大学线性规划
（运筹学与控制论专业论文）线性规划的可行点算法
摘要本文研究的是线性规划的可行点算法，一个由线性规划的内点算法衍生而来的算法．线性规划的内点算法是一个在线性规划的可行域内部迭代前进的算法．有各种各样的内点算法，但所有的内点算法都有一个共同点，就是在解的迭代改进过程中，要保持所有迭代点在可行域的内部，不能到达边界．当内点算法中的迭代点到达边界时，现行解至少有一个分量取零值．根据线性规划的灵敏度分析理论，对线性规划问题的现行解的某些分量做轻微的扰动不会改变线性规划问题的最优解．故我们可以用一个很小的正数赋值于现行锯中等于零的分量，继续计算，就可以解出线陛规划问题的最优解．这种对内点算法的迭代点到达边界情况的处理就得到了线性规划的可行点算法．它是一个在可行域的内部迭代前进求得线性规划的最优解的算法．在此算法中，只要迭代点保持为可行点．本文具体以仿射尺度算法和原始一对偶内点算法为研究对象，考虑这两种算法中迭代点到达边界的情况，得到相对应的’仿射尺度可行点算法’和’原始．对偶可行点算法，．在用理论证明线性规划的可行点算法的可行性的同时，我们还用数值实验验正了可行点算法在实际计算中的可行性和计算效果．关键词：线性规划，仿射尺度算法，原始一对偶内点算法，内点，可行点算法，步长可行点．ＡｂｓｔｒａｃｔｄｅｒｉｖｅｄＴｈｉｓＤａｐｅｒｆｏｃｕｓｅｓｏｎａｆｅａｓｉｂｌｅｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｒｏｍｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｌｉｎｅｚａ＂ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｉｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂｙｓｅａｒｃｈｉｎｇｗｉｔｈｉｎｔｈｅｆｅａｓｍｌｅＴｅ譬ｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｒｅａｒｅａＵｋｉｎｄｓｏｆｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｌｒｍａｌｌｔｈｅｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｎｆｉｎｇ．Ｂｕｔａｌｌｔｈｅｓｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｓｈａｒｅａｓｐｅｃｉａｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈｉｓｓｏｌｕｔｉｏｎ｜ｔｅｒａｔｉｖｅＤｏｉｎｔｓｃａｎｎｏｔｒｅａｃｈｔｈｅｂｏｕｎｄｓＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｗｉｌｌｎｏｔｂｅｃｈａｎｇｅｄｂｙｌｉｔｔｌｅｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎ·ＳｏＷｅｌｅｔｔｈｅ｛ｘｊＩｚＪ＝ｏ，Ｊ＝１，２，－··）ｎ）ｅｑｕａｌａｖｅｒｙｓｍａｌｌｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｎｌｂｅｒ，ｇｏｏｎｗｉｔｈｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏ“一ａｎｄｔｈｅｎｗｅｇｅｔｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ａｌｌｔｈｅｓｅｌｅａｄｔｏｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ。
1.线性规划
通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。
表1.2 营业员需要量统计表
min f (x), s.t. x∈.
