初中数学如何证明圆的切线
切线的证明技巧
知识点
二.切线的证明方法： 1.作垂直，证半径
条件：圆与直线的公共点没有标明字母 方法：① 则过圆心作直线的垂线段为辅助线
② 再证垂线段的长等于半径的长
知识点
二.切线的证明方法： 2.连半径，证垂直 条件：圆与直线的公共点标明字母 方法：① 则连这个点和圆心得到辅助半径
② 再证所作半径与这条直线垂直
变式练习
例：如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于 点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2， AE= ．3 求证：BC是⊙O的切线；
证明：∵在△AME中，AM=2，ME=1，AE= 3，
∴AM=ME2+AE2， AM ME2 AE2
∴△AME是直角三角形，∴∠AEM=90°， 又∵MN∥BC， ∴∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， 而AB为直径， ∴BC是⊙O的切线；
典例精讲
类型二：无切点，作垂直，证半径
例：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C． 求证：直线PB也与⊙O相切；
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC， ∵PA切⊙O于点C， ∴OC⊥PA， 又∵点O在∠APB的角平分线上， ∴OC=OD，即OD的长等于⊙O的半径， ∴PB与⊙O相切；
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径， 作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．求证： 直线AD是⊙O的切线．
典例精讲
类型一： 有切点，连半径，证垂直
证明：连结OA，如图， ∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°， ∴∠B+∠ACB=90°， 而OC=OA，∴∠ACB=∠OAC， ∴∠B+∠OAC=90°， ∵∠CAD=∠B， ∴∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∴直线AD是⊙O的切线．
第3章 3.7 切线长定理
∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠DCB)＝12×180°＝ 90°. ∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO.
(2)求 BE 和 CG 的长．
解：如图，连接 OF，则 OF⊥BC．
∵在 Rt△BOC 中，BO＝6 cm，CO＝8 cm， ∴BC＝ 62＋82＝10(cm)． 易证 Rt△BOF∽Rt△BCO， ∴BBOF＝BBOC.
∴B6F＝160，∴BF＝3.6 cm. ∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切， ∴BE＝BF＝3.6 cm，CG＝CF. ∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4(cm)， ∴CG＝CF＝6.4 cm.
★【思维拓展训练】
►答案见：D19
如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，以 BC 为直径在矩
形内作半圆，自点 A 作半圆的切线 AE，则 sin∠CBE＝( D )
A．
6 3
B．23
C．31
D．
10 10
谢谢您的观看与聆听
∴∠BAC＝90°－60°＝30°. 又∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°.∴BC＝12AC＝OA＝2.
如图，AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G.且
AB∥CD．BO＝6 cm，CO＝8 cm.
(1)求证：BO⊥CO；
证明：∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于点 E，F，G，
►答案见：D18
如图，从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别
为 A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦 AB 的长是( B )
九年级数学上册22.2.2圆的切线课件新版北京课改版
预习反馈
1.如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上
底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半
圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ A ）
A.14B.9Fra bibliotekC.10
D.12
预习反馈
2.如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直 径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ D ）
典例精析
典例精析
典例精析
典例精析
例2、如图所示， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E， F，C，AB = 9，BC = 13，AC=10。求AE、BF和CG的长。
典例精析
分析：∵⊙ O是△ABC的内切圆，切点分别为E， F，G， ∴AE=AG，BE=BF，CG=CF 设AE=x，BF=y，CG=z。 ∴ x + y =9，y + z = 13，z + x = 10。 解这个方程组，得 x =3，y = 6，z = 7。 ∴AE = 3，BF = 6， CG = 7。
A. 35° C. 60°
B. 45° D. 70°
预习反馈
3.如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且
相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为何
（ D）
A. 6
B. 9
C. 12
D. 14
预习反馈
4.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若
∠A=70°，则∠BOC的度数为（ C ）
本课小结
