求最值方法--高考数学复习
高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)
高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得a*log(m)=b-1将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。
已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求$\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。
解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。
已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求$\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。
解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。
已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求$\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。
解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。
所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m-6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。
专题03 函数的单调性和最值的处理途径-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(解析版)
专题03 函数的单调性和最值的处理途径【高考地位】函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式．方法一 定义法例1 已知函数()log (2)log (4)a a f x x a a x =-+-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，写出函数()f x 的单调区间，并用定义法证明；（2）当01a <<时，若11()log 48a f x a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【来源】辽宁省辽西联合校2020-2021学年高三（上）期中数学试题【答案】（1）增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a ；证明见解析；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】（1）求得()f x 的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.例2 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【来源】上海市金山区2021届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明()f x 在R 上的单调性；（2）首先利用定义证明()f x 的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉f ，转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，分离t 转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减.（2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -， 3.定号：确定()()12f x f x -的正负， 4.得出结论：根据同增异减得出结论.【变式演练1】（多选）【海南省2021届高三年级第二次模拟考试】下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断奇偶性，根据函数解析式判断单调性. 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意； B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号： ∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 【变式演练2】已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
高考数学利用基本不等式求最值8大题型(解析版)
利用基本不等式求最值8大题型命题趋势基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1.直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2.配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3.代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a +4b 与a +3b ，分子为a +2b ，设a +2b =λ3a +4b +μa +3b =3λ+μ a +4λ+3μ b∴3λ+μ=14λ+3μ=2 ，解得：λ=15μ=254.消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5.构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
热点题型解读【题型1直接法求最值】【例1】(2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =12，则xy 的最大值为()A.16B.25C.36D.49【答案】C【解析】因为x >0,y >0，x +y =12≥2xy ，即xy ≤36，当且仅当x =y =6时取到等号，故xy的最大值为36.故选：C【变式1-1】(2022·四川广安·广安二中校考模拟预测)已知3x+9y=18，当x+2y取最大值时，则xy的值为( )A.2B.2C.3D.4【答案】B【解析】由已知3x+9y=18可得3x+32y=18，则18=3x+32y≥23x×32y=23x+2y，即3x+2y≤81，所以x+2y≤4，当且仅当x=2y=2时取等号，即x=2，y=1，此时xy=2.故选：B．【变式1-2】(2023·河南郑州·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a2+2b2=1,则ab2的最大值是()A.13B.33C.39D.19【答案】C【解析】解:由题知1=a2+2b2=a2+b2+b2≥33a2b2b2,∴3a2b4≤1 3,当且仅当a=b=33时取等号，所以ab2≤39．故选:C．【变式1-3】(2022·上海·高三统考学业考试)已知x>1，y>1且lg x+lg y=4，那么lg x·lg y的最大值是( )A.2B.12C.14D.4【答案】D【解析】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴lg x⋅lg y≤lg x+lg y22=42 2=4，当且仅当lg x=lg y=2，即x=y=100时等号成立．