约束条件
可行解域
线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
运筹学的主要内容
数 学 规 划 组 合 优 化 随 机 优 化
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
学 科
内
容
许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优 化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的 模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、 非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等. 近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几 乎每次都有一道题要用到此方法. 此类问题的一般形式为： 目标函数
星 期 需要 人数 星 期 需要 人数
一
二 三 四
300
300 350 400
线性规划
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
本科用线性规划
设今年计划修建砖混、壁板、大模住宅各为x 1,x 2,x 3 m2, z 为总面积，则本问题的数学模型为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤≤++≤++≤++++=0,,40000035.0003.00045.0147000210.0150000180.0190.0110.020000025.0030.0012.0110000120.0135.0105.0.3213211321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x Maxz 注：前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共用了12个变量，10个约束条件。
Tx x X ),(21=)12,7(=C Tb )300,200,360(=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1035449A 回顾例1.1的模型，其中表示决策变量的向量；表示产品的价格向量；表示资源限制向量；问题：为什么A 称为技术系数矩阵？表示产品对资源的单耗系数矩阵。
凸集不是凸集所谓凸集是指：集中任两点的连线仍属此集。
凸集问题：本性质有何重要意义？单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格（G.B. Dantzig）提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简单实用的特色始终保持着绝对的“市场”占有率。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+≤++=0,3001032005436049..1272121212121x x x x x x x x t s x x Maxz ⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++=++0,,,,300 10320054360 49..54321521421321x x x x x x x x x x x x x x t s 练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型则约束化为易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I 。
⎩⎨⎧≥≤0..X b AX t s ⎩⎨⎧≥=+0,..s s X X b IX AX t s ⎩⎨⎧≥≥0..X b AX t s ⎩⎨⎧≥=−0,..s s X X b IX AX t s 问题：松弛变量在目标中的系数为何？一般地，记松弛变量的向量为X s ，则（3）自由变量x j进行变量替换：x j = x j '-x j ' ' ，其中x j '、x j ' ' ≥0——0。
线性规划大学毕业论文
线性规划大学毕业论文线性规划是一种优化方法，可应用于许多领域中的决策问题。
它通过确定一组变量的最佳取值，以满足一组约束条件和最大（或最小化）某个线性目标函数。
线性规划在工程、经济学、运筹学和管理科学等领域中都有广泛的应用。
在大学毕业论文中，线性规划可以用来解决一些实际问题。
例如，在运输领域，我们可能需要确定一条最佳路径来最小化航空公司运输成本；在生产计划中，我们可以通过线性规划来优化生产和资源利用率；在金融领域，我们可以使用线性规划来确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
