《图形的平移与旋转》
温馨提示： 1．旋转的三要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3) 旋转角度． 2．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点连线 的垂直平分线，其交点即为旋转中心． 3．中心对称是特殊的旋转对称．
4．旋转作图步骤：(1)分析题目要求，找出旋转中 心、旋转方向和旋转角；(2)分析所作图形，找出构成 图形的关键点；(3)沿一定的方向，按一定的角度，通 过截取线段的方法，作出各个关键点；(4)连接作出的 各个关键点，并标上相应字母； (5)写出结论．
二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 12．(2016· 广安)将点 A(1，－3)沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 5 个单位长度后得到 的点 A′的坐标为 ．
13．(2016· 台州)如图，把三角尺的斜边紧靠直尺 平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点 C 平移的距离 CC′＝ ．
解：(1)△ A1B1C1 如图所示． (2)△ D1E1F1 如图所示．
(3)△ A1B1C1 和 △ D1E1F1 组成的图形是轴对称图 形 ，对称轴所在直线的解析式为 y＝ x 或 y＝－ x－ 2.
一、选择题 (每小题 4 分，共 44 分) 1．(2016· 长沙)若将点 A(1，3)向左平移 2 个单位， 再向下平移 4 个单位得到点 B， 则点 B 的坐标为( A． (－ 2，－ 1) C． (－ 1，－ 1) B． (－ 1， 0) D． (－ 2， 0) )
15．如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0， 0)， B(2，2)， 若菱形绕点 O 逆 时针旋转，每秒旋转 45° ， 则第 60 秒时， 菱形的对角 线交点 D 的坐标为 ．
三、解答题 (共 36 分) 16． (12 分 )如图，在边长为 1 个单位长度的小正 方形组成的网格中， 给出了格点三角形 ABC(顶点是网 格线的交点 )．
3．如图，在△ ABC 中，∠CAB＝65° ，将 △ ABC 在平面内绕点 A 旋转到△ AB′C′的位置， 使 CC′∥AB，则旋转角的度数为( )
A．35° B．40° C．50° D．65°
4． (2016· 长春 )如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC＝ 90° ，将 Rt△ ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48° 得到 Rt△ A′B′C，点 A 在边 B′C 上，则∠ B′的大小为 ( )
(1)补充完成图形； 解：补全图形，如图所示．
(2)若 EF∥CD，求证：∠BDC＝90° .
考点三
平移和旋转作图
例 3 (2016· 黔南州 )如图所示，正方形网格中， △ ABC 为格点三角形 (即三角形的顶点都在格点上 )：
(1)把△ ABC 沿 BA 方向平移，请在网格中画出当 点 A 移动到点 A1 时的△ A1B1C1； (2)把△ A1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90° 后得 到△ A2B2C2，如果网格中小正方形的边长为 1，求点 B1 旋转到 B2 的路径长．
3．画平移图形 必须找出平移的方向和距离，其依据是平移的性 质．
考点二
旋
转
1． 把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个 角度，就叫做图形的 旋转 ，点 O 叫做 旋转中心 ， 转动的角叫做 旋转角 ．如果图形上的点 P 经过旋转 变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．
2． 旋转的性质 (1)在平面内，经旋转后得到的图形与原来的图形 是 全等形 ； (2)在平面内，一个图形经旋转后得到的图形与原 来图形之间的关系：对应点到 旋转中心 的距离相等； 每对对应点与 旋转中心 所连线段的夹角都是相等的 角，它们都是 旋转角 ．
A．2
B．4
C．8
D．16
5．如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120° 得到△AB′C′， 连 接 BB′， 若 AC′∥BB′， 则∠CAB′的度数为( )
A． 45°
B． 60°
C． 70°
D． 90°
6．如图，在△ABC 中，∠BAC＝45° ，AB ＝4 cm， 将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 45° 后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 ．
7．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如 图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应 的造型，则所用铁丝的长度关系是 ( )
【导学号 90280305】
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长 C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
8． (2016· 无锡 )如图， Rt△ ABC 中， ∠ ACB＝ 90° ， ∠ ABC ＝ 30°， AC ＝ 2 ， △ ABC 绕点 C 顺时针旋转 得△ A1 B1 C，当 A1 落在 AB 边上时，连接 B1 B，取 BB1 的中点 D，连接 A1 D，则 A1 D 的长度是 ( ) 【导学号 90280306】
A． 42° B． 48° C． 52° D． 58°
5．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90° ，∠ ABC ＝ 30° ，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转至△ A′B′C，使得 点 A′恰好落在 AB 上，则旋转角度为 ( )
A． 30° B． 60° C． 90° D． 150°
2．(2016· 青岛 )如图，线 段 AB 经 过平移得到 线段 A′B′，其中点 A， B 的对应 点分别为点 A′，B′，这四个 点都在格点上．若线段 AB 上有一个点 P(a，b)， 则点 P 在 A′B′上的对应点 P′的坐标为 ( ) 【导学号 90280304】
A．(a－2，b＋3) B．(a－2，b－3) C．(a＋2，b＋3) D．(a＋2，b－3)
10．(2016· 济宁)如图， 将△ ABE 向右平移 2 cm 得 到△ DCF，如果△ ABE 的周长是 16 cm，那么四边形 ABFD 的周长是 ( )
A． 16 cm
B． 18 cm
C． 20 cm
D． 21 cm
