2014年安徽省“江南十校”高三联考理数试卷和答案详解
安徽省“江淮十校协作体” 2014届高三四月联考卷理科数学试卷(带解析)
安徽省“江淮十校协作体” 2014届高三四月联考卷理科数学试卷（带解析）1．在复平面上，复数2ii+对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】由22(2)()12i i i i i i++⋅-==-- 所以2ii +对应的点为(1,2)-， 所以2i i +在复平面上对应的点位于第四象限.故选D .【考点】复数的运算；复数的概念. 2．“1x >”是“11x<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由111110010x x x x x x-<⇒->⇒>⇒><或 所以“1x >”是“10x x ><或” 充分而不必要条件 故选A .【考点】充分性和必要性.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则22cos sin θθ-等于（ ）A.45-B.35-C.35D.45 【答案】B【解析】因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上， 所以tan 2θ=由22222222cos sin 1tan cos sin sin cos tan 1θθθθθθθθ---==++ 所以22143cos sin 415θθ--==-+ 故选B【考点】三角函数的定义；三角函数恒等变换.4．给出30个数：1，2,4,7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A.30;1i p p i ≤=+-B.29;1i p p i ≤=++C.31;i p p i ≤=+D.30;i p p i ≤=+【答案】D【解析】由于要计算30个数的和， 故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1， 故终值应为30，即①中应填写30i ≤；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；…故②中应填写p p i =+ 故选D【考点】循环结构.5．已知,x y R +∈，且115x y x y+++=，则x y +的最大值是（ ） A.3 B.72 C.4 D.92【答案】C【解析】由115x y x y+++= 所以11()()5()x y x y x y x y++++=+211()()()5()x y x y x y x y ++++=+25()()2y xx y x y x y+=+-+-因为,x y R +∈，2y x x y +≥=，当且仅当y x x y =，即x y =时等号成立.所以25()()22x y x y +-+-≥，即2()5()40x y x y +-++≤ 解得：14x y ≤+≤，所以x y +的最大值为4 故选C【考点】基本不等式.6．如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，BDAC O =，M 是线段1D O 上的动点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ，则点N 到点A 距离的最小值为（ ）【答案】B【解析】连接1B D ,11B D由1111ABCD A BC D -是正方体，得1B D ⊥面1ACD因为MN ⊥面1ACD ，所以1//B D MN ,所以1B D 与MN 共面 因为,,B M D 都在平面11BDD B ，所以N 点在线段11B D 上，则点N 到点A 距离的最小值为由A 向11B D 作垂线，即为11AB D ∆的一条高11AB D ∆2故选B【考点】四点共面；棱柱的结构特征.7．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种是为（ ） A.33!⨯ B.33(3!)⨯ C.4(3!) D.9! 【答案】C【解析】根据题意，分2步进行：①将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有33A 种排法； 三个三口之家共有333333333()A A A A ⋅⋅=种排法， ②、将三个整体元素进行排列，共有33A 种排法 故不同的作法种数为333344333()()(3!)A A A ⋅== 故选C ．【考点】排列、组合及简单的计数原理.8．如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为(090)θθ<<的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为（ ）A.1223 【答案】A【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ，所以椭圆的长轴长22cos R a θ=，得a R =3c R ===所以椭圆的离心率12c e a == 故选A【考点】椭圆的几何性质.9．在ABC ∆中，AC ,2BC =,60B =，则BC 边上的高等于（ ）A.【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯，2230c c --=，即(-3)(1)c c +=0，又0c >， 3.c ∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =. 故选B【考点】余弦定理；三角形面积公式.10．已知函数25,0()1,0x x x x f x e x ⎧+≥=⎨-+<⎩，若()f x kx ≥，则k 的取值范围是（ ）A.(,0]-∞B.(,5]-∞C.(0,5]D.[0,5] 【答案】D【解析】函数()f x 的图像如下图所示：由图知，()f x kx ≥成立的临界条件是：过原点作函数2()5f x x x =+的切线的切线斜率， 因为()25f x x '=+，所以(0)5f '= 满足()f x kx ≥成立的k 取值范围为[0,5]故选D【考点】分段函数；导数的几何意义；数形结合.11．如图，已知点10,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点()000(,)0P x y x >在曲线2y x =上，若阴影部分面积与OAP ∆面积相等，则0x =________【答案】4【解析】由023001=3x S x dx x =⎰阴影 而00111||224OAP S OA x x ∆=⋅=⋅⋅ 因为=S 阴影OAP S ∆所以3013x 01124x =⋅⋅，而00x >，解得：0x =【考点】定积分的应用.12．直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=t y t x 531541（t 为参数）被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长_____【答案】75【解析】因为曲线)4πρθ=+所以cos sin ρθθ=-2cos sin ρρθρθ=-所以曲线的直角坐标方程为22x y x y +=-，即22111()()222x y -++=所以曲线为圆心11(,)22-，半径为2的园； 由直线的参数方程415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去参数t 得3410x y ++=圆心11(,)22-到直线3410x y ++=的距离11|34()1|122510d ⨯+⨯-+==所以直线被园的截得弦长等于75= 故答案为75. 【考点】直线的参数方程；极坐标方程；直线与园相交的弦长问题. 13．在ABC ∆中，0=⋅BC AD ，||5AB =,||10BC =,23BD DC =，点P 满足()m m -+=1，则⋅的值为______【答案】9 【解析】由23BD DC =得，点D 在线段BC 上，如下图所示： P DBA设DC x =，则23BD x =，又BD DC BC +=，即2103x x +=，得6x =， 所以6DC =，4BD =，在Rt ABD ∆∆中，5AB =，所以3AD =因为(1)AP mAB m AC =+-，所以(1)1m m +-=，故B 、P 、C 三点共线， 如图在线段BC 上取一点P ，并设PAD θ∠= 因为||||cos AP AD AP AD θ⋅=⋅ 又在Rt ADP ∆∆中，cos AP AD θ= 所以22||39AP AD AD ⋅===故答案为9.【考点】三点共线的判定；向量的数量积.14．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则42-+=y x z 的最大值是_____【答案】21【解析】不等式组表示的可行域如下图ABC ∆所示：由|24|z x y =+-=，所以|24|z x y =+-表示在可行域内取一点到直线240x y +-=由图知，点(7,9)C 到直线240x y +-=的距离最大， 所以max |24||7294|21z x y =+-=+⨯-= 故答案为21【考点】线性规划；点到直线的距离.15．