为了说明线性规划的工作原理，让我们用一个简单的例子来解释。
假设我们有两种产品，产品A和产品B，每个产品所需的生产时间和材料如下：- 产品A需要2小时的生产时间和1个单位的材料- 产品B需要3小时的生产时间和2个单位的材料公司目标是最大化利润，而利润可以通过销售单个产品的利润和每个产品的销售数量来计算。
假设产品A的利润为5美元，产品B的利润为8美元。
此外，我们还有以下的约束条件：- 我们每天最多有10小时的生产时间可用- 我们只有15个单位的材料可用我们可以使用线性规划来确定该如何分配生产时间和材料，以最大化该公司的利润。
我们可以将每个产品的生产数量表示为变量x和y（x表示产品A的生产数量，y表示产品B的生产数量）。
然后，我们可以设置目标函数为利润的总和，即：最大化 5x + 8y接下来，我们需要考虑约束条件。
首先，由于每天最多有10小时的生产时间可用，我们必须满足以下不等式条件：2x + 3y ≤ 10此外，由于只有15个单位的材料可用，我们还必须满足以下不等式条件：x + 2y ≤ 15最后，由于生产数量不能为负数，我们还需要添加以下约束条件：x ≥ 0y ≥ 0将这些条件形成的数学模型进行求解，我们可以得到最佳的生产数量。
通过使用线性规划方法，我们可以确定出最佳的生产计划，以最大化该公司的利润。
总的来说，线性规划在解决实际问题时非常有用。
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法
大学数学易考知识点线性规划与最优化方法线性规划与最优化方法（Linear Programming and Optimization Methods）是大学数学中的一门重要知识点，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用，以及常用的最优化方法。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义线性规划是一种数学建模方法，通过建立数学模型，利用线性关系来描述问题的约束条件和目标函数，从而找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
1.2 线性规划的基本元素线性规划包括约束条件、目标函数和决策变量三个基本元素。
约束条件描述了问题的限制条件，目标函数描述了问题的优化目标，决策变量表示问题中需要决策的变量。
1.3 线性规划的标准形式线性规划的标准形式可以表示为：```max/min z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，并且x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划的解法与应用2.1 线性规划的解法线性规划有多种解法，常见的有图解法和单纯形法。
图解法适用于二维平面的线性规划问题，通过构建约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，找到使目标函数达到最大或最小值的最优解。
2.2 线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过建立合适的线性规划模型，可以有效地解决这些问题，优化资源的利用，提高生产效率。
大学线性规划教案
课程名称：运筹学授课班级：XX年级XX班授课时间：2课时授课教师：XX一、教学目标1. 知识目标：（1）理解线性规划的基本概念和数学模型。
（2）掌握线性规划问题的标准形式和约束条件。
（3）学会使用单纯形法求解线性规划问题。
2. 能力目标：（1）培养学生运用线性规划解决实际问题的能力。
（2）提高学生的逻辑思维和数学建模能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对运筹学的兴趣。
（2）培养学生严谨求实的科学态度。
二、教学内容1. 线性规划的基本概念2. 线性规划问题的数学模型3. 线性规划问题的标准形式4. 线性规划问题的约束条件5. 单纯形法求解线性规划问题三、教学过程第一课时1. 导入新课（1）介绍线性规划在各个领域的应用，激发学生的学习兴趣。
（2）提出本节课的学习目标。
2. 线性规划的基本概念（1）介绍线性规划的定义、特点和应用。
（2）举例说明线性规划在实际问题中的应用。
3. 线性规划问题的数学模型（1）讲解线性规划问题的目标函数和约束条件。
（2）举例说明如何将实际问题转化为线性规划问题。
4. 线性规划问题的标准形式（1）介绍线性规划问题的标准形式。
（2）讲解如何将线性规划问题转化为标准形式。
第二课时1. 线性规划问题的约束条件（1）讲解线性规划问题的约束条件类型。
（2）举例说明如何处理线性规划问题的约束条件。
2. 单纯形法求解线性规划问题（1）介绍单纯形法的基本原理和步骤。
（2）举例说明如何使用单纯形法求解线性规划问题。
3. 案例分析（1）选取实际案例，引导学生运用所学知识进行分析。
（2）让学生分组讨论，共同解决问题。
