证明圆的切线经典例题
切割线定理割线定理
N
提高练习
练2.等边△ABC内接于圆，在AB上取异于A 、B点的M，设直线AC与BM相交于点K，直 线CB与AM相交于点N.证明：线段AK和BN的 积与M点的选择无关.
提高练习Байду номын сангаас
练3. 如图， 两圆内切于A， 大圆的半径为R，
小圆的半径为r， P是大圆上一点， PC切小圆
于C点，且 PC 2 ， 求 R .
预习圆幂定理、四点共圆的判定.
数学素质是人的素质中最重要的成分之一。从人 的活动所包含的数学活动成分来看，数学素质的内涵 是：
准确的定量思维和准确的定性思维； 数学地对待事物和对事物进展数学抽象的能力； 对事物本质的洞察力和严谨的推理能力； 应用数学解决实际问题的意识； 用数学语言进展交流的能力和良好的符号意识； 良好的自我反省和自我调节能力。 ——节选自章建跃?论数学素质及其培养?
PA 2
r
P C
B
O1 O2
A
挑战自己
练4. 如图，⊙O1与⊙O2交于点M、N，直线AC
切⊙O1于A，交⊙O2于点B、C，AB=BC，NM 的延长线交AC于P，求PA:PB:PC.
回味无穷
课后作业
自选四道与切割线定理、割线定理有关的 题〔可以选择本课件上的题〕 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.
挑战自己
练4. 如图，以⊙O上一点A为圆心作圆交⊙O于
点B、C，过点A作⊙O的弦，交BC于F，交⊙A于
D，交⊙O于E，求证：以AD为一边的正方形的
面积等于以AE、AF为两领边的矩形面积.
切割线定理割线定理
经典例题
例. 如图，PC、PAB、PBD分别是圆O的切线和
专题 证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】 如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。
中考中圆的切线证明习题集锦
中考中圆切线证明习题K如图，PA为。
0的切线，A为切点，过A作0P的垂线AB,垂足为点C,交。
0于点B,延长B0与。
0交于点D,与PA的延长线交于点E,求证：PB为。
0的切线；D2、如图，AB=AC, AB是。
0的直径，O 0交BC于D, DM丄AC于M求证：DM与（DO相切.3、如图，已知：AB是。
0的直径，点C在。
0上，且Z CAB二30°, BD二OB , D在AB的延长线上•求证：DC是的切线4、已知：如图，A是e 0上一点，半径0C的延长线与过点1AC OB ・2（1）求证：AB是e 0的切线;2）若ACD 45° , 0C 2,求弦CD 的长.5、已知：如图，在RtAABC中，C 90°,点0在AB上，以0为圆心，0A长为半径的圆与AC, AB分别交于点D, E，且CBD A.D判断直线BD与e 0的位置关系，并证明你的结论；2）若AD:A0 8:5 , BC 2,求BD 的长.B 6、已知：如图，在厶ABC中，AB二AC,AE是角平分线，BM平分Z ABC交AE于点M,经过B,M两点的0 0交BC于点G,交AB于点F, FB恰为的直径・（1）求证：AE与。
0 相切；（2）当BC二4, cosC二1时，求0 0的半径.37、已知：如图，在ZXABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2（1）求证：直线AC是圆0的切线；（2）如果ACB=75，圆O的半径为2、求BD的长。
求证：CD是。
0的切线.10、如图，等腰三角形ABC中，AC = BC = 10, AB = 12o以BC为直径作。
0交AB于点D,交AC于点G, DF丄AC,垂足为F,交CB的延长线于点E ⑴求证：直线EF是。
0的切线；⑵求CF:CE的值。
1K如图，AB是的直径, AC是弦，Z BAC的平分线AD交。
0于点D, DE丄AC,交AC的延长线于点E, 0E交AD于点F.⑴求证：DE是。
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法类型1、有公共点：连半径，证垂直方法1、勾股定理逆定理法证垂直1.如图，⊙O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线.方法2、特殊角计算法证垂直2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD =5，求⊙O 的直径.方法3、等角代换法证垂直3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O交AB于点E . 求证：DE是⊙O 的切线.方法4、平行线性质法证垂直4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A ，B ，C在以O为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB，分别交AB，AO 的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°，点B是︵AC的中点.(1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)求证：CF=OC；(3)若⊙O的半径是6，求DC的长.AB POCACBPD OAEBDOCA O F ECDB方法5、全等三角形法证垂直5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF .求证：BF 是⊙O 的切线.类型2、无公共点：作垂直，证半径方法6、角平分线性质法证半径6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线；(2)求线段AC 的长.方法7、全等三角形法证半径7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切.A OBCD F A B C D EA OB C D。
圆的切线证明专题
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专题一圆的切线专题
1.如图，Rt ABC
中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，OE∥AB交BC于E，连DE．
(1) 求证：DE为⊙O切线；
(2) 若⊙O的半径为3，DE=4，求AD之长.