11 ． 如 图， 已知 ▱ ABCD 中， AE⊥ BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于 ∠ ABC，把 △ BAE 顺时针旋 转，得到△ BA′E′，连接 DA′.若∠ ADC＝ 60° ，∠ ADA′ ＝ 50° ，则∠ DA′E′的大小为 ( ) 【导学号 90280308】 A． 130° B． 150° C． 160° D． 170°
7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个 单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ ABC 和△ DEF 的顶点都在格点上， 结合所给的平面直 角坐标系解答下列问题：
(1)画出△ ABC 向上平移 4 个单位长度后所得到的 △ A1B1C1； (2)画出△ DEF 绕点 O 按顺时针方向旋转 90° 后所 得到的△ D1E1F1； (3)△ A1B1C1 和△ D1E1F1 组成的图形是轴对称图 形吗？如果是， 请直接写出对称轴所在直线的解析式．
1． (2016· 新疆)如图所示， 将一个含 30° 角的 直角三角板 ABC 绕点 A 旋转， 使得点 B， A， C′ 在同一条直线上，则三角板 ABC 旋转的度数是 ( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
2． (2016· 雅安)已知△ABC 顶点的坐标分别 是 A(0，6)，B(－3，－3)，C(1，0)，将△ABC 平移后顶点 A 的对应点 A1 的坐标是(4，10)，则 点 B 的对应点 B1 的坐标为( A．(7，1) C．(1，1) )
B．(1，7) D．(2，1)
3．(2016· 贺州 )如图， 将线段 AB 绕点 O 顺时针旋 转 90° 得到线段 A′B′，那么 A(－ 2，5)的对应点 A′的坐 标是 ( )
A．(2，5) B．(5，2) C．(2，－5) D．(5，－2)
4． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， ∠ABC ＝30° ，AB＝8，将△ABC 沿 CB 向右平移得到 △DEF.若四边形 ABED 的面积等于 8， 则平移的距 离等于( )
A． 7
B． 2 2
C． 3
D． 2 3
9．如图，把 Rt△ ABC 放在直 角坐标系内，其中∠ CAB＝ 90° ， BC＝ 5，点 A，B 的坐标分别为 (1， 0)，(5， 0)．将△ ABC 沿 x 轴向右 平移，当点 C 落在直线 l： y＝ 2x － 5 上时，线段 BC 扫过的面积为 ( ) A． 3 B． 8 C． 9 【导学号 90280307】 D． 4 2
考点一
平移的性质
例 1 (2016· 泰州 )如图，△ ABC 中， BC＝ 5 cm， 将△ ABC 沿 BC 方向平移至△ A′B′C′的对应位置时， A′B′恰好经过 AC 的中点 O，则△ ABC 平移的距离为 cm.
考点二 例
旋转的性质
2(2016· 宜宾 )如图，在
△ ABC 中，∠ C＝ 90° ， AC＝ 4， BC＝ 3，将△ ABC 绕点 A 逆时 针旋转， 使点 C 落在线段 AB 上 的点 E 处，点 B 落在点 D 处， 则 B， D 两点间的距离为 ( A． 10 B． 2 2 ) C． 3 D． 2 5
(1)先将 △ ABC 竖直向上平移 6 个单位，再水平向 右平移 3 个单位得到△ A1B1C1，请画出△ A1B1C1； (2) 将 △ A1B1C1 绕 B1 点 顺 时 针 旋 转 90° ，得 △ A2B1C2, 请画出 △ A2B1C2； (3)线段 B1C1 变换到 B1C2 的过程中扫过区域的面 9 积为 π ． 4
14．(2016· 荆门 )两个全等 的 三 角 尺 重叠 摆 放 在 △ ACB 的位置，将其中一个三角尺绕 着点 C 按逆时针方向旋转到 △ DCE 的位置，使点 A 恰好落在边 DE 上，AB 与 CE 相交于点 F.已知∠ ACB＝∠ DCE＝ 90° ，∠ B＝ 30° ， AB＝ 8 cm，则 CF＝ cm. 【导学号 90280309】
第三章 .图形的平移与旋转
- 1 -第三章 图形的平移与旋转1.图形的平移一、基本知识点1、平移：在平面内，将一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移。
2、对应点、对应边、对应角。
3、平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。
4、平移的性质：（1）平移后的图形与原图形对应点所连的线段平行或在同一条直线上且相等。
（2）平移后的图形与原图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
（3）平移后的图形与原图形的对应角相等。
5、平移作图6、坐标系中的平移 二、知识巩固与拓展1、下列哪种运动不属于平移（ ）A,急刹车的汽车在地面上的运动 B,高层建筑的电梯的运动 C,小球自由落体 D,时钟分针的运动2、如图3.1.,1，△ABC 沿着BC 方向平移到△DEF 的位置，若BE=2cm ，则CF= cm.3、在平面直角坐标系中，将点P(－2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位得到P /点，则P /点的坐标 为 。
4、平移△ABC ，是A 平移到E 点处。
5、如图3.1.2，将周长为10的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长等于 。
6、如图3.1.3，将面积为4的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的2倍，那么图中的四边形ACED 的面积等于 。
7、如图3.1.4，将直角三角形ABC 沿射线BC 的方向平移得到△DEF,求图中阴影部分面积。
8、如图3.1.5，矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一部分是平行四边形，根据图中的尺寸，求空白部分面积。
9、在如图的方格纸中： (1)、作出△ABC 关于MN 对称的图形△A 1B 1C 1;（2）、作出将△A 1B 1C 1先向右平移6格，再向下平移2格，得到的△A 2B 2C 2 。
10、△ABC 的三个顶点坐标分别为A(0，2),B （－2，0），C（2,0).李佳把△ABC 平移后得到△A 1B 1C 1 ，并写出了三个顶点坐标A 1(0，0),B 1 (－３，－２），C 1（３，－２）． (1)你认为李佳所写的三个顶点坐标正确吗？(2)如果李佳所写的三个顶点纵坐标都正确，三个顶点的横坐标中只有一个正确，那么你能帮李佳正确写出三个顶点的坐标吗？(3)如果李佳所写的点B 1 (－３，－２）正确，你能写出△ABC 平移到△A 1B 1C 1的方法吗？A BCD E F 3.1.1图 A B C EA B CD E F 3.1.2图 BA C D EF 3.1.3图 AB CD E F 3.1.4图A BC D a ccb 3.1.5图 MN B A C- 2 -3.2图形的旋转一、基本知识1、旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
