最新冀教版初中数学九年级下册解题技巧专题：圆的切线中常见辅助线的作法

解题技巧专题：圆的切线中常见辅助线的作法
◆类型一利用切线的性质时，连接圆心和切点
1．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠P＝70°，则∠的大小为( ) A．40° B．50° ．55° D．60°
第1题图第2题图第3题图2．如图，一个边长为4c的等边三角形AB的高与⊙O的直径相等．⊙O与B 相切于点，与A相交于点E，则E的长为【方法3】( )
A．4c B．3c．2c D．15c
3．(益阳中考)如图，四边形ABD内接于⊙O，AB是直径，过点的切线与AB 的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为________．
第4题图第5题图第6题图
4．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，∠BAO＝60°，弦B∥OA，则(B ︵
)的
长为________(结果保留π)．
5．如图，在矩形ABD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，B分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线DM交B于点M，切点为N，则DM的长为________．6．★如图，已知△AB，AB＝B，以AB为直径的圆交A于点D，过点D的⊙O 的切线交B于点E若D＝5，E＝4，则⊙O的半径是________．
7．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点E，A⊥PQ于点，交⊙O于点D
(1)求证：AE平分∠BA；
(2)若AD＝2，E＝3，∠BA＝60°，求⊙O的半径．
8．如图，AB是⊙O的直径，(ED ︵
)＝(BD
︵
)，连接ED，BD，延长AE交BD
的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点
(1)若OA＝D＝22，求阴影部分的面积；
(2)求证：DE＝DM
◆类型二证明切线时，有切点型：连半径、证垂直
一、利用角度转换证垂直
9．(大连中考)如图，AB是⊙O的直径，点，D在⊙O上，∠A＝2∠BD，点E
在AB的延长线上，∠AED＝∠AB求证：DE与⊙O相切．
二、利用勾股定理的逆定理证垂直
10．如图，在△AB中，以AB为直径的⊙O交A于点M，弦MN∥B交AB于点E，ME＝1，AM＝2，AE＝3求证：B是⊙O的切线．
三、利用全等证垂直
11．如图，⊙O是△AB的外接圆，AB是直径，作OD∥B与过点A的切线交
于点D，连接D并延长交AB的延长线于点E求证：DE是⊙O的切线．
◆类型三证明切线时，无切点型：作垂直，证半径
12．(南充中考)如图，在Rt△AB中，∠AB＝90°，∠BA的平分线交B于点O，O＝1，以点O为圆心、O为半径作半圆．求证：AB为⊙O的切线．【方法4②】
参考答案与解析
1．
2．B 解析：连接O，并过点O作OF⊥E于F∵△AB为等边三角形，边长为4c，∴△AB的高为23c，∴O＝3c∵⊙O与B相切于点，∴O⊥B，∴∠OB＝90°又∵∠AB＝60°，∴∠OF＝30°在Rt△OF中，F＝O·cs∠OF＝错误!c，∴E＝2F ＝3c故选B
3．115°42π
5错误!解析：连接OE，OF，ON，OG，OD，OM∵四边形ABD是矩形，∴∠A ＝∠B＝90°，D＝AB＝4∵AD，AB，B分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO ＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，OE＝OF＝OG，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3∵DM是⊙O的切线，∴∠OED＝∠OND＝90°又
∵OE ＝ON ，OD ＝OD ，∴△OED ≌△OND ，∴DN ＝DE ＝3同理得MN ＝MG ，∴M ＝B －BG －MG ＝5－2－MN ＝3－MN 在Rt△DM 中，DM 2＝D 2＋M 2，∴(3＋MN )2＝42＋(3－MN )2，∴MN ＝错误!，∴DM ＝3＋错误!＝错误!
6错误! 解析：连接OD ，BD ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴BD ⊥A 又∵AB ＝B ，∴AD ＝D 又∵AO ＝OB ，∴OD 是△AB 的中位线，∴OD ∥B ∵DE 是⊙O 的切线，∴DE ⊥OD ，∴DE ⊥B ∵D ＝5，E ＝4，∴DE ＝52－42＝3∵S △BD ＝错误!BD ·D ＝错误!B ·DE ，∴5BD ＝3B ，∴BD ＝错误!B ∵BD 2＋D 2＝B 2，∴错误!错误!＋52＝B 2，解得B ＝错误!∵AB ＝B ，∴AB ＝错误!，∴⊙O 的半径是错误!÷2＝错误!
7．(1)证明：连接OE ∴OA ＝OE ，∴∠OEA ＝∠OAE ∵PQ 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥PQ ∵A ⊥PQ ，∴OE ∥A ，∴∠OEA ＝∠EA ，∴∠OAE ＝∠EA ，∴AE 平分∠BA
(2)解：连接BE ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°由(1)可知AE 平分∠BA ∵∠BA ＝60°，∴∠BAE ＝∠EA ＝30°∵A ⊥PQ ，∴∠AE ＝90°，∴AE ＝2E ∵E ＝3，∴AE ＝23，∴AB ＝错误!＝4，∴⊙O 的半径为2
8．(1)解：连接OD ∵D 是⊙O 的切线，∴OD ⊥D ∵OA ＝D ＝22，OA ＝OD ，∴OD ＝D ＝22，∴△OD 为等腰直角三角形，∴∠DO ＝∠＝45°，∴S 阴影＝S △OD －S 扇形OBD ＝错误!×2错误!×2错误!－错误!＝4－π
(2)证明：连接AD ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ADM ＝90°又∵(ED ︵)＝(BD ︵)，∴ED ＝BD ，∠MAD ＝∠BAD 在△AMD 和△ABD 中，错误!∴△AMD ≌△ABD ，∴DM ＝DB ，∴DE ＝DM
9．证明：连接OD ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AB ＝90°，∴∠A ＋∠AB ＝90°∵∠BOD ＝2∠BD ，∠A ＝2∠BD ，∴∠BOD ＝∠A ∵∠AED ＝∠AB ，∴∠BOD ＋∠AED ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，∴DE 与⊙O 相切．
10．证明：∵ME ＝1，AM ＝2，AE ＝3，∴ME 2＋AE 2＝AM 2，∴△AME 是直角三角形，∠AEM ＝90°又∵MN ∥B ，∴∠AB ＝∠AEM ＝90°，∴OB ⊥B 又∵OB 是⊙O
的半径，∴B是⊙O的切线．
11．证明：连接O，如图．∵AD为⊙O的切线，∴AD⊥AB，∴∠BAD＝90°∵OD∥B，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4∵OB＝O，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2在△OD 和△OAD中，错误!∴△OD≌△OAD(SAS)，∴∠OD＝∠OAD＝90°，∴O⊥DE，∴DE 是⊙O的切线．
12．证明：过点O作OM⊥AB于M∵∠AB＝90°，∴O⊥A又∵OA平分∠AB，OM⊥AB，∴OM＝O，∴AB是⊙O的切线．。