2.如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．
(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为8，C0＝15，求BD的长．
O
E D
C
B
A A B
C
D
E
F
O
3.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ． (1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系，并说明理由；
(3)若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π）
4．已知:如图,AB 是⊙O 的直径,BE 是⊙O 的切线,切点为B,点C 为射线BE 上一动点.(点C 与点B 不重合),且弦AD 平行于OC.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线；
(2) 若∠A=60O ，CD=10，求⊙O 的半径；
(3）设⊙O 的半径为r,试问:当动点C 在射线BE 上运动到什么位置时,有AD=2r?请回答并证明你的结论.
B
O
D C
E。
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE，OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS）.∴∠OBF=∠OEF.∵BF与⊙O相切，∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切.证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC.∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE，∴∠E=∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE,∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠1=∠B.∴∠1=∠C.∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD.∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3. DC∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.∴DM是⊙O的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线证明：连结OC、BC.∵OA=OC，∴∠A=∠1=∠300.∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB，∴△OBC是等边三角形.∴OB=BC.D ∵OB=BD，∴OB=BC=BD.∴OC⊥CD.∴DC是⊙O的切线.说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.求证：PC是⊙O的切线.证明：连结OC∵OA2=OD·OP，OA=OC，∴OC2=OD·OP，OCOPOD OC. 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.证明：取FG 中点O ，连结OC.∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △ ∵O 是FG 的中点， ∴O 是Rt △CFG 的外心. ∵OC=OG ， ∴∠3=∠G ， ∵AD ∥BC ， ∴∠G=∠4.∵AD=CD ，DE=DE ，∠ADE=∠CDE=450， ∴△ADE ≌△CDE （SAS ）∴∠4=∠1，∠1=∠3.∵∠2+∠3=900,∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.∵AB=AC，BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF. ∴F 在⊙D 上.∴AC 与⊙D 相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足. ∵AC ，BD 与⊙O 相切， ∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.∵AC ∥BD ，∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800. ∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900. ∵∠4+∠5=900. ∴∠1=∠5.∴Rt △AOC ∽Rt △BDO. ∴OD OCOB AC =. ∵OA=OB ，∴ODOCOA AC =. 又∵∠CAO=∠COD=900， ∴△AOC ∽△ODC ， ∴∠1=∠2.又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,O∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB.∵AC∥BD，∴∠F=∠BDO.又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900，∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD，∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.∵AC与⊙O相切，∴AC⊥AO.∵AC∥BD，∴AO⊥BD.∵BD与⊙O相切于B，∴AO的延长线必经过点B.∴AB是⊙O的直径.∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，∴OF ∥AC ， ∴∠1=∠COF.∵∠COD=900，CF=DF ， ∴CF CD OF ==21. ∴∠2=∠COF. ∴∠1=∠2.∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ， ∴OE=OA. ∴E 点在⊙O 上.∴CD 是⊙O 的切线说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解. 以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
圆的切线问题二级结论
圆的切线问题二级结论一、圆的切线相关二级结论1. 切线长定理- 结论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。
- 求证：PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
- 证明：连接OA、OB、OP。
