k的值为（B）A．2 B．1.5 C．4 D．6解：如图，分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x轴于点E，∵k＞0，点A是反比例函数图象上的点，∴S△AOD =S△AOF=|k|，∵A、B两点的横坐标分别是a、3a，∴AD=3BE，∴点B是AC的三等分点，∴DE=2a，CE=a，∴S△AOC =S梯形ACOF﹣S△AOF=（OE+CE+AF）×OF﹣|k|=×5a×﹣|k|=3，解得k=1.5．10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（D）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y211．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y=（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO=8，则k的值是（C）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4第11题第12题解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，设A（k，1），B（2，k），则AC=2﹣k，BC=1﹣k，∵S△ABO=8，∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC=8，即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2=8，解得k=±6，∵k＜0，∴k=﹣6，12．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C．若△ABC 的面积是8，则这个反比例函数的解析式是（C）A．y=B．y=C．y=D．y=13．如图，在平面直角坐标系中，函数y=的图象与函数y=x的图象相交于A，B两点，点C是函数y=的图象右支上一点，连结AC，BC，若∠C=90°，则点C的坐标为（A）A．（2，4）B．（3，6）C．（4，2）D．（，）解：函数y=的图象与函数y=x的图象相交于A，B两点，解方程组，可得，，∴B（4，2），A（﹣4，﹣2），∴OB=AO=2，又∵∠ACB=90°，∴OC=AB=2，设C（a，），则OC==2，解得a=2，或a=4（舍去），∴C（2，4），14．如图，直线y=x﹣3与x轴交于点A，与双曲线y=（k≠0）在第一象限内交于点B，过点A 作AC⊥x轴，交该双曲线于点C，若AB=AC，则k的值是（D）A．B．C．D．解：如图，过B作BD⊥OA于D，则∠ADB=∠AOE=90°，由直线y=x﹣3，可得A（4，0），E（0，﹣3），∴AO=4，OE=3，AE=5，设点C的坐标为（4，），则AC=AB=，由△AOE∽△ADB，可得==，即==，∴AD=，BD=，∴B（4+，），∵双曲线y=（k≠0）经过点B，∴（4+）×k=k，解得k=，15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在第二象限和第一象限，AB与x轴平行，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，函数y=（x＜0）和y=（x＞0）的图象分别经过点AB，则的值为（D）A．B．﹣C．D．﹣解：∵AB与x轴平行，∴AB⊥y轴，即∠AHO=∠OHB=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOH+∠BOH=∠AOH+∠OAH=90°，∴∠OAH=∠BOH，∴△AOH∽△OBH，∴=，即=，又∵k1＜0，∴=﹣，16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（k≠0）经过▱ABCD的顶点B、D，点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，CD经过点（0，2），▱ABCD的面积是18，则点D的坐标是（C）A．（﹣2，2）B．（3，2）C．（﹣3，2）D．（﹣6，1）解：如图，∵点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，反比例函数y=（k≠0）经过▱ABCD的顶点B，∴点B的坐标为（﹣k，﹣1），即AB=﹣k，又∵点E（0，2），∴AE=2+1=3，又∵平行四边形ABCD的面积是18，∴AB×AE=18，∴﹣k×3=18，∴k=﹣6，∴y=﹣，∵CD经过点（0，2），∴令y=2，可得x=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），17．如图，点M是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P是x轴上的动点，则△MNP的面积为（A）A．1 B．2 C．4 D．不能确定第17题第18题18．如图，已知点A（0，4），B （1，4），点B在双曲线y=（k＞0）上，在AB的延长线上取一点C，过C的直线交双曲线于点D，交x轴正半轴于点E，且CD=DE，则线段CE长度的取值范围是（A）A．4≤CE＜4B．4≤CE＜2C．2＜CE＜4 D．4＜CE＜2解：如图1，过D作DF⊥OA于F，∵点A（0，4），B （1，4），∴AB⊥y轴，AB=1，OA=4，∵CD=DE，∴AF=OF=2，∵点B在双曲线y=（k＞0）上，∴k=1×4=4，∴反比例函数的解析式为：y=，∵过点C的直线交双曲线于点D，∴D点的纵坐标为2，把y=2代入y=得，x=2，∴D（2，2），当O与E重合时，如图2，∵DF=2，∴AC=4，∵OA=4，∴CE=4，当CE⊥x轴时，CE=OA=4，∴4≤CE＜4，19．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y=的图象上，作射线AB，交反比例函数图象于另一点M，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则CM的长度为（D）A．5 B．6 C．4D．5第19题第20题第21题解：如图，过A作AD⊥y轴于D，将AB绕着点B顺时针旋转90°，得到A'B，过A'作A'H⊥y轴于H，由AB=BA'，∠ADB=∠BHA'=90°，∠BAD=∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，∴BH=AD=2，又∵OB=2，∴点H与点O重合，点A'在x轴上，∴A'（1，0），又∵等腰Rt△ABA'中，∠BAA'=45°，而∠BAC=45°，∴点A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直线AC的解析式为y=3x﹣3，解方程组，可得或，∴C（﹣1，﹣6），由点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB 的解析式为y=x+2，解方程组，可得或，∴M（﹣6，﹣1），∴CM==5，20．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（C）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小21．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（C）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大解：A、，∵把①代入②得：x+1=，解得：x2+x﹣2=0，（x+2）（x﹣1）=0，x1=﹣2，x2=1，代入①得：y1=﹣1，y2=2，∴B（﹣2，﹣1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；B、当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=×1×2=1，S△BOD=×|﹣2|×|﹣1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；22．函数y=k（x﹣1）与y=﹣在同一直角坐标系内的图象大致是（A）A．B．C．D．23．如图，点A，C都在函数y=（x＞0）的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等边三角形，则点C的坐标是（A）A．（+1，﹣）B．（+1，﹣1）C．（+1，﹣）D．（+1，﹣）第23题第24题解：如图，作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，∵△OAB，△BCD均为正三角形，A在反比例函数y=，∴A的横坐标是1，纵坐标是，∴OE=EB=1，OA=2OE=2，AE=，设BF=m，则C（2+m，m），代入y=，得：m2+2m﹣1=0，解得：m=﹣1±，∵m＞0，∴m=﹣1+，∴点C的坐标为：（1+，）．二．填空题（共9小题）24．如图，点M是函数图象上的一点，直线l：y=x，过点M分别作MA⊥y轴，MB⊥l，A，B为垂足，则MA•MB=．解：延长AM，交直线y=x于点D，设M（x，x+）则△AOD是等腰直角三角形，即∠ADO=45°，∴OA=AD=x+，AM=x，∴MD=AD﹣AM=，∵MB⊥l，∴MB=BD，∴△BDM是等腰直角三角形，∴MB2+BD2=MD2，∴MB=MD，∴MB=×=，∴MA•MB=x•=．25．如图将直线向左平移m个单位，与双曲线交于点A，与x轴交于点B，则OB2﹣OA2+AB2=．解：由题意知：平移后的直线解析式为：y=（x+m）；设A（x，y），易知：B（﹣m，0），则有：OB2﹣OA2+AB2=m2﹣（x2+y2）+[（m+x）2+y2]，联立y=（x+m），整理得：原式=﹣2x2﹣2mx；由于直线y=（x+m）与交于点A，联立两个函数解析式得：（x+m）=﹣，即x2+mx+2=0，得﹣x2﹣mx=2；故所求代数式=﹣2x2﹣2mx=4．故答案为：4．26．如果反比例函数y=（m﹣3）的图象在第二、四象限，那么m=1．【解答】解：根据题意m2﹣6m+4=﹣1，解得m=1或5，又m﹣3＜0，m＜3，所以m=1．故答案为：1．27．已知双曲线y=（k≠0）上有一点P，PA⊥x轴于A，点O为坐标原点，且S△PAO=12，则此反比例函数的解析式为y=﹣或y=．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象，∴k=xy，=12，∵S△PAO∴|xy|=12，∴|xy|=24，∴xy=±24，∴k=±24，∴y=﹣或y=．故答案为：y=﹣或y=．28．反比例函数的图象同时过A（﹣2，a）、B（﹣3，b）、C（1，c）三点，则a、b、c的大小关系是a＞b＞c．【解答】解：∵k＜0，∴此函数的图象在二、四象限，∵﹣2＜0，﹣3＜0，1＞0，∴A、B两点在第二象限，C点在第三象限，∴a＞0，b＞0，c＜0，∵﹣2＞﹣3，∴a＞b＞0，∴a＞b＞c．故答案为a＞b＞c．29．函数y=（m2﹣m）x m2﹣3m+1是反比例函数，则m的值是2，它的图象分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．【解答】解：由题意得：m2﹣3m+1=﹣1，且m2﹣m≠0，解得：m=2，∵m2﹣m=4﹣2=2＞0，∴图象分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故答案为：2；第一、三；减小．30．如图，A、B是反比例函数y=上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，S四边形=14，则k=16．ABDC【解答】解：如图，分别延长CA，DB交于点E，根据AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC=BD=OC，知△CED为直角三角形，且点A与点B的纵横坐标正好相反，设点A的坐标为（x A，y A），则点B的坐标为（y A，x A），点E的坐标为（y A，y A），四边形ACDB的面积为△CED的面积减去△AEB的面积．CE=ED=y A，AE=BE=y﹣y A，∴S ACDB=S△CED﹣S△AEB=[y A•y A﹣（y A﹣y A）（y A﹣y A）]=y A2=14，∵y A＞0，∴y A=8，点A的坐标为（2，8），∴k=2×8=16．故答案为：16．31．如图，B为双曲线y=（x＞0）上一点，直线AB平行于y轴交直线y=x于点A，若OB2﹣AB2=12，则k=6．【解答】解：如图，延长AB交x轴于点C，设点C的横坐标为a，则点B的纵坐标为，点A的纵坐标为a，所以，AB=a﹣，∵AB平行于y轴，∴AC⊥OC，在Rt△BOC中，OB2=OC2+BC2=a2+（）2，∵OB2﹣AB2=12，∴a2+（）2﹣（a﹣）2=12，整理得，2k=12，解得k=6．