一元二次方程的解法(直接开方法)优秀课件
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人教版九年级上册一元二次方程的解法PPT公开课优秀课件
方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a
（3）b2-4ac<0
方程无实数根
新知探究
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判 别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac
即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 反之，
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
Δ的值 1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值。
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
0 0
15 0
17 0
1、把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值。
根的 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
3、判别根的情况，得出结论.
15 ,
3、判别根的情况，得出结论.
6
6
3
配根∴△方据=法 题(-和意4)公2 -式4(×法r +4是×5解)12=一×0元π=二2次r2π方.程重要方x1法,要作3为一3种1基5本,技x能2来掌握3. 3 15 .
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是 （ ）
新知探究
∴△= (-4)2 -4×4×1=0
例2 用公式法解下列方程： 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
例2 用公式法解下列方程: 式子b2-4ac的值有以下三种情况：
判别式，配方法 因式分解法
(1)x 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根2 - 4x -7=0
用直接开平方法法解一元二次方程PPT课件
例1解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）x2=1.21 （2）移项，4x2=1
x 1.21
x2=
1 4
∴x=±1.1
x 1 4
即 x1=1.1， x2=-1.1
即x1=
1 2
∴x=
1 2
，x2=
1 2
对照上面解方程的过程，你认为方程2x 1S
THANK YOU
2019/7/31
交流讨论 以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？
一元二次方程
x2 p p 0 mx n2 p p 0
开平方法 降次
一元一次方程
x p, mx n p
直接开平方法
C.n是m的整数倍
D.m、n同号
解下列方程
(1)9x2 5 3
(2)3x 12 6 0
3 x2 4x 4 5
解下列方程：
(1)9x2 5 3
解：移项 9x2 8,
得 x2 8 , 9
注意：二次 根式必须化 成最简二次 根式。
xx
28 2 33
2. 选择适当的方法解下列方程：
(1)x2-81＝0
(2)2x2＝50
x＝±9
x＝±5
(3)(x＋1)2=4 x1＝1,x2＝－3
1 x 62 9 0
解：移项得 x 62 9 x 6 3
即：x 6 3, x 6 3
方程的两根为：x1 3, x2 9
首先将一元二次方程化为左边是含有未 知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式， 然后用平方根的概念求解
一元二次方程的解法 PPT课件 10(共6份) 华东师大版
21.2 降次——解一元二次方程
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
学习目标
• 1．体会解一元二次方程降次的转化思想． • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或 • (mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
创设情景 明确目标
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
•
50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
•
51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
② 方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程 （2）转化为方程（1）的形式？
③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的 目的？
小组讨论2
对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2 的方程，可以用直接开平方发求解吗？
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
学习目标
• 1．体会解一元二次方程降次的转化思想． • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或 • (mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
创设情景 明确目标
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这 桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全 部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
•
50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
•
51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
② 方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程 （2）转化为方程（1）的形式？
③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的 目的？
小组讨论2
对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2 的方程，可以用直接开平方发求解吗？
初中数学人教九年级上册第二十一章 一元二次方程 《用直接开平方法解一元二次方程》PPT
2 一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一 次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则 另一个一元一次方程是( D )
A．x－6＝4
B．x－6＝－4
C．x＋6＝0
D．x＋6＝－4
3 一元二次方程(x－2)2＝1的根是( C )
A．x＝3 C．x1＝3，x2＝1
B．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝－3
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表
面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出
方程
10×6x2=1500.
①
整理，得
x2=25 .
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即
x1=5， x2=－5.
可以验证，5和－5是方程①的两个根，因为棱
长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm.
归纳
01 当p>0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ) 有两个不等的实数根x1＝－ p，x2＝ p ；
(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.
解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.
(2)2y－3＝±4，于是y1＝
7 2
，y2＝－
1
2.