因为PA、PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥ PB（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径）。
- 在Rt△ PAO和Rt△ PBO中，OA = OB（圆的半径相等），OP = OP （公共边），所以Rt△ PAO≅ Rt△ PBO（HL定理）。
- 则PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
2. 弦切角定理- 结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，AB是圆O的弦，CD是圆O的切线，切点为A，∠BAC是弦切角，∠ ADC是圆周角，widehat{AC}是它们所夹的弧。
- 求证：∠ BAC=∠ ADC。
- 证明：连接AO并延长交圆O于点E，连接EC。
- 因为CD是圆O的切线，所以∠ EAC +∠ BAC = 90^∘（切线的性质）。
- 又因为AE是直径，所以∠ ACE = 90^∘，在△ ACE中，∠ EAC+∠ E = 90^∘，所以∠ BAC=∠ E。
- 而∠ E和∠ ADC所对的弧都是widehat{AC}，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠ E=∠ ADC，从而∠ BAC=∠ ADC。
3. 切割线定理- 结论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PT是圆O的切线，切点为T，PAB是圆O的割线，A、B是割线与圆的交点。
- 求证：PT^2=PA· PB。
- 证明：连接TA、TB。
因为∠ PTA=∠ B（弦切角定理），∠ P=∠ P（公共角），所以△ PTAsim△ PBT（两角对应相等的两个三角形相似）。
圆的切线证明方法专题(基础篇)(专项练习)
专题2.10 圆的切线证明方法专题（基础篇）（专项练习） 1．如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O 交⊙O 于点C ，∠A ＝∠B ＝30°，连接BD ．求证：BD 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P ．若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．3．如图，AD ，BD 是O 的弦，AD BD ⊥，且28BD AD ==，点C 是BD 的延长线上的一点，2CD =，求证：AC 是O 的切线．4．如图，点P 是O 的直径AB 延长线上的一点（PB OB <），点E 是线段OP 的中点．在直径AB 上方的圆上作一点C ，使得EC EP =．求证：PC 是O 的切线．5．如图，在△ABC 中，∠A=45°，以AB 为直径的⊙O 交于AC 的中点D ，连接CO ，CO 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点G ．（1）求证：BC 时⊙O 的切线；（2）若AB=2，求线段EF 的长．6．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为C ，BE CD ⊥，垂足为E ，连接,AC BC .（1）求证：BC 平分ABE ∠；（2）若60A ∠=︒，2OA =，求CE 的长.7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.(1)求证：AM是⊙O的切线.(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.8．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC 于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．9．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若BC＝2，求BD的长．10．已知：如图，AB是O的直径，点C在O上，BD平分 ABC，AD＝AE，AC与BD 相交于点E．(1) 求证：AD是O的切线．(2) 若AD＝DE＝2，求BC的长．11．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．12．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．(1) 如图①，△OPC的最大面积是________；(2) 如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．13．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，延长CA 到点D ，以AD 为直径作O ，交BA 的延长线于点E ，延长BC 到点F ，使BF EF =．(1) 求证：EF 是O 的切线；(2) 若9OC =，4AC =，8AE =，求BE 的长．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且DC ＝AD ．过点A 作⊙O 的切线，过点C 作DA 的平行线，两直线交于点F ，FC 的延长线交AB 的延长线于点G ．(1) 求证：FG 与⊙O 相切；(2) 连接EF ，若AF ＝2，求EF 的长．15．如图，Rt △ABC ，∠ABC =90°，点O 在AB 上，AD ⊥CO 交CO 延长线于点D ，∠DAO =∠ACO ，以点O 为圆心，OB 为半径作圆．(1) 求证：AC 是⊙O 的切线；(2) 已知68CB AB ==，，求OC 的长？16．如图所示，AB 为⊙O 的直径，在△ABC 中，AB =BC ，AC 交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ．(1) 证明DE 是⊙O 的切线；(2) AD =8，P 为⊙O 上一点，P 到弦AD 的最大距离为8．① 尺规作图作出此时的P 点，保留作图痕迹；② 求DE 的长．17．如图，线段AB 经过O 的圆心O ，交圆O 于点A ，C ，1BC =，AD 为O 的弦，连接BD ，30BAD ABD ∠=∠=︒，连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点M ．(1) 求证：直线BD 是O 的切线；(2) 求线段BM 的长．18．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，点O 在AC 上，以OA 为半径的半圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，过点D 作半圆O 的切线DF ，交BC 于点F ．(1) 求证：BF DF =；(2) 若4AO CE ==，1CF =，求BF 的长．19．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，⊙O 与AB 相交于点C ，与AO 相交于点E ，连接CE ，已知∠AOC ＝2∠ACE ．(1) 求证：AB 为⊙O 的切线；(2) 若AO ＝20，BO ＝15，求AE 的长．