求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结函数最值是指函数在一些特定区间内取得极大值或极小值的点或值。
寻找函数最值的方法，在不同的情况下，可以使用不同的技巧和策略。
以下是几种常用的方法总结：一、数学分析法：1.寻找函数的临界点和分段函数的不连续处。
-对于连续函数，可以通过求导数，令导函数等于零来求解，找到导数为0的点，即可能的极值点。
-对于分段函数，需要寻找函数的断点和不连续点，分别对两个分段区间进行分析。
2.使用二次函数的顶点公式。
-当函数为二次函数时，可以通过二次函数顶点公式求得函数的顶点，从而得到函数的最值点。
3.使用最大最小值定理。
-若函数在区间[a,b]上连续且可微分，那么函数在这个区间上一定有最大值和最小值。
通过求解函数在区间端点和内点的函数值，并进行比较，可以找到函数的最大值和最小值。
4.运用函数特性和图像分析法。
-对于特定的函数，可以通过观察函数的特性和图像来猜测函数的最值。
例如，对于单调递增的函数，最小值一定在区间的起点，最大值一定在区间的终点。
二、数值计算法：1.使用计算工具和数值优化算法。
- 对于复杂的函数，可以使用计算工具如Matlab、Python等进行数值计算。
一些数值优化算法，如牛顿法、梯度下降法等，可以寻找函数的极值点。
三、综合运用法：1.结合数学分析法和数值计算法：-对于一些复杂的函数，可以先通过数学分析的方法预估最值点的范围，然后再通过数值计算进行精细的寻找。
-例如，对于较复杂的函数，可以通过对函数进行数学分析，找出函数的极值点的大致范围，然后再使用数值计算的方法进行更加准确的求解。
在实际应用中，根据具体的函数形式和求解需求，选择适当的方法进行求解。
对于简单而规则的函数，使用数学分析法会更为直观和准确；而对于复杂的函数，可以综合运用数学分析法和数值计算法进行求解。
在进一步优化和提高计算效率时，可以结合使用多种方法，如利用已知最值点来进行剪枝，或引入约束函数等。
总的来说，函数最值的求解方法需要根据具体情况综合考虑，并灵活运用。
高一函数求最值总结知识点
高一函数求最值总结知识点函数是数学中的一种重要概念，而求解函数的最值问题则是高一数学中的一项重要内容。
下面将对高一函数求最值的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的最值在学习函数的最值问题之前，我们先来复习一下函数的最值概念。
对于函数f(x)，若存在x1和x2，使得对于任意的x∈定义域D，有f(x)≤f(x1)或f(x)≥f(x2)，则f(x1)称为函数f(x)在D上的最大值，f(x2)称为函数f(x)在D上的最小值。
二、求函数最值的方法1. 寻找顶点法：对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，可以使用顶点公式求解顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))。
当a>0时，该函数在顶点处取得最小值；当a<0时，该函数在顶点处取得最大值。
2. 寻找边界法：对于一些简单的函数，可以通过直接寻找定义域的边界值，然后逐个计算函数值并比较，来确定最值。
这种方法在定义域较为简单且函数形式较简洁时，常常使用。
3. 导数法：对于可导的函数，可以使用导数的性质来求解最值。
求解思路是先求得函数的导函数f'(x)，然后找到其导数为零的点，进而确定这些点是否为最值点。
这种方法常用于解决函数无解析式表达，或者函数形式较复杂的最值问题。
三、实例分析下面通过几个实例来进一步理解和掌握高一函数求最值的方法。
例一：求函数f(x)=2x²-4x+3在定义域[-1,3]上的最小值。
解：首先，我们可以通过顶点法来求解。
根据顶点公式，顶点坐标为(-(-4)/(2*2), f(-(-4)/(2*2)))=(1,1)。
所以函数f(x)=2x²-4x+3在[-1,3]上的最小值为1。
例二：求函数f(x)=3(x-2)²在定义域(-∞,+∞)上的最小值。
解：利用顶点法，顶点坐标为(2,0)。
根据二次函数开口向上的特点，该函数在顶点处取得最小值0。
例三：求函数f(x)=e^x在定义域(-∞,0]上的最大值。
求函数值域最值的方法大全
一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.,反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1.直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y=2－x 的值域;解：x ≥0∴－x ≤02－x ≤2故函数的值域是：-∞,22、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知：当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y =的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈； ② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型;例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域; 适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：xe =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1; 故所求函数的值域为-1,1.例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y即sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42故函数的值域为-42,42 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减 例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则y 1,2y 在2,10上都是增函数;所以y=y 1+2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y =52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33; 例12、求函数y=1+x -1-x 的值域;解：原函数可化为：y=112-++x x令y 1=1+x ,2y =1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y=y 1+2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1+2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用; 适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1 ∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知 当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域 解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1 故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴-22≤sinβ+∏/4≤1 ∴0≤2sinβ+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212xx+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域 解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏,∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目;适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边,有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++=26即：-26＜y ＜262当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26;注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧; 