已知数列{}n a 满足()10,<<∈⋅=*k N n k n a n n ，给出下列命题： ①当21=k 时，数列{}n a 为递减数列②当121<<k 时，数列{}n a 不一定有最大项③当210<<k 时，数列{}n a 为递减数列④当k k-1为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号____【答案】③④ 【解析】 选项①：当12k =时，1()2n n a n =⋅，有112a =，211242a =⨯=，则12a a =，即数列{}n a 不是递减数列，故①错误；选项②：当112k <<时，11(1)(1)n n nn a n k k n a n k n+++⋅+==⋅，因为(1)2k n k k n +<<，所以数列{}n a 可有最大项，故②错误；选项③：当112k <<时，11(1)(1)112n n nn a n k k n n a n k n n+++⋅++==<≤⋅，所以1n n a a +<，即数列{}n a 是递减数列，故③正确；选项④：11(1)(1)n n n n a n k k n a n k n +++⋅+==⋅，当1k k -为正整数时，112k >≥；当12k =时，1234a a a a =>>>⋅⋅⋅；当112k <<时，令1k m N k +=∈-，解得1mk m=+，1(1)(1)n n a m n a n m ++=+，数列{}n a 必有两项相等的最大项，故④正确. 所以正确的选项为③④. 【考点】数列的函数特征.16．已知函数()16cos sin 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x x f ，求函数()x f 的最小正周期； 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,125ππx 时，求函数()x f 的取值范围. 【答案】(1)π;(2) [2,1]-【解析】试题分析：(1)把函数()4s i n c o s ()16f x x x π=--使用公式展开得1()4sin sin )12f x x x x =+-，化简得2()cos 2sin 1f x x x x =+-，然后利用降幂公式得()2cos2f x x x =-，最后得()2sin(2)6f x x π=-，即得函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由（1）得()2sin(2)6f x x π=-，因为5[,]126x ππ∈-，所以2[,]66x πππ-∈-，由三角函数的有界性得1sin(2)[1,]62x π-∈-，所以2sin(2)[2,1]6x π-∈-，故函数()f x 的取值范围为[2,1]-.（1）因为1()4sin sin )12f x x x x =+-2cos 2sin 1x x x =+-2cos2x x =-2sin(2)6x π=-，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）因为5[,]126x ππ∈-所以2[,]66x πππ-∈- 所以1sin(2)[1,]62x π-∈-,所以2sin(2)[2,1]6x π-∈-,所以函数()f x 的取值范围为[2,1]-.考点：三角恒等变换；三角函数的周期；三角函数的值域.17．如图，ABCD 是边长为2的正方形，ABCD ED ⊥,ED=1，EF //BD ，且BD EF 21=.（1）求证：BF//平面ACE ； （2）求证：平面EAC ⊥平面BDEF; （3）求二面角B-AF-C 的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3π. 【解析】 试题分析：（1）记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，则可证//BF EO ，又EO ⊂面ACE ，BF ⊄面ACE ，故//BF 平面ACE ；（2）因ED ⊥平面ABCD ，得E D A C ⊥,又ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDEF ，又AC ⊂面ACE ,故平面ACE ⊥平面BDEF ；（3）过点O 作OG AF ⊥于点G ，连接GB ，则可证OGB ∠为二面角B AF C --的平面角．在Rt FOA ∆中，可求得FO AO OG AF ⋅==，又OB =，故t a n OBOGB OG∠==∴3OGB π∠=，即二面角B AF C --的大小为3π；证明：（1）记AC 与BD 的交点为O ，连接EO ，则12OD OB BD == 所以EF OB =，又//EF BD ，所以//EF OB 所以四边形EFBO 是平行四边形 所以//BF EO ，又EO ⊂面ACE ，BF ⊄面ACE ， 故//BF 平面ACE ；（2）因ED ⊥平面ABCD ，所以ED AC ⊥,又ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为ED ⊆面BDEF ，BD ⊆面BDEF ，ED BD D =所以AC ⊥平面BDEF ， 又AC ⊆面ACE ,故平面ACE ⊥平面BDEF ；（3）过点O 作OG AF ⊥于点G ，连接GB ， 因为OD OB EF ==，DE ⊥面ABCD 所以OF ⊥面ABCD ， 因为OB ⊆面ABCD ,所以OF OB ⊥ 因为AC OB ⊥ 所以OB ⊥面ACF 所以OB AF ⊥ 又OG AF ⊥所以AF ⊥面OGB所以AF GB ⊥，即得OGB ∠为二面角B AF C --的平面角．在Rt FOA ∆中，可求得FO AO OG AF ⋅==，又OB =，故tan OBOGB OG∠= ∴3OGB π∠=，即二面角B AF C --的大小为3π；考点：线面平行的判定；面面垂直的判定；二面角的求解.18．前不久，社科院发布了2013年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”.随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位为叶）： 指出这组数据的众数和中位数；若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）人选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）众数：8.6；中位数：8.75；（2）121140；（3）分布详见答案；期望为0.75 【解析】 试题分析：（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，众数即为出现次数最多的数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论；（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果，有一个是极幸福的概率为12412316C C C ,有零个是极幸福的概率为312316C C ，所以至多有1人是“极幸福”的概率为12412316C C C 312316C C +； （3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量ξ的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．（1）众数：8.6；中位数：8.75 ；（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3. 6427)43()0(3===ξP ；1231327(1)()4464P C ξ==⋅⋅=； 223139(2)()4464P C ξ==⋅⋅=；641)41()3(3===ξP .ξ的分布列为：所以ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：数据特征；茎叶图；离散型随机变量的期望.19．设函数()()0cos 122>+-=a x x a x f .（1）当1=a 时，求函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值和最小值；（2）若()x f 在()+∞,0上为增函数，求正数a 的取值范围. 【答案】（1）最小值为(0)0f =，最大值为2()()1228f f πππ-==-；（2）1a ≥. 【解析】试题分析：（1）当1a =时，21()1cos 2f x x x =-+,其导函数()sin f x x x '=-，易得当(0,)x ∈+∞时，sin 0x x ->，即函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又函数()f x 是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为(0)0f =，最大值为2()()1228f f πππ-==-；（2）由题得：()sin 0f x ax x '=-≥在(0,)+∞上恒成立，易证sin x x >，若1a ≥时，则ax x ≥，所以sin ax x >；若01a <<时，易证此时不成立.(1)当1a =时，21()1cos 2f x x x =-+, ()sin f x x x '=-，令()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥恒成立， ∴()g x 为增函数，故当(0,)x ∈+∞时，()(0)0g x g >=∴当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ''>=，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数， 又()f x 为偶函数，()f x ∴在(,0)-∞上为减函数，∴()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为(0)0f =，最大值为2()()1228f f πππ-==-.