20．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠．(1) 求证：BE 是O 的切线；(2) 若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长．21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点O ，D 为AB 上的一点，OD ＝OC ，以O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ．(1) 求证：AC 是⊙O 的切线；(2) 若AB ＝6，BD ＝2，求线段AC 的长．22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E．(1) 试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 若⊙O的半径为5，BC=16，求DE的长．∠=︒，以AC为直径作O，交AB于点D，E为BC的23．如图，在Rt ABC中，ACB中点，连接DE并延长交AC的延长线于点E．(1)求证：DF是O的切线；(2)若2CF=，4DF=，求O的半径．24．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在BA的延长线上，连接BC，OC，PC．若AB＝6，AC的长为π．(1) 求∠AOC的度数；(2) 若BC＝PC，求证：直线PC与⊙O相切．参考答案1．证明见分析【分析】连接OD，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可．解：如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．【点拨】此题主要考查了切线的判定，三角形的内角和以及三角形的外角性质，关键是证明OD⊥BD．2．证明见分析．【分析】利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线．解：连接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．【点拨】此题主要考查了圆的切线的判定及圆周角定理的运用，关键是利用半径OA ＝OC 可得∠COB ＝2∠A ．3．证明见分析．【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可．证明：连接AB ，∵AD BD ⊥，且28BD AD ==∴AB 为直径，AB 2=82+42=80，∵CD =2，AD =4∴AC 2=22+42=20∵CD =2，BD =8,∴BC 2=102=100∴222AC AB CB +=，∴90BAC ∠=︒∴AC 是O 的切线．【点拨】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．4．证明见分析【分析】连接OC ，根据线段中点的定义得到OE ＝EP ，求得OE ＝EC ＝EP ，得到∠COE ＝∠ECO ，∠ECP ＝∠P ，利用三角形内角和定理求出90ECO ECP ∠+∠=︒，根据切线的判定定理即可得到结论．证明：连接OC ，∵点E 是线段OP 的中点，∴OE EP =，∵EC EP =，∴OE EC EP ==，∴COE ECO ∠=∠，ECP P ∠=∠，∵180COE ECO ECP P ∠+∠+∠+∠=︒，∴90ECO ECP ∠+∠=︒，∴OC PC ⊥，∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线．【点拨】本题考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．5．（1）证明参见分析；（2 试题分析：（1）连接BD ，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；（2）根据AB=2，则圆的直径为2，所以半径为1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO 的长，再通过证明△EGO ∽△CBO 得到关于EG 的比例式可求出EG 的长，进而求出EF 的长．解：（1）如图：连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD ⊥AC ，∵AD=CD ，∴AB=BC ，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠ABC=90°，∴BC 是⊙O 的切线；（2）∵AB=2，∴BO=1，∵AB=BC=2，∴EF ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴EF ∥BC ，∴△EGO ∽△CBO ，∴EG EOBC CO =，∴2EG =，∴考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质；3.勾股定理的运用.6．（1）详见分析；（2）CE 【分析】（1）利用切线的性质得OC ⊥DE ，再证明OC ∥BE 得到∠OCB ＝∠CBE ，加上∠OCB ＝∠CBO ，所以∠OBC ＝∠CBE ；（2）利用圆周角定理得到∠ACB ＝90°，再证明△OAC 等边三角形得到AC ＝OA ＝2，再利用勾股定理可计算出BC ＝Rt △CBE 中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE 的长．（1）证明：∵CD 是O 的切线，∴OC DE ⊥，又∵BE DE ⊥，∴OC BE ，∴OCB CBE ∠=∠，∴OBC CBE ∠=∠，即BC 平分ABE ∠；（2）解：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵60A ∠=︒，∴OAC 是等边三角形，2AC OA ==.∴24AB OA ==，∴BC =∵1302OBC AOC ∠=∠=︒，且OBC CBE ∠=∠， ∴30CBE ∠=︒.∴12CE BC ==【点拨】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”．7．(1)证明见分析；(2)ON . 【分析】(1)根据垂径定理得到AB 垂直平分CD ，根据线段垂直平分线的性质得到AC ＝AD ，得到∠BAD ＝12∠CAD ，由AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线，得到∠DAM ＝12∠FAD ，于是得到结论；(2)证明△ACD 是等边三角形，得到CD ＝AD ＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠BAD ＝12∠CAD ，∵AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线，∴∠DAM ＝12∠FAD ，∴∠BAM ＝12(∠CAD+∠FAD)＝90°，∴AB ⊥AM ，∴AM 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC ＝AD ，C 是优弧ABD 的中点，∴AC ＝AD ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，∴CD ＝AD ＝4，60CAD ACD ︒∠=∠=由（1）知AB 垂直平分CD ，则AB 平分CAD ∠∴CE ＝DE ＝2，1302CAE CAD ︒∠=∠= OC OA =30ACO CAE ︒∴∠=∠=30OCE ACD ACO ︒∴∠=∠-∠=在Rt OCE 中，设OC x =，则12OE x = 根据勾股定理得222OE CE OC +=，即2221()22x x +=解得x =∴OC ＝OA ∵∠ANO ＝∠OCE ＝30°，∴ON ＝2OA . 