故答案为：6．32．如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为2．【解答】解：根据反比例函数的对称性可知：OB=OD，AB=CD，∵四边形ABCD的面积等于S△ADB +S△BDC，∵A（1，1），B（1，0），C（﹣1，﹣1），D（﹣1，0）∴S△ADB=（DO+OB）×AB=×2×1=1，S△BDC=（DO+OB）×DC=×2×1=1，∴四边形ABCD的面积=2．故答案为：2．三．解答题（共8小题）33．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点E、F均是反比例函数y=上的点，四边形AOBC是矩形，∴AE⊥y轴，BC⊥x轴，∴S△AOE =S△BOF=；（2）∵C坐标为（4，3），∴设E（，3），F（4，），如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，∴∠HEG=∠FGB，又∵∠EHG=∠GBF=90°，∴△EGH∽△GFB，∴=，∴GB==，在Rt△GBF中，GF2=GB2+BF2，即（3﹣）2=（）2+（）2，解得k=，∴反比例函数的解析式为：y=；（3）存在．当OP是平行四边形的边时，如图2所示：平行四边形OPMN，可以看成线段PN沿PO的方向平移至OM处所得．设N（a，），∵P（2，﹣3）的对应点O（0，0），∴M（a﹣2，+3），代入反比例解析式得：（a﹣2）（+3）=，整理得4a2﹣8a﹣7=0，解得a=，当a=时，==，﹣2=，+3=，∴N（，），M（，）（舍去）或N（，），M（，）．当OP为对角线时，如图3所示：设M（a，），N（b，），∵P（2，﹣3），∴，解得，，∴M（，），N（，）（舍去）或M（，），N（，），综上所述：M（，）N（，）；或M（，），N（，）．34．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），M、N分别是AB、BC的中点．（1）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（2）若反比例函数y=（x＞0）的图象与△MNB（包括边界）有公共点，请直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）∵顶点B的坐标为（4，2），M、N分别是AB、BC的中点，∴M点的坐标为（2，2），把M（2，2）代入反比例函数y=（m≠0）得，m=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=；∵M、N分别为矩形OABC的边AB、BC的中点，且M（2，2），B点坐标为（4，2），∴N点坐标为（4，1），∵4×1=4，∴点N在函数y=的图象上；（2）4≤m≤8．35．如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）观察图象，直接写出x为何值时，一次函数值大于反比例函数？（3）求△AOB的面积．【解答】解：（1）联立两函数解析式得：，解得：或，即A（﹣2，4），B（4，﹣2）；（2）根据图象得：当x＜﹣2或0＜x＜4时，一次函数值大于反比例函数值．（3）令y=﹣x+2中x=0，得到y=2，即D（0，2），∴OD=2，∴S△AOB =S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6．36．如图，反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）、两点．（1）求一次函数的解析式及△AOB的面积；（2）根据图象直接写出不等式的解集；（3）若点P是坐标轴上的一点，且满足△PAB面积等于△AOB的面积的2倍，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）、两点，将A与B坐标代入反比例解析式得：m=1，n=﹣1，∴A（1，3）、B（﹣3，﹣1），代入一次函数解析式得：，解得：k=1，b=2，∴一次函数的解析式为y=x+2，∵直线y=x+2与x轴、y轴的交点坐标为（﹣2，0）、（0，2），∴S△AOB=×2×（1+3）=4；（2）∵A（1，3），B（﹣3，﹣1），观察图象可知，当x＜﹣3或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，∴不等式的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．（3）∵S△AOB=4，∴S△PAB =2S△AOB=8，设P1（p，0），即OP1=|p+2|，S△ABP1=S△AP1C+S△P1BC=|p+2|×3+|p+2|×1=8，解得：p=﹣6或p=2，则P1（﹣6，0）、P2（2，0），同理可得P3（0，6）、P4（0，﹣2）．37．如图，若直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点，与双曲线在第二象限交于点B，且OA=OB，△OAB的面积为（1）求直线AB的解析式及双曲线的解析式；（2）求tan∠ABO的值．【解答】解：（1）∵直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点A，∴OA=，又∵OA=OB，∴OB=，过点B作BM⊥x轴于点M，∵△OAB的面积为，即OA•BM=，∴BM=2，在Rt△OBM中可求OM=1.5，∴B（﹣1.5，2），再根据待定系数法可得：，解得：k=﹣，b=，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+；再将点B代入函数y=得：m=﹣3，∴双曲线的解析式为：y=﹣；（2）∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAM，在Rt△ABM中，BM=2，∴MO=，AM=+=4，∴tan∠ABO=tan∠BAM==．38．已知反比例函数y=和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式？（2）已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？（3）利用②的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？【解答】解：（1）∵一次函数y=2x﹣1的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，代入得：，解得：k=2，代入反比例函数的解析式得：y==，∴反比例函数的解析式是y=．（2）解方程组得：，，∴两函数的交点坐标是（﹣，﹣2），（1，1），∵交点A在第一象限，∴A（1，1）．（3）在x轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，理由是：分为三种情况：①以O为圆心，以OA为半径作圆，交x轴于两点C、D，此时OA=0C=0D，∴当P于C或D重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（，0），（﹣，0）；②以A为圆心，以OA为半径作圆，交x轴于点E，此时OA=AE，∴当P于E重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（2，0）；③作OA的垂直平分线交x轴于F，此时AF=OF，∴当P于F重合时，△AOP是等腰三角形，此时P的坐标是（1，0）；∴存在4个点P，使△AOP是等腰三角形．39．如图，双曲线y=在第一象限的一支上有一点C（1，5），过点C的直线y=﹣kx+b（k＞0）与x 轴交于点A（a，0）．（1）求点A的横坐标a与k的函数关系式（不写自变量取值范围）．（2）当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D的横坐标是9时，求△COA的面积．【解答】解：（1）把C（1，5）代入直线y=﹣kx+b（k＞0）得：﹣k+b=5，则b=5+k；把（a，0）代入直线y=﹣kx+b（k＞0）得：﹣ak+b=0，把b=5+k代入﹣ak+b=0，得：﹣ak+5+k=0，解得：a=；（2）把x=9代入y=得：y=，则D的坐标是（9，），设直线AC的解析式是y=﹣kx+b，把C、D两点代入，得，解得：，则AC的解析式是：y=﹣x+．令y=0，解得：x=10．则OA=10，则△COA的面积=×10×5=25．40．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OM、ON，求三角形OMN的面积．（3）连接OM，在x轴的正半轴上是否存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把N（﹣1，﹣4）代入y=得：k=4，∴y=，把M（2，m）代入得：m=2，∴M（2，2），把N（﹣1，﹣4），M（2，2）代入y=ax+b得：，解得：a=2，b=﹣2，∴y=2x﹣2，答：反比例函数的解析式是y=，一次函数的解析式是y=2x﹣2．（2）设MN交x轴于C，y=2x﹣2，当y=0时，x=1，∴C（1，0），OC=1，∴△MON的面积是S=S△MOC +S△NOC=×1×2+×1×|﹣4|=3，答：三角形MON的面积是3．（3）当OM=OQ时，Q的坐标是（2，0）；当OM=MQ时，Q的坐标是（4，0）；当OQ=QM时，Q的坐标是（2，0）；答：在x轴的正半轴上存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）．第31页（共31页）。
初中数学反比例函数难题汇编含答案
初中数学反比例函数难题汇编含答案一、选择题1．如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =>和2(0)k y x x =>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ）A ．∠POQ 不可能等于90°B ．12PM QM k k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称 D ．△POQ 的面积是()1212k k + 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：根据反比例函数的性质逐一作出判断：A ．∵当PM=MO=MQ 时，∠POQ=90°，故此选项错误；B ．根据反比例函数的性质，由图形可得：1k ＞0，2k ＜0，而PM ，QM 为线段一定为正值，故12PM QM k k =，故此选项错误； C ．根据1k ，2k 的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于x 轴对称，故此选项错误；D ．∵|1k |=PM•MO ，|2k |=MQ•MO ， ∴△POQ 的面积=12MO•PQ=12MO （PM+MQ ）=12MO•PM+12MO•MQ=()1212k k +． 故此选项正确． 故选D ．2．如图, 在同一坐标系中（水平方向是x 轴），函数ky x=和3y kx =+的图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．【详解】解：A、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0一致，正确；B、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＞0，与3＞0矛盾，错误；C、由函数y=kx的图象可知k＜0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误；D、由函数y=kx的图象可知k＞0与y=kx+3的图象k＜0矛盾，错误．故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．3．如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝kx的图象在第一象限相交于点C．若AB＝BC，△AOB的面积为3，则k的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C【解析】【分析】设OB＝a，根据相似三角形性质即可表示出点C，把点C代入反比例函数即可求得k．【详解】作CD⊥x轴于D，设OB＝a，(a＞0)∵△AOB的面积为3，∴12OA•OB＝3，∴OA＝6a，∵CD∥OB，∴OD＝OA＝6a，CD＝2OB＝2a，∴C(6a，2a)，∵反比例函数y＝kx经过点C，∴k＝6a×2a＝12，故选C．【点睛】本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．4．已知反比例函数2yx-=，下列结论不正确的是（）A．图象经过点（﹣2，1）B．图象在第二、四象限C．当x＜0时，y随着x的增大而增大D．