图形的平移与旋转
1 §3图形的平移与旋转一、生活中的平移1、平移的定义：一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为______，它是由移动的 和 所决定．2、平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应 ，图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 ．3、抄写课本72P 例1与例2,并在下方独立完成。
4、下列四个图案中，可能通过右图平移得到的是（ ）5、在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ）B6、将线段AB 平移1cm ，得到线段A B ''，则对应点A 与A '的距离为 cm ．A ．B ．C ．D ． A B C （A ） （B ） （C ） （D ）2二、图形的旋转1、图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转， 叫做旋转中心， 叫做旋转角．2、图形的旋转由 、 和 所决定．其中①旋转 在旋转过程中保持不动．②旋转 分为 时针和 时针. ③旋转 一般小于360º.3、旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .4、如左图所示的图案按顺时针方向旋转90°后可以得到的图案是（ ）5、3张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180º后得到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是 （ ）A ．第一张B ．第二张C ．第三张D ．第四张5、如图，O A B △绕点O 逆时针旋转80 到O C D △的位置，已知45AOB ∠= ，则A O D ∠等于（ ）Ａ．55 Ｂ．45 Ｃ．40 Ｄ．356、如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕B 点按顺时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°7、如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿B C 方向平移得到D E F △．如果8cm AB =，4cm BE=，3cm D H =， 则图中阴影部分面积为 2cm ．A. B. C. D.1A 1A BC E F。
图形的平移和旋转(经典)
DCFE CBA第四讲 图形的平移与旋转【基础知识精讲】一、平移：1.平移的定义——在平面内，把一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫图形的平移。
说明：（1）平移是图形的一种运动（变换）（2）平移的要素：①平移方向；②平移距离。
2.平移的性质:①平移前后图形的大小、形状都不改变。
即：平移前后的图形全等形。
②平移前后对应点的连线段平行（或在同一直线上）且相等；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等。
二、旋转1.旋转的定义——在平面内，把一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫图形的旋转。
说明：（1）旋转是图形的一种运动（变换）（2）旋转的要素： ①旋转中心 ②旋转方向 ③旋转角2.旋转的性质①旋转前后图形的大小、形状都不改变。
即：旋转前后的图形全等形。
②图形上任意点都绕中心沿相同方向转动相同的角度（旋转角）； ③对应点到旋转中心的距离相等。
【重难点高效突破】例1.如图，经过平移△ABC 的边AB 移到了EF ，作出平移后的三角形．例2.如图，△ABC 绕C 点旋转后，B 转到了D 处，作出旋转后的三角形。
例3.如图，在长32m 宽20m 的土地上要修筑同样宽的两条“之”字路，路宽2m ，则剩余耕地的面积为 . 例4、如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE=3,BE=1，P 为AC 上的动点，则PB+PE 的最小值是_________.例5、如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BC=12，CF=5，则△DEF 的面积为______________。
例6、如图，在△ABC 中，AB 2=32，∠BAC=45°, ∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，求BM+MN 的最小值。
例7、如图，设P 为等边△ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，能否确定∠APB 的大小？请说明理由。
数学教案：图形的平移与旋转
数学教案：图形的平移与旋转一、引言在数学教学中，图形的平移与旋转是基础且重要的概念。
通过掌握这些概念，可以帮助学生建立对几何图形的直观认识和空间想象能力，并培养他们解决实际问题的数学思维。
二、图形的平移1. 什么是平移平移是一种变换，它保持原始图形的大小、形状和方向不变，在平面上沿着某个方向进行移动。
简单来说，就是将一个图形整体上下左右移动到另一个位置。
2. 平移的特点- 平移前后保持距离不变：无论平移多少次，原始图形上所有点之间的距离都保持不变。
- 平行性质：被平移到新位置后，图形中任意两条线段之间仍然是平行的。
3. 平移的表示方法在几何教学中，我们通常使用向量来表示平移。
定义一个向量(x, y)，其中x表示水平方向上的位移量，y表示垂直方向上的位移量。
将原始图像中每个点坐标加上该向量值，则可得到新位置坐标。
4. 平移操作具体步骤- 给定一个待平移的图形；- 给定一个向量，表示平移的位移量；- 对于图形中每个点坐标 (x, y)，将其坐标值分别加上向量的水平和垂直位移量，得到新位置坐标。
5. 平移的实际应用平移在现实生活中有许多应用场景。
例如，在地图导航中，我们可以通过平移到不同位置来查看不同区域的信息；在工程建筑与设计中，需要将对象从一个地方移动到另一个地方；在游戏开发中，物体的运动通常是通过平移来实现。
三、图形的旋转1. 什么是旋转旋转是一种变换方式，它改变了原始图形的朝向和位置。
通过围绕某个点或轴线旋转角度，可以使几何图形相对于该点或轴线发生变化。
2. 旋转的特点- 形状不变：被旋转后的图形与原始图形具有相同的大小、比例和线段长度。
- 方向改变：被旋转后的图形与原始图形相比，会发生方向上的偏移。
- 保持距离：在保持距离不变下进行旋转。
3. 旋转的表示方法在几何学中，一般使用旋转中心和旋转角度来表示一个旋转操作。
旋转中心是指图形围绕哪个点或轴线进行旋转，而旋转角度是指图形相对于旋转中心的偏移量。
北师大版初中数学八年级下册第三单元《图形的平移与旋转》(较易)(含答案解析)
