正态分布频率直方图
正态分布 t分布
未知时，以样本标准差 S 代替 σ 所得到的统 计量
xμ S/ n
态分布，而是服从 t 分布(t-distribution)。 它的概率分布密度函数如下：
t 分布概率密度曲线特点: 1、t 分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 t 分布概率密度曲线。 2、t 分布概率密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称， 且在t＝0时，取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t 分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t 分布越趋近于标准正态分布。当n >50时，t 分布与标 准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准 正态分布相同；n→+∞时，t 分布与标准正态分布完全 一致。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x=
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=
1 2 3 x
x=
不同均数 均值 反映随机变量的平均水平（位置参数），向 右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴永不相交 （2）曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称 1 （3）曲线在 x=μ 处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与横轴 x所夹面积为1
例3 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估 计: (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比； (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
t 分布
利用公式，查附表得： (1) P(x＜1.64) =Φ(1.64) =0.9495 (2) P (x≥2.58) =1-Φ(2.58) =1-0.9951 =0.0049 (3) P (│x│≥2.56) =2-2Φ(2.56) =2-2×0.9948 =0.0104 (4) P (0.34＜x≤1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) = 0.9370-0.6331=0.3039 (5) P(x＜-1.82) =1-Φ(1.82) =1-0.9656 =0.0344
频率分布直方图
频率分布直方图频率分布直方图是一种通过矩形条形图表达统计数据的方法。
它将变量的范围划分为若干个等宽区间，然后计算每个区间内的观测值频数或频率，并将其绘制成直方图。
直方图可以直观地展示数据的分布情况和集中程度，帮助我们更好地理解数据的特征和趋势。
直方图的绘制步骤通常包括以下几个步骤：1.确定数据的测量尺度：直方图适用于连续变量或有序离散变量，不适用于无序离散变量，因此在绘制直方图之前需要确定数据的测量尺度。
2.确定分组区间数和宽度：根据数据的范围和数量，选择合适的分组区间数和宽度。
通常情况下，分组区间数的选择应该在5到20之间，而宽度的选择应该使得直方图易于理解和分析。
3.计算频数或频率：将数据按照分组区间进行分类，并统计每个区间内的观测值频数或频率。
频数是指数据在每个区间中出现的次数，频率是指频数除以总观测值数的比例。
4.绘制直方图：根据分组区间和对应的频数或频率，绘制矩形条形图。
横轴表示分组区间，纵轴表示频数或频率，每个矩形的宽度表示分组区间的宽度，高度表示频数或频率。
根据直方图的绘制结果，我们可以直观地了解数据的分布情况和集中程度。
例如，如果直方图呈现对称的钟形曲线，说明数据符合正态分布；如果直方图呈现非对称的形状，说明数据分布存在偏态。
通过直方图，我们还可以比较不同组别或不同时间点数据的分布情况，寻找差异和变化趋势。
此外，直方图还可以用于检测异常值和离群点，帮助我们发现数据中的异常情况。
总之，频率分布直方图是一种直观且有效的统计图形，可以帮助我们理解和分析数据的分布情况和集中程度。
通过直方图，我们可以更好地洞察数据的特征和趋势，从而做出更有针对性的决策。
3.5正态分布
动
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
, (
x
)
脑
2π
思
其中 , 是常数，且 ＞0,那么称 服从参数为, 2 的正
考
态分布,简记为 ~ N (, 2 ), 此时 的密度曲线称为正态曲线,
探
称为正态随机变量．
索
新
知
正态曲线具有以下性质（如图所示）；
那么轴的直径尺寸在区间 ( 3 , 3 ) 内取值的概率为
探
索
99.7%．而落在区间 ( 3 , 3 ) 以外的概率只有0.3%．
新 知
这种小概率事件一旦发生，说明生产中可能出现了异常情况，
应该停止生产查明原因，及时采取措施使生产恢复正常．
例4 某灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 （单位：小时）， 已知 ~ N(1000,30),要保证灯泡的平均寿命为1000小时的概率
兴
［160.5，163.5） 正正63.5，166.5） 正正
10
0.167
导
［166.5，169.5）
3
0.050
入
合计
60
1.000
下面根据这些数据绘制频率分布直方图．
（3）绘制频率分布直方图（如图）
创 设 情 境
兴 趣 导 入
从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中 间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多， 往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称．
考
探 索 新 知
设随机变量 ~ N(0，1)．由概率密度曲线的定义知道，任给
区间（-∞，a）， P( a) 的值为下图中阴影部分的面积．
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
频率分布直方图
风险评估和预测模型构建
风险等级划分
01
在金融、保险等领域中，频率分布直方图可以用于划分风险等
级，评估不同风险水平下的损失分布情况。
预测模型构建
02
在构建预测模型时，频率分布直方图可以帮助确定输入变量的
分布特征，从而选择合适的模型类型和建模方法。
蛋白质表达水平
将蛋白质表达量按不同 水平分组，并通过直方 图呈现各组频数，有助 于分析蛋白质功能与疾 病的关系。
代谢物浓度分布
利用频率分布直方图展 示生物样本中代谢物的 浓度分布情况，为代谢 组学研究和疾病诊断提 供参考。
THANKS
感谢观看
处理异常值
在绘制频率分布直方图之前，可以对数据进行预处理，例如采用箱线图等方法识别并处理 异常值，以减少异常值对直方图形状的影响。同时，也可以在直方图上标注出异常值的位 置和数值，以便观察者更好地了解数据的分布情况。
06
案例：频率分布直方图在医学领域应
用
疾病发病率分布情况展示
发病率地域分布
通过频率分布直方图展示不同地区的疾病发病率，帮助医学研究 者识别高发区域和潜在风险因素。
图形表示不同
条形图用条形的长度表示各类别数 据的频数或频率，而频率分布直方 图用矩形的面积表示各组数据的频 数或频率。
横轴意义不同
条形图的横轴表示类别，而频率分 布直方图的横轴表示数据范围。
02
绘制频率分布直方图步骤
数据收集与整理
收集数据
根据研究目的确定需要收集的数据，并确保数据的准确性和 完整性。
频率分布直方图
汇报人：XX
• 频率分布直方图基本概念 • 绘制频率分布直方图步骤 • 频率分布直方图解读技巧 • 频率分布直方图在数据分析中应用 • 频率分布直方图优缺点及改进措施 • 案例：频率分布直方图在医学领域应
直方图及正态分布制作
5/ 26
2、分组
1、根据之前得出结论，总共分成8组，第一组 上组界值是7.95，组距是0.5，所以第二组是 7.95+0.5=8.45，以此类推。直到之后一组的 下组距大于11.9
6/ 26
2、统计频率