当x＞﹣1时，y＞2【答案】D【解析】【分析】【详解】A选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确；B选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确；C选项：当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项正确；D选项：当x＞0时，y＜0，故本选项错误．故选D．5．如图直线y＝mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB＝2，则k的值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．6．在函数2yx=，3y x，2y x的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解．【详解】y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x2图象不是中心对称图形；只有函数2yx=符合条件．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．下列各点中，在反比例函数3yx=图象上的是（）A．(3，1) B．（-3，1）C．(3，13) D．（13，3）【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3.【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确；B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误；C、∵13=133, ∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误；D、∵13=133, ∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误；故选A.8．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y=kx (x>0)的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，若△OAB的面积为3，则k的值为()A．13B．1 C．2 D．3【答案】D 【解析】【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC=12S△OAB=32，再根据反比例函数系数k的几何意义得到12|k|=32，然后利用反比例函数的性质确定k的值．【详解】连接OC，如图，∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，∴S△AOC=12S△OAB=32，而S△AOC=12|k|，∴12|k|=32，而k＞0，∴k=3．故选：D．【点睛】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．9．如图，点P 是反比例函数y =kx（x <0）图象上一点，过P 向x 轴作垂线，垂足为M ，连接OP ．若Rt △POM 的面积为2，则k 的值为（ ）A ．4B ．2C ．-4D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S △POD =12|k|=2，然后去绝对值确定满足条件的k 的值． 【详解】解：根据题意得S △POD =12|k|， 所以12|k||=2， 而k ＜0， 所以k=-4． 故选：C ． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．如图，已知点A ，B 分别在反比例函数12y x =-和2ky x=的图象上，若点A 是线段OB 的中点，则k 的值为（ ）．A ．8-B ．8C ．2-D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】设A （a ，b ），则B （2a ，2b ），将点A 、B 分别代入所在的双曲线解析式进行解答即可． 【详解】解：设A （a ，b ），则B （2a ，2b ）， ∵点A 在反比例函数12y x=-的图象上， ∴ab ＝−2；∵B 点在反比例函数2ky x=的图象上， ∴k ＝2a•2b ＝4ab ＝−8． 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy ＝k ．11．已知点11(,)x y ，22(,)x y 均在双曲线1y x=-上，下列说法中错误的是（ ） A ．若12x x =，则12y y = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y < D ．若120x x <<，则12y y >【答案】D 【解析】 【分析】先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线1y x=-，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断． 【详解】∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线1y x=-上， ∴111y x =-，221y x =-．A 、当x 1=x 2时，-11x =-21x ，即y 1=y 2，故本选项说法正确；B 、当x 1=-x 2时，-11x =21x ，即y 1=-y 2，故本选项说法正确；C 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确；D 、因为双曲线1y x=-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，故本选项说法错误； 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先根据A,B 两点的横坐标，求出A,B 两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D 两点的坐标，从而得出AC,BD 的长，根据三角形的面积公式表示出S △OAC ,S △ABD 的面积，再根据△OAC 与△ABD 的面积之和为32，列出方程，求解得出答案. 【详解】 把x=1代入1y x=得：y=1, ∴A(1,1),把x=2代入1y x =得：y=12, ∴B(2,12), ∵AC//BD// y 轴, ∴C(1,K),D(2,k 2) ∴AC=k-1,BD=k 2-12， ∴S △OAC =12（k-1）×1, S △ABD =12 (k 2-12)×1, 又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， ∴12（k-1）×1＋12 (k 2-12)×1=32，解得：k=3; 故答案为B. 【点睛】:此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键.13．直线y ＝ax (a ＞0)与双曲线y ＝3x交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则代数式4x 1y 2－3x 2y 1的值是( ) A ．－3a B ．－3 C ．3aD ．3【答案】B 【解析】 【分析】先把1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 代入反比例函数3y x=得出11x y 、22x y 的值，再根据直线与双曲线均关于原点对称可知12x x =-，12y y =-，再把此关系式代入所求代数式进行计算即可． 【详解】 解：1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在反比例函数3y x=的图象上， 11223x y x y ∴==，直线(0)y ax a =>与双曲线3y x=的图象均关于原点对称， 12x x ∴=-，12y y =-，∴原式111111433x y x y x y =+=-=--．故选：B ． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象的对称性及反比例函数的性质，根据题意得出11223x y x y ==，12x x =-，12y y =-是解答此题的关键．14．如图，点A 在反比例函数3(0)y x x =-<的图象上，点B 在反比例函数3(0)y x x=>的图象上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形ABCO 的面积是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】因为四边形ABCO 是平行四边形，所以点A 、B 纵坐标相等，即可求得A 、B 横坐标，则AB 的长度即可求得，然后利用平行四边形面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCO 是平行四边形 ∴点A 、B 纵坐标相等设纵坐标为b ，将y=b 带入3(0)y x x =-<和3(0)y x x=>中，则A 点横坐标为3b- ，B 点横坐标为3b∴AB=336()b b b--=∴66ABCOSb b=⨯= 故选：A ． 【点睛】本题考查了反比例函数以及平行四边形面积公式，本题关键在于两点间距离的求法．15．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，反比例函数(0)ky k x=≠的图象过D 点和边BC 的中点E ，连接DE ，若△CDE 的面积是1，则k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．25D ．6【答案】B 【解析】 【分析】设E 的坐标是m n k mn =（，），， 则C 的坐标是2m n （，） ，求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值． 【详解】设E 的坐标是m n k mn =（，），，， 则C 的坐标是（m ，2n ）， 在mny x = 中，令2y n =，解得：2m x =， ∵1CDES =，∴111,12222m m n m n -=⨯=即 ∴4mn = ∴4k = 故选：B 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用mn 表示出三角形的面积是关键．16．如图，点A 是反比例函数2(0)y x x=>的图象上任意一点，AB x 轴交反比例函数3y x =-的图象于点B ，以AB 为边作ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则ABCDS为（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】过点B 作BH ⊥x 轴于H ，根据坐标特征可得点A 和点B 的纵坐标相同，由题意可设点A 的坐标为（2a，a ），点B 的坐标为（3a -，a ），即可求出BH 和AB ，最后根据平行四边形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：过点B 作BH ⊥x 轴于H∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴//AB x 轴，CD=AB ∴点A 和点B 的纵坐标相同 由题意可设点A 的坐标为（2a，a ），点B 的坐标为（3a -，a ）∴BH=a ，CD=AB=2a －（3a -）=5a∴ABCDS=BH·CD=5故选D ． 【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用反比例函数求几何图形的面积是解决此题的关键．17．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=kx在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】依据抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，即可得到k ＜0，进而得出一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限，反比例函数y=kx的图象在第二四象限，据此即可作出判断.【详解】∵抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点， ∴△=4﹣4（k+1）＞0， 解得k ＜0，∴一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一二四象限， 反比例函数y=kx的图象在第二四象限， 故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点问题、反比例函数图象、一次函数图象等，根据抛物线与x 轴的交点情况确定出k 的取值范围是解本题的关键.18．