故选：D.【变式1-4】(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知正数a,b满足a+5b2a+b=36，则a+2b的最小值为()A.16B.12C.8D.4【答案】D【解析】因为a+5b2a+b≤a+5b+2a+b22，所以9(a+2b)24≥36.又a>0,b>0.所以a+2b≥4，当且仅当a=83,b=23时，等号成立.故选：D【题型2配凑法求最值】【例2】(2022·全国·高三专题练习)已知-3<x<0，则f x =x9-x2的最小值为________．【答案】-9 2【解析】因为-3<x<0，所以f x =x9-x2=-9-x2⋅x2≥-9-x2+x22=-92，当且仅当9-x 2=x 2，即x =-322时取等，所以f x =x 9-x 2的最小值为-92.【变式2-1】(2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中)函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为______.【答案】7,+∞【解析】由题知，x >1，所以x -1>0，所以f (x )=x -1 +9x -1+1≥2x -1 ⋅9x -1+1=7，当且仅当x -1=9x -1，即x =4时取等号，所以函数f (x )=x +9x -1(x >1)的值域为7,+∞ .【变式2-2】(2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且x +y =7，则1+x 2+y 的最大值为()A.36B.25C.16D.9【答案】B【解析】由x +y =7，得x +1 +y +2 =10，则1+x 2+y ≤1+x +2+y 2 2=25，当且仅当1+x =2+y ，即x =4,y =3时，取等号，所以1+x 2+y 的最大值为25.故选：B .【变式2-3】(2022春·山东济宁·高三统考期中)已知向量m =a -5,1 ,n =1,b +1 ，若a >0,b >0，且m⊥n ，则13a +2b +12a +3b 的最小值为()A.15B.110C.115D.120【答案】A【解析】根据题意，m ⋅n =a -5+b +1=0，即a +b =4，则3a +2b +2a +3b =20，又a >0,b >0，故13a +2b +12a +3b =12013a +2b +12a +3b 3a +2b +2a +3b =1202+2a +3b 3a +2b +3a +2b 2a +3b≥120×2+22a +3b 3a +2b ×3a +2b 2a +3b =15，当且仅当2a +3b 3a +2b =3a +2b2a +3b，且a +b =4，即a =b =2时取得等号.故选：A .【题型3消元法求最值】【例3】(2022春·湖南永州·高三校考阶段练习)设x ≥0,y ≥0,x 2+y 22=1，则x 1+y 2的最大值为()A.1B.22C.324D.2【答案】C【解析】因为x 2+y 22=1，所以y 2=2-2x 2≥0，解得：x ∈0,1 ，故x 1+y 2=x 1+2-2x 2=x 3-2x 2=222x 23-2x 2 ≤22×2x 2+3-2x 22=324，当且仅当2x 2=3-2x 2，即x =32时，等号成立，故x 1+y 2的最大值为324.【变式3-1】(2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足a 2-2ab +4=0，则b-a4的最小值为()A.1 B.2C.2D.22【答案】B【解析】∵a ,b >0,a 2-2ab +4=0，则有b =a 2+2a，∴b -a 4=a 2+2a -a 4=a 4+2a≥2a 4⋅2a =2，当且仅当a 4=2a ，即a =22时等号成立，此时b =322，故选：B .【变式3-2】(2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xy z的最大值为()A.0B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x-3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，则当xyz取得最大值时，2x +1y -2z 的最大值为()A.0B.3C.94D.1【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0，∴z =x 2-3xy +4y 2．∴xy z =xy x 2-3xy +4y 2=1x y +4y x -3≤12x y ⋅4y x-3=1，当且仅当x =2y >0时取等号，此时z =2y 2．∴2x +1y -2z =22y +1y -22y2=-1y -1 2+1≤1，当且仅当y =1时取等号，即2x +1y -2z的最大值是1．故选：D 【变式3-4】(2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)(多选)已知a ，b ，c 均为正实数，ab +ac=2，则1a +1b +c +8a +b +c的取值不可能是()A.1B.2C.3D.4【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由ab +ac =2得：a b +c =2，即b +c =2a，所以1a +1b +c +8a +b +c =1a +a 2+8a +2a=2+a 22a +8a a 2+2，由基本不等式得：1a +1b +c +8a +b +c =2+a 22a +8a a 2+2≥22+a 22a ⋅8a a 2+2=4，当且仅当2+a 22a =8aa 2+2，即a =2±2时，等号成立.故选：ABC【变式3-5】(2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习)若x 21+y 21=4,x 22+y 22=4,x 1⋅y 2=-2，则x 2⋅y 1的最大值为___________．【答案】2【解析】x 2⋅y 1 2=4-y 22 4-x 21 =4-4x 214-x 21 =20-44x 21+x 21，由y 2=-2x 1，所以y 2 =-2x 1=2x 1≤2，所以1≤x 1 ≤2，所以x 2⋅y 1 2=20-44x 21+x 21≤20-4×24x 21⋅x 21=4，当且仅当|x 1|=2时，等号成立，所以x 2⋅y 1≤2，当且仅当x 2=2,y 1=2或x 2=-2,y 1=-2时取等号，所以x 2⋅y 1的最大值为2．【题型4代换法求最值】【例4】(2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习)已知x >0,y >0，且4x +y =1，则1x +9y的最小值是_____．【答案】25【解析】因为x >0,y >0，且4x +y =1，所以1x +9y =4x +y 1x +9y =4+36xy +y x+9≥13+236x y ⋅y x=25，当且仅当36x y =y x ，即x =110,y =35时，等号成立.【变式4-1】(2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习)已知a >0，b >0，a +b =2，则b a +4b的最小值为_______.