（2）由题意，()sin 0f x ax x '=-≥在(0,)+∞上恒成立.（ⅰ）当1a ≥时，对(0,)x ∀∈+∞，恒有sin ax x x ≥>，此时()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞ 上为增函数，满足题意；（ⅱ）当01a <<时，令()sin h x ax x =-，()cos h x a x '=-，由()0h x '=得cos a x =，一定0(0,)2x π∃∈，使得0cos a x =，且当0(0,)x x ∈时，()cos 0h x a x '=-<，()h x 在0(0,)x 上单调递减，此时()(0)0h x h <=，即()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 为减函数，这与()f x 在(0,)+∞为增函数矛盾.综上所述：1a ≥.考点：函数的最值；函数的恒成立问题.20．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为线24y x =的焦点重合. 求椭圆C 的方程；设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦,AB AC ，若直线,AB AC 斜率之积为14，直线BC 是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由. 【答案】（1）2212x y +=；（2）恒过一定点(0,3)P . 【解析】试题分析：（1）可设椭圆方程为22221x y a b+=,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线24y x =的焦点重合，所以1c =，又c e a ==a =222a b c =+，得1b =，所以椭圆方程为2212x y +=； （2）由（1）知(0,1)A ，当直线BC 的斜率不存在时，可设0:BC x x =，设00(,)B x y ，则00(,)C x y -，易得1124AB AC k k ⋅=≠，不合题意；故直线BC 的斜率存在.设直线BC 的方程为：y kx m =+，(1m ≠)，并代入椭圆方程，得：222(12)42(1)0k x kmx m +++-= ①，设1122(,),(,)B x y C x y ，则12,x x 是方程①的两根，由韦达定理212122242(1),1212km m x x x x k k -+=-⋅=++，由12121114AB AC y y k k x x --⋅=⋅=，利用韦达定理代入整理得(1)(3)0m m --=，又因为1m ≠，所以3m =，此时直线BC 的方程为3y kx =+，即可得出直线BC 的定点坐标.（1）由题意可设椭圆方程为22221x y a b+=,因为椭圆的一个焦点恰好与抛物线24y x =的焦点重合，所以1c =，又2c e a ==，所以a = 又因222a b c =+，得1b =，所以椭圆方程为2212x y +=； （2）由（1）知(0,1)A ，当直线BC 的斜率不存在时，设0:BC x x =，设00(,)B x y ，则00(,)C x y -，22000220000*********AB ACx y y y k k x x x x ----⋅=⋅===≠，不合题意. 故直线BC 的斜率存在.设直线BC 的方程为：y kx m =+，(1m ≠)，并代入椭圆方程，得：222(12)42(1)0k x kmx m +++-= ①由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->得22210k m -+> ②设1122(,),(,)B x y C x y ，则12,x x 是方程①的两根，由韦达定理212122242(1),1212km m x x x x k k-+=-⋅=++， 由12121114AB AC y y k k x x --⋅=⋅=得： 12121244()4y y y y x x -++=，即221212(41)4(1)()4(1)0k x x k m x x m -+-++-=，整理得(1)(3)0m m --=，又因为1m ≠，所以3m =，此时直线BC 的方程为3y kx =+.所以直线BC 恒过一定点(0,3)P 考点：椭圆的标准方程；圆锥曲线的定点问题.21．设满足以下两个条件得有穷数列123,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为(2,3,4,)n n =⋅⋅⋅阶“期待数列”： ①1230n a a a a +++⋅⋅⋅+=，②123||||||||1n a a a a +++⋅⋅⋅+=. （1）若等比数列{}n a 为2()k k N +∈阶“期待数列”，求公比q ；（2）若一个等差数列{}n a 既为2()k k N +∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =⋅⋅⋅. （i ）求证：1||2k S ≤； （i i ）若存在{1,2,3,,}m n ∈⋅⋅⋅，使12m S =，试问数列{}i S (1,2,3,,)i n =⋅⋅⋅是否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】（1）1=-q ；（2）22212n n k a k --=；（3）（i ）证明见解析；（ii ）不能，理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）由n 阶“期待数列”定义，当1≠q ，结合已知条件①求得等比数列的公比1=-q ，若1=q ，由①得, 120⋅=a k ，得10=a ，不可能，所以 1=-q ； （2）设出等差数列的公差，结合①②求出公差，再由前k 项和为12-求出首项，则等差数列的通项公式可求；（3）（i ）由n 阶“期待数列”{}n a 前n 项中所有的和为0，所有项的绝对值之和为1，求得所有非负项的和为12，所有负项的和为12-，从而得到答案； （ii ）借助于（i ）中结论知，数列{}(1,2,3,,)k S k n =⋅⋅⋅的前k 项和为k T ，且满足1||2k T ≤，再由12m S =，得到123123n n S S S S S S S S ++++=++++，从而说明1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立.(1) 若1≠q ，则由①211232(1)01k k a q a a a a q-++++==-由10a ≠，所以210k q -=，得1=-q ， 由②得112=a k 或112=-a k,满足题意. 若1=q ，由①得, 120⋅=a k ，得10=a ，不可能. 综上所述1=-q . (2)设等差数列1232,,,,(1)k a a a a k ≥的公差为(0)>d d .因为12320k a a a a ++++=，所以122()02+=k k a a .所以1210++=+=k k k a a a a .因为0>d ，所以由10++=k k a a ，得10,0+<>k k a a . 由题中的①、②得12312k a a a a ++++=-, 12321+2k k k k a a a a ++++++=，两式相减得21⋅=k d , 即21=d k . 又1(1)122-+=-k k a k d ,得12122-=k a k .所以1222121221(1)(1)22---=+-=+-⋅=n k n k a a n d n k k k . (3) 记123,,,,n a a a a 中非负项和为A ,负项和为B .则0,1+=-=A B A B , 得11,22==-A B . （i ） 因为1122-=≤≤=k B S A ，所以12≤k S .（ii ） 若存在{1,2,3,,}m n ∈，使12=m S ，由前面的证明过程知：12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤，且1212m m n a a a +++++=-. 记数列{}(1,2,3,,)i S i n =的前k 项和为k T .若{}i S 为n 阶“期待数列”， 则由(i )知, 12≤k T . 所以12312m m T S S S S =++++≤因为12=m S ， 所以12310m S S S S -=====.所以12310m a a a a -=====,12=m a .又1212m m n a a a +++++=-, 则12,,,0m m n S S S ++≥.所以123123n n S S S S S S S S ++++=++++.所以1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立.所以对于有穷数列123,,,,n a a a a (2,3,4,)n =,若存在{1,2,3,,}m n ∈，使12=m S ， 则数列{}(1,2,3,,)i S i n =不能为n 阶“期待数列”.考点：数列的通项公式；数列与不等式的综合.。
2014年江南十校高三联考数学试题及答案理科