1 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b 的根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根
4 解下列方程： （1）(x ＋ 6)²－9=0 （2） 3(x－1)²－6=0 （3） x²－4x ＋ 4=5
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
变形 开方 求解
将方程化为含未知数的完全 平方式＝非负常 数的形式；
利用平方根的定义，将方程 转化为两个一元一次方程；
解一元二次方程ppt课件
首先将方程转化为ax^2 + bx + c = 0形式，再将常数项移到等式的右边，最后通过配方得 到(x+b/2)^2 = (b^2 - 4ac)/4a形式
一元二次方程的解法
公式法 使用求根公式x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)求解x
求根公式是解一元二次方程的最通用的方法，适用于任何形式的一元二次方程
详细描述
在股票涨跌问题中，我们需要考虑多种因素 来预测股票价格的走势，例如市场趋势、公 司业绩、宏观经济等。为了更准确地预测股 票价格的涨跌，我们需要通过解一元二次方 程来建立模型，并利用历史数据来训练模型 。这些模型可以帮助我们更好地理解股票市
场的规律，从而做出更明智的投资决策。
05
总结与反思
课程总结
常数，且a≠0
02
揭示了一个未知数的二次项、一次项和常数项之 间的关系
一元二次方程的解法
01 直接开平方法
02 适用于ax^2 + bx + c = 0形式，其中a=1且b≠0 的方程
02 将方程转化为(x+b/2)^2 = (b^2 - 4ac)/4a形式 ，再求解x
一元二次方程的解法
配方法
通过配方，将一元二次方程转化为直接开平方的形式，进而求解x
在房屋租金问题中，通常需要解一元二次 方程来计算最佳的租金价格。通过解方程 ，可以得到一个关于租金回报率的公式， 从而帮助投资者做出决策。此外，房屋租 金问题还可以涉及到房屋维修和改造等问 题，这些都需要通过解一元二次方程来得 到解决方案。
案例三：股票涨跌问题
总结词
股票涨跌问题是一个金融市场中的核心问题 ，涉及到股票价格的波动和投资回报。
一元二次方程的解法
公式法 使用求根公式x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)求解x
求根公式是解一元二次方程的最通用的方法，适用于任何形式的一元二次方程
详细描述
在股票涨跌问题中，我们需要考虑多种因素 来预测股票价格的走势，例如市场趋势、公 司业绩、宏观经济等。为了更准确地预测股 票价格的涨跌，我们需要通过解一元二次方 程来建立模型，并利用历史数据来训练模型 。这些模型可以帮助我们更好地理解股票市
场的规律，从而做出更明智的投资决策。
05
总结与反思
课程总结
常数，且a≠0
02
揭示了一个未知数的二次项、一次项和常数项之 间的关系
一元二次方程的解法
01 直接开平方法
02 适用于ax^2 + bx + c = 0形式，其中a=1且b≠0 的方程
02 将方程转化为(x+b/2)^2 = (b^2 - 4ac)/4a形式 ，再求解x
一元二次方程的解法
配方法
通过配方，将一元二次方程转化为直接开平方的形式，进而求解x
在房屋租金问题中，通常需要解一元二次 方程来计算最佳的租金价格。通过解方程 ，可以得到一个关于租金回报率的公式， 从而帮助投资者做出决策。此外，房屋租 金问题还可以涉及到房屋维修和改造等问 题，这些都需要通过解一元二次方程来得 到解决方案。
案例三：股票涨跌问题
总结词
股票涨跌问题是一个金融市场中的核心问题 ，涉及到股票价格的波动和投资回报。
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
直接开平方法解一元二次方程ppt课件
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
探究（二）： 9x2=16都可以怎样求解?你们小组认为 哪种解法更简便?
设计意图： 使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方 程的形式；培养学生思维的灵活性、决策能力以及 善于思考、勇于质疑的精神
设计意图： 这里从学生身边的实际问题引出学习内容， 让学生体会数学与生活的紧密联系，同时明 确本节课的学习任务。
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（二）复习与诊断
1、 如果有
则x叫a的平方根，也可以表示为x=
教学手段：计算机及计算器辅助教学
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
五、教学过程设计： 激趣引入 复习诊断
探究新知
巩固应用 分层检测
深化提高
学习小结
分享收获
分层作业
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
4、实力比拼 探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解. 当a≥0时, x－m=± a x1= a +m, x2=- a +m.
设计意图： 通过合作探究使学生 1.深刻理解直接开平方法的使用条件,培养分类讨论的数学思想; 2. 进一步提高问题解决能力
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
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什么？
求一个数的平方根的运算叫做 开平方。
3
初试锋芒
用直接开平方法解下列方程：
(1)y2-121=0 (2)x2-2=0 (3)16x2-25=0
将方程化成
x2 p
(4)2x 2 1 0 2
(p≥0）的形式, 再求解为
x p
4
再显身手
即 2x-1=±（x-2） ∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1， x2=1
练习：解方程:（3x -4）²=（4x -3)²
7
讨论
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？
如果一个一元二次方程具有x2=p或（mx＋n）2= p
（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完 全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念 求解
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？
8
下列方程能用直接开方法吗？
x2 4x 4 5.
x2 4x 4 3
显然，方程中的(2x-1) 是2的平方根。 例2、 解方程 (2x 1)2 5 0
解：(2x 1)2 5
2x 1 5 即: 2x 1 5，或2x 1 5
x1
1 2
5
, x2
1 2
5
将方程化成
(mx n)2 p
(p≥0）的形 式,再求解为
mx n p
2
例1、解方程 x2 4 0
先移项，得： x2 4
x 4 2
一个数(x)的平方根等于4，这个 数(x)叫做4的什么？
这个数(x)叫做4的平方根(或二 次方根)。
一个正数有几个平方根？
一个正数有两个平方根，它们
互为相反数。
求一个数的平方根的运算叫做
以上解一元二次方 程的方法叫做直接 开平方法。
5
练习：解下列方程： ⑴ (x＋1)2=2 ⑵ (x－1)2－4=0 ⑶ 12(3－2x)2－3=0 (4)(x-5)2+36=0
6
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2
分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2
x2-6x+9=7
4x2+4x+1=4
9
练一练
1、解下列方程： （1）x2=16 （2）x2-0.81=0 （3）9x2=4
2、解下列方程： (1)(x-1)2 =4 (2)3(x+2)2 =3 (3)5(x-4)2-25=0
(4)(2x-1)2=(3-x)2
10
归纳 小结
1．直接开平方法的依据是什么？ （平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次方程： x2=p 或（mx＋n)2= p（p≥0）
开平方的目的是：降次
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没有平方 根，所以，当p<0时，原方程无解。
11
21.2 解一元二次方程 ----直接开平方法
1
如何解一元二次方程呢？能否将二次方程降次 变为一次方程，从而求解一元一次方程呢？
复习
1.什么叫平方根？怎样表示一个数的平方根？
若x2=a,则x叫a的平方根，
记作 x a （a 0)
2.据平方根的概念解方程
x2－4 = 0