【点拨】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.8．（1）详见分析；（2）34π． 【分析】（1）连结OD ，根据等腰三角形的性质得到OD ∥AB ，根据平行线的性质得到∠ODF ＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）根据平行线的性质得到∠AOD ＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可． 证明：如图，连结OD ，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的长为1353 1804ππ⨯=．【点拨】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.9．（1）见分析；（2）BD＝【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOC+2∠OBC＝180°，∵∠BOC＝2∠A，∴∠A+∠OBC＝90°，又∵BC＝CD，∴∠D＝∠CBD，∵∠A＝∠D，∴∠CBD+∠OBC＝90°，∴∠OBD＝90°，∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，∴∠OBC＝∠BOC，∴OC＝BC，又∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵BC＝2，∴OB＝2，∴BD＝【点拨】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．10．(1)见分析【分析】（1）根据AB是O的直径，可得∠C＝90°，由BD平分∠ABC，可得∠CBD＝∠ABD，根据AD＝AE，可得∠CEB＝∠DEA，进而可得∠BAD＝90°，即可得证；（2）连接AF，根据等腰三角形的性质可得DF＝12DE＝1，勾股定理求得AF，证明△AEF≌△BEC，即可求解．（1）∵AB是O的直径，∴∠C＝90°，∴∠CBE＋∠CEB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED，∵∠CEB＝∠DEA，∴∠ABD＋∠D＝∠CBE ＋∠CEB＝90°，即∠BAD＝90°，∴AD是⊙O的切线，（2）连接AF，如图，∵AB是O的直径，∴∠AFB＝90°，即AF BD⊥，∵AD＝DE＝2，∴DF＝12DE＝1，在Rt ADF∆中，AD＝2，DF＝1，∴AF＝41-＝3，∵∠DBA＋∠D＝∠EAB＋∠DAE＝90°，∠D＝∠DAE＝60°，∴∠DBA＝∠EAB，∴AE＝BE，又∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠CEB，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴BC＝AF【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）见分析；（2）见分析；（3）【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；（3）易知ABC是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及C∠度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.解：（1）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴⊥AD BC又∵DC=BD，∴AD是BC的垂直平分线∴AB=AC．（2）连接OD．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED=90°．∴DE是⊙O的切线．=（3）由（1）得AC AB60BAC ∠=︒ABC ∴是等边三角形60,2612C BC AB ︒∴∠===⨯=162DC BD BC ∴=== 在Rt CED 中，906030CDE ︒︒︒∠=-=132CE CD ∴== 根据勾股定理得222CE DE CD +=DE ∴【点拨】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.12．(1)4(2)见分析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时△OPC 的面积最大，当OP ⊥OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的△OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证△APB ≌△CPO （SAS ），得到∠OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．(1)解：∵AB ＝4，∴OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在△OPC 中，设OC 边上的高为h ，∵S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ∴当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊥OC ，如图①，则PO PH >，当OP ⊥OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．∴△OPC 的最大面积为4，故答案为：4．(2)证明：如答图②，连接AP ，BP ．∵∠AOP ＝∠BOD ，∴AP ＝BD ，∵CP ＝DB ，∴AP ＝CP ，∴∠A ＝∠C ，在△APB 与△CPO 中，AP CP A C AB CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△CPO （SAS ），∴∠APB ＝∠OPC ，∵AB 是直径，∴∠APB ＝90°，∴∠OPC ＝90°，∴DP ⊥PC ，∵DP 经过圆心，∴PC 是⊙O 的切线．【点拨】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．13．