2014年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C ．解析：()()1,,3,1∞-=-=N M2. A.解析：()()0222212=-⇒+--=+-a i a a i ai3.C 解析：由题知2,13,322==⇒==b a e c ，这样的双曲线标准方程有两个4.D 解析：由7662a a +=得65=a ，所以54959==a S5.B 解析：值域[]1,2-,3=-a b6.D 解析：将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥7.B 解析：回归直线不一定过样本点8.C 解析：由b a //知332=+y x ，则()849123132233123≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x y x y x . 9.B 解析：根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OC OB ,为邻边的平行四边形，其面积为BOC ∆面积的2倍.在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，代入数据解得7=BC ，设ABC ∆的内切圆的半径为r ，则()11sin 22bc A a b c r =++，解得263r =，所以36736272121=⨯⨯=⨯⨯=∆r BC S BOC ，故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为36142=∆BOC S 10.C 解析：()11sin ,3sin sin )(2≤≤-=-++=t x t aa x a x x f 令,则()aa at t t g 32-++=，对任意 0)(,≤∈x f R x 恒成立的充要条件是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+=≤-=-0321)1(0311a a g a g ，解得a 的取值范围是(]1,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题卡的相应横线上。
11．223-12.1=a 解析：它的展开式的通项公式为 ()2626611---+-=a x C T r rrr ，则2x 项的系数是15226=-a C，又0>a ，则1=a13.2解析：直线l 的极坐标方程为124sin +=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ，可化为22+=+y x ， ∴圆心C （1，1）到直线l 的距离为122211=--+=d ,又∵圆C 的半径为2=r ， ∴直线l 被曲线C 截得的弦长2222=-dr .14⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,49解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域为ABC ∆及其内部，又因为212252+++=+++x y x y x ，而12y x ++表示可行域内一点(),x y 和点()2,1P --连线的斜率，由图可知PA PB k x y k ≤++≤21，原不等式组解得()()0,2,2,0B A ,所以232141≤++≤x y ，从而2725249≤+++≤x y x 。
安徽省“江南十校” 2014届高三第二次模拟考试理科数学试卷(带解析)
安徽省“江南十校” 2014届高三第二次模拟考试理科数学试卷（带解析）1．已知i 为虚数单位，则复数122ii+=-（ ） A.1 B.i C.1- D.i -【答案】B【解析】由2122(2)222i i i i i i i i i+-+-===--- 故选B考点：复数的运算. 2．设集合1{|ln(3)}1A x y x x ==++-，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R A C B =( ) A.(0,1) B.(1,)+∞ C.(0,1)(1,)+∞ D.(3,0]-【答案】C【解析】由1{|ln(3)}1A x y x x ==++-，所以A 为函数1ln(3)1y x x =++-的定义域 要使函数1ln(3)1y x x =++-有意义需满足1030x x -≠⎧⎨+>⎩，得(3,1)(1,)A =-+∞ 同理求得(,0]B =-∞，所以(0,)R C B =+∞ 所以()R AC B =(0,1)(1,)+∞故选C考点：函数的定义域；集合间的运算.3．“5a =”是“直线210ax y --=与直线520x y c -+=平行”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当5a =时，直线210ax y --=与直线520x y c -+=可能平行或重合；若直线210ax y --=与直线520x y c -+=平行，则5a =故选C考点：命题充分必要性.4．执行如图所示的程序框图，该算法输出的结果是（ ）A.2B.12C.20D.6 【答案】C【解析】程序框图运行情况如下表：故选C考点：程序框图的识别.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.32+48+【答案】C【解析】由三视图得空间几何体是一个正方体挖去两个三棱柱，其表面积为241682424482+++⨯⨯⨯=+ 故选C考点：空间几何的三视图；空间几何体的表面积.6．若不等式组50502x y y kx x -+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个钝角三角形，则实数k 的取值范围（ ）A.(0,1)B.(,1)(0,1)-∞- C.(1,0)(1,)-+∞ D.(1,0)-【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如图由图可知：(,1)(0,1)k ∈-∞-故选B考点：线性规划.7．若一个三位数十位数字比各位数字和百位数字都大，则称这个数为“凸”数，现从0,1，2,3,4，5这六个数中任取三个数，组成无重复数字的三位数，其中“凸”数的概率为（ ） A.38 B.310 C.35 D.34【答案】B【解析】组成凸数分四类：（1）十位数为5，有24416A +=个；（2）十位数为4，有2339A +=个；（3）十位数为3，有2224A +=个；（4）十位数为2，有1个；共有1694130+++=，组成三位数由1255100A A ⋅=个，所以凸数的概率为30310010P ==. 故选B考点：排列组合.8．如图，平行四边形ABCD 中，4,2,60AB AD DAB ==∠=，M 是线段DC 上，且满足14DM DC =，若N 为平行四边形ABCD 内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为（ ）A.13B.0C.8D.5 【答案】A【解析】建立如图直角坐标系，设(,)N x y ，则(2,(5,323M C A M A N x ⋅=+，令2z x =，如图当2z x =过C 时，max 2513z =⨯=， 故选A考点：数量积；线性规划.9．若2014220140122014(21)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则1232014232014a a a a a =+++⋅⋅⋅+（ ） A.12014 B.12014- C.14028 D.14028- 【答案】C【解析】令0x =，01a ∴=已知2014220140122014(21)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈对等式两边求导得：201320131220144024(21)22014x a a x a x -=++⋅⋅⋅+ 令1x =得：122014220144028a a a ++⋅⋅⋅+= 故选C考点：二项式.10．设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>右焦点为(,0)(0)F c c >，方程2ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则12(,)P x x （ ） A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=外 C.必在圆221x y +=外D.必在圆221x y +=与圆222x y +=形成的圆环之间 【答案】D【解析】由韦达定理12b x x a +=-，12c x x a⋅=- 所以22222222121212222222()2(1)2b c b ac a ac c x x x x x x e a a a a++-+=+-⋅=+===--+ 因为01e <<，所以21(1)22e <--+<，即221212x x <+< 故12(,)P x x 必在圆221x y +=与圆222x y +=形成的圆环之间 故选D考点：椭圆的离心率；点与圆的位置关系.11．曲线21:(sin 2cos )20C m ρρθθ+--=关于曲线222:x tC y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）的准线对称，则 m =.【答案】2【解析】曲线1C 的直角坐标方程为22220x y x my +-+-=，其圆心1(1,)2m C -； 消去t 得曲线2C 的方程为24x y =，其准线方程为1y =- 由题意知，1(1,)2m C -在直线1y =-上，所以12m-=-，解得2m = 故答案为2考点：曲线的参数方程和极坐标方程.12．