九年级数学上册第3章学习“圆的切线”三步曲(青岛版)
青岛版九年级数学(上)第三章对圆的进一步认识 知识点复习教案
2015 年 11 月 25 日
第3 节
总第 50 课时
课题
第三章 知识点复习（1）
备课人
知识 与能 力
教 过程 学 与方 目法 标 情感
态度 价值 观
课型新授课Fra bibliotek1、理解圆及弧、弦有关概念、性质；
2、垂径定理及其应用。
课时 3 课时
1、培养学生动手操作能力。 2、培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力。
3.以下说法正确的是（ ）
①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②垂直于弦的直径平分这条弦；
③相等圆心角所对的弧相等。
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
4.如图所示，在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，CD
是过点 P 的直径，则下列结论正确的是（ ）
A.AB⊥CD C.PO=PD
B. AB CD
教具 学具 课件、三角板、圆规
（自主探究，合作学
习，采用小组合作的方
法）
教师活动
学生活动
目标：
找生读目标
二、依标独 1.圆：把平面内到
距离等于
的
学
点的集合称为圆；我们把
称为圆心，
把
称为半径。
2.我们把连接圆上任意
的
称为
弦，经过
的弦称为直径；圆上
的部分称为弧。
独立自学，思考
3.圆的对称性：圆既是
图形也是
图形，对称轴是 中心是 。
，有
条；对称 找生回答，其余生 静听
4.圆的推论：在同一平面内，不在
直线
上的 点确定一个圆。
青岛版九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.4直线与圆的位置关系第3课时课件(24张PPT)
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/142021/8/14Saturday, August 14, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/142021/8/142021/8/148/14/2021 6:20:59 AM
4
2
【解析】设OA=xcm； 在Rt△OAP中， OAห้องสมุดไป่ตู้xcm， OP=OD+PD=（x+2） 由cm勾，股P定A=理4，cm得,
PA2+OA2=OP2，
即42+x2=(x+2)2，
整理，得x=3， 所以半径OA的长为3cm.
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ）
•
比一比： 切线与切线长
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是 圆外一点和切点，可以度量.
折一折
A
O
1
P
2
B
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着 直线OP对折,你能发现什么?
证一证
B
请证明你所发现的结论.
A
130°
O
50° PP
B
如何用圆规和直尺
作出这两条
A
切线呢？
O.
P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°, 连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
青岛版九年级数学上册第3章：对圆的进一步认识 复习课课件(25张PPT)
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分两条切线的夹角.
练习
1.已知圆心O到直线a的距离为5,圆的半
径为r,当r=__时,圆O与a相切.
2.如图圆O切PB于点B,
B
PB=4,PA=2,则圆O的 半径是____.
O AP
练习
4.如图，PA、PB是圆的切线，A、B为切 点，AC为直径，∠BAC=200，则∠P= 。
A
P
CB
直角三角形的内切圆半径与三边关系: r a b c .
A
D
.O E
C
B
点A(2,0)，B(8,0),与y轴 相切于点C,则圆心M的坐标 C M
是
.
OA
B
x
图4
圆心角、弧、弦、圆周角
在同圆或等圆中,如果①两个圆 心角,②两条弧,③两条弦中,有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组 量都分别相等.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所 对的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半.
2.⊙O中,弦AB所对的圆心角 ∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为 _________;
练习
3.如何用一把直角尺检查镜上的装饰 品是否恰好为半圆形？
练习
4.如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦， 延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O 与点F. AB与AC的大小有什么关系?为什么?