如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数ky x=在第一象限内的图象经过点D ，交BC 于点E ．若4AB =，2CE BE =，34AD OA =，则线段BC 的长度为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．23【答案】B 【解析】 【分析】设OA 为4a ，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a ，CE=2a ，BE=a ，从而得出点D 和点E 的坐标(用a 表示)，代入反比例函数可求得a 的值，进而得出BC 长. 【详解】 设OA=4a 根据2CE BE =，34AD OA =得：AD=3a ，CE=2a ，BE=a∴D(4a ，3a)，E(4a+4，a) 将这两点代入解析得；3444k a ak a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得：a=12 ∴BC=AD=32故选：B 【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D 、E 的坐标，然后代入解析式求解.19．如图，Rt ABO ∆中，90AOB ∠=︒，3AO BO =，点B 在反比例函数2y x=的图象上，OA 交反比例函数()0ky k x=≠的图象于点C ，且2OC CA =，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】D 【解析】 【分析】过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴，利用AA 定理和平行证得△COE ∽△OBF ∽△AOD ，然后根据相似三角形的性质求得21()9BOF OADS OB SOA ==，24()9COE AOD SOC S OA ==，根据反比例函数比例系数的几何意义求得212BOFS ==，从而求得4COES=，从而求得k 的值．【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴，过点C 作CE ⊥x 轴，过点B 作BF ⊥x 轴 ∴CE ∥AD ，∠CEO=∠BFO=90° ∵90AOB ∠=︒∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90° ∴∠ECO=∠FOB ∴△COE ∽△OBF ∽△AOD 又∵3AO BO =，2OC CA =∴13OB OA =，23OC OA = ∴21()9BOF OAD S OB S OA ==，24()9COE AODSOC SOA == ∴4COE BOFSS=∵点B 在反比例函数2y x=的图象上 ∴212BOFS == ∴4COES =∴42k=，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8 故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键．20．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ）A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k =>B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70<V<80C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 也变为原来的一半D ．当60100V 时，气压P 随着体积V 的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】A ．气压P 与体积V 表达式为P= kV,k ＞0，即可求解； B ．当P=70时，600070V =,即可求解； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，即可求解； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，即可求解． 【详解】解：当V=60时，P=100，则PV=6000， A ．气压P 与体积V 表达式为P= kV，k ＞0，故本选项不符合题意； B ．当P=70时，V=600070＞80，故本选项不符合题意； C ．当体积V 变为原来的一半时，对应的气压P 变为原来的两倍，本选项不符合题意； D ．当60≤V≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小，本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而根据字母代表的意思求解．。
反比例函数压轴题精选(含答案)
中考反比例函数经典结论：如图,反比例函数k 的几何意义： (I) 12AOB AOC S S k ∆∆==; (II) OBAC S k =矩形. 下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①,OPA OCD S S ∆∆=,OPC PADC S S ∆=梯形.(2)如图②,OAPB OBCA S S =梯形梯形,BPE ACE S S ∆∆=.经典例题例 1.(1)(兰州)如图,已知双曲线(0)k y x x=>经由矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ,四边形OEBF 的面积为2,则k = 2 ;(2)如图,点A B 、为直线y x =上的两点,过A B 、两点分离作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点,若2BD AC =,则224OC OD -= 6 例2．(陕西)假如一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=的图象交),(),,(2211y x B y x A ,那么))((1212y y x x --值为 24 .解析：因为A,B 在反比例函数xy 6=上,所以611=y x ,我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中间对称,是以),(),,(2211y x B y x A 中有1212,y y x x -=-=,所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(山东威海)如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xm y =的图象交于点A ﹙－2,－5﹚,C ﹙5,n ﹚,交y 轴于点B,交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xm y =和一次函数b kx y +=(2) 衔接OA,OC ．求△AOC 的面积．解：(1)∵反比例函数xm y =的图象经由点A ﹙－2,－5﹚,∴m=(－2)×( －5)＝10．∴反比例函数的表达式为xy 10=．∵点C ﹙5,n ﹚在反比例函数的图象上,∴2510==n ．∴C 的坐标为﹙5,2﹚．∵一次函数的图象经由点A,C,将这两个点的坐标代入b kx y +=,得⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ， ∴所求一次函数的表达式为y ＝x －3．(2) ∵一次函数y=x －3的图像交y 轴于点B,∴B 点坐标为﹙0,－3﹚．∴OB＝3．∵A 点的横坐标为－2,C 点的横坐标为5,∴S△AOC= S△AOB+ S△BOC=()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．（福建福州）如图,已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A B ，两点,且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值;（2）若双曲线(0)k y k x=>上一点C 的纵坐标为8,求AOC △的面积;（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象面积为24,限）,若由点A B P Q ，，，为极点构成的四边形求点P 的坐标． 解：（1）点A 横坐标为4,∴当4x =时,2y =．∴点A 的坐标为(42)，． 点A 是直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>的交点,428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图1,点C 在双曲线上,当8y =时,1x =∴点C 的坐标为(18)，． 过点A C ，分离做x 轴,y 轴的垂线,垂足为M N ，,得矩形DMON ．32ONDM S =矩形,4ONC S =△,9CDA S =△,4OAM S =△．3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2,过点C A ，分离做x 轴的垂线,垂足为E F ，,点C 在双曲线8y x=上,当8y =时,1x =．∴点C 的坐标为(18)，．点C ,A 都在双曲线8y x=上,4COEAOF S S ∴==△△COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形,15COA S ∴=△．（3）反比例函数图象是关于原点O OP OQ ∴=,OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且,得8()P m m，．过点P A ，分离做x 轴的垂线,垂足为E F ，, 点P A ，在双曲线上,4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<,如图3,POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形,6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·． 解得2m =,8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >,如图4,AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形,图2图3图46POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭,解得8m =,2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，． 例 5.(山东淄博) 如图,正方形AOCB 的边长为4,反比例函数的图象过点E （3,4）．（1）求反比例函数的解析式;（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D,直线1yx b 2过点D,与线段AB 订交于点F,求点F 的坐标;（3）衔接OF,OE,探讨∠AOF 与∠EOC 的数目关系,并证实． 【答案】解：（1）设反比例函数的解析式k yx , ∵反比例函数的图象过点E （3,4）,∴k 43,即k=12.∴反比例函数的解析式12yx. （2）∵正方形AOCB 的边长为4,∴点D 的横坐标为4,点F 的纵坐标为4.∵点D 在反比例函数的图象上,∴点D 的纵坐标为3,即D （4,3）. ∵点D 在直线1y x b 2上,∴134b 2,解得b=5.∴直线DF 为1yx 52.将y4代入1yx 52,得14x 52,解得x 2.∴点F 的坐标为（2,4）.（3）∠AOF＝12∠EOC.证实如下：在CD 上取CG=CF=2,衔接OG,衔接EG 并延伸交ｘ轴于点H.∵AO=CO=4,∠OAF=∠OCG=900,AF=CG=2, ∴△OAF≌△OCG（SAS ）.∴∠AOF=∠COG. ∵∠EGB=∠HGC,∠B=∠GCH=900,BG=CG=2,∴△EGB≌△HGC（AAS ）.∴EG=HG. 设直线EG ：ymxn ,∵E（3,4）,G （4,2）,∴43m n 24m n =+⎧⎨=+⎩,解得,m 2n=10=⎧⎨⎩－. ∴直线EG ：y 2x10.令y2x10=0,得x 5.∴H（5,0）,OH=5.在R ｔ△AOF 中,AO=4,AE=3,依据勾股定理,得OE=5.∴OH=OE.∴OG 是等腰三角形底边EH 上的中线.