北师大版初中数学八年级下册第三单元《图形的平移与旋转》（较易）（含答案解析）考试范围：第三单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，把图 ①中的⊙A经过平移得到⊙O(如图 ②)，如果图 ①中⊙A上一点P的坐标为(m,n)，那么平移后在图 ②中的对应点P′的坐标为．( )A. (m+2,n+1)B. (m−2,n−1)C. (m−2,n+1)D. (m+2,n−1)2. 如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．( )A. 22B. 24C. 26D. 283. 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( )A. 1.6B. 1.8C. 2D. 2.64. 如图，△ABC顺时针旋转角度α变成△A1B1C1，α的值是．( )A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘5. 如图，这个图案是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是．( )A. 它是轴对称图形，但不是中心对称图形B. 它是中心对称图形，但不是轴对称图形C. 它既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形6. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.7. 在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现了一个小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行的操作是．( )A. 顺时针旋转90∘，向右平移B. 逆时针旋转90∘，向右平移C. 顺时针旋转90∘，向下平移D. 逆时针旋转90∘，向下平移8. 下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到如图所示图案的是( )A. B. C. D.9. 如图，△ABC经过如下平移能得到△DEF的是．( )A. 把△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 把△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度C. 把△ABC向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度D. 把△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度10. 将某图形各顶点的横坐标保持不变，纵坐标减2，可将该图形．( )A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向上平移2个单位长度D. 向下平移2个单位长度11. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED 等于( )A. α2B. 23α C. α D. 180°−α12. 如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是( )A. (0,4)B. (2,−2)C. (3,−2)D. (−1,4)第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 点P(−2,1)向右平移2个单位长度后到达点P1，则点P1关于x轴的对称点的坐标为．14. 如图，在△ABC中，∠BAC=105°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB=CB′，则∠AB′C′的度数为________．15. 如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是(1,3)，则点M和点N的坐标分别为16. 如图所示，在平面直角坐标系中，A(0,0)，B(2,0)，△AP1B是等腰直角三角形且∠P1=90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2021的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
图形的平移与旋转
我喜欢的艺术形式在我的生命中，艺术一直是我的灵魂之一。
它们给予我灵感，帮助我看到其他方面未曾看到的东西，深化了我的思考方式。
我的喜欢的艺术形式包括音乐、书法和雕塑。
音乐是我最喜欢的艺术形式之一。
它可以带你进入一个崭新的世界，让你在充满情感的旋律中沉浸。
对我而言，音乐是一种信仰，它让我进入一个完全与外界隔离的领域。
听音乐时，我可以独自思考、反省和放松。
对这个世界形形色色的音乐，我都有所了解和欣赏，但我最喜欢的还是爵士。
爵士曲风包含了丰富的文化、历史和音乐元素，是音乐中的瑰宝。
它的旋律富有情感、节奏感强烈、变化多端，每一首都带有与别不同的灵魂和风韵。
每次听爵士音乐时，我都会感受到其中复杂的调和和深层的意义，同时在欣赏中不断找寻着自我。
我也非常喜欢书法。
书法艺术是东方文化的瑰宝，随着时间的推移，逐渐成为了具有独特形式的艺术。
用毛笔和墨水写字，书法艺术呈现出的充满个性和灵气，可以表达出动人心魄的视觉冲击力，同时涵盖丰富的思想和意涵。
对我而言，书法是一种美丽的表达方式，是一种能够帮我表达自己想法的方式。
当我坐下来，拿起笔、墨水和纸时，我进入了一个完全不同的世界，并沉浸在其中。
我能够用笔的用心制作出独特的笔划和彩墨，而且在用毛笔写字的那段时间，我可以把所有的愤怒和烦恼都表达出来。
在那一瞬间，我只有墨、纸和我的心思，而它们成为了我的思想积累。
最后，我非常喜欢雕塑。
在每件雕塑作品里，雕塑家都融入了他们的灵魂和观点，这对我来说是令人震撼的。
每一个雕塑作品都可以让我感受到雕塑家灵魂对这个世界的见解，同时也给我提供了一个新的观点来看待这个世界。
我欣赏那些流畅、精致和内涵丰富的作品，更喜欢那些把现实与虚幻结合在一起的作品，同时欣赏那些充满奇异与幻想的作品。
总的来说，音乐、书法、雕塑三种艺术形式均具有自己的独特之处，它们各自呈现出来的灵感和意味让人们无限想象。
在我看来，艺术不仅是为了娱乐，更为了能够帮我们了解自己、世界和生命的真谛。
第三章 图形的平移与旋转