如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧； 例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:]3326,3326[+-∈y 9、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域 解：原函数变形为： y=x sin2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+x csc2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin2cosxx By2=16x sin4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin2+x sin 2+2-x sin 2=8x sin2+x sin 2+2-x sin 2/33=2764 当且当x sin2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立;由y2≤2764,可得：-938≤y≤938 故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(xx x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244x x =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是;A 22B4C2D 2分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视;例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解:()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+>∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时,()()min 112f x f =-=-,当1x =时,()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值. 解析:函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f 得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减,故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x . 注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用例28、求函数y=32++x x 的值域 解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21,当且仅当t=1,即x=-1时取等号 所以0＜y≤21; 2当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法; 例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=x x xx 42422121+++-+x x xx 42321+++=)11(222xx +-+x x 21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,x x21+=21sin β, ∴y=βcos2+21sin β=-βsin 2+21sin β+1=-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg2β都存在,故函数的值域为：－2,1617; 注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1函数y =x 2+x1x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD1,+∞)3一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________ 5某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称 空调器彩电冰箱工时产值千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位 8在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC +=x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值 参考答案1解析∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x 1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1x ≤－21的值域为－47,+∞)答案B2解析令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案A 3解析t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案84解析由韦达定理知x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴故m =1时,y min =21答案－121 5解1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+475x －05,当x =－ab2=475百台时,y max =1078125万元,当x >5百台时,y ＜12－025×5=1075万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥475－5625.21≈01百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6解1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意 故a ≤－1或a >为35所求 2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求 7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元 8解1如图所示设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab, ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ,∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0,2－1,y =2t +t2+6在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8abCBcA。
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
求函数的最大值和最小值方法归纳总结
函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。
例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。
3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。
将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。
例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。
通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。
例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。
将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。
求函数最值的12种方法
求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3求函数12x y x +=+的值域。