【答案】22+2【解析】因为a >0，b >0，且a +b =2，所以b a +4b =b a +4b a +b 2 =b a +2a b +2≥2b a ×2a b+2=22+2，当且仅当b 2=2a 2时取等号故b a +4b 的最小值为22+2【变式4-2】(2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)若正实数x ，y 满足2x +y =xy ，则x +2y 的最小值为______．【答案】9【解析】由2x +y =xy 得2y +1x=1，又因为x >0，y >0，所以x +2y =x +2y 2y +1x =2xy +2y x +5≥22x y ⋅2y x +5=9，当且仅当x =y =3时等号成立，故x +2y 的最小值为9．【变式4-3】(2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习)已知x >-2，y >0，2x +y =3，则x +2y +2x +2+7y的最小值为()A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】因为x >-2，y >0，2x +y =3，所以2x +2 +y =7，x +2>0，所以x +2y +2x +2+7y =x +2y +2x +2+2x +2 +y y =2+2y x +2+2x +2 y≥2+22yx +2⋅2x +2 y=6，当且仅当x +2=y ，即x =13，y =73时等号成立，即x +2y +2x +2+7y 的最小值为6，故选：B .【变式4-4】(2022·广西·统考一模)如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且AG=2GM ，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)，则1x+1y +1的最小值为()A.34B.1C.43D.4【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则AM =12AB +12AC又AG =2GM ，所以AM =32AG ，又AB =xAP (x >0)，AC =yAQ (y >0)所以32AG=x 2AP +y 2AQ ，则AG =x 3AP +y 3AQ因为G ,P ,Q 三点共线，则x3+y 3=1，化得x +y +1 =4由1x +1y +1=14x +y +1 1x +1y +1 =14x y +1+y +1x+2 ≥142x y +1⋅y +1x+2=1当且仅当x y +1=y +1x 时，即x =2,y =1时，等号成立，1x +1y +1的最小值为1故选：B 【题型5双换元法求最值】【例5】(2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习)设x >-1,y >-2，且x +y =4，则x 2x +1+y 2y +2的最小值是__________.【答案】167【解析】令x +1=a (a >0)，y +2=b (b >0)，则x =a -1，y =b -2，因为x +y =4，则有a +b =7，所以x 2x +1+y 2y +2=(a -1)2a +(b -2)2b =a +1a -2+b +4b -4=7-2-4+1a +4b=1+17(a +b )1a +4b =1+171+4+b a +4a b≥1+17×5+2b a ×4a b =167当且仅当b =2a ，即a =73,b =143时取等号，则x ,y 分别等于43,83时，x 2x +1+y 2y +2的最小值是167.【变式5-1】(2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习)已知正数x ，y 满足3x +2y y +83x +2y x=1，则xy 的最小值是()A.54B.83C.43D.52【答案】D 【解析】xy =xy 3x +2y y +83x +2y x=3x x +2y +8y 3x +2y ，令x +2y =m ，3x +2y =n ，则x =n -m 2，y =3m -n4，xy =3x x +2y +8y 3x +2y =3n 2m +6m n -72≥23n 2m ⋅6m n -72=52，当且仅当3n 2m =6m n 且3x +2y y +83x +2y x =1，即x =5，y =52时，等号成立，所以xy ≥52，故xy 有最小值52.故选：D .【变式5-2】(2022·全国·高三专题练习)设正实数x ,y 满足x >12,y >1，不等式4x 2y -1+y 22x -1≥m 恒成立，则m 的最大值为()A.8 B.16C.22D.42【答案】A【解析】设y -1=b ,2x -1=a ，则y =b +1b >0 ,x =12a +1 a >0 所以4x 2y -1+y 22x -1=a +1 2b +b +1 2a ≥2a +1b +1 ab =2ab +a +b +1ab=2ab +1ab +a +b ab ≥22ab ⋅1ab +2ab ab=2⋅2+2 =8当且仅当a =b =1即x =2,y =1时取等号所以4x 2y -1+y 22x -1的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】(2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中)已知x >0,y >0，若x +y =1，则33x +2y+11+3y的最小值是___________.【答案】85【解析】设x +y +k =λ3x +2y +μ1+3y ，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk =μ，得λ=13k =μ=19所以x +y +19=133x +2y +191+3y整理得1=3103x +2y +1101+3y 即1=1109x +6y +1+3y所以33x +2y +11+3y =1109x +6y +1+3y 33x +2y +11+3y=1+11031+3y 3x +2y +9x +6y 1+3y≥85.经验证当x =y =12时，等号可取到.【题型6齐次化求最值】【例6】(2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知a ,b 都是负实数，则a a +2b +ba +b的最小值是____________ .【答案】22-2【解析】a a +2b +b a +b =a 2+2ab +2b 2a 2+3ab +2b 2=1-ab a 2+3ab +2b2=1-1a b+2b a +3，因为a ,b 都是负实数，所以a b>0,2ba >0，所以a b +2b a ≥2a b ×2b a =22(当且仅当a b=2b a 时等号成立).所以a b +2b a +3≥22+3，所以1a b+2b a +3≤122+3，所以-1a b +2b a +3≥-122+3=22-3，所以1-1a b+2b a +3≥1+22-3=22-2.即a a +2b +b a +b的最小值是22-2.【变式6-1】(2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知对任意正实数x ，y ，恒有x 2+y 2≤a x 2-xy +y 2 ，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为x >0,y >0，则x 2-xy +y 2=x -y 2+xy >0，则x2+y2≤a x2-xy+y2，即x2+y2x2-xy+y2≤a，又x2+y2x2-xy+y2=11-xyx2+y2，因为x2+y2≥2xy，所以1-xyx2+y2≥12，所以11-xyx2+y2≤2，即x2+y2x2-xy+y2≤2，当且仅当x=y时，取等号，所以x2+y2x2-xy+y2max=2，所以a≥2，即实数a的最小值是2.