总体由编号为01,02，…，19,20的个体组成，利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数，则选出的第7个个体的编号为【答案】04【解析】由随机数表可看出所选的数字依次为：16,08,02,14,07,02,01,04，去掉重复数字02，则第7个个体编号为04. 故答案为04.考点：简单随机抽样.13．设1F 是椭圆2214y x +=的下焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则1PF PO ⋅的最大值为.【答案】4+【解析】设(cos ,2sin )P θθ，则1(0,(0,0)F O221cos 2sin 2sin )1)PF PO θθθθ⋅=+=+所以1PF PO ⋅的最大值为21)4=+故答案为4+考点：椭圆中的最值；椭圆的参数方程.14．设0k >，若关于x 的不等式451kx x +≥-在(1,+)∞上恒成立，则k 的最小值为 .【答案】1【解析】原不等式变为4(1)51k x k x -+≥-- 1x > 10x ∴-> 4(1)1k x x ∴-+≥-5k ∴≥-，即250+≥1)1∴≥1≥1k ∴≥所以k 的最小值为1故答案为1考点：恒成立问题. 15．下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号)①对于函数()y f x =，若0x R ∃∈，使得00(1)(1)f x f x -=+，则函数()y f x =关于直线1x =对称；②函数()(1)ln f x x x =+有2个零点； ③若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为{|02}x x <<，则1m =； ④已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N δ且(4)0.8P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<=； ⑤等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a =+=，则119a = 【答案】③④⑤【解析】①中，0x R ∃∈，使得00(1)(1)f x f x -=+，只是表示在两个特殊值处的函数值相等，()f x 不一定关于直线1x =对称，故①错；②中，当(1)ln 0x x +=时，1x =-或1x =，又因1x =-不在定义域范围内，所以函数()f x 有一个零点，为故②错；③中，因为关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为{|02}x x <<，所以10x =，22x =为关于x 的方程2122x x mx -+=，即21(2)02x m x -+-=两根，代入解得1m =，故③正确；④中，12[1(4)](02)0.32P P ξξ--<<<==，故④正确；⑤中，设等比数列{}n a 公比为q ，321111010S a a a q a =+=+，又23123111S a a a a a q a q =++=++，所以2111a a q a q ++1110a q a =+，化简得29q =，因为4519a a q ==，所以119a =，故⑤正确； 故答案为③④⑤考点：命题的真假判断.。
安徽省省级示范高中2014届高三大联考数学(理)试题扫描版试题Word版答案
1B CBD1AA1C 1D 2014安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）试题参考答案（1）A 解析：2i (2)(2)i 1i 2a a a ---+=+，由题意得222(),22a a-+=-解得 6.a =-（2）C 解析：由线面、面面间的位置关系可知选C.（3）B 解析：由图知PM2.5值小于或等于75微克／立方米的频率为1(0.0004-+0.00080.00160.00240.0048)750.25+++⨯=,所以100天中空气质量达标的天数是1000.2525⨯=.（4）D 解析：228381,0,02,,3,,33949b b k b a k b a k b a a ===→=→===→=→==81,9b a a =→=循环结束，输出结果为89.（5）A 解析：α是第一象限角sin α⇒=反之不一定成立，故选A. （6）D 解析：画出可行域可知，当抛物线2y zx =过点(1,3)时，2max 391z ==. （7）D 解析：由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩得π=2,3ρθ=±，故圆12,C C 交点坐标为ππ2,2.33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，（8）B 解析：选项A 、C 中π6位于递增区间内，π()06f '>，选项B 、D 中π6位于递减区间内，π()0,6f '<结合图像可知选B.（9）C 解析：因为曲线1:111x C y x x ==+--,相当于将函数1()f x x=的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即曲线C 的图像关于点()1,1Q 成中心对称，所以Q 是线段MN 的中点，故()224ON OQ MO OQ OQ ON OM OQ ⋅-⋅=⋅+==.（10）C 解析：在正方体一个面的四个顶点中任取三个点，在与这个面平行的面中只有一个顶点与刚才的三个顶点能构成符合条件的三棱锥（如图中三棱锥1D ABC -），所以这一对平行平面的顶点共构成3428C ⨯=个符合条件的三棱锥，正方体中共有三对平行平面，所以可构成符合条件的三棱锥3824⨯=个.另外正四面体11AC BD 和正四面体11ACB D 也符合条件，故符合条件的三棱锥共有24226+=个.（11）15 解析：6622166(1)(1)r r r r rrrr r T C x xC x----+=-=-，令632rr --=，得2r =， 所以3x 的系数为226(1)15.C -=（12解析：画出简图,由三角形中位线定理可知2190PF F ∠=，根据双曲线的定义可2,a c ==，所以离心率e =（13）π2 解析：由已知及正、余弦定理可得a b b a +22242a b c ab +-=⨯，化简得2222b a c +=，将c =代入得a b 3=，所以 222πcos 0,22a cb B B ac +-===.（14）21n a n =+ 解析：第n 个文件刚下载完时，第1n +个文件刚好下完13（速度始终是前面的13，又是同时下载的），此时它上升为第一位，因此剩下的23还需耗时2分钟，所以12,2 1.n n n a a a n +=+=+（15）①②③⑤ 解析：①由题意设3322a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得当0a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩0a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,满足条件；②()f x 在(0,)+∞上单调递减，取区间[,](0,)a b ⊆+∞，由题意设1212b aab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以只需12ab =即可，满足条件；③()f x 在[]1,1-上单调递增，取区间[,][1,1]a b ⊆-，由题意设22421421aa ab bb ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得当10a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=⎩时，满足条件； ④由题意设e 2e 2ab a b⎧=⎪⎨=⎪⎩，即,a b 是方程e 2xx =的两个根，由于两函数e 2x y y x ⎧=⎨=⎩没有交点，故对应方程无解，所以不满足条件；⑤()f x 在(0,)+∞上单调递增，取区间[,](0,)a b ⊆+∞，由题意设lg 22lg 22a ab b+=⎧⎨+=⎩，即,a b 是方程lg 22x x +=的两个根，由于两函数lg 22y x y x =+⎧⎨=⎩有两个交点，故对应方程有两个根，即存在,a b 满足条件.所以存在“和谐区间”的是①②③⑤.（16）解析：（Ⅰ）由题意得函数π()=2sin()16f x x ω+-,其最小正周期为π， 所以2ππω=，2=ω.……………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知π()=2sin(2)16f x x =+-， 令0)(=x f 得π1sin(2)62x +=，所以ππ22π66x k +=+或π5π22π,Z 66x k k +=+∈.解得πx k =或ππ,Z 3x k k =+∈.…………………………………………………9分因为[π,0]x ∈-，所以零点有1232ππ,,03x x x =-=-=.所以()f x 在区间[π,0]-上的所有零点之和为5π3-.……………………………………12分（17）解析：（Ⅰ）函数()f x 定义域为(,1)(1,)-∞+∞，22e (23)()(1)x x f x x -'=-，………2分 由22e (23)()0(1)x x f x x -'=>-解得32x >,由'()0f x <解得32x <且1x ≠， 故函数()f x 的单调递增区间是3(,)2+∞，单调递减区间是3(,1),(1,)2-∞.