第三章图形的平移与旋转1.通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.3.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.4.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.7.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.8.运用图形的平移、旋转、轴对称进行图案设计.1.经历有关平移与旋转的观察、操作、欣赏和设计的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.2.经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观.3.通过具体实例认识平移与旋转,探索它们的基本性质,会进行简单的平移、旋转画图.4.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.5.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质.1.在研究平移与旋转的过程中,进一步发展空间观念.2.认识并欣赏平移、旋转在自然界和现实生活中的应用,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.在前面的学习中学生已对诸如翻折、平移、旋转、轴对称等知识有了一定的认识与理解,只是平移和旋转的知识没有正式出现罢了,但这些变换的意识学生已经有了.学生学习了本章知识后对平移与旋转以及轴对称这三种常用的全等变换有了系统的认识,但学生把握这些全等变换的能力有待提升,特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方,应加强训练.立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经验,首先从观察生活中的平移、旋转现象开始,直观的认识平移、旋转,并在此基础上,分析生活中的平移现象和旋转现象各自的规律,得到平移和旋转的基本性质;然后利用平移和旋转的基本性质进行简单的平移作图、旋转作图,通过分析简单平面图形的平移、旋转等变化关系,进一步体会平移、旋转的应用价值和丰富内涵;最后,通过简单的图案设计,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动中.具体地,教科书设计了4节内容:第1节“图形的平移”,立足于学生小学阶段的学习基础和已有的生活经验,通过分析各种平移现象的共性,直观地认识平移,探索平面图形平移的基本性质,利用平移的基本特征研究简单的平移画图.在此基础上,进一步研究沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点坐标之间的关系,探索依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系.第2节“图形的旋转”,通过具体活动认识平面图形的旋转,探索平面图形旋转的基本性质,利用旋转的基本特征研究简单的旋转画图.第3节“中心对称”,认识中心对称,探索成中心对称的基本性质,利用中心对称的基本特征研究中心对称的画图,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.第4节“简单的图案设计”,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动之中.应当指出的是,本章不同于变换几何中的平移、旋转变换,而是先通过观察具体的平移、旋转现象,分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质,然后在平移和旋转的图案设计、欣赏、简单应用中,进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识.【重点】1.平移的定义.2.平移的性质及应用.3.简单的平移作图.4.旋转的定义.5.旋转的性质及应用.6.简单的旋转作图.7.中心对称和中心对称图形.【难点】1.平移作图.2.旋转作图.3.中心对称和中心对称图形的区别和联系.4.利用平移、旋转、轴对称进行简单的图案设计.1.着眼于发展学生的空间观念.使学生具备良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标,培养学生的空间观念必须使学生经历、体验图形运动变化的过程,本章所研究的平移、旋转及中心对称是反映空间观念的重要内容.为此,教科书设计了一系列的实验、探索活动,如“探索平移基本性质的实验活动”“探索旋转基本性质的实验活动”“探索中心对称基本性质的实验活动”及“图形平移与坐标变化的关系的探索活动”“简单的图案设计活动”等.在这些活动中,学生将会想象物体与物体之间的位置关系,描述图形的运动和变化,依据语言的描述画出图形等,所有这些都是空间观念的重要表现.因此,教师应想方设法鼓励学生积极参与这些活动,通过观察、操作、归纳、猜想、交流等获得结论,并运用自己的语言描述探索过程和所得到的结论,发展空间观念.需要指出的是,培养空间观念是一种个人体验,需要大量的实践活动,以被动听讲和练习为主的方式,是难以形成空间观念的.学生要有充分的时间和空间观察、动手操作,对周围环境和实物产生直接感知,这些都不仅需要自主探索、亲身实践,更离不开大家一起动手、共同参与.观察、操作、归纳、类比、猜想、直观思考等对形成空间观念具有重要作用,只有在学生共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展,并得到提升.2.重视学生的观察、操作、探索和交流活动.教师创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流,让学生经历观察、操作、探索和交流的过程,能有效地激发学生的思考,有助于真正落实学生在学习活动中的主体地位,有助于学生理解和掌握基本知识和基本技能,同时也有助于学生感悟数学思想,积累数学活动经验.本章有许多内容需要学生对图形进行观察、操作、探索和交流,教学时不宜用教师的课堂讲解和演示代替学生的动手操作、主动探究与讨论交流.例如,有关平移、旋转的性质,教科书都设计了相应的实验过程,力图让学生通过动手操作,配合直观的观察和理性的思考探索相关的结论.教学时可以让学生分组进行,每组选用的图形形状可以不同,每次变化的方式也可以不同.学生的这些实验结果为接下来进行的抽象概括提供了很好的素材.在此基础上,全班交流,概括出图形变化(平移、旋转)的基本性质.在这一过程中,学生的手、眼、脑等多种感官都能得到较为充分的运用,既有助于学生理解和掌握相关知识的内涵,也可以使学生在做的过程和思考的过程中积累一定的数学活动经验,并逐步感悟其中所蕴含的数学思想.3.创造性地利用与图形平移、旋转有关的资源进行教学.在教学中,教师应根据学生实际、教学实际和当地实际,充分挖掘和利用现实生活中大量存在的平移、旋转及中心对称现象,尤其是具有地方特色的素材(如北方地区的雪橇、辘轳,农村地区的水车、石碾、风车,城市里的缆车、电梯等),并引导学生对其中的一些共同特征加以分析、总结.4.合理运用现代信息技术,注重教学手段的多样化.本章主要研究图形的变化,对图形的动态展示的要求更为强烈.因此,在条件允许的情况下,教学中都应合理运用现代信息技术,注重信息技术与本章内容的整合,以便有效地改变教与学的方式,提高课堂教学的效率.需要说明的是,现代信息技术真正的价值在于实现原有的教学手段难以达到的甚至达不到的效果,它不应、也不可能完全替代常规的教学手段.例如,教师可以在学生动手实践的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的几何图形的运动变化过程,这样不仅为学生理解和掌握相关知识提供形象的支持,有利于增强学生的空间观念,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的动手操作活动.5.关注学生情感态度的发展.