【变式6-2】(2022·全国·高三专题练习)已知x>0，y>0，则x2+3y2xy+y2的最小值为____．【答案】2【解析】∵x，y>0，则x2+3y2xy+y2=x2y2+3xy+1，设xy=t，t>0，则x2+3y2xy+y2=t2+3t+1=t+12-2t+1+4t+1=(t+1)+4t+1-2≥2t+1×4t+1-2=4-2=2，当且仅当t+1=4t+1，即t=1时取等号，此时x=y，故x2+3y2xy+y2的最小值为2.【题型7构造不等式法求最值】【例7】(2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习)已知正实数a，b满足2ab=a+b+12，则ab的最小值是_____ ______.【答案】9【解析】由2ab=a+b+12得，2ab≥2ab+12，化简得ab-3ab+2≥0，解得ab≥9，所以ab的最小值是9.【变式7-1】已知x>0，y>0，2xy=x+y+4，则x+y的最小值为______．【答案】4【解析】由题知x>0,y>0,由基本不等式得xy≤x+y22，即x+y+4≤2×x+y22，令t=x+y，t>0，则有t+4≤2×t22，整理得t2-2t-8≥0，解得t≤-2(舍去)或t≥4，即x+y≥4，当且仅当x=y=2时等号成立，所以x+y的最小值为4.【变式7-2】(2022·全国·高三专题练习)若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是___________．【答案】2105【解析】∵4x 2+y 2+xy =1，∴(2x +y )2-3xy =1≥(2x +y )2-322x +y 2 2=58(2x +y )2，当且仅当2x =y 时，等号成立，此时(2x +y )2≤85，所以2x +y ≤2105，即2x +y 的最大值是2105.【变式7-3】(2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)若x >0，y >0，y +1x+4x +2y =5，则2x +y 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为x >0，y >0，所以2x +y >0由y +1x +4x +2y=5两边同时乘xy ，得y 2+y +4x 2+2x =5xy ，即4x 2+y 2+4xy +2x +y =5xy +4xy ，则2x +y 2+2x +y =9xy ，因为2xy ≤2x +y 2 2=2x +y 24，所以9xy =92×2xy ≤92×2x +y 24=982x +y2，故2x +y 2+2x +y ≤982x +y 2，整理得2x +y 2-82x +y ≥0，即2x +y 2x +y -8 ≥0，所以2x +y ≥8或2x +y ≤0(舍去)，故2x +y 的最小值为8.【题型8多次使用不等式求最值】【例8】(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知a >0,b >0，则4b +ba2+2a 的最小值为()A.22 B.42C.42+1D.22+1【答案】B【解析】因为a >0,b >0，所以4b +ba2+2a ≥24b ⋅b a 2+2a =4a+2a ≥24a⋅2a =42，当且仅当4b =b a2且4a =2a ，即a =2,b =22时取等号，即4b +ba2+2a 的最小值为4 2.故选：B .【变式8-1】(2022春·江苏淮安·高三校联考期中)当0<x <2a ,不等式1x 2+12a -x2≥1恒成立，则实数a 的取值范围是()A.2,+∞B.0，2C.0,2D.2,+∞【答案】B【解析】1x 2+12a -x 2≥1恒成立，即1x 2+12a -x 2 min≥1∵0<x <2a ,∴2a -x >0，又1x 2+1(2a -x )2≥21x 2(2a -x )2=2x (2a -x )≥2x +2a -x 22=2a 2，上述两个不等式中，等号均在x =2a -x 时取到，∴1x 2+12a -x 2min=2a 2，∴2a2≥1，解得-2≤a ≤2且a ≠0，又a >0，实数a 的取值范围是0，2 .故选：B .【变式8-2】(2022·全国·模拟预测)已知a >0，b >0，c >1，a +2b =2，则1a +2bc +2c -1的最小值为()A.92B.2C.6D.212【答案】D【解析】1a +2b =121a +2b a +2b =125+2b a +2a b≥125+4 =92，当且仅当a =b =23时等号成立，(应用基本不等式时注意等号成立的条件)所以1a +2bc +2c -1≥92c -1 +2c -1+92≥29c -1 2⋅2c -1+92=212，当且仅当9c -1 2=2c -1，即c =53且a =b =23时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】(2022春·安徽·高三校联考阶段练习)已知a ,b ,c ∈R +，θ∈-π2,π2，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，则θ的取值范围是()A.-π2,π2B.-π3,π3C.-π4,π4D.-π6,π6【答案】C【解析】因为a ,b ,c ∈R +,θ∈-π2,π2 ，不等式2b a +c a 2+4b 2+c 2≤cos θ恒成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c 2 max≤cos θ，因为a ,b ,c ∈R +，所以2ab =12×2a 2b ≤12a 2+2b 2 =12a 2+2b 2，当且仅当a =2b 时等号成立；2bc =12×2c 2b ≤12c 2+2b 2 =12c 2+2b 2，当且仅当c =2b 时等号成立.所以2b a +c a 2+4b 2+c 2=2ab +2bc a 2+4b 2+c 2≤12a 2+2b 2 +12c 2+2b 2a 2+4b 2+c 2=22，当且仅当a =2b =c 时等号成立，所以2b a +c a 2+4b 2+c2的最大值为22，所以cos θ≥22，又因为θ∈-π2,π2，所以θ∈-π4,π4.故选：C.【变式8-4】(2023·全国·高三专题练习)若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为()A.12B.14C.22D.32【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．故选：A．限时检测(建议用时：60分钟)1.(2022春·江苏徐州·高三学业考试)若正实数x，y满足1x+2y=1，则x+2y的最小值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】因为x，y是正数，所以有1x+2yx+2y=5+2yx+2xy≥5+22yx∙2xy=9，当且仅当2yx=2xy时取等号，即当且仅当x=y=3时取等号，故选：C2.(2022春·广东湛江·高三校考阶段练习)已知x>2,y=x+1x-2，则y的最小值为()A.2B.1C.4D.3【答案】C【解析】因为x>2，所以x-2>0,1x-2>0，由基本不等式得y=x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，则y的最小值为4.故选：C3.