(1)见分析(2)13【分析】（1）连接OE ，根据等边对等角可得OEA OAE ∠=∠，FEB B ∠=∠，根据对顶角相等，等量代换后可得90OEA FEB ∠+∠=︒即可得证；（2）过点O 作OG BE ⊥，根据垂径定理可得4AG AC ==，由945AO OC AC =-=-=，证明AOG ≌ABC ，可得5AB =，根据BE EA AB =+即可求解．（1）如图，连接OE ，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，90CAB B ∴∠+∠=︒，OE OA =，OEA OAE ∴∠=∠，OAE CAB ∠=∠，90OEA B ∴∠+∠=︒，BF EF =，FEB B ∴∠=∠，90OEA FEB ∴∠+∠=︒，即90FEO ∠=︒，OE 是半径，∴EF 是O 的切线； （2）如图，过点O 作OG BE ⊥，8AE =，124EG AG AE ∴===，9OC =，4AC =，945AO OC AC ∴=-=-=，在AOG 与ABC 中，904OGA BCA AG AC GAO CAB ∠=∠=︒⎧⎪==⎨⎪∠=∠⎩∴AOG ≌ABC ，5AB AO ∴==，5813BE BA AE ∴=+=+=，【点拨】本题考查了切线的判定定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键． 14．(1)见分析(2)EF =【分析】（1）连接OC ，AC ．先证明△ACD 为等边三角形．可得∠ACO =∠OAC =30°．再由FG ∥DA ，可得∠ACF =∠DAC =60°．从而得到∠OCF =90°．即可求证；（2）根据AD ∥FG ，可得∠AGF =∠DAE =30°．再根据直角三角形的性质可得FG =2AF =4，AG ADE ≌△GCE ．可得AE=GE即可求解．(1)证明：连接OC，AC．∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC．∵DC=AD，∴DC=AD=AC．∴△ACD为等边三角形．∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°．∴∠AOC=30°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=30°．∵FG∥DA，∴∠ACF=∠DAC=60°．∴∠OCF=90°．∴OC⊥FG．∵OC为半径，∴FG与⊙O相切．(2)解：∵AD∥FG，∴∠AGF=∠DAE=30°．∵AF为⊙O的切线，∴∠F AG=90°，∴FG=2AF=4，∴AG=在△ADE和△GCE中，∵∠AGF=∠DAE=30°．∠CEG=∠AED，DE=CE，∴△ADE≌△GCE．∴AE=GE∴EF【点拨】本题主要考查了垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理，切线的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．15．(1)见分析(2)OC=【分析】（1）证明∠BCO=∠ACO，推出OE=OB，即可证明AC是⊙O的切线；（2）证明△OBC≌△OEC，利用勾股定理求得AC=10，在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算可求得圆的半径，进一步求解即可．(1)证明：作OE⊥AC，垂足为E，∵AD⊥CO，∴∠ADO=90°，∴∠ADO=∠ABC=90°，∵∠AOD=∠BOC，∴∠DAO=∠BCO，∵∠DAO=∠ACO，∴∠BCO=∠ACO，∵OB⊥BC，OE⊥AC，∵OE=OB，∵OB是半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：∵OBC=∠OEC，∠BCO=∠ACO，OC=CO，∴△OBC≌△OEC，∴BC=EC=6，在Rt△ABC中，10AC=，∴AE=AC−EC=10−6=4，在Rt△AOE中，设半径为R，∵AE2+OE2=OA2，∴42+R2=(8−R)2，∴R=OC=3，∴在Rt△OBC中，OC==【点拨】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．16．(1)见分析(2)①见分析；②DE=4.8【分析】（1）连接OD、BD，求出BD⊥AC，可得AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）①利用垂径定理作出AD的垂直平分线即可；②根据垂径定理以及勾股定理求得⊙O的半径和FO，再根据中位线中位线定理求得BD，然后根据三角形面积公式即可求解．(1)证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD，又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，∴BD又是AC边上的中线，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：①如图，作AD的垂直平分线与☉O相交于点P，点P即为所求．②如图，AD 的垂直平分线与AD 相交于点F ，连接BD ，∵PF ⊥AD ，∴AF =12AD =4， 设☉O 的半径为r ，在Rt △AFO 中，AF 2+FO 2=AO 2，即42+(8−r ) 2=r 2，解得r =5．∴FO =PF −PO =3，∵FO 是△ABD 的中位线，∴BD =2FO =6，∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AC ，又∵AB =BC ，△ABC 是等腰三角形，∴AD =DC =8，∴BC =AB =10，在Rt △BDC 中，S △BDC =12BD ⋅CD =12BC ⋅DE ， ∴DE =4.8．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，三角形中位线等知识点的综合运用．17．(1)见分析【分析】（1）根据圆周角定理可得260BOD BAD ∠=∠=︒，从而得到90ODB ∠=︒ ，即可求证； （2）连接DM ，Rt △BOD 中，根据直角三角形的性质可得 BO =2OD ，从而得到1OD OC ==，BD =DE O 为的直径，可得2DE =，90DME ∠=︒，从而得到BE =1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△，可得DM =，再由勾股定理，即可求解．(1)证明：∵∠BOD =2∠BAD ，∴260BOD BAD ∠=∠=︒，又∵30ABD ∠=︒，∴90ODB ∠=︒ ，即OD BD ⊥，又∵OD 为O 的半径，∴直线BD 是O 的切线；(2)解：如图，连接DM ，Rt △BOD 中，30DBO ∠=︒，∴2BO OD OC BC ==+，又1BC =，OD OC =，∴1OD OC ==，∴BD =∵DE O 为的直径，∴2DE =，90DME ∠=︒，在Rt △BDE 中，BE == ∵1122BDE S BD DE BE DM =⋅=⋅△，∴BD DE DM BE ⋅==在Rt △BDM 中，BM = 【点拨】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 18．