4. 总结与回顾（1）总结本节课所学内容，强调重点和难点。
（2）布置课后作业，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度和学习积极性。
2. 课后作业：检查学生对所学知识的掌握程度。
3. 案例分析：评估学生运用线性规划解决实际问题的能力。
五、教学资源1. 教材：《运筹学》2. 教学课件3. 实际案例4. 在线资源（如网络课程、学术论文等）六、教学反思本节课通过理论讲解、案例分析等方法，帮助学生掌握线性规划的基本概念、数学模型和求解方法。
大学生数学建模：作业-线性规划的实验
实验课题：（一）线性规划问题1.用lingo求解下列线性规划问题：2. 某班男同学30人、女同学20人，植树。
工作效率（个/人、天）如下表。
如何安排，植树最多？3.某牧场饲养一批动物，平均每头动物至少需要 700g 蛋白质、30g 矿物质和100g 维生素。
现有A、B、C、D、E五种饲料可供选用，每千克饲料的营养成分(单位：g)与价格(单位：元/kg)如下表所示：试求能满足动物生长营养需求又最经济的选用饲料方案。
4.在以色列，为分享农业技术服务和协调农业生产，常常由几个农庄组成一个公共农业社区。
在本课题中的这个公共农业社区由三个农庄组成，我们称之为南方农庄联盟。
南方农庄联盟的全部种植计划都由技术协调办公室制订。
当前，该办公室正在制订来年的农业生产计划。
南方农庄联盟的农业收成受到两种资源的制约。
一是可灌溉土地的面积，二是灌溉用水量。
这些数据由下表给出。
注：英亩-英尺是水容积单位，1英亩-英尺就是面积为1英亩，深度为1英尺的体积；1英亩-英尺≈1233.48立方米。
南方农庄联盟种植的作物是甜菜、棉花和高粱，这三种作物的纯利润及耗水量不同。
农业管理部门根据本地区资源的具体情况，对本联盟农田种植规划制定的最高限额数据由下表给出。
三家农庄达成协议：各家农庄的播种面积与其可灌溉耕地面积之比相等；各家农庄种植何种作物并无限制。
所以，技术协调办公室面对的任务是：根据现有的条件，制定适当的种植计划帮助南方农庄联盟获得最大的总利润，现请你替技术协调办公室完成这一决策。
对于技术协调办公室的上述安排，你觉得有何缺陷，请提出建议并制定新的种植计划。
5．有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如下表所示：前舱中舱后舱最大允许载重量（t）2000 3000 1000容积（m3）4000 5400 1000现有三种货物待运，已知有关数据如下表所示：商品数量（件）每件体积（m3/件）每件重量（t/件）运价（元/件）A 600 10 8 1000B 1000 5 6 700C 800 7 5 600又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。
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第一章 线性规划及单纯形法
二、图解法 通过一个图解法的例子形象说明线性 规划问题的解可能出现多种情况： 1、无穷多最优解； 2、无界解； 3、无可行解； 4、有一个最优解
第一章 线性规划及单纯形法
三、单纯形法原理 3-1 、预备知识：凸集与顶点 3-2、几个基本定理的证明 定理一：若线性规划问题存在可行解，则 问题的可行域是凸集。 引理一：线性规划问题的可行解X= （x1,……,xn）T为基可行解的充分必要条件 是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立 的。
1 X3 2 -1
0 X4 1 0
0 X5 1 -1
-M X6 -1 1
-M X7 0 0
CB XB
-M X7
6
6
6M-3
0
0
4
4M+1
0
0
3
3M
-3
-4M
1
0
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-3
C 0 0 X4 X2
j
-3 b 0 3 X1 0 0
0 X2 0 1
1 X3 0 1/3
第一章 线性规划及单纯形法
1-2、线性规划问题的数学模型 ·展开形式 ·简写形式 ·向量形式 ·矩阵形式
第一章 线性规划及单纯形法
1-3、线性规划问题的标准形式 非标准形式向标准形式转化方法： ·化求极小值为求极大值； ·化不等式为等式； ·化无约束变量为非负变量； ·化负变量为非负变量
第一章 线性规划及单纯形法
… Cn
… xn
b1 1 b2 0
…0 … …0 …
0 0
… a1j … a2j
… a1k … a1n … a2k … a2n
… … … … …
Cl xl bl 0
…
… … …
0
… … … alk
… …
…… … aln
……
…1 …
…
… alj
… … … … …
Cm xm bm 0 σj 0
… … …
X5
0 0 1 0
X3 12 2 X4 16 4 X5 15 0 Cj - z j 2
第一章 线性规划及单纯形法
表4-2
C
j
2
3
0
0
0
CB
0 0 3
XB