(2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习)已知a>1，b>1，且aln+4bln=2，则a elog+b e4log的最小值为()A.92lg B.212 C.252 D.12【答案】C【解析】a e log =1a ln ，b e 4log =4b ln ，因为a >1，b >1，故a >0ln ,b ln >0，a e log +b e 4log =1a ln +4b ln =12×a ln +4b ln 1a ln +4bln=12×17+4b ln a ln +4a ln bln≥12×17+24b ln a ln ⋅4a ln bln=252，当且仅当a ln =b ln 时，即a =b =e 25时等号成立．所以a e log +b e 4log 的最小值为252．故选：C4.(2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知正数a ,b 满足4a +9b =4，则ab 的最大值为()A.19B.16C.13D.12【答案】A【解析】正数a ,b 满足4a +9b =4，由基本不等式得：4a +9b =4≥24a ⋅9b ，解得：ab ≤19，当且仅当4a =9b ，即a =12,b =29时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A 5.(2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末)已知a >0,b >0，9是3a 与27b 的等比中项，则a 2+2a +3b 2+1b 的最小值为()A.9+26 B.21+264C.7D.14+263【答案】B【解析】由等比中项定义知：3a ⋅27b =3a +3b =92，∴a +3b =4，∴a 2+2a +3b 2+1b =a +3b +2a +1b =4+142a +1b a +3b =4+145+6b a +a b≥4+145+26b a ⋅a b =4+5+264=21+264(当且仅当6b a =ab，即a =46-8，b =43-6 3时取等号)，即a 2+2a +3b 2+1b的最小值为21+264.故选：B .6.(2022春·河南南阳·高三校考阶段练习)在△ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，则4x +y 的最小值是()A.43B.103C.3D.2【答案】C【解析】在△ABC 中，E 为重心，所以AE =23⋅12AB +AC =13AB +AC ，设AM =xAB ,AN =yAC ，(x >0，y >0)，所以AB =1x AM ,AC =1y AN ，所以AE =13⋅1x AM +13⋅1yAN .因为M 、E 、N 三点共线，所以13x +13y=1，所以4x +y 13x +13y=43+13+y 3x +4x 3y ≥53+2y 3x ⋅4x 3y =3(当且仅当y 3x =4x 3y ，即x =12，y =1时取等号)．故4x +y 的最小值是3．故选：C ．7.(2022春·四川德阳·高三阶段练习)已知实数a 、b >0，且函数f x =x 2-2a +b x +2a +b -1的定义域为R ，则a 2b +2a 的最小值是()A.4B.6C.22D.2【答案】A【解析】∵f x =x 2-2a +b x +2a +b -1定义域为R ，∴x 2-2a +b x +2a +b -1≥0在R 上恒成立，∴△=-2a +b 2-4×2a +b -1 ≤0，即：a +b 2-2a +b +1≤0∴a +b -1 2≤0，解得：a +b =1又∵a >0,b >0∴a 2b +2a =1-b 2b +2a =12b +2a -12=12b +2a a +b -12=a 2b +2ba +2≥2a 2b ⋅2b a+2=4当且仅当a 2b =2b a ，即a =23,b =13时取等号.故选：A .8.(2022春·江西宜春·高三校考阶段练习)设x >y >z ，且1x -y +1y -z ≥nx -zn ∈N 恒成立，则n 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】因为x >y >z ，所以x -y >0，y -z >0，x -z >0，所以不等式1x -y +1y -z ≥n x -z 恒成立等价于n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立.因为x -z =x -y +y -z ≥2x -y y -z ，1x -y +1y -z≥21x -y ⋅1y -z ，所以x -z ⋅1x -y +1y -z≥4x -y y -z⋅1x -y ⋅1y -z =4(当且仅当x -y =y -z 时等号成立)，则要使n ≤x -z 1x -y +1y -z恒成立，只需使n ≤4n ∈N ，故n 的最大值为4.故选：C 9.(2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)(多选)已知实数a ，b 满足4a 2-ab +b 2=1，以下说法正确的是()A.a ≤21515B.a +b <1C.45≤4a 2+b 2≤43D.2a -b ≤2105【答案】ACD【解析】由4a 2-ab +b 2=1，可得b 2-ab +4a 2-1=0，关于b 的方程有解，所以△=-a 2-44a 2-1 ≥0，所以a 2≤415，即a ≤21515，故A 正确；取a =0,b =1，4a 2-ab +b 2=1，则a +b =1，故B 错误；由4a 2-ab +b 2=1，可得4a 2+b 2=ab +1=1+12⋅2ab ，又-4a 2+b 22≤2ab ≤4a 2+b 22，令t=4a 2+b 2，则-t 2≤2t -1 ≤t 2，所以45≤t ≤43，即45≤4a 2+b 2≤43，故C 正确；由4a 2-ab +b 2=1，可得2a -b 2+3ab =1，所以2a -b 2=1-3ab =1+32⋅2a ⋅-b ，令u =2a -b ，由2a ⋅-b ≤2a -b 22，可得u 2≤1+38u 2，所以u 2≤85，即2a -b ≤2105，故D 正确.故选：ACD .10.(2022·浙江·模拟预测)(多选)已知a ，b 为正数，且2a +b -2=0，则()A.a 2+16>8a B.2a +1b≥9 C.a 2+b 2≥255D.32<a +b -5a -2<4【答案】ACD【解析】对于A 选项，a 2+16-8a =a -4 2≥0，当且仅当a =4时等号成立，当a =4时，由于2a +b -2=0，得b =2-2a =2-8=-6，与b 为正数矛盾，故a ≠4，即得a 2+16>8a ，故A 选项正确；对于B 选项，∵2a +b -2=0，∴a +b2=1.又∵a >0,b >0∴2a +1b =2a +1b a +b 2 =2+b a +a b+12≥52+2b a ⋅a b =92，当且仅当b a =a b，即a =b =23时等号成立；故B 选项不正确；对于C 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∵a 2+b 2=a 2+2-2a 2=5a 2-8a +4=5a -45 2+45，∴a 2+b 2≥45，当且仅当a =45时等号成立，∴a 2+b 2≥255，故C 选项正确；对于D 选项，∵2a +b -2=0，∴b =2-2a ，a ∈0,1 .∴a +b -5a -2=a +2-2a -5a -2=-a -3a -2=-a -2 -5a -2=-1-5a -20<a <1 ，当0<a <1时，-2<a -2<-1，∴-5<5a -2<-52，得32<-1-5a -2<4，即32<a +b -5a -2<4，故D 选项正确.故选：ACD11.