（4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到。
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。
几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。
2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。
解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。
初中数学重点梳理：切线和割线
切线和割线知识定位切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖，灵活多变，学生往往甚感困难。
因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。
知识梳理知识梳理1：切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的之一。
几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)知识梳理2：割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD例题精讲【试题来源】【题目】如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。
已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.【答案】21【解析】2由切割线定理可知16：4又AH AG AF,AHAC AG=•=∴==2又99故5则25又7，9，AC AG GF FCAB ACBHBD BE BHCE CD CF CG BC AC=++=∴===•==•=•===【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证:2PN MN NQ=⋅.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点，并交ST于点C,求证:1111()2PC PA PB=+.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。
初中绝招数学-用切线的性质牵线搭桥
用切线的性质牵线搭桥袁芝馨圆的切线是圆中一个非常重要的知识点，前面我们已经给同学们介绍了如何进行切线的判定，这一讲我们将给同学们介绍如何灵活运用切线的性质，为圆中有关的证明与计算牵线搭桥． 一、与切线有关的性质1．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 2．切线的有关性质： （1）与圆只有一个交点；（2）圆心到切线的距离等于半径（d=r ）； （3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．【说明】：（4）、（5）只是由（3）推出的有关性质． 3．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 4．已知切线常考虑：（1）切线的性质（垂直于过切点的半径）；（2）切线长定理．5．已知切线常做的辅助线：作过切点的半径，构造直角三角形．二、例题讲解例1 如图1，AE 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ． 若∠A=36°，则∠CBE 的度数为_______．分析：连接OB （图2），则△ABO 为直角三角形，而△OBC 是等腰三角形，利用角之间的关系进行相互转换，便可求得∠CBE 的度数．解：连接OB （图2），∵ AE 为⊙O 的切线， ∴ ∠ABO=90°． 在Rt △ABO 中，∵∠A=36°， ∴∠AOB=54°． ∵ OB=OC ，∴∠C=∠OBC ， ∴ ∠AOB=∠OBC +∠C=2∠C ． ∴∠C=27°．∴∠CBE=∠A+∠C=63°．思考：若将∠A=36° 换成∠A =α ，那么∠CBE 的度数是多少？（答案：︒+452α）COBECOABE例2 如图1，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D ． （1）求证：AT平分∠BAC ；（2）若AD=2，TC=3，求⊙O 半径的长．【分析】（1）连结OT （图2），因为PQ 是⊙O 的切线，利用切线的性质，再进行角之间的相互转换，便可以得出结论；（2）过点O 作OM ⊥AC （图3），由垂径定理和勾股定理可以求出⊙O 半径的长． （1）证明：连结OT （图2）， ∵ PQ 是⊙O 的切线，∴ OT ⊥PQ ．∵ AC ⊥PQ ，∴ AC ∥OT ．∴∠OTA=∠TAC ． ∵ OA=OT ，∴∠OTA=∠OAT ． ∴∠OA T=∠CAT ．即AT 平分∠BAC ． （2）解：过点O 作OM ⊥AC （图3）， ∴ AM=MD =21AD=1 ． 又 ∠OTC=∠ACT=∠OMC =90° ∴ 四边形OTCM 是矩形． ∴ OM=TC=3．在Rt △AMO 中， ∵ OA 2=OM 2+AM 2=()23+12= 4，∴ OA=2．即⊙O 半径的长为2．说明：灵活运用圆的有关知识是解题的关键．思考：若连结BD 交OT 于点E （如图4），也可以求出⊙O 半径的长，请同学们课下完成．例3 已知：如图1，BAP 是⊙O 的割线，AB 是⊙O 的直径，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，且PA=AO=1．（1）求∠P 的度数； （2）求DE 的长．分析：由AB 是⊙O 的直径，PC 是⊙O 的切线，故连结OC 、AE 后（图2），可得∠PCO =∠AEB = 90°．利用直角三角形的有关知识，可求得∠P 的度数和DE 的长．解：（1）连结OC （图2），∵ PC 是⊙O 的切线，∴∠PCO = 90°． 在Rt △OCP 中，∵ PA=AO=OC ，图1 AB D O例2图1例2图2例2图3例2图4∴ OC=21PO ．∴∠P=30°． （2）在Rt △BDP 中，∵ PB=AP+AO+BO=3，∠P=30°， ∴ BD=21PB=23． 连接AE ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠AEB =90°． ∴ ∠AEB=∠D = 90°．∴ AE ∥PD ． ∴ ∠EAB =∠P =30°．∴ BE=21AB=1． ∴ DE=DB －BE=21． 答：∠P=30°，DE=21． 说明：已知切线通常作过切点的半径，已知直径通常构造直径所对的圆周角．