解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。
求函数最值的方法归纳
求函数最值的方法归纳函数的最大值和最小值是数学中一个非常重要的概念，对于函数的性质和图像的研究非常有帮助。
本文将介绍求函数最值的一些常用方法，并归纳总结出一些有效的求最值的技巧。
一、闭区间上求最值对于一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，我们首先需要找到其在区间内的临界点。
临界点包括两种情况：一是函数的极值点，二是函数的不可导点。
然后，分别计算临界点和区间端点处函数的取值，最后找到最大值和最小值。
具体步骤如下：1.找到函数的临界点：求出函数的导数f'(x)，将其导数等于零，并解方程求出函数的极值点。
2.判断函数是否在临界点可导：将临界点代入导数f'(x)中，如果导数存在，则临界点为可导点，如果导数不存在，则临界点为不可导点。
3.计算函数在临界点和区间端点处的取值：将临界点和区间端点代入原函数f(x)中，得到函数在这些点处的取值。
4.比较得出最大值和最小值：将计算得到的函数取值进行比较，找到最大值和最小值。
二、无穷区间上求最值对于一个定义在无穷区间(-∞,+∞)上的函数f(x)，我们无法使用有限步骤来找到其最大值和最小值。
但是，我们可以使用以下方法来求解。
1.函数的图像观察法：观察函数的图像，找出函数的大致走势和极值点的位置。
通过观察可以初步得出函数的最大值和最小值的范围。
2. 函数的性质分析法：对于特定的函数类型，我们可以通过分析其性质来求解最值。
例如，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，如果a > 0，则函数的最小值发生在顶点处，如果a < 0，则函数的最大值发生在顶点处。
3.使用导数求极值：对于可导的函数，在极值点处导数等于零。
因此，我们可以求出函数的导数，并解方程求出极值点。
然后，通过比较函数在极值点和区间端点处的取值，得出最大值和最小值。
4.通过函数的变化趋势求极值：对于连续的函数，在函数的一些变化趋势中，极值点位于函数值的突变处。
通过观察函数的变化趋势，我们可以得出函数的最值。
初中数学求最值的几种常见方法
初中数学求最值的几种常见方法
求最值是数学中常见的问题之一，下面介绍几种常见方法。
1. 数学定义法：根据数学定义，推导出最值的计算方法。
比如，对于一元二次函数 $y=ax^2+bx+c$，最值为 $y_{\min} = c -
\frac{b^2}{4a}$，即抛物线的最低点。
2. 辅助函数法：通过构造辅助函数，将原函数的最值问题转化为辅助函数的最值问题。
比如，在求一个区间 $[a,b]$ 上的函数
$f(x)$ 的最大值时，可以构造辅助函数 $g(x) = -f(x)$，然后求$[a,b]$ 上 $g(x)$ 的最小值，即可得到 $f(x)$ 的最大值。
3. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数来确定其最值点。
求得导数为零或不存在的点即为极值点，再通过二阶导数判断该点是极大值还是极小值。
需要注意的是，极值点不一定是最值点，还需要结合函数在极值点的取值情况进行判断。
4. 线性规划法：线性规划是一种优化问题，可用于求解含有多个变量的最值问题。
通过设置优化目标和约束条件，建立线性规划模型，再用线性规划算法求解最值。
这种方法在实际问题中应用广泛，比如生产计划、投资组合等领域。
以上是几种常见的求最值方法，不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
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求函数最值的方法总结
一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。
简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。
下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。
函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。
函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。
通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。
文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的'几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。
函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。
求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。
同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。
最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。
（1）代数法。
代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法
（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。
①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。
而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。
若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：△=[b（y）]—4a（y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。
②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t（x）的二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）—m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。
（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。
本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）
④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。
（2）数形结合法。
数形结合法是数学中的一种重要的思想方法，即考虑函数的几何意义，结合几何背景，把代数问题转化为几何问题，解法往往显得直观、简捷。
通过数与形之间的对应和转化来解题，有
许多的优越性。
将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，借助几何图形活跃解题思路，使解题过程简化。
有时函数最值也借助数形结合方法来求解。
①解析式：解析法是观察函数的解析式，结合函数相关的性质，求解函数最值的方法。
②函数性质法：函数性质法主要是讨论利用已学函数的性质，如函数的单调性求函数最值等。
③构造复数法：构造复数法是在已经学习复数章节的基础上，把所求结论与复数的相关知识联系起来，充分利用复数的性质来进行求解。
④求导法（微分法）：导数是高中现行教材新增加的内容，求导法求函数最值是应用高等数学的知识解决初等问题，可以解决一类高次函数的最值问题。
找闭区间[a，b]上连续的函数f（x）的最大（或最小）值时，将不可导点、稳定点及a，b处的函数值作比较，最大（或最小）者即为最大（或最小）值。
综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式，在解题时要因题而异；而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法。
因此，解题的关键在于认真分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，当然应该注意选择最优解法。
以上八种方法仅作为个人的一点愚见，仅是沧海一粟，希望在应用的时候千万不能按部就班，难免会遇到瓶颈，只有弄清其本质，在应用时才能取得事半功倍的效果。