(2022春·山西·高三校联考阶段练习)(多选)若a >b >1，且a +3b =5，则()A.1a -b +4b -1的最小值为24 B.1a -b +4b -1的最小值为25C.ab -b 2-a +b 的最大值为14 D.ab -b 2-a +b 的最大值为116【答案】BD【解析】由a >b >1，可知a -b >0，b -1>0，a -b +4b -1 =a +3b -4=5-4=1，1a -b +4b -1=a -b +4b -1 a -b +4a -b +4b -1 b -1=17+4b -1 a -b +4a -b b -1≥17+24b -1 a -b ⋅4a -b b -1=25当且仅当a -b =b -1=15 时，等号成立，1a -b +4b -1的最小值为25．又1=a -b +4b -1 ≥2a -b ⋅4b -1 =4a -b ⋅b -1 ．当且仅当a -b =4b -1 =12时，等号成立，所以ab -b 2-a +b =a -b ⋅b -1 ≤116，故ab -b 2-a +b 的最大值为116．故选：BD .12.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)(多选)在下列函数中，最小值是4的是()A.y =x +4xB.y =x +5x +1x >0 C.y =x sin +4xsin ，x ∈0,π2D.y =4x +41-x【答案】BD【解析】对于A ，当x >0时，y =x +4x ≥2x ⋅4x =4，当且仅当x =4x，即x =2时取等号；当x <0时，y =x +4x =--x +-4x ≤-2x ⋅4x =-4，当且仅当-x =-4x ，即x =-2时取等号，所以y ∈-∞,-4 ⋃4,+∞ ，A 错误；对于B ，y =x +5x +1=x +1+4x +1=x +1+4x +1，因为x >0，所以x +1>1，x +1+4x +1≥2x +1⋅4x +1=4，当且仅当x +1=4x +1，即x =3时取等号，所以y =x +5x +1x >0 的最小值为4，B 正确；对于C ，因为x ∈0,π2，所以x sin ∈0,1 ，由对勾函数性质可知：y =x sin +4x sin ,x ∈5,+∞ ，C 错误；对于D ，4x >0，y =4x +41-x =4x +44x ≥24x ×44x =4，当且仅当4x =44x ，即x =12时取等号，所以y =4x +41-x 的最小值为4，D 正确.故选：BD13.(2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知正实数x ，y 满足4x +7y =4，则2x +3y+12x +y的最小值为______.【答案】94【解析】因为4x +7y =4，所以2x +3y +12x +y =142x +3y +2x +y 2x +3y +12x +y ，所以2x +3y +12x +y =144+2x +3y 2x +y +22x +y x +3y +1，因为x ,y 为正实数，所以2x +3y 2x +y >0,22x +yx +3y>0，所以2x +3y 2x +y +22x +y x +3y≥22x +3y 2x +y ⋅22x +yx +3y =4，当且仅当x +3y =2x +y 4x +7y =4时等号成立，即x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y ≥144+4+1 =94，当且仅当x =815,y =415时等号成立，所以2x +3y +12x +y 的最小值为94.14.(2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习)若a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，则a +b2-a 2b的最大值为___________.【答案】2【解析】由题知，a ,b ∈R ，且b 2-a 2=1，即b 2=a 2+1，所以a +b2-a 2b =a +1b ，当a =0时，b 2=1，即b =±1，此时a +1b =±1，所以a +b 2-a 2b的最大值为1，当a ≠0时，a +1b2=a 2+2a +1b 2=1+2a a 2+1≤1+2a 2a =2，当且仅当a =1时取等号，此时-2≤a +1b ≤2；所以a +a 2-b 2b 的最大值为2.综上，a +a 2-b 2b的最大值为2.15.(2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)已知正数x ，y 满足83x 2+2xy +3xy +2y 2=1，则xy的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由83x 2+2xy +3xy +2y 2=1可得8xy +2y 2 +33x 2+2xy 3x 2+2xy xy +2y 2=1，即16y 2+9x 2+14xy =3x 3y +8x 2y 2+4xy 3=xy 4y 2+3x 2+8xy所以16y 2+9x 2+14xy 4y 2+3x 2+8xy =xy =16y 2x2+9+14y x 4y 2x2+3+8y x ；又因为x ，y 均是正数，令y x =t ∈0,+∞ ，则xy =f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3所以， f t =16t 2+14t +94t 2+8t +3=4-18t +34t 2+8t +3=4-14t 2+8t +318t +3令 g t =4t 2+8t +318t +3，则g t =29t +1127+16918t +3=29t +16 +16918t +3+1027≥229t +16 ×16918t +3+1027=1827当且仅当29t +16 =16918t +3，即t =12时，等号成立；所以f t =4-14t 2+8t +318t +3≥4-11827=4518=52所以f t 的最小值为f t min =52;即当t =y x =12,x =2y =5时，即x =5,y =52时，等号成立.16.(2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习)已知正实数a ,b ,c 满足a 2+ab +b 2-12c 2=0，则当a +bx取得最大值时，a -b 2+c 的最大值为______.【答案】916【解析】由a 2+ab +b 2-12c 2=0，可得12c 2=a +b 2-ab ≥a +b 2-a +b 22=34a +b 2，即a +bc≤4，当且仅当a =b 时，等号成立，所以当a +b c 取得最大值时，a =b ，c =a +b 4=a 2，所以a -b 2+c =32a -a 2=-a -342+916，故当a =34,b =34,c =38时，a -b 2+c 取最大值916.。
导数与函数的极值、最值-高考数学复习
1
解：当 a ＝ 时， f （ x ）＝ln
2
1
x － x ，函数的定义域为
2
1
1
2−
（0，＋∞），且f'（ x ）＝ － ＝
，
2Hale Waihona Puke 2令f'（ x ）＝0，得 x ＝2，
目录
高中总复习·数学
于是当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x
（0，2）
2
（2，＋∞）
f'（ x ）
则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无
极值点；
当 a ＞0时，若 x ∈
若x∈
1
，＋∞
1
0，
，则f'（ x ）＞0，
，则f'（ x ）＜0，
目录
高中总复习·数学
1
故函数在 x ＝ 处有极大值.