(1)见分析(2)7(1) 连接OD ，得到OAD ADO ∠=∠，利用余角的性质得到B BDF ∠=∠，得出结果；(2) 连接OF ，构造直角三角形，利用勾股定理求解．(1)证明：连接OD ，如图，∵半圆O 的切线DF ，∴90ODF ∠=︒．∴90ADO BDF ∠+∠=︒．∵90C ∠=︒，∴90OAD B ∠+∠=︒．∵OA OD =，∴OAD ADO ∠=∠．∴B BDF ∠=∠．∴BF DF =．(2)解：连接OF ．∵4AO CE ==，AO OE =，∴8OC =．∵9090C ODF ∠=︒=∠=︒，1CF =，∴2222265OF OC CF OD DF =+=+=．又∵4OD =，∴7DF BF ==．【点拨】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关键．19．(1)见分析(2)8（1）根据OC ＝OE ，得到∠OCE ＝∠OEC ，再根据∠AOC ＝2∠ACE ，得到∠OCA ＝∠OCE +∠ACE ＝12（∠OCE +∠OEC +∠AOC ）＝11802⨯＝90°，即有OC ⊥AB ，结论得证； （2）利用勾股定理求出AB ，在根据三角形的面积的不同算法可求出OC ，即AE 可求．(1)证明：∵OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∵∠AOC ＝2∠ACE ，∴∠OCA ＝∠OCE +∠ACE ＝12（∠OCE +∠OEC +∠AOC ） ＝11802⨯＝90°， ∴OC ⊥AB ，∴AB 为⊙O 的切线；(2)∵AO ＝20，BO ＝15，∴25AB ， ∵1122OA OB AB OC ⨯⨯=⨯⨯， 即1120152522OC ⨯⨯=⨯⨯， ∴OC ＝12，∴AE ＝OA ﹣OE ＝20﹣12＝8.【点拨】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的知识，利用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．20．(1)见分析；(2)【分析】（1）根据切线的判定定理证明即可；（2）证明ABO 是等边三角形，利用30所对的直角边等于斜边的一半证明132AE AB ==，再由勾股定理，得BE (1)证明：连接BO ．∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠．∵AB 平分CAE ∠，∴OAB BAE ∠=∠，∴OBA BAE ∠=∠．∴OB AE ∥，∴18090EBO E ∠=︒-∠=︒，即BE OB ⊥，又∵OB 是O 的半径，∴BE 是O 的切线．(2)解：30ACB ∠=︒，∴60AOB ∠=︒．又∵OA OB =，∴ABO 是等边三角形，∴60OBA ∠=︒，6OA OB AB ===，∴30ABE ∠=︒， ∴132AE AB ==．由勾股定理，得BE =【点拨】本题考查切线的判定定理，等边三角形的判定及性质，30所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．(1)见分析(2)8【分析】（1）过O 作OE ⊥AC 于E ，先证Rt △ABO ≌Rt △AEO ，OB ＝OE ，即OE 为圆的半径，即可求证；（2）利用切线的性质可得AB =AE ，再证Rt △BOD ≌Rt △COE ，即有BD ＝CE ＝2，则AC 可求．(1)证明：过O 作OE ⊥AC 于E ．∵AO 平分∠BAC ，且∠ABC ＝90°，OE ⊥AC ，∴OB ＝OE ，即OE 为圆的半径，∴AC 是⊙O 的切线；(2)∵∠ABC ＝90°，OB 为⊙O 半径，∴AB 是⊙O 的切线，又由（1）AC 是⊙O 的切线，∴AB ＝AE ＝6，在Rt △BOD 和Rt △COE 中，OB OE OD OC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BOD ≌Rt △COE ，∴BD ＝CE ＝2，∴AC ＝AE +CE ＝8【点拨】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质定理，在OE ⊥AC 的条件下证得OE 为圆的半径是解答本题的关键．22．(1)DE 是⊙O 的切线，理由见分析；(2)DE 的长为245． 【分析】（1）连接OD ，根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD ⊥DE ，从而证得DE 是⊙O 的切线；（2）由等腰三角形的性质求出BD =CD =8，由勾股定理求出AD 的长，根据三角形的面积得出答案．(1)解：DE 是⊙O 的切线，理由如下：连接OD ，∵OB =OD ，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；(2)解：连接AD，∵∠ADB=90°，AB=AC，∴BD=CD，∵⊙O的半径为5，BC=16，∴AC=AB=10，CD=8，∴AD= 6，∵S△ADC=12AC•DE=12AD•CD，∴DE=6824105 AD CDAC⋅⨯==．【点拨】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的判定与性质是解题的关键．23．(1)见分析(2)3【分析】（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．(1)解：如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDB=90°，即△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴∠CDE =∠DCE ，∵OD =OC ，∴∠ODC =∠OCD ，∵∠ACB =90°，∴∠OCD +∠DCE =90°，∴∠ODC +∠CDE =90°，即OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为r ，∵∠ODF =90°，∴OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=（r +2）2，解得：r =3，∴⊙O 的半径为3．【点拨】本题主要考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等等，熟知圆切线的性质与判定是解题的关键．24．(1)60︒(2)见分析【分析】（1）由直径为6，求得⊙O 的周长，再由AC 的长为π，求得AOC ∠的度数．（2）由（1）知60AOC ∠=︒，由于OB OC =，可得1302OBC AOC ∠=∠=︒，再由BC PC =推出30P ∠=︒，从而证得OC CP ⊥，直线PC 与⊙O 相切．(1)解：∵6AB =，∴⊙O 的周长为6π．∵AC 的长为π， ∴1360606AOC ∠=⨯︒=︒． (2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴OB OC =， ∴12OBC OCB AOC ∠=∠=∠．∵60AOC ∠=︒， ∴1302OBC OCB AOC ∠=∠=∠=︒． ∵BC PC =，∴30CBO P ∠=∠=︒．在COP 中，∵60COA ∠=︒，30P ∠=︒，∴180180603090OCP COA P ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴OC CP ⊥，又∵点C 在⊙O 上，∴直线PC 与⊙O 相切．【点拨】本题考查了圆的相关性质，切线的判定，综合运用圆的性质确定相关角度是解题关键．。
