常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式① 基础一元二次不等式 如2x 2 x 60，x 2 2x 1 0 ,对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元次不等式，重点关注 解区间的“形状”。

当二次项系数大于 0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。

3又如x 2 ax 4-，令t x 2，再对a 进行分类讨论来确定不等式的解集2③含参数的一元二次不等式 解法步骤总结：序号步骤1首先判定二次项系数是否为0，为0则化为一元一次不等式，再分类讨论 2二次项系数非0,将其化为正的，讨论 判别式的正负性，从而确定不等式的解 集3若可以直接看出两根，或二次式可以因 式分解，则无需讨论判别式，直接根据 不同的参数值比较两根大小4综上，写出解集如不等式x 2 ax 1 0，首先发现二次项系数大于 0,而且此不等式无法直接看出两根,所以，讨论a 2 4的正负性即可。

0,R以只需要判定a 2和a 的大小即可。

a 0or a 1,{x R| x a} 此不等式的解集为0 a 1,( ,a 2) (a,) 2a 0or a 1,(, a) (a ,)又如不等式ax 2 2(a 1)x 4 0 ,注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成2x x 60的解为（当二次项系数大于|,2）0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。

2x 10的解为（,1 . 2) (1 .2,)当二次项系数小于②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元） 如3x 1 x 的范围 0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。

9x 2，令t 3x ，原不等式就变为t 23t 2 0，再算出t 的范围，进而算出此不等式的解集为0,{x 0,(R|x 自又如不等式x 2 （a 2 a ）x a 30，发现其可以通过因式分解化为(x a)(x a 2)0，所)(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0 的示意图见下。

2(ax 2)(x 2)0 ,然后开始判断两根 -和2的大小关系，这样做是有问题的。

a事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式， 所以参数a 是有可能为 0的。

讨论完a 0的情况再讨论a 0和a 0的情况。

所以此不等式的解集应该是：a 0,( ,2) 2 a 0,( ,2)a2a 1,( -) (2,)aa 1,{x R|x 2} 0 a 1,(,2) (2,)a注意，a 0和a 0时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。

二、数轴标根法(又名穿针引线法)解不等式这种问题的一般形式是 (x a i )(x a 2)(x a 3)...(x a n )0 (或，，)步骤：① 将不等式化为标准式，一段为 0,另一端为一次因式的乘积 (注意！系数为正) 或二次不可约因式(二次项系数为正)。

② 画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。

③ 记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

例如，求不等式(X 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0的解集，画出图如下，发现解集为为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式 (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 0来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为 (4,)②两正两负，只能是(x 1),(x 2)正， (x 3),(x 4)负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(，1)。

综上，解集为这三种情况 的并集。

当不等式左侧有奇数项的时候同理。

由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是 错误的。

注意，这种方法要灵活使用，若不等式为(x 1)2(x 2)(x 3)(x 4) 0，使用数轴标根2法得到的解集显然和上述不一样，因为 (x 1)是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。

分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0,另一边为含x的多项式。

把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为丄凶0 (或g(x),,的形式)，此时解f(x)g(x) 0就可以解出原不等式的解集。

特别地，若要解器0,则解f(x)g(x) 0 即可。

g(x) 0例如22x 8x x 61，移项化简得2x 3x 2~2x0，使用穿针引线法得到解集为x 6{x|x 2或1 x 2或x 3}，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。

例：一道比较复杂的题，求坐耳x 2解：原不等式通过移项通分可化为(a 1)x (a 2)0，由于a 1，所以可以进1(a 1)的解集，现写出此题的完整解题过程。

步化a 2(a 1)(x ) a 2为西丄0，两根为a 221时,1时,①当0②当a③当a冷(2，)解集为两根的两边，显然有「2，所以此时解集为(a 1解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。

a 211时，a0时，匚2a 10时，匚a 12，此时解集为(2,皂二)a 1 2，此时解集为2，此时解集为(~ ,2)a 1a的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了至此，当然，如果这道题不给a 1的限制条件，只需要再讨论一下a 1时的解集情况即可。

补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题1①求-1的解集x②求1x1的解集 ③求1x1的解集 ④求1x1的解集 ⑤求31-2的解集 x1 1解答：①(0,1)②(，0) (1,)③(1,0)④(，1)(0,)⑤(，丄)(-,)，注3 2意①②的区别 四、绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题思想为 ①直接脱去绝对值符号f (x) g(x) g(x) f (x) g(x)， f(x) g(x) f (x) g(x)或f (x)g(x)② 构造函数，数形结合③ 在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论(分类讨论思想随处可见)④ 平方法(不等式两边都是非负时才能用，慎用)11 -的图像如下，然后分x1 1 ③当0 a 1时，y f(x)的图像与y a 的图像交点横坐标为 —，此时解集为1 a 1 a1 厂 a'1 a例：图形法某经典问题，解不等式 类讨论a 的取值，通过观察 yf (x)和ya 的图像，来确定不等式的解集情况。

2 2④当a 1时，y f(x)的图像与y a的图像交点横坐标为丄，丄，此时解集为1 a 1 a1 1),(1 a 1 ag(x) f (x) g(x)也可以做，化成a 1 - a，只是在x 讨论的时候需要细心，考虑到a的所有取值。

绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧例如x 1 x 2 5，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论①当x 1时，原不等式化为2x 1 5，解得x 2②当2 x 1时，原不等式化为3 5，显然无解③当x 2时，原不等式化为 1 2x 5，解得x 3综上，原不等式的解集为三种情况下的并集(注意，为什么是并集而不是交集？) ，(，3］［2,)技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将x 1看成数轴上点x到点1的距离，将x 2看成x到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间［2,1］的点(绿色点)至皿间端点的距离之和为3,位于区间［2,1］之外的点到区间端点的距离之和大于3,特别地，在2处和-3处距离之和为5,所以令x继续远离区间［2,1］，发现距离之和大于5。

2F ------------ O -------------- -- -----------• ------------- tn--2 1也就是说x 1 x 2的取值范围是［3,］同理，遇到减号的情况，例如x 3 x 1，发现其取值范围是［4,4］此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。

例1：若存在实数x使得不等式x 1 x a 1成立，则a的取值范围是 _ ?(答案［2,0］)例2:不等式x 2 x 1 2的解集是________________ ?(答案(丄］)2五、无理不等式无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。

(终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用) 。

对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。

.f(x)g(x)g(x)0 g(x) 0或2(注意这里为什么没有与 f (x) 0 ?) f(x)0 f(x) [g(x)]g(x)0.f(x)g(x)f(x)0当然此题使用f (x) g(x)f(x)2[g(x)]。