…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知222e (23)e (1)1x xx a x x -≥⋅--恒成立，即231x a x -≤-，…………………8分 令23()1x g x x -=-，则'21()0(1)g x x =>-， 因此()g x 在[2,)+∞上单调递增，于是()(2)1g x g ≥=，故实数a 的取值范围是(,1]-∞.…………………………………………………………12分 （18）解析：（Ⅰ）∵,,,PA AB AB AD PA AD A ⊥⊥=∴AB ⊥平面,PAD ∴,AB PD ⊥又,,PD AD ABAD A ⊥=∴PD ⊥平面ABCD .…………………4分（Ⅱ）以D 为原点,,,DA DC DP 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,D xyz -则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,2,2),(2,2,0),A B C P CB BP CA ==--=-∴(22,2,2)CE CB BE CB BP λλλλ=+=+=--.设1(,,)n x y z =是平面EAC 的一个法向量，则11n CEn CA⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即(22)220,220.x y z x y λλλ--+=⎧⎨-=⎩令,x λ=则,21,y z λλ==-∴1(,,21)n λλλ=-. 又2(1,0,0)n =是平面PDC 的一个法向量， ∴1212πcos||,4||||n n n n ⋅=⋅=解得1,2λ=∴存在12λ=使得平面EAC 与平面PDC 所成的锐角的大小是π.4…………………12分 （19）解析：（Ⅰ）由已知可设12(0),n n a q q -=>则221214,n n n n n n a a a q a a a ++++===∴2,q = 2n n a ∴=，2114224,n n n n n a a m ++∴=⋅==⋅∴2m =. ………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知22,nn==2122222n nna n a ++⋅⋅⋅+=.…7分令212,222n n nS =++⋅⋅⋅+则231112,2222n n n S +=++⋅⋅⋅+两式相减得23111111121,2222222n n n n n n S +++=+++⋅⋅⋅+-=-∴222,2n n nS +=-<∴ 4.< …………………………………………13分（20）解析：（Ⅰ）由题意得2221,224b ac b a c =⎧⎪-=⎨⎪+=+⎩解得12a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆C 的方程是2215x y +=.………………………………………………………4分（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形MAB ，由题知直角边MA ，MB 不可能平行或垂直x 轴.故设MA 所在直线的方程是1y kx =+（0k >），则MB 所在直线的方程是11y x k=-+， 由22155y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2221010(1)1515k k A k k --+++，，MA ∴==.用1k -替换上式中的k 再取绝对值,得MB =由MA MB =得22(5)15k k k +=+，解得1k =或2k =±.故存在三个内接等腰直角三角形MAB .直角边所在直线的方程是1y x =+、1y x =-+或(21y x =++、(21y x =-++或(21y x =-+、(21y x =-++.……………………………………………………………………………………13分 （21）解析：（Ⅰ）由题意可知第二场比赛后C 为优胜者的情况为()(),C A C B C -→-→故其概率为111236⨯=；……………………………………2分 由题意可知第三场比赛后C 不可能为优胜者，故其概率为0；…………………4分 由题意可知第四场比赛后C 为优胜者的情况为()()()(),C A A B B C C A C -→-→-→-→故其概率为11111.233236⨯⨯⨯=………6分（Ⅱ）第一场A 与C 的比赛结果分两种情况：①A 与C 的比赛中C 胜出，C 如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行： ()1()()()()(),*,31,n C A C B B A A C C B C n n --→-→-→-→-→∈-N 回共场对*,n ∈N 以上比赛进行的概率为：11221112()(),332669n n --⨯⨯⨯=⋅此时C 在第31n -场比赛后成为优胜者；………………………………………………9分②A 与C 的比赛中A 胜出，C 如果要成为优胜者，接下来的比赛按如下进行：1()()()()()()(),n C A A B B C C A A B B C C A C --→-→-→-→-→-→-→回()*,31,n n ∈+N 共场对*,n ∈N 以上比赛进行的概率为：1111111()(),32336218n n-⨯⨯⨯=⋅ 此时C 在第31n +场比赛后成为优胜者.………………………………………………12分综上所述，C 在第31n -场或者第31n +场比赛后能成为优胜者，在第3n 场比赛后不能成为优胜者，所以11211(),0,()*.69218n n n n n p q r n -=⋅==⋅∈N ，……………13分。
2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（）代入+i•∴∴==取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被的参数方程是=＜=2，5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 或﹣16．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）（（）+sin）+sin+sin）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==8+=21+．=66解：，﹣﹣﹣∴﹣≥，+1＞﹣，+1或﹣时，﹣10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）不妨令=），=||中．已知向量、，||=||=1•=0不妨令=），=则（+，=cos+|||二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．﹣轴对称可得，）的图象向右平移﹣，﹣﹣，故答案为：．的等比数列列式求出公差，则由得：整理得：q=13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n．若点A i（i，）的展开式的通项为）的展开式的通项为，，14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E 于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．（﹣，﹣bc，﹣代入椭圆方程可得==++15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．++++•+++=+•++•+=﹣•≥+2|||≥个个S=2+3S=+2•+2S=4•++++，=•+•+，=+•++•++2•+﹣2||≥⊥，则=||∥，则=4•，与||||4||=4|||4||||+＞﹣=0||=2||=8|=与的夹角为．区域．16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值．A+）的值．a=6a=2cosB=sinB=sinA=sin2B=，A+）则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；，，（+（+×（=，，=，，×+3×+4×+5×=．18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x﹣x，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；＜＜）和（在（19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y=2p1x（p1＞0）和E2：y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的联立，解得联立，解得联立，解得联立，解得因此11111且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；，则，== ahd====，ahdahd所分成上、下两部分的体积之比=1，．21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1=a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．=a+a a，写成相加，上式左边当且仅当，即a a，即＞a a c成立，即从数列。