九年级数学上册-第3章 对圆的进一步认识 复习课件-青岛版
∵
l 2πR
=
n 360
,
S扇形 πR2
=
n 360
,
∴l
=
nπR 180
, S扇形
=
n 360
πR2
这样就不至于因死记硬背而出错。
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长
和半径表示的扇形面积公式：
S扇形
=
1 2
lR
这一公式与三角形面积公式酷似。为了便于记忆， 只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看
• 3、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积 和全面积的计算。
【重难点】
重点
1、垂径定理； 2、与圆有关的位置关系； 3、弧长公式和扇形面积公式的应用。
难点
1、垂径定理； 2、切线的性质与判定。
【知识网络】
圆的基本性质
圆的对称性
轴对称 中心对称
与圆有关的角的性质
（2）若⊙O的半径为 3，DE 3，求AE。
A
23
O
E
B
D
6
方法总结： 1、如果已知直线与圆有 交点，常连接圆心与交 点，再证明连线垂直于 半径即可；
2、如果不明确直线 与圆的交点，往往要作 出圆心到直线的垂线段，
C 再证明这条垂线段等于
半径即可。
【巩固练习】
1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则 在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相 等的角 ∠CAB ∠BAD ∠BCD
B
O
A
【布置作业】
1、如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则
⊙O的半径等于（ B）
A.8
2022年九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.4直线与圆的位置关系4教案新版青岛版
3.4直线与圆的位置关系（4）教学目标【知识与能力】了解切线长的概念.【过程与方法】经历探索切线长性质的过程，并运用这个性质解决问题【情感态度价值观】进一步提高学生的归纳和作图的能力.教学重难点【教学重点】掌握切线长的性质.【教学难点】通过探索切线长的性质，提高逻辑推理能力.课前准备无教学过程复习引入经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？1．点在圆内；2．点在圆上；3．点在圆外．实践探索一：切线长的概念1．在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．2．让学生说说：切线与切线长的区别与联系．实践探索二：切线长的性质操作探究：1．如图，若从⊙O外的一点引两条切线PA、PB，切点分别是A、B，连接OA、OB、O P，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论．2．请你思考一下：切线长有哪些性质？试用文字语言叙述你所发现的结论．例题讲解例1 如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 、AC 分别与小圆相切于点D 、E ．AB 与AC 相等吗？为什么？拓展：如果AB 、AC 是任意两条与小圆相切的弦，那么AB 与AC 相等吗？例2 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为Ｃ，交PA 、PB 于点E 、F ．①已知PA ＝12cm ，求△PEF 的周长；②已知∠P ＝40°，求∠EOF 的度数．练一练1．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，切点分别为P 、C 、D ．如果AB ＝5，AC ＝3．则BD 的长为．2．如图，P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，PC ＝OC ，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ．如果⊙O 的半径为5，则切线长为，两条切线的夹角为°．F E O P CB A3．如图，如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，则∠POQ的度数为____°；若AP ＝2，BQ＝5，则⊙O的半径为．拓展提升如图，△ABC中，∠C＝90º ，且AC＝6，BC＝8，它的内切圆O分与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求⊙O的半径r．总结1．这节课你有哪些收获和困惑？2．切线与切线长的区别与联系？FEODCBA。
九年级数学上册 第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件 ppt课件 青岛版
A
●
B
●
C
2.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物
园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你
给出这个公园的施工图.（A、B、C不在同一直线上）
B
提示：作△ABC的外接圆. A 动物园
植物园 C
人工湖
1.（河北·中考）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经 过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（
经过两个已知点A、 B所作的圆的圆心在 怎样的一条直线上?
A
B
它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
过已知点A、B作圆,可以作无数个圆. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？ 其圆心的分布有什么特点?与线段AB有 什么关系？
●
O ●O
●
1.经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的
●
垂直平分线上. 2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点 为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.
2.连接AC，作线段AC的垂直
平分线EF，交MN于点O. 3.以O为圆心，OB为半径作圆. 所以⊙O就是所求作的圆.
【跟踪训练】
现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？ 方法: 1.在圆弧上任取三点
A B
A、B、C.
2.作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即
为圆心.
3.以点O为圆心，OC 的长为半径作圆.
3.2
确定圆的条件
1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及 过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.
3．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索 过程，培养学生的探索能力.
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆 形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在 的整圆，以便于进行深入的研究吗？
九年级数学上册第3章对圆的进一步认识圆的有关概念与性质课件(新版)青岛版
要点点拨
垂径定理及其逆定理是证明线段相等、 角相等及垂直 关系的重要依据，对于一条直线和一个圆，如果具备下列 条件中的两个条件：①直线经过圆心；②直线垂直于弦； ③直线平分弦；④直线平分弦所对的弧．那么其余两个作 为结论必成立．
特别关注
利用垂径定理进行计算或证明时，常需连结
半径或作出圆心到弦的垂线段 (即弦心距)，则垂足为弦的 中点，再利用圆的半径、弦心距和弦的一半组成的直角三 角形来求解.
4．顶点在圆心的角叫作圆心角． 5．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等． 6．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、 两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余 各对量都相等．
要点点拨
1．弦与弧的端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线． 2．直径是圆中最长的弦，半径不是弦．半圆既不是优弧 也不是劣弧． 3．圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆又是旋转对 称图形，即旋转任意角度后和自身重合．
特别关注 求一个圆周角的度数时，常常会把它与同弧
所对的圆心角联系起来.
【典例 3】 如图 3，已知 AC 是⊙O 的直径，点 B 在圆 周上(不与点 A，C 重合)，点 D 在 AC 的延长线上， 连结 BD 交⊙O 于 点 E.若∠AOB＝3∠ADB，则 ( ) A．DE＝EB B. 2DE＝EB C. 3DE＝DO D．DE＝OB
【点评】 本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性 质，解题的关键是连结 EO，构造等腰三角形．
【解析】 如图，连结 EO. ∵OB＝OE，∴∠B＝∠OEB. ∵∠OEB＝∠D＋∠DOE，∠AOB＝3∠D， ∴∠B＋∠D＝3∠D， ∴∠D＋∠DOE＋∠D＝3∠D， ∴∠DOE＝∠D，∴DE＝OE＝OB.