教师要把落实情感态度的目标作为自己的责任和义务,努力把情感态度目标有机地融合在本章教学过程之中.例如,在设计教学方案、进行课堂教学活动时,应当经常考虑如下问题:如何引导学生积极参与教学过程?如何组织学生观察、操作、探索、归纳?如何使学生愿意学、喜欢学,对本章内容感兴趣?如何让学生体验成功的喜悦,从而增强学好本章内容的自信心?如何引导学生善于与同伴合作交流,既能理解、尊重他人的意见,又能独立思考、大胆质疑?如何培养学生良好的学习习惯?1图形的平移3课时2图形的旋转2课时3中心对称1课时4简单的图案设计1课时回顾与思考1课时1图形的平移1.通过具体实例认识平移,理解平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.2.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次,其坐标变化的规律,认识图形变换与坐标之间的内在联系.1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.2.经历沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系,通过观察、分析以及抽象、概括等过程,发现平移时坐标变化的特点.通过收集自己身边“平移”的实例,感受“生活处处有数学”,激发学生学习数学的兴趣;通过欣赏生活中图形平移的现象与学生自己设计的平移图案,使学生感受数学的美.【重点】探索和理解平移的基本性质.【难点】坐标变换和图形平移的关系.第课时1.认识平移,说出平移的定义,理解平移的基本内涵.2.理解并能说出平移的性质,即一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.2.感悟平移前后图形的变化,从点、线、角、位置、大小等不同角度说出平移前后图形的变化关系.通过探究,归纳平移的定义、特征、性质,积累数学活动经验,进一步发展空间观念,增强空间想象力.【重点】1.认识平移在现实生活中的广泛应用.2.探索和理解平移的基本性质.【难点】平移基本性质的探索和理解.【教师准备】实际生活中的平移图片.【学生准备】复习翻折、平移、旋转、轴对称等知识.导入一:1.同学们,你们小时候去过游乐园吗?在游乐园中你们玩过哪些游乐项目?在玩这些游乐项目时你们想过什么?你们想过它里面蕴含着数学知识吗?2.找一找这些项目中,哪些项目的运动形式是一样的,观看游乐园内的一些项目,引出第三章内容,并进行初步分类,引出本节课研究内容:板书课题——图形的平移.[设计意图]由学生喜闻乐见的游乐场引入课题,容易激发学生的学习兴趣.导入二:请你判断: 小明跟着妈妈乘观光电梯上楼,一会儿,小明兴奋地大叫起来:“妈妈!妈妈!你看我长高了!我比对面的大楼还要高!”小明说的对吗?为什么?[设计意图]较好地发挥了“情景导入”的作用,却又找不到足够的理由说服持有不同观点的同学.此情此景,在好奇心的驱动之下,学生欲罢不能,很容易就产生了继续学习、探索新知识的欲望.导入三:请大家仔细观察如图所示的图案,你觉得漂亮吗?这个图案的特点是由一个“基本图案”通过平移得到的,你能找到这个“基本图案”吗?这节内容我们就来研究一种几何变换——平移.一、平移的定义[过渡语](针对导入三)刚才我们看到的美丽图案,它是由12个完全一样的图形组成的,这个图案可以看成是由一个基本图形按照一定方式移动得到的.这样的图形运动称作什么呢?这就是我们本课时要研究的——图形的平移.思路一(1)我们再来感受一下平移.上面我们提到的游乐场中的滑梯等,你们在上面玩耍的时候,哪些方面是不变的?哪些方面是变化的?(2)什么是平移呢?引导学生探讨并在班内交流,达成共识后,得出平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.[设计意图]引导学生通过观察,发现图形间的变化规律,得出平移的定义.思路二教师通过多媒体展示(展示画面)现实生活中平移的具体实例:(1)箱子在传送带上移动的过程.(2)手扶电梯上人移动的过程.教师提问:①你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变,什么发生了改变吗?②在传送带上,如果箱子的某一部分向前移动了80 cm,那么箱子的其他部位向什么方向移动?移动了多少距离?学生自由发言,各抒己见.平移前后两个图形的形状和大小没有改变,位置发生了改变.根据上述分析,你能说明什么样的图形运动称为平移吗?平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.平移三要素: 基本图形,平移方向,平移距离.[设计意图]数学来源于实际生活,使学生感受到生活中处处有数学.利用课本上的两个实例,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.如图所示,△ABC经过平移得到△A'B'C'.我们把点A与点A'叫做对应点,线段AB与线段A'B'叫做对应线段,∠A与∠A'叫做对应角.此时:点B的对应点是点B' ;点C的对应点是点C' ;线段AC的对应线段是线段A'C' ;线段BC的对应线段是线段B'C' ;∠B的对应角是∠B' ;∠C的对应角是∠C' .△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向,平移的距离就是线段BB'的长度.二、平移的性质[过渡语]一个图形和它经过平移所得到的图形中,对应点所连的线段有什么关系,对应线段和对应角有什么关系?同学们通过刚才的观察,总结出一个结论,即:“图形的位置改变了,但形状和大小没有改变”.现在我们一起来探索:平移前后对应点、对应线段以及对应角之间在做怎样的变化.教师提出问题:想一想,将左图的四边形硬纸片按某一方向平移一定的距离,右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.问题:(1)在上图中,线段AE,BF,CG,DH有怎样的关系?(2)图中每对对应线段之间有怎样的关系?(3)图中有哪些相等的线段、相等的角?学生分成四人一组,共同探讨平移的性质.讨论分析:①变换前后对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.平移变换是图形的每一个点的变换,一个图形沿某个方向移动一定距离,那么每一个点也沿着这个方向移动相同距离,所以对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.②变换前后的图形全等.平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定距离,所以平移前后的图形是全等的.③变换前后对应角相等.④变换前后对应线段平行(或在一条直线上)且相等.学生归纳总结,教师板书平移的性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.[设计意图]这个活动是探索平移的性质,对学生有点难度,通过设置问题的回答,使学生直接观察得出性质.操作性强又富有挑战性的数学活动,激发了学生学习的兴趣,对平移的基本内涵和基本性质这两个重点,学生能掌握得更好.三、例题讲解[过渡语]刚才我们了解了平移的相关概念和平移的基本性质,我们能用学到的知识解答一些问题吗?