安徽省江南十校2014届高三上学期9月摸底联考理科数学试卷(解析版)
安徽省江南十校2014届高三上学期9月摸底联考理科数学试卷（解析版）一、选择题1．若得利数z，则z的虚部是（）A B C D【答案】A．【解析】A．考点：复数的运算．2．已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A、［0,2）B、［1,2）C、）D、（0,2）【答案】D．【解析】(0,A B=D．考点：1．函数的定义域、值域；2．集合的运算．3．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A BC D【答案】B．【解析】（1）奇函数；（2）有零点．A不能输出，因为函数没有零点；BB正确；C中的函数不能输出，因为不存在零点；D中的函数不能输出，因为它是偶函数．故选B．考点：算法与框图．4．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A B C D【答案】C．【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是上半部分为底面半径和高都为2的半圆锥，下半部分为底面半径为2，高位1的半圆柱组成的组合体，因此它的体积为C．考点：1．三视图；2．锥体的体积公式；3．柱体的体积公式．5．已知点P是曲线y＝lnx上的一个动点，则点P到直线l：y＝x＋2的距离的最小值为（）A B、2 C D【答案】C．【解析】选C．考点：1．导数的几何意义；2．两平行线的距离公式．6）A B C D【答案】D．【解析】试题分析：平移后所得图像为，关于轴对称，则D．考点：三角函数的图像及其性质．72013位于数阵中第s行，第t列，则s＋t＝（）A、61B、62C、63D、64【答案】B．【解析】B．考点：数列的通项公式．8．的定义域为，值域为［0,2］，则满足条件的整数对（m，n）共有（）A、1个B、7个C、8个D、16个【答案】B．【解析】B．考点：对数函数的定义域、值域．9F1、F2，点P在右支上，且PF1与圆x2＋y2＝a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3（）A、9B、3 C D、1【答案】A．【解析】A．考点：1．双曲线的几何性质；2．直线与圆、双曲线位置关系;3．双曲线焦点三角形面积的计算．10．设的两个极值点分别是若1,0），则2a＋b的取值范围是（）A、（1,7）B、（2,7）C、（1,5）D、（2,5）【答案】B．【解析】B．考点：1．函数极值与导数；2．一元二次方程根的分布问题．二、填空题11．向量a，ba与b的夹角为．【解析】b考点：1．平面向量数量积运算；2．向量夹角公式．12a的最小值是．【解析】()3,,+∞∴考点：1．一元二次不等式的解法；2．必要不充分条件的判断；3．参数最值问题．13．已知x，直线1y k x=+交圆于两点，则【解析】考点：1．定积分的计算；2．直线与圆（相交弦长公式）．14．已知集合集合集合A中任取一个元概率是．【解析】试题分析：满足集合的点有：共个，满足集合的有：-,0,考点：概率的计算（古典概型）．15．对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为（填上所有真命题的序号）①若AB＝AC，BD＝CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。
2014年高考理科数学安徽卷-答案
数学（理科）答案解析
第I卷
一、选择题
1.【答案】C
【解析】 z i z 1 i i (1 i) (i 1) (i 1) 2 ，故选：C.
i
i
【提示】把
z
及
z
代入
z i
i
z
，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.
13.【答案】 a 3
【解析】由图易知 a0 1， a1 3 ， a2 4 .
Cn1
1 a
3 ， Cn2
1
2
a
4
，∴
n 3 a n(n 1) 2a2
4
，解得
a
3
.
【提示】求出 1
x a
n
的展开式的通项为 Tk1
z y ax 取得最大值表示直线 z y x 向上平移移动最大，a 表示直线斜率，有两种情况：a 1或 a 2 ，
故选：D. 【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线 y ax z 斜率的变化，从而
求出 a 的取值.
6.【答案】A
【解析】
8 ，故选：D.
【提示】分类讨论，利用 f (x) | x 1| | 2x a | 的最小值为 3，建立方程，即可求出实数 a 的值. 【考点】带绝对值的函数，函数最值的应用 10.【答案】A 【解析】设 a (1,0) ，b (0,1) .则 OP (cos,sin ) ，OQ ( 2, 2) ，所以曲线 C 是单位圆，区域 为圆
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2014年江南十校高三联考数学试题及答案理科
2014年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C ．解析：()()1,,3,1∞-=-=N M2. A.解析：()()0222212=-⇒+--=+-a i a a i ai 3.C 解析：由题知2,13,322==⇒==b a e c ，这样的双曲线标准方程有两个4.D 解析：由7662a a +=得65=a ，所以54959==a S5.B 解析：值域[]1,2-,3=-a b6.D 解析：将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥7.B 解析：回归直线不一定过样本点8.C 解析：由b a //知332=+y x ，则()849123132233123≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x y x y x . 9.B 解析：根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OC OB ,为邻边的平行四边形，其面积为BOC ∆面积的2倍.在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，代入数据解得7=BC ，设ABC ∆的内切圆的半径为r ，则()11sin 22bc A a b c r =++，解得263r =，所以36736272121=⨯⨯=⨯⨯=∆r BC S BOC ，故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为36142=∆BOC S 10.C 解析：()11sin ,3sin sin )(2≤≤-=-++=t x t a a x a x x f 令,则()aa at t t g 32-++=，对任意 0)(,≤∈x f R x 恒成立的充要条件是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+=≤-=-0321)1(0311a a g ag ，解得a 的取值范围是(]1,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题卡的相应横线上。
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2014年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C ．解析：()()1,,3,1∞-=-=N M2. A.解析：()()0222212=-⇒+--=+-a i a a i ai3.C 解析：由题知2,13,322==⇒==b a e c ，这样的双曲线标准方程有两个4.D 解析：由7662a a +=得65=a ，所以54959==a S5.B 解析：值域[]1,2-,3=-a b6.D 解析：将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥7.B 解析：回归直线不一定过样本点8.C 解析：由b a //知332=+y x ，则()849123132233123≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x x y y x y x y x . 9.B 解析：根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OC OB ,为邻边的平行四边形，其面积为BOC ∆面积的2倍.在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，代入数据解得7=BC ，设ABC ∆的内切圆的半径为r ，则()11sin 22bc A a b c r =++，解得263r =，所以36736272121=⨯⨯=⨯⨯=∆r BC S BOC ，故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为36142=∆BOC S 10.C 解析：()11sin ,3sin sin )(2≤≤-=-++=t x t aa x a x x f 令,则()aa at t t g 32-++=，对任意 0)(,≤∈x f R x 恒成立的充要条件是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+=≤-=-0321)1(0311a a g ag ，解得a 的取值范围是(]1,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在答题卡的相应横线上。