∴OG 是等腰三角形顶角的等分线. ∴∠EOG=∠GOH.∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,即∠AOF＝12∠EOC.例 6.(山东威海)一次函数y ax b =+的图象分离与x 轴.y 轴交于点,M N ,与反比例函数ky x=的图象订交于点,A B ．过点A 分离作AC x ⊥轴,AE y ⊥轴,垂足分离为,C E ;过点B 分离作BF x ⊥轴,BD y ⊥轴,垂足分离为F D ，，AC 与BD 交于点K ,衔接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k y x=的图象的统一分支上,如图1,试证实： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形; ②AN BM =．（2）若点A B ，分离在反比例函数k y=的图象的不合分支上,如图2,则AN 与BM还相等吗？试证实你的结论．解：（1）①AC x ⊥轴,AE y ⊥BF x ⊥轴,BD y ⊥轴,∴四边形AC x ⊥轴,BD y ⊥轴,∴四边形1111OC x AC y x y k ===，，,∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形 2222OF x FB y x y k ===，，,∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形．∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形,CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形,∴AEDK CFBK S S =矩形矩形)②由（1）知AEDK CFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =．∴AK BKCK DK= 90AKB CKD ∠=∠=°,∴AKB CKD △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD∥AC y ∥轴,∴四边形ACDN 是平行四边形．∴AN CD =．同理BM CD =．AN BM ∴=．（2）AN 与BM 仍然相等．AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形,BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形,又AEOC BDOF S S k ==矩形矩形,∴AEDK BKCF S S =矩形矩形∴AK DK BK CK =．∴CK DKAK BK=．K K ∠=∠,∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．∴AB CD ∥．AC y ∥轴,∴四边形ANDC 是平行四边形．∴AN CD =．同理BM CD =．∴AN BM =．第一部分演习一.选择题1.(鄂州)如图,直线y=mx 与双曲线y=xk 交于A.B 两点,过点A 作AM⊥x 轴,垂足为M,贯穿连接BM,若ABM S ∆=2,则k 的值是2.(兰州) 如图,若正方形OABC 的极点B 和正方形ADEF 的极点E 都在函数1y x=（0x >）的图象上,则点E 的坐标是（,）.3.(泰安）如图,双曲线)0(＞k xk y =经由矩形OABC 的边BC 的中点E, 交AB 于点D.若梯形ODBC 的面积为3,则双曲线的解析式为A ．xy 1=B ．xy 2= C ．x y 3=D ．xy 6=OAB4.（仙桃）如图,已知双曲线)0k (xk y ＞=经由直角三角形斜边OB 的中点D,与直角边AB 订交于点C ．若△OBC 的面积为3,则k ＝____________．OC D KF E N yxABM图2xyABO1S2Sy xO P 1P 2P 3P 4 P 5A 1 A 2 A 3 A 4 A 52x 5.(牡丹江市)如图,点A .B 是双曲线3y x=上的点,分离经由A .B 两点向x 轴.y 轴作垂线段,若1S =阴影，则12S S +=．6.（莆田）如图,在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====,过点12345A A A A A 、、、、分离作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象订交于点12345P P P P P 、、、、,得直角三角形1112233344455OPA A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分离为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．． 第4题图 第5题图 第6题图7.（包头）已知一次函数1y x =+与反比例函数ky x =的图象在第一象限订交于点A ,与x 轴订交于点C AB x ，⊥轴于点B ,AOB △的面积为1,则AC 的长为8.（ 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为A.－5 B.－10 C.5 D.10【答案】B9.（江苏无锡）如图,已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上,BC∥AO,AB⊥AO,过点C 的双曲线ky x=交OB 于D,且OD ：DB=1:2,若△OBC 的面积等于3,则k 的值A ．等于2 B ．等于34C ．等于245D ．无法肯定【答案】B第7题图 第8题图 第9题图10.（江苏盐城）如图,A.B 是双曲线y= kx(k>0) 上的点,A.B 两点的横坐标分离是a.2a,线段AB 的延伸线交x 轴于点C,若S△AOC=6．则k=．【答案】4 11.（安徽蚌埠二中）已知点（1,3）在函数)0(>=x xk y 的图像上.正方形ABCD 的边BC 在x 轴上,点E 是对角线BD 的中点,函数)0(>=x x k y 的图像又经由A .E 两点,则点E 的横坐标为__________.612.（四川内江）如图,反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经由矩形OABC 对角线的交点M,分离与AB.BC 订交于点D.E ．若四边形ODBE 的面积为6,则k 的值为y O AC B yBAoO ABCDxy图6yx O BC AAB C D E yxOMA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B第10题图 第11题图 第12题图13.（山东东营）如图,直线l 和双曲线(0)k y k x=>交于A.B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A.B 重合）,过点A.B.P 分离向x 轴作垂线,垂足分离是C.D.E,衔接OA.OB.OP,设△AOC 面积是S1.△BOD 面积是S2.△POE 面积是S3.则 A. S1＜S2＜S3B. S1>S2>S3C. S1=S2>S3D. S1=S2<S3 【答案】D①x＜0时,x2y =,②△OPQ 的面积为定值, ③x＞0时,y 随x 的增大而增大 ④MQ=2PM⑤∠POQ 可以等于90°个中准确的结论是A ．①②④B②④⑤C．③④⑤D．②③⑤ 【答案】B15.（甘肃兰州,15,4分）如图,矩形ABCD 的对角线BD 经由坐标原点,矩形的边分离平行于坐标轴,点C 在反比例函数221k k y x++=的图象上.若点A 的坐标为（－2,－2）,则k 的值为A ．1B ．－3C ．4D ．1或－3【答案】D轴于A.B 16.（四川乐山）如图,直线6y x =-交x 轴.y 直线下两点,P 是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于xyOABCD方的一点,过点P 作x 轴的垂线,垂足为点M,交AB 于点E,过点P 作y 轴的垂线,垂足为点N,交AB 于点F.则AF BE ⋅= A ．8 B ．6 C ．4 D ．62 【答案】A17.（•德州）如图,两个反比例函数和的图象分离是l1和l2．设点P在l1上,PC⊥x 轴,垂足为C,交l2于点A,PD⊥y 轴,垂足为D,交l2于点B,则三角形PAB 的面积为A ． 3B ． 4C ．D ．5 解解：∵点P 在y=上,∴设P 的坐标是（a,）, ∵PA ⊥x 轴,∴A 的横坐标是a,∵A 在y=﹣上,∴A 的坐标是（a,﹣）, ∵PB ⊥y 轴,∴B 的纵坐标是, ∵B 在y=﹣上,∴代入得：﹣, 解得：x=﹣2a,∴B 的坐标是（﹣2a,）, ∴PA=﹣（﹣）=,PB=a ﹣（﹣2a ）=3a, ∵PA ⊥x 轴,PB ⊥y 轴,x 轴⊥y 轴,∴PA ⊥PB,∴△PAB 的面积是：PA ×PB=××3a=．故选C ．18.（福州）如图,过点C(1,2)分离作x 轴.y 轴的平行线,交直线y ＝－x ＋6于A. B 两点,若反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图像与△ABC 有公共点,则k 的取值规模是A ．2≤k≤9 B．2≤k≤8C ．2≤k≤5D ．5≤k≤8 解答：解：∵点C(1,2),BC∥y 轴,AC∥x 轴,ABCOxy∴当x ＝1时,y ＝－1＋6＝5,当y ＝2时,－x ＋6＝2,解得x ＝4, ∴点A.B 的坐标分离为A(4,2),B(1,5),依据反比例函数系数的几何意义,当反比例函数与点C 订交时,k ＝1×2＝2最小,设与线段AB 订交于点(x,－x ＋6)时k 值最大,则k ＝x(－x ＋6)＝－x2＋6x ＝－(x －3)2＋9,∵ 1≤x≤4,∴当x ＝3时,k 值最大,此时交点坐标为(3,3), 是以,k 的取值规模是2≤k≤9．故选A ．19.（临沂）如图,若点M 是x 轴正半轴上随意率性一点,过点M 作PQ∥y 轴,分离交函数1(0)k y x x =>和2(0)ky x x=>的图象于点P 和Q,衔接OP 和OQ ．则下列结论准确的是A ．∠POQ 不成能等于90°B．12k PM QM k = C ．这两个函数的图象必定关于x 轴对称; D ．△POQ 的面积是()1212k k + 故选：D ．20.（湖北黄石）如图所示,已知11(,)2A y ,2(2,)B y 为反比例函数1y x=图像上的两点,动点(,0)P x 在x 正半轴上活动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是DA. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)2【解答】解：∵把A （1/2 ,y1）,B （2,y2）代入反比例函数y=1/ x 得：y1=2,y2=1/2 ,yxOABP∴A（1/2 ,2）,B （2,1/2 ）,∵在△ABP 中,由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB,∴延伸AB 交x 轴于P′,当P 在P′点时,PA－PB=AB,即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大,设直线AB 的解析式是y=kx+b,把 A.B 的坐标代入得： 2=1/2k+b ,1/2=2k+b,解得：k=－1,b=5/2 ,∴直线AB 的解析式是y=－x+5/2 ,当y=0时,x=5/2 ,即P （5/2 ,0）,故选D ．21.(湖北随州)如图,直线l 与反比例函数x y 2=的图象在第一象限内交于A.B 两点,交x 轴的正半轴于C 点,若AB ：BC=(m 一l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用m 暗示)为A.m m 212-B.mm 12- C. m m )1(32- D.m m 2)1(32- 答案：B22.（江苏姑苏）如图,菱形OABC 的极点C 的坐标为(3,4),极点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经由极点B,则k 的值为A ．12B ．20C ．24D ．32【答案】D ．解：过C 点作CD⊥x 轴,垂足为D ．B AoxylO xyB A C∵点C 的坐标为（3,4）,∴OD=3,CD=4．∴OC= OD2+CD2=32+42=5．∴OC=BC=5．∴点B 坐标为（8,4）, ∵反比例函数y=k x（x ＞0）的图象经由极点B,∴k=32．23.（山东临沂）如图,等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上,双曲线y ＝3x在第一象限内的图象经由OB 边的中点C,则点B 的坐标是 A ．（1,3）B ．（3,1）C ．（2,23）D ．（23,2）【答案】：C ．24.