例4 如图1，AD 是半圆O 的直径，AB 、CD 与半圆O 切于点A 、D ，BC 切半圆O 于点E ，如果AB=4，CD=9，求半圆O 的直径．分析：由于BC 、CD 是由半圆O 外的一点C 向圆所作的两条切线上的线段，即切线长（切线AB 与BC 同理），因此可以利用切线长定理求出直径的长．解：过点B 作BF ⊥CD 于F ，如图2，∵ BA 是半圆O 的切线，AD 是半圆O 的直径， ∴ BA ⊥AD ． 同理CD ⊥AD ， ∴ 四边形ABFD 是矩形．∴ BF=AD ，FD=BA=4． ∴ CF=CD -CF=5． ∵ CB 、BA 和CD 都是半圆O 的切线， ∴ CE=CD=9，BE=BA=4． ∴ CB=CE+EB=13． 在Rt △CFB 中，∵ 22CF CB BF -==12． ∴ AD=12．即半⊙O 直径的长为12．说明：（1）由于AB 、CD 、BC 都是半圆O 的切线，在有关圆的切线计算问题中，我们可联想切线长定理；（2）直角梯形常用的辅助线是做它的高线．图1。
初中九年级上册数学课件 圆 切线的性质
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
D
C
E
l
A
O
B
6、如图，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC 的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO 及延长线分别交AC、BC于点 G、F.
(1) 求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.
OM﹤OA，这说明圆心O到直线 a的距离小于半径OA，于是直
a
线a就要与圆相交，而这与直线
O
a是圆O的切线相矛盾。
因此，OA与直线a垂直。
MA
a
性质3：圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言 ∵ 直线a是圆O的切线,切点为A
∴ OA ⊥ a
练习1
AC是直径，AB和CD
是切线，判断AB和CD
的位置关系
3、AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E, 过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的 形状,并说明理由.
4、已知的半径为R，AB是⊙O的直径，D是 AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切 点，连结AC，若∠CAB=30o, 求BD的长.
A
O
B D
C
5、如图，⊙O的直径AB ＝4，C为圆周上一点， AC ＝2，过点C作⊙O的切线 l，过点B作l的 垂线BD，垂足为D，BD与⊙O 交于点E．
圆的切线的性质
知识回顾 证明一条直线是圆的切线有哪些方法?
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。 3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
解题方法：有交点，连半径，证垂直。
无交点，作垂直，证半径。
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如何证明圆的切线
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线．
思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD
＝90º即可．
证明：连接OC ，BC ．
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．
∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝
21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2
1OD ．∴∠OCD ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD ＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD ＝90º．
二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．
【例2】如图2，已知OC 平分∠AOB ，D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA
相切于点E ．求证：OB 与⊙D 相切．
思路：连接DE ，过点D 作DF ⊥OB 于点F ，证明DE ＝DF 即可，这可由
角平分线上的点到角两边的距离相等证得．
请同学们写出证明过程．
【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性．
【例3】如图3，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点
的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ．
思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．
∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．
∴AC平分∠DAB．
【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．
【例4】如图4，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接
OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也
就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明
CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．
证明：连接OD．
∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．
又∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．
∴DC是⊙O的切线．
【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．。