11．223-12.1=a 解析：它的展开式的通项公式为 ()2626611---+-=a x C T r rrr ，则2x 项的系数是15226=-a C，又0>a ，则1=a13.2解析：直线l 的极坐标方程为124sin +=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ，可化为22+=+y x ，∴圆心C （1，1）到直线l 的距离为122211=--+=d ,又∵圆C 的半径为2=r ， ∴直线l 被曲线C 截得的弦长2222=-dr .14⎥⎦⎤⎢⎣⎡27,49解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域为ABC ∆及其内部，又因为212252+++=+++x y x y x ，而12y x ++表示可行域内一点(),x y 和点()2,1P --连线的斜率，由图可知PA PB k x y k ≤++≤21，原不等式组解得()()0,2,2,0B A ,所以232141≤++≤x y ，从而2725249≤+++≤x y x 。
15（1）（3）（4）（5）解析：显然命题（1）正确；（2）四面体的垂心到四个面的距离不一定相等，（2）命题错误；若四面体ABCD 为垂心四面体，垂心为H ,则BH AH ,均与CD 垂直，从而CD AB ⊥,（3）命题正确；设顶点A 在面BCD 上的射影为F ,因CD AB ⊥，所以AB 的射影CD BF ⊥,同理BD CF ⊥,即F 是BCD ∆的垂心，（4）命题正确；由（4）设BF 交CD 于E ,则22222222BD BC DE CE DF CF AD AC -=-=-=-,即2222BC AD BD AC +=+,(5)命题正确。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
解答应写在答题卡指定的区域内。
16．解()132sin 312sin 232cos 232cos 12sin 232cos 21sin 232cos )(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=--+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx x x x x x x x x f ……………4分……………6分 （Ⅰ）,,1)32sin(3)(ππ=∴-+=T x x f ……………8分（Ⅱ）因为 02x π≤≤， 所以34323πππ≤+≤x ． ……………10分 所以当232ππ=+x ，即12π=x 时，)(x f 有最大值13-. ……………12分17解：（Ⅰ）设“取出的3个球中编号最大数值为3的球”为事件A ,则最大数值为3相当于从编号为3,2,1的红色球和编号为3的白色球中任取3个，其概率()513634==C C A P 。
……………4分（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4， ……………5分()2011136===C P ξ,()20323623===C C P ξ,()20633624===C C P ξ,()201043625===C C P ξ,所以ξ的分布列为 ……………9分ξ 1 2 3 4 P 201 203 206 2010故41320104206320322011=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ……………12分18解：对)(x f 求导得()[]x e x a ax x f ⋅--+=212)('2 ① ……………2分 （I ）若34=a ，由1,23,032,0)(212=-==-+='x x x x x f 解得得 ……………3分综合①,可知所以,231-=x 是极大值点,12=x 是极小值点. （注：未注明极大、极小值扣1分）……………6分 （II ）若)(x f 为[]1,1-上的单调函数，又02)0('<-=f ，所以当[]1,1-∈x 时0)('≤x f ，即()0212)(2≤--+=x a ax x g 在[]1,1-上恒成立。
……………8分 （1）当0=a 时，022)(≤--=x x g 在[]1,1-上恒成立； ……………9分（2）当0>a 时，抛物线()212)(2--+=x a ax x g 开口向上，则()x f 在[]1,1-上为单调函数的充要条件是()()⎩⎨⎧≤≤-0101g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-0430a a ，所以340≤<a 。
……………11分综合（1）（2）知a 的取值范围是340≤≤a 。
……………12分19.证明（Ⅰ）如图，连接.E OA O O E 、、分别为1CB BC 、的中点，EO ∴是1BB C ∆的中位线，1//EO BB ∴且112EO BB =.又1//BB DA 且11,2DA BB EO DA ==∴//EO 且DA EO =，∴四边形AOED 是平行四边形，即//DE OA ,又,,//DE ABC OA ABC DE ABC ⊄⊂∴平面平面平面. ……………4分（Ⅱ）BC AC AB ,= 为直径，BC AO ⊥∴,又AO BB ⊥1,从而C BB AO 1平面⊥,AO DE // ，DC B DE C BB DE 11,平面平面⊂⊥∴,∴11CBB DC B 平面平面⊥ ………8分 （III ）如图，作过C 的母线1CC ,连接11B C ,则11B C 是上底面圆1O 的直径，连接11A O ,则11//AO AO ,又111111,AO CBBC AO CBBC ⊥∴⊥平面平面,过1O 作C B H O 11⊥,连接H A1,则C B H A 11⊥,所以11HO A ∠为二面角B C B A --11平面角的补角。
……………10分C C BB BC BB 111,∴= 为正方形，r B O H O C B O 2245sin ,450111011=⋅=∴=∠（r 为圆柱半径），∴在H O A Rt 11∆中，332222cos 221111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==∠r r r HA H O HO A 。
∴平面C B A 11与平面C BB 1所成二面角B C B A --11的余弦值是33-。
……………12分法二：分别以1,,AA AC AB 为z y x ,,轴建系，设,a AC AB ==则a BB BC 21==，平面C BB 1的法向量⎪⎭⎫⎝⎛=0,2,2a a AO ，又()(),2,,0,0,0,111a a C A a B A -==，设平面C B A 11的法向量x )23,(--∞23- )1,23(- 1),1(+∞)(x f '+ 0 － 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗H()z y x n ,,=，则由0,0111=⋅=⋅C A n B A n 得z y x 2,0==，取()1,2,0=n ，则3332222,c o s =⨯=⋅=a a nAO n AO n AO ，∴二面角B C B A --11余弦值是33- 。
………12分20解：（1）由题意知3,2==bc c a ， ……………2分3,2==∴b a ，椭圆Γ的标准方程是13422=+y x 。
……………4分 （2）联立()()012364313422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=q mqy y m y x q my x ……………5分由()()[]()0434********22222>-+=-+-=∆q m q m q m得04322>-+q m ① ……………7分记()()2211,,,y x B y x A ，则43123,4362221221+-=+-=+m q y y m mq y y 因()0,1F ,所以()()22111,1,,1y x FB y x FA -=--=,故B F A ,,1三点共线()()()0111221=----⇔y x y x ……………10分()()()()()()()()()04043123243614312321211112222212112211221≠=⇔=+-=+--++-=+-+=-++-+=----⇔m q m q m m m qq m q m y y q y m y y q m y y q m y y x y x ② ……………12分由①②知B F A ,,1三点共线的充要条件是2>m 且4=q 。
……………13分21解（Ⅰ）由原式可得()()21111212121111+-+-+=-++=-+++nn n n n n n n n t a t a t a a t a ……………2分 记11-+=n n n t a b ，则212211,22111=--=-+=+=+t t t a b b b b n n n ， ……………3分又211,211111=+=+b b b n n ，所以，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n a t 是首项为21，公差为21的等差数列。