(湖北孝感）如图,函数y=﹣x 与函数的图象订交于A,B 两点,过A,B 两点分离作y 轴的垂线,垂足分离为点C,D ．则四边形ACBD 的面积为A ．2 B ．4 C ． 6 D ．8 解答：解：∵过函数的图象上A,B 两点分离作y 轴的垂线,垂足分离为点C,D,∴S △AOC=S △ODB=|k|=2, 又∵OC=OD,AC=BD,∴S △AOC=S △ODA=S △ODB=S △OBC=2, ∴四边形ABCD 的面积为：S △AOC+S △ODA+S △ODB+S △OBC=4×2=8． 故选D ．25.（四川内江）如图,反比例函数（x ＞0）的图象经由矩形OABC 对角线的交点M,分离于AB.BC 交于点D.E,若四边形ODBE 的面积为9,则k 的值为A ． 1B ．2 C ．3 D ．4 解答：解：由题意得：E.M.D 位于反比例函数图象上,则S △OCE=,S △OAD=,过点M 作MG ⊥y 轴于点G,作MN ⊥x 轴于点N,则S □ONMG=|k|,又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点, ∴S 矩形ABCO=4S □ONMG=4|k|, 因为函数图象在第一象限,k ＞0,则++9=4k, 解得：k=3．故选C ．26.(四川乐山)如图,已知第一象限内的点A 在反比例函数y = 2x 的图象上,第二象限内的点B 在反比例函数y = k x 的图象上,且OA⊥0B,cotA= 33,则k 的值为A ．－3 B.－6 C.－ 3 D.－2 3 在第一象27.（黔东南州）如图,直线y=2x 与双曲线y=限的交点为A,过点A 作AB⊥x 轴于B,将△ABO 绕点O 扭转90°,得到△A′B′O,则点A′的坐标为A.()1,0B. ()1,0或()1,0-C. ()2,0或()0,2-D. ()2,1-或()2,1-解答：解：联立直线与反比例解析式得：,消去y 得到：x2=1,解得：x=1或﹣1,∴y=2或﹣2, ∴A （1,2）,即AB=2,OB=1,依据题意画出响应的图形,如图所示,可得A ′B ′=A ′′B ′′=AB=2,OB ′=OB ′′=OB=1,依据图形得：点A ′的坐标为（﹣2,1）或（2,﹣1）． 故选D ．Ox y ABC28. （•威海）如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数的图象经由点A,反比例函数的图象经由点B,则下列关于m,n 的关系准确的是（ ）A ． m =﹣3nB ． m =﹣nC ．m=﹣nD ．m=n解答： 解：过点B 作BE ⊥x 轴于点E,过点A 作AF ⊥x 轴于点F,设点B 坐标为（a,）,点A 的坐标为（b,）,∵∠OAB=30°,∴OA=OB,设点B 坐标为（a,）,点A 的坐标为（b,）,则OE=﹣a,BE=,OF=b,AF=,∵∠BOE+∠OBE=90°,∠AOF+∠BOE=90°, ∴∠OBE=∠AOF,又∵∠BEO=∠OFA=90°, ∴△BOE ∽△OAF,∴==,即==,解得：m=﹣ab,n=,故可得：m=﹣3n ．故选A ．二.填空题1.（湖北武汉）如图,直线y ＝33x b -+与y 轴交于点A,与双4,则k曲线y ＝k x在第一象限交于点B,C 两点,且AB ⋅AC ＝＝． 答案：3（0x >）交2.（ 福建德化）如图,直线43y x =与双曲线ky x =于点A ．将直线43y x =向下平移个6单位后,与双曲线k y x=（0x >）交于点B ,与x 轴交于点C,则C 点的坐标为___________;若2AO BC=,则k =．【答案】（)0,29,123.（湖南衡阳）如图,已知双曲线)0k (xk y ＞=经由直角三角形OAB 斜边OB 的中点D,与直角边AB 订交于点C ．若△OBC 的面积为3, 则k ＝____________．【答案】24.（宁波市）如图,正方形A1B1P1P2的极点P1.P2在反比例函数y ＝2x （x ＞0）的图像上,极点A1.B1分离在x 轴和y 轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,极点P3在反比例函数y ＝2x （x ＞0）的图象上,极点A3在x 轴的正半轴上,则点P3的坐标为 【答案】（3＋1,3－1）5.（安徽芜湖）如图,在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,半径为反比例函数k y x=经由正方形AOBC 对角线的交点,（422）的圆内切于△ABC,则k 的值为． 【答案】46.（湖北武汉市）如图,ABCD 的极点A,B 的坐标分离是A AD 交（－1,0）,B （0,－2）,极点C,D 在双曲线y=xk 上,边y 轴于点E,且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍,则k=_____． 【答案】12在双曲7.（湖北孝感）如图,点A 在双曲线1y x上,点B ABCD 的线3yx上,且AB∥x 轴,C.D 在x 轴上,若四边形面积为矩形,则它的面积为. 【答案】2xy第16题图BCEDoQ PA xy第16题图HF BCEDoQ PA 8.（湖北荆州,16,4分）如图,双曲线2(0)yx x经由四边形OABC 的极点A.C,∠ABC＝90°,OC等分OA 与x 轴正半轴的夹角,AB∥x 轴,将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB＇C,B ＇点落在OA 上,则四边形OABC 的面积是.【答案】29.（浙江温州）如图,已知动点A 在函数点C,延4=y x(x>o)的图象上,AB⊥x 轴于点B,AC⊥y 轴于伸CA 至点D,使AD=AB,延伸BA 至点Ｅ,使AE=AC.直线DE 分离交x 轴,y 轴于点P,Q.当QE ：DP=4:9时,图中的暗影部分的面积等于____________. 如图,作EF⊥y 轴,DH⊥x 轴,由题意得：△QEF∽△DHP,∵QE：DP=4:9设AC= a,则AB=4a,49EF HP ,HP=94a ,∵△AED∽△DHP,∴424648==,==49934EA AD a a a a a DH HP a 得到：得：得：S暗影=2218+2a a=413+3=33） 10.（•聊城）如图,在直角坐标系中,正方形的中间在原点O,且正方形的一组对边与x 轴平行,点P （3a,a ）是反比例函数y=（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中暗影部分的面积等于9,则这个反比例函数的解析式为．解答： 解答：解：∵反比例函数的图象关于原点对称,∴暗影部分的面积和正好为正方形面积的,设正方形的边长为b ,则b 2=9,解得b =6,∵正方形的中间在原点O , ∴直线AB 的解析式为：x =3, ∵点P （3a ,a ）在直线AB 上, ∴3a =3,解得a =1,∴P （3,1）, ∵点P 在反比例函数y =（k ＞0）的图象上,∴k=3, ∴此反比例函数的解析式为：y=．故答案为：y=的图象交11.（•衢州）如图,已知函数y=2x和函数于A.B两点,过点A作AE⊥x轴于点E,若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B.O.E.P为极点的四边形是平行四边形,则知足前提的P点坐标是P1（0,﹣4）P2（﹣4,﹣4）P3（4,4）解答：解：如图∵△AOE的面积为4,函数的图象过一.三象限,∴k=8,∵函数y=2x和函数的图象交于A.B两点,∴A.B两点的坐标是：（2,4）（﹣2,﹣4）,∵以点B.O.E.P为极点的平行四边形共有3个,∴知足前提的P点有3个,分离为：P1（0,﹣4）,P2（﹣4,﹣4）,P3（4,4）．故答案为：P1（0,﹣4）,P2（﹣4,﹣4）,P3（4,4）．12.(甘肃兰州)如图,M为双曲线y＝3x上的一点,过点M作x轴.y轴的垂线,分离交直线y＝－x＋m于点D.C两点,若直线y＝－x＋m与y轴交于点A,与x 轴订交于点B,则AD•BC的值为．解答：解：作CE⊥x轴于E,DF⊥y轴于F,如图,对于y＝－x＋m,令x＝0,则y＝m;令y＝0,－x＋m＝0,解得x＝m,∴A(0,m),B(m,0),∴△OAB等腰直角三角形,∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形,设M的坐标为(a,b),则ab＝,CE＝b,DF＝a,∴AD＝DF＝a,BC＝CE＝b,∴AD•BC＝a•b＝2ab＝2．故答案为2．13.（.深圳）如图,双曲线ky(k0)x=>与⊙O在第一象限内交于P.Q两点,分离过P.Q 两点向x 轴和y 轴作垂线,已知点P 坐标为(1,3),则图中暗影部分的面积为．【答案】4.【剖析】∵⊙O 在第一象限关于y=x 对称,k y (k 0)x=>也关于y=x 对称,P 点坐标是（1,3）,∴Q 点的坐标是（3,1）,∴S 暗影=1×3+1×3－2×1×1=4.14.(•扬州)如图,双曲线y ＝经由Rt△OMN 斜边上的点A,与直角边MN 订交于点B,已知OA ＝2AN,△OAB 的面积为5,则k 的值是 12 ．解答： 过A 点作AC ⊥x 轴于点C,如图,则AC ∥NM,∴△OAC ∽△ONM,∴OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON,而OA ＝2AN,即OA ：ON ＝2：3,设A 点坐标为(a,b),则OC ＝a,AC ＝b, ∴OM ＝a,NM ＝b,∴N 点坐标为(a,b), ∴点B 的横坐标为a,设B 点的纵坐标为y, ∵点A 与点B 都在y ＝图象上,∴k ＝ab ＝a •y, ∴y ＝b,即B 点坐标为(a,b),∵OA ＝2AN,△OAB 的面积为5,∴△NAB 的面积为, ∴△ONB 的面积＝5＋＝,∴NB •OM ＝,即×(b －b)×a ＝,∴ab ＝12,∴k ＝12．故答案为12．15.（武汉）如图,点A 在双曲线y=的第一象限的那一支上,AB 垂直于x 轴与点B,点C 在x 轴正半轴上,且OC=2AB,点E 在线段AC 上,且AE=3EC,点D 为OB 的中点,若△ADE 的面积为3,则k 的值为． 解答：解：连DC,如图,C∵AE=3EC,△ADE 的面积为3,∴△CDE 的面积为1, ∴△ADC 的面积为4,设A 点坐标为（a,b ）,则AB=a,OC=2AB=2a,而点D 为OB 的中点,∴BD=OD=b,∵S 梯形OBAC=S△ABO+S△ADC+S△ODC,∴（a+2a ）×b=a×b+4+×2a×b,∴ab=, 把A （a,b ）代入双曲线y=,∴k=ab=．16.(成都)如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线AB 与x 轴.y 轴分离交于点A,B, 与反比例函数k y x=(k 为常数,且0k >)在第一象限的图象交于点E,F ．过点E 作EM⊥y 轴于M,过点F 作FN⊥x 轴于N,直线EM 与FN 交于点C ．若BE 1BF m=(m 为大于l的常数)．记△CEF 的面积为1S ,△OEF 的面积为2S ,则12S S=________． (用含m 的代数式暗示) 答案：11m m （k 的几何意义,线段比的转化,面积的几种求法）17.（湖北黄冈）已知反比例函数y ＝6x在第一象限的图象如图所示,点A 在其图象上,点B 为x 轴正半轴上一点,衔接AO.AB,且AO ＝AB,则S△AOB＝．【答案】6．【解析】如下图,过点A 作AC⊥OB 于点C,∵AO＝AB,∴OC＝BC ．而AC ＝AC,AO ＝AB,∴△AOC≌△ABC．∴S△AOC＝S△ABC．设点A 的坐标为(x,y)(x ＞0,y ＞0),则xy ＝6,AC ＝y,OC ＝x,∴S△AOB＝2S△AOC＝2×12×OC·AC＝xy ＝6．18.（四川宜宾）如图,直线x y 34=与双曲线)0(>=x x k y 交于点A,将直线x y 34=向右平移29个单位后,与双曲线)0(>=x x k y 交于点B,与x 轴交于点C,若2=BCAO,则k=．【答案】12．【解析】起首求出平移后直线的解析式,然后直线x y 34=与双曲线)0(>=x xk y 两解析式联立方程组求出点A 的纵坐标,平移后的直线解析式x y 34=－6与双曲线)0(>=x xky 两解析式联立方程组,求出点B 的纵坐标,依据类似三角形对应边成比例的性质可得A.B 的纵坐标的比等于AO ：BC,然后列出方程求解即可．19.（四川泸州）如图,()111P ,x y ,()222P ,x y ,……()P ,n n n x y 在函数()10y x x=>的图像上,11P OA ∆,212P A A ∆,323P A A ∆,……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形,斜边1OA .12A A .23A A ,……1A A n n -都在x 轴上（n是大于或等于2的正整数）,则点3P 的坐标是;点n P 的坐标是（用含n 的式子暗示）． 