(1)指出平移的方向和平移的距离;(2)画出平移后的三角形;(3)请在图(2)中找出平行且相等的线段,以及相等的角(找出对应角即可).解:(1)如图(2)所示,连接AD,平移的方向是点A到点D的方向,平移的距离是线段AD的长度.(2)如图(2)所示,分别过点B,C按射线AD的方向作线段BE,CF,使得它们与线段AD平行且相等,连接DE,DF,EF,△DEF就是△ABC平移后的图形.(3)图中平行且相等的线段有:AB与DE,BC与EF,AC与DF,AD与BE,AD与CF,BE与CF;相等的角有:∠BAC与∠EDF, ∠ABC与∠DEF, ∠ACB与∠DFE.[设计意图]让学生进一步体会确定平移的两个要素:平移的方向和平移的距离,加深对平移性质的理解和应用.[知识拓展]平移作图.平移作图是平移基本性质的应用,利用平移可以得到许多美丽的图案.在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.(1)定:确定平移的方向和距离;(2)找:找出表示图形的关键点;(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;(4)连:按原图形顺序连接对应点.说明:平移作图实际上是平移基本性质的实际应用.注意:(1)平移作图的方法是由平移的性质而来,但必须注意两个条件,一是平移的方向,二是平移的距离.(2)平移的作图要抓住以下几个特征:①平移前后对应点连线平行(或共线)且相等.②对应线段平行(或共线)且相等.③对应角相等.1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种.2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向;二是图形平移的距离.这两个要素是图形平移的依据.3.图形的平移是指图形整体的平移.经过平移后的图形与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.1.下列运动属于平移的是()A.急刹车时汽车在地面上的滑动B.冷水加热中,小气泡上升为大气泡C.随风飘动的风筝在空中的运动D.随手抛出的彩球的运动解析:A中汽车向前滑动,方向和大小都没有改变,属于平移;B中气泡大小发生了变化,不属于平移;C中风筝在空气中运动方向不断变化,不属于平移;D中彩球运动方向不能确定.故选A.2.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形中可由三角形OBC平移得到的是 ()A.三角形OCDB.三角形OABC.三角形FAOD.以上都不对解析:根据平移的定义与特征知,平移后图形的形状、大小不改变,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等,三角形OBC是等边三角形,与其他五个三角形的形状、大小相同,关键是看其他三角形的对应边是否符合平移的特征.故选C.3.如图所示的四个小三角形都是等边三角形,边长都为1 cm,能通过平移三角形ABC得到三角形FAE 和三角形ECD吗?若能,请指出平移的方向和平移的距离.解析:三角形FAE与三角形ABC都是等边三角形,则有AF=BA=BC=AE=FE=AC,满足平移后图形的大小和形状不变.平移的方向为点A到点F的方向,平移的距离为AF的长度(1 cm).同理可得△ABC与△ECD 的关系.解:能.三角形ABC平移到三角形FAE的平移方向为点A到点F的方向,平移的距离为1 cm;三角形ABC平移到三角形ECD的平移方向为点A到点E的方向,平移的距离为1 cm.4.如图所示,图形ABCD平移到图形EFGH,试根据该图,回答下列问题.(1)在图中,线段AE与BF,CG与DH有怎样的位置关系?(2)图中线段AB与EF,AD与EH有怎样的位置关系?(3)说出图中相等的角(说出对应角即可).解析:AE,BF,CG,DH是对应点所连的线段,AB与EF,AD与EH是对应线段,由平移的特征可知它们的位置关系是平行.对应角相等.解:(1)平行.(2)平行.(3)∠BAD=∠FEH,∠ADC=∠EHG,∠DCB=∠HGF,∠ABC=∠EFG.5.经过平移,三角形ABC的边AB移到了A'B',作出平移后的三角形A'B'C'.解析:本题已知原图形和平移后的一条线段,就相当于已知原图形和平移的方向、平移的距离,所以根据平移前后两三角形全等可以作出平移后的三角形,具体的作法有很多种.解法1:如图(1)所示,分别过点A',B',作出与AC,BC平行且相等的线段A'C',B'C',两条线段相交于点C',三角形A'B'C'即为所求.解法2:如图(2)所示,分别以A',B'为圆心,以线段AC,BC的长为半径画弧,交于点C',连接A'C',B'C'即得△A'B'C'.解法3:如图(3)所示,连接AA',过点C按照射线AA'的方向作射线CC',使CC'∥AA'并截取CC'=AA',则连接A'C',B'C'所得的三角形A'B'C'即为所求作的三角形.第1课时一、平移的定义二、平移的性质三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第67页习题3.1的1,2题.【选做题】教材第68页习题3.1的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.两个全等的图形可看做其中一个是由另一个平移得到的B.由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)C.由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,但面积未必相等D.边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到2.如图所示,下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是()3.下列现象:①电风扇的转动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动.其中属于平移的是.【能力提升】4.如图所示,一张白色正方形纸片的边长是10 cm,被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分,请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积.5.如图所示,AD∥BC,∠ABC=80°,∠BCD=50°,利用平移的知识讨论BC与AD+AB的数量关系.6.如图所示,将Rt△ABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位长度得到△DEF,如果BG=CG,AB=4,∠ABC=90°,且△ABC的面积为6,求图中阴影部分的面积.7.如图所示,△ABC沿射线MN方向平移一定距离后成为△A'B'C'.找出图中相等的线段以及全等的三角形.8.A,B两点间有一条传输速度为每分钟5米的传送带,由A点向B点传送货物.一只蚂蚁不小心爬到了传送带上,它以每分钟1.5米的速度从A点爬向B点,3分钟后,蚂蚁爬到了B点,你能求出A,B两点间的距离吗? 【拓展探究】9.如图所示,∠BAC=30°,∠B'A'C'=45°,且AB∥A'B',直线AC与直线A'C'相交于点O,求∠COC''的度数.10.如图所示,有一条光滑曲线,画出将它沿数轴向左平移2个单位长度后的图形.。