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证明圆的切线方法及例题
证明圆的切线常用的方法有：
一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：EF与⊙O相切.
证明：连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC，
∴∠3=∠4.
⌒⌒
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
证明一：作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E，
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
∵AD是∠BAC的平分线，
⌒⌒
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：DM与⊙O相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD，
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900. D
C
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，
解题中注意充分利用已知及图上已知.
例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，
D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线
证明：连结OC、BC.
∵OA=OC，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
D 又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC.
∵OB=BD，
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC，
∴OC2=OD·OP，
OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1，
∴△OCP ∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD ⊥AB ，
∴∠OCP=900.
∴PC 是⊙O 的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.
求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.
证明：取FG 中点O ，连结OC.
∵ABCD 是正方形，
∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △
∵O 是FG 的中点，
∴O 是Rt △CFG 的外心.
∵OC=OG ，
∴∠3=∠G ，
∵AD ∥BC ，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD ，DE=DE ，
∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE ≌△CDE （SAS ）
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=900.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠1=∠2.
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE=DF.
∴F 在⊙D 上. ∴AC 与⊙D 相切.
说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE 的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关.
例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.
证明一：连结OA ，OB ，作OE ⊥CD ，E 为垂足.
∵AC ，BD 与⊙O 相切，
∴AC ⊥OA ，BD ⊥OB.
∵AC ∥BD ，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
∵∠COD=900， ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.
∵∠4+∠5=900.
∴∠1=∠5.
∴Rt △AOC ∽Rt △BDO.
∴OD OC OB AC =.
∵OA=OB ，
∴OD OC
OA AC
=.
又∵∠CAO=∠COD=900，
∴△AOC ∽△ODC ，
∴∠1=∠2.
又∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD,
O
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切，
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD，
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS）
∴OF=OD.
∵∠COD=900，
∴CF=CD，∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD，
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.
∵AC与⊙O相切，
∴AC⊥AO.
∵AC∥BD，
∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B，
∴AO的延长线必经过点B.
∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，
∴OF ∥AC ，
∴∠1=∠COF.
∵∠COD=900，CF=DF ，
∴CF CD OF ==21.
∴∠2=∠COF.
∴∠1=∠2.
∵OA ⊥AC ，OE ⊥CD ，
∴OE=OA.
∴E 点在⊙O 上. ∴CD 是⊙O 的切线
说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A 、O 、B 三点共线.
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.。