【答案】;【解析】过点P1作P1E⊥x 轴于点E,过点P2作P2F⊥x 轴于点F,过点P3作P3G⊥x 轴于点G,依据△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3都是等腰直角三角形,可求出P1,P2,P3的坐标,从而总结出一般纪律得出点Pn 的坐标．21.（山东日照）如右图,直线AB 交双曲线xk y =于Ａ.B,交x 轴于点C,B 为线段AC 的中点,过点B 作BM⊥x 轴于M,贯穿连接OA.若OM=2MC,S⊿OAC=12.则k 的值为___________. 【答案】8【解析】过点A 作AD⊥x 轴于点D,则△ADO 的面积为21k,∵BM⊥x 轴,∴AD∥BM, ∵B 为线段AC 的中点,∴BM 为△ADC 的中位线,∴DM=MC, ∵OM=2MC, ∴OD=DM=MC.∴S⊿OAC=3S⊿OAD,=12=k 23,∴k=8.22.（•宁波）如图,等腰直角三角形ABC极点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=（x＞0）的图象分离与AB,BC交于点D,E．贯穿连接DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为．【答案】．（,）．【解析】如图,∵∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=（x＞0）的图象分离与AB,BC交于点D,E,∴∠BAC=∠ABC=45°,且可设E（a,）,D（b,）,∴C（a,0）,B（a,2）,A（2﹣a,0）,∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．又∵△BDE∽△BCA,∴∠BDE=∠BCA=90°,∴直线y=x与直线DE垂直,=,即ab=3．∴点D.E关于直线y=x对称,则又∵点D在直线AB上,∴=b+2﹣a,即2a2﹣2a﹣3=0,解得,a=,∴点E的坐标是（,）．23.（•自贡）如图,在函数的图象上有点P1.P2.P3….Pn.Pn+1,点P1的横坐标为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2,过点P1.P2.P3….Pn.Pn+1分离作x轴.y轴的垂线段,构成若干个矩形,如图所示,将图中暗影部分的面积从左至右依次记为S1.S2.S3….Sn,则S1=4 ,Sn=．（用含n的代数式暗示）解答： 解：当x=2时,P1的纵坐标为4,当x=4时,P2的纵坐标为2,当x=6时,P3的纵坐标为, 当x=8时,P4的纵坐标为1, 当x=10时,P5的纵坐标为：, 则S1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]; S2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]; S3=2×（﹣1）=2×=2[﹣];Sn=2[﹣]=;故答案为：4,．24.（•遵义）如图,已知直线y=x 与双曲线y=（k ＞0）交于A.B 两点,点B 的坐标为（﹣4,﹣2）,C 为双曲线y=（k ＞0）上一点,且在第一象限内,若△AOC 的面积为6,则点C 的坐标为（2,4）．解答：解：∵点B （﹣4,﹣2）在双曲线y=上,∴=﹣2,∴k=8, 依据中间对称性,点A.B 关于原点对称,所以,A （4,2）, 如图,过点A 作AE ⊥x 轴于E,过点C 作CF ⊥x 轴于F,设点C 的坐标为（a,）,则S △AOC=S △COF+S 梯形ACFE ﹣S △AOE=×8+×（2+）（4﹣a ）﹣×8,=4+﹣4,=,∵△AOC 的面积为6,∴=6,整顿得,a2+6a ﹣16=0,解得a1=2,a2=﹣8（舍去）,∴==4,∴点C 的坐标为（2,4）．故答案为：（2,4）．25.(武汉)如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,BC ＝2AB,A,B 两点的坐标分离是（－1,0）,（0,2）,C,D 两点在反比例函数)0(<=x xk y 的图象上,则k 的值等于．答案：－12解析：如图,过C.D 两点作x 轴的垂线,垂足为F.G,CG 交AD于M 点,过D 点作DH⊥CG,垂足为H,∵CD∥AB,CD=AB,∴△CDH≌△ABO（AAS ）,∴DH=AO=1,CH=OB=2,设C （m,n ）,D （m －1,n －2）, 则mn ＝（m －1）（n －2）=k,解得n=2－2m, 设直线BC 解析式为y=ax+b,将B.C 两点坐标代入得2b n am b=⎧⎨=+⎩,又n=2－2m, BC ＝22(2)m n +-＝25m ,AB ＝5,因为BC ＝2AB,解得：m ＝－2,n ＝6,所以,k ＝mn ＝－12轴交于26.(咸宁)如图,一次函数y ax b =+的图像与x 轴.y两点,A B 、两点,与反比例函数k y x=的图象订交于C D、衔接分离过C D 、两点作y 轴.x 轴的垂线,垂足为E F 、,CF DE、.有以下四个结论：①CEF DEF S S ∆∆=;②AOB FOE ∆∆∽;③DCE CDF ∆∆≌;④AC BD =.个中准确的结论是 . 三.解答题1.(兰州) 如图,P1是反比例函数)0(＞k x ky =在第一象限图像上的一点,点A1的坐标为(2,0)． （1）当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将若何变更？（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．FE D CB A o xyyx第15题图DCBAO2.（内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中,函数y＝mx（x＞0,m是常数）的图像经过点A（1,4）.点B（a,b）,个中a＞1.过点A作x中的垂线,垂足为C,过点B 作y轴的垂线,垂足为D,AC与BD订交于点M,贯穿连接AD.DC.CB与AB.（1）求m的值;（2）求证：DC∥AB;（3）当AD＝BC时,求直线AB的函数解析式.【答案】解：（1）∵点A（1,4）在函数y＝mx的图像上,∴4＝1m,得m＝4.……………………………2分（2）∵点B（a,b）在函数y＝mx的图像上,∴ab＝4.又∵AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D交AC于M,∴AC⊥BD于M∴M（1,b）,D（0,b）,C（1,0）∴tan∠BAC＝BMAM ＝14ab--＝1aab b--＝1b,tan∠DCM＝DMMC＝1b……………4分∴tan∠BAC＝tan∠DCM,所以锐角∠BAC＝∠DCM,DC∥AB………………………………………………6分（3）设直线AB的解析式为y＝kx＋b∵AB∥CD,AD＝BC,∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形.①四边形ABCD是平行四边形时,AC与BD互相等分,又∵AC⊥BD,∴B（2,2）∴422k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得26k b =-⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为：y ＝－2x ＋6.………………8分 ②当四边形ABCD 是等腰梯形时, BD 与AC 相等且垂直,∵AC＝BD ＝4, ∴B（4,1）∴同理可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.…………………10分可以应用这一结论解决问题.如图,在统一向角坐标系中,正比例函数的图象可以看作是：将x 轴地点的直线绕着原点O xy 3=的图象分离交于第一.三象限的点B .D ,已知点)0,(m A -.)0,(mC .（1）直接断定并填写：不管α取何值,四边形ABCD 的外形必定是; （2）①当点B 为)1,(p 时,四边形ABCD 是矩形,试求p .α.和m 有值;②不雅察猜测：对①中的m 值,能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有几个？(不必说理)（3）试探讨：四边形ABCD 能不克不及是菱形？若能, 直接写出B 点的坐标, 若不克不及, 解释来由. 【答案】解：（1）平行四边形 …………（3分）（2）①∵点)1,(p B 在xy 3=的图象上,∴p31=∴3=p ………………………………（4分） 过B 作E x BE 轴于⊥,则13==，BE OE 在BOE Rt ∆中,3331tan ===OE BE α α=30°∴2=OB又∵点B.D 是正比例函数与反比例函数图象的交点,∴点B.D 关于原点O 成中间对称∴OB=OD=2 ∵四边形ABCD 为矩形,且)0,(m A -)0,(m C ∴2====OD OC OB OA ∴2=m ;②能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有2个; （3）四边形ABCD 不克不及是菱形. 法一：∵点A .C 的坐标分离为)0,(m -.)0,(m ∴四边形ABCD 的对角线AC 在x 轴上.又∵点B .D 分离是正比例函数与反比例函数在第一.三象限的交点. ∴对角线AC 与BD 不成能垂直. ∴四边形ABCD 不克不及是菱形法二：若四边形ABCD 为菱形,则对角线AC⊥BD,且AC 与BD 互相等分, 因为点A.C 的坐标分离为（－m,0）.（m,0）所以点A.C 关于原点O 对称,且AC 在x 轴上. 所以BD 应在y 轴上,这与“点B.D 分离在第一.三象限”抵触,所以四边形ABCD 不成能为菱形.4.（广西柳州）如图,过点P(－4,3)作x 轴.y 轴的垂线,分离交x 轴.y 轴于A.B 两点,交双曲线xk y =（k≥2）于E.F 两点．（1）点E 的坐标是________,点F 的坐标是________;（均用含k 的式子暗示）（2）断定EF 与AB 的地位关系,并证实你的结论; 如有,（3）记OEF PEF S S S ∆∆-=,S 是否有最小值？求出其最小值;若没有,请解释来由．解：（1）E （－4,－4k ）,F （3k ,3） ……3分（2）（证法一）结论：EF∥AB证实：∵P（－4,3）∴E（－4,－4k ）,F （3k ,3）,即得：PE=3+4k ,PF=3k +4 …∵1212433+=+=k k PEPA ,1212344+=+=k k PFPB ∠APB=∠EPF ∴△PAB∽△PEF∴∠PAB=∠PEF∴EF∥AB （证法二）结论：EF∥AB证实：∵P（－4,3）∴E（－4,－4k ）,F （3k ,3）,即得：PE=3+4k ,PF=3k +4 …在Rt△PAB 中,tan∠PAB=34=PAPB在Rt △PEF中,tan∠PEF=344343=++=k k PEPF ∴tan∠PAB= tan∠PEF∴∠PAB=∠PEF ∴ EF∥AB （3）（办法一）S 有最小值 ∵k S S S S FBO EAO PAOB PEDF +=++=∆∆12矩形四边形∴k S S S S PEF PEF PEDF EOF+-=-=∆∆∆12四边形由（2）知,)43)(43(2121++=⋅⋅=∆k k PF PE S PEF∴S=k S S S PEF OEFPEF --=-∆∆∆122=3)6(1211222-+=+k k k 又∵k≥2,此时S 的值随k 值增大而增大,∴当k=2时,37=最小S ∴S 的最小值是37（办法二）S 有最小值．分离过点E.F 作PF.PE 的平行线,交点为P′．由（2）知,P′⎪⎭⎫⎝⎛-43k k ，∵四边形PEP′为矩形,∴S△P′EF= S△PEF∴S=S△PEF－ S△OEF = S△P′EF－ S△OEF = S△OME +S 矩形OMP′N+ S△ONF=21222k k k ++=22k +k =3)6(1212-+k 又∵k≥2,此时S 的值随k 值增大而增大, ∴当k=2时,S 最小=37∴S 的最小值是37．5.（ 四川绵阳）如图,已知正比例函数y = ax （a≠0）的图象与反比例函致另—个交xk y =（k≠0）的图象的一个交点为A （－1,2－k2）,点为B,且A.B 关于原点O 对称,D 为OB 的中点,过点D 的线段OB 的垂直等分线与x 轴.y 轴分离交于C.E ．（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式; （2）试盘算△COE 的面积是△ODE 面积的若干倍．【答案】（1）由图知k ＞0,a ＞0．∵点A （－1,2－k2）在xk y =图象上,∴ 2－k2 =－k,即k2－k －2 = 0,解得k = 2（k =－1舍去）,得反比例函数为xy 2=．此时A （－1,－2）,代人y = ax,解得a = 2,∴正比例函数为y = 2x ． （2）过点B 作BF⊥x 轴于F ．∵A（－1,－2）与B 关于原点对称, ∴B（1,2）,即OF = 1,BF = 2,得OB =5．由图,易知Rt△OBF∽Rt△OCD,∴OB : OC = OF : OD,而OD = OB∕2 =5∕2,∴OC = OB · OD∕OF = 2.5．