青岛版九年级上册数学《切线的判定》
注意：在利用切线的判定定理时，若已知条件中没有过直
线与圆的公共点的半径，一般中，AB=AC，以AB为直
A
径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，
O
交AB的延长线于点F．求证：EF是⊙O的切线． E
证明：如图，连接OD． ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C． ∵OD=OB， ∴∠ ABC =∠ODB． ∴∠ODB=∠C． ∴OD∥AC． ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF． ∴EF是⊙O的切线．
A O D E B
C
如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
从而OD//BC．
∵DE⊥BC，
∴AO=OB．
又∵AD=DC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切线．
5
∴OD是△ABC的中位线．
总结 证明一条直线是圆的切线的方法有：
（1）利用定义（与圆有唯一公共点的直线是圆的切线）；
（2）判定圆心到直线的距离等于圆的半径；
∵AB是⊙O的直径，
B
O A E C
∴∠C=90°．
∴∠B+∠BAC=90°．
∵∠CAE=∠B，
∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=90°，
即AB⊥AE． ∴AE与⊙O相切．
10
这节课我们主要学习了： 1．切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是 圆的切线． 2．证明一条直线是圆的切线的方法： （1）利用定义（与圆有唯一公共点的直线是圆的切线）； （2）判定圆心到直线的距离等于圆的半径； （3）利用切线的判定定理．
2
观察与思考（1）过⊙O的半径OA的外端 点A作与半径OA垂直的直线l（如下图），你 发现直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 答：因为圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径， 所以直线l与⊙O相切． 于是我们得到了切线的判定定理： 过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线． 注意：（1）经过半径的外端， （2）垂直于半径，这两个条件缺一不可．
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学习“圆的切线”三步曲
一、理解圆的定义
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
理解这个定义，必须抓住两点：
（1）直线经过半径的外端点；
（2）直线垂直于这条半径。
这两个条件缺一不可。
二、辩明切线的特征
切线具有下列特征：
1、切线与圆只有一个公共点，如图所示，直线l 与⊙O 切与点A ，则A 是直线l 与⊙O 的唯一公共点；
l
r O
A
2、切线到圆心的距离等于圆的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，⊙O 的半径为r ，则OA r ；
3、切线垂直于经过切点的半径，直线l 是⊙O 的切线，切点是A ，则l ⊥OA ；
4、经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，l ⊥OA ，则A 是切点；
5、经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心，直线l 是⊙O 的切线，A 为切点，直线l ⊥OA ，则OA 一定经过圆心。
说明：（1）在上述特征中，1、2是切线概念的变式；
（2）上述特征中，3、4、5三条中如果具备圆与切线的三个条件中的两个，那么第三个就成立，这三个条件是：①垂直于切线；②过圆心；③过切点。
三、掌握切线的判定方法
总的来说，判定直线与圆相切的方法有三种：
1、根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
说明：（1）“有切线，连半径，证垂直”是证明圆的切线问题的常用技巧之一；
（2）要证明已知直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于半径；如果已知直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
例1、已知，如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，C 是AB 延长线上一点，∠A=30°，AD=DC ，求证：CD 是⊙O 的切线
O
D
B C A
分析：点D 是直线CD 与⊙O 的公共点，连接点D 与圆心得到半径，再证半径OD 与直线CD 垂直，即“连半径，证垂直”。
证明：连接OD ，∵∠A=30°，AD=DC ，∴∠C=∠A=30°，
∴∠ADC=180°-30°-30°
=120°，∵OA=OD ，∴∠ADO=∠A=30°，∴∠CDO=180°-30°
=90°，而CD 经过半径的外端，∴CD 是⊙O 的切线。
例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=6，BC=8，以点C 为圆心，r 为半径画圆，当r =4.8时，直线AB 和圆有怎样的位置关系？并说明理由。
E
B
C
A
分析：直线AB 与圆O 的公共点没有确定，过圆心C 作直线AB 的垂线CE ，证明线段CE 等于半径r ，即“作垂直，证半径”。
解：直线AB 和圆相切。
证明：作CE ⊥AB 于点E ， ∵90BAC ∠=︒，6AC =，8BC =，
∴10AB ===， 又∵1122
AC BC AB CE •=•， ∴48CE •=，
∵r =4.8，∴CE r =， ∴直线AB 和圆相切。