X3 X4 X2 Cj - z j
b
6 16 3
X1
[2] 4 0 2
X2
0 0 1 0
X3
1 0 0 0
X4
0 1 0 0
X5
-2/5 0 1/5 -3/5
0 X4 1 0
0 X5 -1/2 0
-M X6 1/2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
-M X7 -1/2 1/3
CB XB
-3
X1
1
1
0
0
0
2/3
3
0
0
1/2
3/2
-1/2
-M-3/2
1/6
-M+1/2
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-4
C CB XB 0 0 X4 X2
j
-3 b 0 5/2 X1 1 -1/2
1 0
…0 … …0 …
… amj … amk … amn
σj σk σn
第一章 线性规划及单纯形法
3-3、单纯形法的基本思路 : 先找到一个初始基可行解，如果不是最优 解，设法转换到另外一个基可行解，并使目标 函数值不断增大，一直到找到最优解为止。 * 确定初始基可行解 *从初始基本可行解转换为另一基本可行解 *最优性检验和解的判别
第一章 线性规划及单纯形法
四、单纯形法的计算步骤 第一步：求出线性规划问题的初始基可行解， 列出初始单纯形表。 第二步：进行最优性检验。 第三步：从一个基可行解转换到另一个目标 函数值更大的基可行解，列出新的单纯形表。 (1)确定换入变量(2)确定换出变量(3)迭代运算 第四步：重复第二、三步一直到计算终止。
第一章 线性规划及单纯形法
一、一般线性问题的数学模型 1-1、问题的提出 生产和经营管理中经常提出如何合 理安排，使人力、物力等各种资源得到 充分利用，获得最大的效益，这就是所 谓规划问题。
第一章 线性规划及单纯形法
例题讲解： 常山机器厂生产1、2两种产品。这两种 产品都要分别在A、B、C三种不同设备上加工。 按工艺资料规定，生产每件产品1需占用各设 备分别为2h、4h、0h，生产每件产品2需占 用各设备分别为2h、0h、5h.已知各设备计划 期内用于生产这两种产品的能力分别为 12h、16h、15h，又知道每生产一件产品1 企业能获得2元利润，每生产一件产品2企业能 获得3元利润，问该企业应该安排生产两种产 品各多少件，使总的利润收入为最大。
第一章 线性规划及单纯形法
例1: 用单纯形法求解LP问题： Max Z =2X1 + 3X2 2X1 + 2X2 ≤12 4X1 ≤16 5X2 ≤15 X1 , X2 ≥ 0
第一章 线性规划及单纯形法
表4-1
C
j
2
3
0
0
0
CB
0 0 0
XB b
X1
X2
2 0 [5] 3
X3
1 0 0 0
X4
0 1 0 0
0 X2 1 1
1 X3 1 -1
0 X4 1 0
0 X5 0 -1
-M X6 0 1
-M X7 0 0
CB XB -M X6
-M X7
9
0
-2M-3
3
4M
1
1
0
0
0
-M
0
0
1
0
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-2
C 0 0 X4 X2
j
-3 b 3 1 X1 3 -2
0 X2 0 1
0 X2 0 1
1 X3 0 0
0 X4 1 0
0 X5 -1/2 -1/4
-M X6 1/2 1/4
-M X7 -1/2 1/4
1
X3
3/2
3/2
-3/2
0
0
1
0
0
0
3/4
-3/4
-3/4
-M+3/4
1/4
-M-1/4
Cj - z j
第一章 线性规划及单纯形法
六、建模分析举例 混合配料问题、选料问题、投资项目 组合问题、生产、库存与设备维修综合 计划的安排问题
第一章 线性规划及单纯形法
表4-3
C
j
2
3
0
0
0
CB
2 0 3
XB
X1 X4 X2 Cj - z j
b
3 4 3
X1
1 0 0 0
X2
0 0 1 0
X3
1/2 -2 0 -1
X4
0 1 0 0
X5
-1/5 4/5 1/5 -1/5
第一章 线性规划及单纯形法
五、单纯形法的进一步讨论 5-１、人工变量法 5-２、两阶段法 5-３、关于解的判别 （１）无穷多最优解 （２）无界解 （３）无可行解 5-４、单纯形法计算的向量矩阵描述 5-５、单纯形法小结
第一章 线性规划及单纯形法
5-１、人工变量法 用单纯形法求解LP问题： Max Z =-3X1 + X3 X1 + X2 + X3 ≤4 -2X1 + X2 - X3 ≥1 3X2 + X3 =9 X1 , X2 , X3 ≥ 0
第一章 线性规划及单纯形法
表5-1-1
C 0 X4
j
-3 b 4 1 X1 1 -2
第一章 线性规划及单纯形法
定理二：线性规划问题的基可行解X 对应线性规划问题可行域（凸集）的顶 点。 定理三：若线性规划问题有最优解， 一定存在一个基可行解是最优解。
CJ CB 基 C1 C2 x1 x2 b
C 1 … Cl … Cm … Cj x1 … xl … xm … xj
… Ck
… xk