• “频率”就是去统计每个分组中所包含的数据的个数。 • 最简单的方法就是直接在所有的数据中直接去统计，但当数 据量很大的时候，这种方法不但费时，而且容易出错。 • 这里介绍的是“FREQUENCY（频率分布）”函数方法和EXCEL 数据分析法：统计每个小组的数据个数 “Date_array 数据区域”：是选取要统计的数据源，就是选 择原始数据的范围； “Bins_array 分段点（区间）”：是选取直方图分组的数据
20 频率 15 正态分布曲线
10
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
22/ 26
5、正态分布曲线图
2、调整图形 1、在图表区柱形较下方选中正态分布曲线数据，（正态分布密度值和频率数值 相比太小了，实在看不清，多试几次，选中后如图，同时正态分布曲线那数 数据处于选中状态）。
直方图和正态分布图
直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。
直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。
Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。
Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。
VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。
正态分布-ppt课件
(14)曲(3线) (的4)对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
布 N (0，1) ， 已 知 p （ ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 即2、考已试知成X绩~N在((08,10),1，00则)间X在的区概间率为0. 内取值的概率等于（ ）
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延
伸时，曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
课堂练习
1. 右图是当 σ 分别取值 σ1，σ2，σ3 的三种正
(2)
1 , 2 1 (x1)2
(x) 新疆 王新敞 奎屯
e 8 ,x ( , )
22
说明：当0 , 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
例2、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
f(x) 1 e ,,(0)都 是 实 数 A. 说明：当m=0 , s =1时，X 服从标准正态分布 2 样本容量增大时频率分布直方图
随 着 重 复 次 数 ,这的个增频加率 直 方 图 的
会 越 来 越 像 一线 条图钟 2.4形 3曲 .
y
O
图2.43
x
这条曲线 (或就 近是 似 )下地 列函数:的图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 22,x , ,
2π σ
其 中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ 们 μ 数 ,σ x 的 称
1 即即(947)考考7曲2试 试线成成的D.绩绩对在在称((位8800置,,1100由00))μ间间确的的定概概，率率曲为为线00的.. 形状由σ确定，σ越(x大4，1)曲2线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
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14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，
内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 0.8
．
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500,3000)（元）月收入段应抽出＿25
＿＿＿＿人。
0.0005
300035000.0003
0.0004
200015000.0002
0.0001
400025001000月收入（元）
频率/组距
(11）若随机变量X ～2(,)μσ，则()P X μ≤=________.
解答：12
12．已知离散型随机变量X 的分布列如右表．若0EX =，1DX =，则a = ，
b = ．
【解析】由题知1211=
++c b a ，061=++-c a ，1121211222=⨯+⨯+⨯c a ，解得125=a ，4
1=b . 12. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,10)内的频数为 64
，数据落在[2,10)内的概率约为 0.4
.
13．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128
，则总体中的个体数为 40 。
（11）某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，
拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取____名学生。
【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。
解析：C 专业的学生有4004203801200=--，由分层抽样原理，应抽取401200
400120=⨯
名。
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单
位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中
数据可知a ＝ 0.030 。
若要从身高在[ 120 ,
130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层
抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，
150]内的学生中选取的人数应为 3 。
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]
中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有
_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。
[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
（5）已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，
则=≤≤-)22(ξP C （A ）0.477 （B ）0.628 （C ）0.954 （D ）0.977
（6）样本中共有五个个体，其值分别为3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为D
（A ）56 （B ）56 （C ）2 （D ）2
5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估
计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为
A.18
B.36
C.54
D.72
答案：B
解析：根据频率分布直方图，可知样本点落在[10，12）内频率为
12(0.020.050.190
-⨯+++=，故其频数为2000.1836⨯=，所以选B. 二、填空题
11. 某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业
情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家. 答案：20 解析：应抽取中型超市
100400202004001400
⨯=++（家）.
13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 .
【答案】16
【解析】由题意知,抽取比例为3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为40820 =16.。