由Rt△COE∽Rt△ODE 得5)5225()(22=⨯==∆∆OD OC S S ODE COE , 所以△COE 的面积是△ODE 面积的5倍． 7.（湖北荆州）已知：关于x 的一元二次方程()01222=+-+k x k x 的两根21,x x 知足02221=-x x ,双曲线xky 4=(x ＞0)经由Rt△OAB 斜边OB 的中点D,与直角边AB 交于C （如图）,求OBC △S ．【答案】解：()01222=+-+k x k x 有两根 ∴()041222≥--=∆k k 即41≤k 由02221=-x x 得：()()02121=+-x x x x当021=+x x 时,()012=--k 解得21=k ,不合题意,舍去 当021=-x x 时,21x x =,()041222=--=∆k k 解得：41=k 相符题意 ∴双曲线的解析式为：xy 1=过D 作DE⊥OA 于E,则21121S S OCA ODE =⨯==∆∆ ∵DE⊥OA,BA⊥OA∴DE∥AB∴△ODE∽△OBA∴42=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆OD OB S S ODE OBA ∴2214=⨯=∆OBA S∴23212=-=-=∆∆∆OCA OBA OBC S S S 8．（北京）已知反比例函数y= k x的图像经由点A （—3,1）（1）试肯定此反比例函数的解析式．（2）点O 是坐标原点,将线段OA 绕点O 顺时针扭转30°得到线段OB,断定点B 是否在反比例函数的图像上,并解释来由．（3）已知点P （）也在此反比例函数的图像上（个中m ＜0）,过p点作x 轴的的垂线,交x 轴于点M,若线段PM 上消失一点Q,使得△OQM 的面积是12,设Q 点的纵坐标为n,求n2－的值．【答案】解：（1）由题意德k=∴反比例函数的解析式为y= （2）过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C,在Rt△AOC 中可得 由题意,∠AOC=30°,OB=OA=2,∴∠BOC=60°过点B 做x 轴的垂线交x 轴于点D,在Rt△BOD 中,可得∴点B 坐标（－x=－1代入y= ,得∴点B （－y= x-的图像上．（3）由y=得xy=∵点P （）在反比例函数的y= 的图像上,m ＜0）=210m ++= ∵PQ⊥x 轴∴Q 点的坐标（m,n ） ∵△OQM 的面积为12∴12OM.QM=12∵m＜0 ∴m .n=－1 ∴22220m n n ++=∴21n -=-∴298n ++=．9.（广东广州市）已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上,点C（1,3）在反比例函数y = k x 的图象上,且sin∠BAC= 35．（1）求k 的值和边AC 的长; （2）求点B 的坐标．【答案】（1）把C （1,3）代入y = kx 得k=3设斜边AB 上的高为CD,则sin∠BAC=CD AC =35∵C（1,3）∴CD=3,∴AC=5（2）分两种情形,当点B 在点A 右侧时,如图1有： AD=52－32=4,AO=4－1=3∵△ACD∽ABC∴AC2=AD·AB∴AB=AC2AD =254∴OB=AB－AO=254－3=134此时B 点坐标为（134,0）图1 图2当点B 在点A 左侧时,如图2此时AO=4＋1=5OB= AB －AO=254－5=54此时B 点坐标为（－54,0）所以点B 的坐标为（134,0）或（－54,0）．10.（山东聊城）如图,已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42my x-=（x>0）图象于点A.B,交x 轴于点C ．x yB A CD O O xyB A CD（1）求m 的取值规模;（2）若点A 的坐标是（2,－4）,且13BC AB =,求m 的值和一次函数的解析式;【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限,所以4－2m ＜0,解得m ＞2;（2）因点A(2,－4)在反比例函数图象上,所以－4＝224m-,解得m ＝6,过点A.B分离作AM⊥OC 于点M,BN⊥OC 于点N,所以∠BNC＝∠AMC ＝90°,又因为∠BCN ＝∠AMC,所以△BCN∽△ACM,所以ACBCAM BN =,因为31=AB BC ,所以41=AC BC ,即41=AM BN ,因为AM ＝4,所以BN ＝1,所以点B 的纵坐标为－1,因为点B 在反比例函数的图象上,所以当y ＝－1时,x ＝8,所以点B 的坐标为（8,－1）,因为一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点A(2,－4),B(8,－1),所以⎩⎨⎧-=+-=+1842b k b k ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==521b k ,所以一次函数的解析式为y ＝21x －511.（江苏南通）如图,直线l 经由点A(1,0),且与双曲线y ＝m x（x ＞0）交于点B(2,1),过点P(p,p －1)（p ＞1）作x 轴的平行线分离交曲线y ＝m x（x ＞0）和y＝－m x（x ＜0）于M,N 两点.（1）求m 的值及直线l 的解析式;（2）若点P 在直线y ＝2上,求证：△PMB∽△PNA;（3）是否消失实数p,使得S△AMN＝4S△APM？若消失,要求出所有知足前提的p 的值;若不消失,请解释来由.【答案】（1）∵点B(2,1)在双曲线y ＝m x上,∴12m =,得m ＝2.设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b∵直线l 过A(1,0)和B(2,1) ∴021k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得11k b =⎧⎨=-⎩∴直线l 的解析式为y ＝x －1.(2) 证实：当x ＝p 时,y ＝p －1,点P(p,p －1)（p ＞。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反比例函数经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|
∴xy=k 故S=|k| 从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|
例题讲解
【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2
都在函数y=4
x（x＞0）
的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐
标为 .
1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、
P2、P3…P n都在函数y=4
x
（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则
点A10的坐标为
2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=
1
x
的图像上，如果△PAB的面积为6，
求P点的坐标。
【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=k
x
（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴
上，E是对角线BD的中点，函数y=k
x
（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标
为m，解答下列各题
1.求k的值
2.求点C的横坐标（用m表示）
3.当∠ABD=45°时，求m的值112
1、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y=2 x
（x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m．
（1）求点A坐标（用m表示）
（2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由
2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、
E在反比例函数y=k
x
的图象上．
（1）求AB的长；
（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=k
x
的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=
1
k
x
的图象（如图2），求k1的值；
（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一
象限内的双曲线y=k
x
于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求
出点M的坐标；若不能，请说明理由．
【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应）
（1）求∠FOE；
（2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，点P（a，b）是
反比例函数y=1
2x
在第一象限内的任意一点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y 轴于
点N，PM，PN分别交直线AB于E，F，有下列结论：①AF=BE；②图中的等腰直角三角形有4
个；③S△OEF=1
2
（a+b-1）；④∠EOF=45°．其中结论正确的序号是②③④
【例4】已知：如右图，已知反比例函数y=
2k
x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经过（a ，b ），（a+1，b+k ）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
已知反比例函数y=2k
x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式
2k
x
＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
一、巩固练习：解答题
1、已知反比例函数y=k
x
图象过第二象限内的点A（-2，m），作AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3；若直
线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=k
x
的图象上另一点C（n，-1）．
（1）反比例函数的解析式为y=-6
x
，m=3，n=6；
（2）求直线y=ax+b的解析式；
（3）设直线y=ax+b与x轴交于M，求AM的长；
（4）根据图象写出使反比例函数y=k
x
值大于一次函数y=ax+b的值的x的取值范围。
2、已知如图：矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线BD的中点，点B、D的坐标分别为B（1，0），D
（3，3），反比例函数y=k
x
的图象经过A点，
（1）写出点A和点E的坐标；（2）求反比例函数的解析式；
3、如右图已知反比例函数y=k
x
（k＜0）的图像经过点A（-3，m），过A点作AB⊥x轴于
点B,且△AOB的面积为3。
123
(1)求k和m的值
(2)若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M,求∠AMO和|AO|:|AM|的值
二、 拓展训练 4、已知反比例函数y=2k x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ）、（a+1，b+k ）两点． （1）求反比例函数的解析式；
（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A （1，m ），请问：在x 轴上是否存在点B ，使△AOB 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B 的坐标；
（3）若直线y=-x+12交x 轴于C ，交y 轴于D ，点P 为反比例函数y=2k x
（x ＞0）的图象上一点，过P 作y 轴的平行线交直线CD 于E ，过P 作x 轴的平行线交直线CD 于F ，求证：DE •CF 为定值．
过手练习
1、已知：如右图已知反比例函数y=12
x
的图像与一次函数y=kx-7的图像都经过P（m，2）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值．118。