综上可知，当 a ≤0时，函数 f （ x ）无极值点；
当 a ＞0时，函数 y ＝ f （ x ）有一个极大值点，且为
2. 函数的最值与导数
（1）如果在区间[ a ， b ]上函数 y ＝ f （ x ）的图象是一条
连续不
断 的曲线，那么它必有最大值和最小值；
（2）若函数 f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增，则 f （ a ）为函数
的
最小值 ， f （ b ）为函数的
最大值 ；若函数 f （ x ）
在[ a ， b ]上单调递减，则 f （ a ）为函数的
导数与函数的极值、最值
1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。
∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
高考数学最值问题及解题思路分享
高考数学最值问题及解题思路分享在高考数学中，最值问题是一道经典的题型，出现频率较高。
关于最值问题，我们可以从以下三个方面来进行探讨：最大值、最小值和最优解。
接下来，我们将从这三个方面入手，来一起学习解题思路。
一、最大值最大值问题通常可以通过以下步骤来解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最大值点。
2. 计算：将最大值点代入原函数，可得函数的最大值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求其在区间$[-2,2]$上的最大值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3x^2-3$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\pm1$。
由此得出，当$x=\pm1$时，函数$f(x)$取得最大值。
将$x=\pm1$代入原函数，可得最大值为$f(1)=f(-1)=3$。
二、最小值与最大值问题类似，最小值问题也可以通过以下步骤解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最小值点。
2. 计算：将最小值点代入原函数，可得函数的最小值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=(x-1)^3-x^2$，求其在区间$[0,2]$上的最小值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3(x-1)^2-2x$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\frac{3}{4}$和$x=2$。
由此得出，当$x=\frac{3}{4}$和$x=2$时，函数$f(x)$取得最小值。
将$x=\frac{3}{4}$和$x=2$代入原函数，可得最小值为$f(\frac{3}{4})=\frac{-49}{64}$和$f(2)=-4$。
三、最优解在实际问题中，我们通常要找到一个最优解，这个解可能既不是最大值也不是最小值，而是在某种条件下最合适的解。
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求最值方法 -- 高考数学复习一问一答 -------- 最值问题方法总论1高中数学求最值有哪些方法？答：有 9 种方法： 1）配方法 2）鉴别式法； 3）不等式法； 4）换元法； 5）函数单一性法； 6）三角函数性质法； 7）导数法； 8）数形联合发；9）向量法2如何将恒成立问题转变为最值问题？答：1) a f ( x)恒成立，则a f (x)max 2）a f ( x)恒成立，则 a f (x)min一元整式函数最值1、二次函数张口方向、对称轴、所给区间均确立,如何求最值 ?答：1）确立对称轴与x轴交点的横坐标能否在所给区间。
2）假如在所给区间，一个最值在极点处获得，另一个最值在与极点横坐标较远的端点处获得。
3）若不在所给区间，利用函数的单一性确立其最值。
2、二次函数所给区间确立，对称轴地点变化，如何求最值 ?答： 1）挪动对称轴，将对称轴平移到定区间的左边、右边及区间内议论， 2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。
3、二次函数所给区间变化，对称轴地点确立，如何求最值 ?答：分类议论，分为四种状况： 1）对称轴在闭区间左边；2）对称轴在闭区间右边3）对称轴在闭区间内且在中点的左边； 4）对称轴在闭区间内且在中点的右边（或过中点）；4、二次函数所给区间、对称轴地点都不确立，如何求最值 ?答：将此中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，而后如上分四种状况进行议论。
5、什么状况下运用基本不等式求最值？答：当两个变量的和或积为定值时运用，有时需要变形。
即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解答：能够考虑睁开后，利用基本不等式求解7、如何求复合型函数的最值答：若函数f ( x), g( x) 在 [ mn.] 上单调性相同，则h( x) f (x)g(x) 在 [m.n] 上与 f ( x), g( x) 有同样的单一性，可利用单一性求h( x) 在[ mn.] 上的最值。
8、如何求三次及三次以上函数的最值？答：用导数法求，利用函数的单一性；9、如何求二次函数与指数、对数函数经过四则运算组成的函数答：用导数法求单一性，利用单一性求最值10、如何求含绝对值的函数的最值？答:1）去掉绝对值，转变为分段函数后求最值/11、如何求含参数的函数最值答：1）利用导数求最值， 2）依据参数的取值范围，用分类议论思想求解12、如何求指数，对数函数最值？答：利用换元法，转变成整式函数最值问题，注意换元后函数定义域的变化。
分式函数最值问题1、如何求形如y ax b( x 0)的函数的最值x答：有两种方法 1）利用基本不等式求最值法 2）利用其单一性求最值，求解时，需先判断其单一区间。
ax2bx c2、如何求一元二次分式函数，形如y dx2ex f(ad 0)的函数值域？4答： 1）转变成对于自变量 x 的一元二次方程 2）利用鉴别式求 y 的取值范围。
3）注意二次系数等于零的状况。
3、分式函数 yf ( x)中分子的次数小于分母的次数g( x)最值问题，如何求解？答：可取倒数后，利用基本不等式求解无理函数最值问题1、对于含有根式的最值问题，第一考虑如何处理答：考虑平方后，利用基本不等式求解/2、如何求无理函数被开方数含自变量的一次式，形如 y ax b cx d (a, c 不为零）的最值答：利用整体换元法求解3、如何求解无理式的和、差最值问题答： 1）将根号下的变量进行配方 2）转变为两点间的距离的和、差最值 3）依据已知条件，利用数形联合的方法求解。
/4、如何求形如 y m ax b n cx d (ac 0) 型函数的值域答：1）确立函数的定义域， 设为闭区间 [ x 1, x 2] ， ）2令 x | x2x 1 | sin 2 t x 1，且 t [0,2] ，原函数可化为 y A sin(t )型的函数，进而得出函数的值域。