图形的平移与旋转
解 如图，OA＝3，PA＝4，
∵线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，
∴OA 旋转到 x 轴负半轴 OA′ 的位置， ∠P′A′O ＝
∠PAO＝90°，OA′＝OA＝3，P′A′＝PA＝4，
A.把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B.把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C.把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D.把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
2.如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边
形ABFD的周长为( C )
∵PB＝ 22＋32＝ 13， 90π· 13 13 ∴点 B 运动的最短路径长＝ 180 ＝ 2 π.
【变式4】 (2017· 盐城)如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC 13 π 绕某点旋转到△A′B′C′的位置，则点B运动的最短路径长为_______. 2
解
答案
解题要领
旋转变换是几何证明题中一种很重要的解题技巧，在同一平
剖析
正确解答
分析与反思
错误答案展示 解：在AM、MN、NB中，MN是一个定值，因此AM＋MN ＋NB的最小值就是求AM＋NB的最小值.如图，连接AB交河岸边为M， 过M作MN垂直于河岸的另一边，则MN为最佳的造桥位置.
剖析
正确解答
分析与反思
剖析 虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸，由于 MN是一个定值，要求出AM＋MN＋NB最短，关键在于使AM＋BN最 短，根据“两点之间线段最短”，为此，最有效的办法还是把它们移 到一起讨论，利用平行四边形的特征可以实现这一目的. 正确解答 解：如图，作BB′垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接 AB′，与河岸EF交于点M，作MN⊥GH， 则MN∥BB′，MN＝BB′， ∵MNBB′为平行四边形，∴NB＝MB′. 根据“两点之间线段最短”可知，AB′最短，
图形的平移和旋转知识点
图形的平移和旋转【图形的平移】(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．1， 【典型例题】例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D ，试确定顶点 B 对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即∠BCB′=ACD， 又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定 B′的位置，如图所示．解：（1）连结 CD（2） 以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3） 在射线 CE 上截取 CB′=CB则 B′即为所求的 B 的对应点．（4） 连结 DB′则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形．例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 ，4△ABF 是△ADE 的旋转图形．（1） 旋转中心是哪一点？（2） 旋转了多少度？（3） AF 的长度是多少？（4） 如果连结 EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是 A 点．（2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的∴B 是 D 的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE= 1412 (1)2 4∴AE= = 4∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点∴AF= 174（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1） 旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
北师大版八年级数学下册《图形的平移》图形的平移与旋转PPT精品课件
横坐标减4，纵坐标减4,
所以点P的对应点P′的坐标是(m-4,n-4).
(3)△ABC的面积为
3×5-1×1×5- 1×2×2- 1×3×3=6
2
2
2
例3、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(-2,0)，(4,0)， 现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度， 得到A，B的对应点C，D.连接AC，BD，CD. (1)点C的坐标为______，点D的坐标为______， 四边形ABDC的面积为________;
图形的平移
学习目标
1.掌握平面直角坐标系中图形的两次平移与一次平移的转 化，以及平移引起的点的坐标的变化规律； 2.了解平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与 几何的相互转化，初步建立空间观念.
新课导入
在坐标系中，将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
1. (x,y)(x,y＋4) 2. (x,y)(x,y －2)
(1)分别写出下列各点的坐标：A′_______；B′______；C′_______;
(2)若点P(m,n)是△ABC内一点，求平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标；
(3)求△ABC的面积.
解:(1)由题图可知A′(-3,-4)，B′(0,-1)，C′(2,-3).
(2)点A(1,0)的对应点A′的坐标是(-3,-4)，
，－1)，则a，b的值为(A
)
A．a＝－2，b＝－3 C．a＝2，b＝－3
B．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝3
3．在平面直角坐标系中，点A′(2，－3)可以由点A(－2，3)通过两次平移得到 ，正确的是(D )
A．先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度 C．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度 D．先向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度