（例题在书上105页）5、如何求形如y mx n ax2bx c(m 0, a 0,b24ac0) 型函数值域？答：1）确立函数的定义域，设为闭区间[ x1, x2]，2）令 t x2 x1x2x1 sin t 且 t [0,] ，换元，将 y A sin( x) t 型222函数，求值域（例题在书上105 页）条件最值问题a b1、已知或可化为已知 1 型为条件的如何求x ycx dy(a, b, c, d 均不为零）最值答：可利用“1”的代换求乘法，即cx dy 1 (cx dy) ( a b) (cx dy) ，睁开后用基本不等式求x y最值。
2 、已知ax by k (a,b, k 均不为零），如何求F ( x, y)m n(m, n, c, d 均不为零）的最值？cx dy答：常将 ax by k( a, b, k 变形为a x b y 1 后，而后利用k k“ 1的”代换求乘法，睁开后用基本不等式求最值。
3、已知条件含形如ax bxy cy d 0(abc 0)型的关系式，如何求对于x, y 一次式的和或积的最值问题答：将关系式 ax bxy cy d 0 变形，用一个变量表示另一个变量后求解，相当于消元后再利用基本不等式求最值。
4、如何求解对称式（随意交换两个字母，代数式不变）和给定字母次序（如 a b c ）的表达式的最值？答：用增量换元法进行换元，换元的目的是为了减元。
/5、举例说明增量换元法答：若 a,b R, a b 1，求 y (a 2)2(b2)2最小值，11由于a b 1，因此可设 a 2t,b2t ，代入方程6、如何求已知条件含关系式x2y2r 2型最值问题答： 1）利用x r cos ， y r sin换元，转变成三角函数求最值问题求解。
2）若波及x2y2r 2，则利用 x r cos，转变成三角函数求最值问题求解。
y r sin ，此中 | r | 1,[0,2 ) ，将问题转变成三角函数求最值问题求解。
线性规划中最值问题1、如何求解线性规划中最值问题？答：在线性拘束条件下目标函数最值问题求解步骤： 1）7作图 ---画出拘束条件下（不等式组）所确立的平面地区和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线 2）平移 ------ 将直线平行挪动，以确定最优解所对应点的地点3）求值—解相关的方程组求出最长处的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。
（例题在 115 页）三角函数最值问题1、一次三角函数，如y a sin x bcosx型，采纳什么方法？答：采纳引入协助角法，利用关系式asinx+bcosx=a2b2sin x/2、二次三角函数，只含有正弦函数或余弦函数，采纳什么方法？2种类三：y asin x bsinx c(a 0)型。
此种类答：可化为y at2 bt c(a 0)在区间[ 1,1]上的最值问题。
3、二次三角函数y asin 2 x b sin x cosx c cos2 x 的三角函数，采纳什么方法？答：利用倍角公式化为y asin x b cosx ，而后求解。
4、对于表达式中同时含有sinx+cosx，与 sinxcosx 的函数，采纳什么方法？换元法 sinx+cosx=t转变为 t 的二次函数去求最值，要用到sin x cos x 212sin x cos x, 一定要注意换元后新变量的取值范围。
5、合理的拆添项，凑常数，化简成 a cot2 x b tan2 x ，a cot xb tan x ，sin xasin x ，sinx>0,a<1,求最值，采纳什么方法？答：基本不等式求函数的最值6、一次分式三角函数，分子、分母的三角函数同名，如 y a cosx b ，采纳什么方法？ccosx d答:1) 先用反解法，再用三角函数的有界性去解。
2）先化为部分分式（即整数和分式相加），再利用三角函数的有界性去解。
7、一次分式三角函数，分子、分母的三角函数acosx b不一样名，如y csin x d ，采纳什么方法？答： 1）数形联合法，点 (cosx,sinx)在单位圆上，yacosx bcsin x d 是斜率的表达式2）化分式为等式，引入协助角法）和有界性来求解。
8 、sin x a 型三角函数求最值问题，当sin xsinx>0,a>1，采纳什么方法？答：不可以用均值不等式求最值，适适用函数在区间内的单一性来求解。
换元，求导，依据定义域确立单一性。
9、含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行议论。
答：含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行议论。
10、条件最值问题答：依据条件，将高次函数化为降幂，将多多元函数降元。
化简后再求解。
立体几何最值问题 /1、求解立体几何最值问题方法是什么？答： 1）转变为平面问题求解 2）转变为函数的最值，需要合适引入参变量，正确成立目标函数。
2、如何求解三视图中最值问题答：将三视图复原成几何体，而且将三视图中线段的长度正确反应到几何体中，进而求得最值。
/3、如何求解几何表面距离最短的问题？答： 1）将空间几何体表面睁开，将立体几何问题转变为平面几何问题， 2）利用平面内两点间距离最值问题求解 3）求解时注意分类议论思想。
4、立体几何求最值可用的公义和定义有哪些？答： 1）两点之间线段最短 2）分别在两异面直线上的两点的连线中，它们的公垂线最短。
/5、如何求解与立体几何动点相关的最值问题答：成立目标函数法，将动向问题转变为目标函数最值问题。
分析几何最值问题1、求解分析几何最值问题有哪些方法？答： 1）联合定义，转变为平面几何知识求解，利用三角形两边之和大于第三边，或三角形两边之差小于第三边；点到直线的垂线最短等 2）不等式组求解法：列出参数合适的不等式组，经过解不等式组得出参数范围； 3）函数值域求解法4）结构一个二次方程，利用根的鉴别式/2、如何求解对于圆的最值问题答：1）依据圆的对称性，转变为与圆心相关的最值问题，即圆心与圆外的点距离最值与圆半径和、差的关系2）数形联合求解最值；如y x几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；如 y x, 最值，可设 y x b ，y x b 则为纵截距最值问题；如 x2 y2为圆上的点与原点距离的平方。
3、如何求解波及椭圆（或双曲线）上的动点与此中一个焦点及此外一个动点的距离和、差最值问题答/1）借助椭圆（或双曲线）定义，转变为该动点与另一个焦点的距离与定点的距离和、差问题，2）而后利用平面几何知识求解，此中常用“两边之和大于第三边”，“两边之差小于第三边”。
4、如何求解圆锥曲线上的动点与圆上动点间的距离最值问题答：1）波及四个变量，没法直接求解2）转变为圆心与圆锥曲线动点距离最值与圆半径和、差的关系 3）也可结构以圆的圆心为圆心，以半径r ( r 0) 的动圆与已知圆锥曲线相切，利用消元后获得的二次方程鉴别式 0 求得r的值。