第二章初等模型习题解答 (1)
1 题目：生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动动物 体重（g ） 心率（次/分）田鼠 家鼠 兔 小狗 大狗 羊 人 马25 670 200 420 2000 2055000 120 30000 85 50000 70 70000 72 450000 38解：动物消耗的能量P 主要用于维持体温，而体内热量通过表面积S 散失，记动物体重为ω，则3/2-∝∝ωS P 。
P α正比于血流量Q ，而qr Q =，其中q 是动物每次心跳泵出的血流量，r 为心率。
合理地假设q 与ω成正比，于是r P ω∝。
综上可得3/1-∝ωr ，或3/1-=ωk r 。
由所给数据估计得310897.20⨯=k ，将实际数据与模型结果比较如下表： 动物实际心率（次/分） 模型结果（次/分） 田鼠 家鼠 兔 小狗670 715 420 375205 166 120 122大狗 羊 人 马85 67 70 57 72 51 38 27一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身长()cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量()g 756 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围()cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设⑴ 设鱼的重量为；⑵ 语的身长记为；模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。
即31v k w =，1k 为比例系数。
不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k =0.0146，2k =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表：实际重量()g76548211627374821389652454模型31v k w = 727 469 1226 727 483 1339 675 483 模型l d k w 22=73046511007304831471607483结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意， 上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。
可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。
3 题目：考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。
给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。
本题是由关物理量之间关系的问题，很明显我们可以用物理量的量纲齐次原则，建立模型确定各个物理量之间的关系。
本题中涉及的物理量有阻力f 、摆长l 、质量m 、重力加速度g 、周期t 。
分别分析各个物理量的量纲，由于阻力f 与摆的速度成正比所以f的量纲与v 的量纲相同[f]=[v]=LT 1-,[t]=T,[m]=M;[g]=LT 2-,[l]=L 。
设这些物理量之间的关系为：4321a a a a fg l m t λ=,因此量纲表达为：4321][][][][][a a a a f g l m t =把各个物理量的量纲带入量纲表达式得：4321)()(12a a a a LT LT L M T --= 按照量纲齐次原则应有 最后解得：)(2121mg kl g r t ϕ=作物理模拟的比例模型时，设g 和 k 不变，设模拟模型和原模型的周期、摆长、质量分别为：m m l l t t ''',,,,,那么只要m m r r //'='就有r r t t '='4 题目：小球做竖直上抛运动：质量为m 的小球以速度v 竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数k 。
设初始位置为x =0，x 轴竖直向上，则运动方程为：m ••x +k •x +mg=0,x(0)=0,•x （0）=v ，方程的解可表为x =x (t ;v ,g ,m ,k ).试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k 很小时求近似解的可能性]30[建模与解题：注意到[k ]=m t1-,,(1)选取特征尺度tc=m 1-k,xc=2v ,则方程化为2ε••-x+2ε•-x +1=0，-x （0）=0，•-x （0）=1-ε——（1）其中ε=kv /mg ，解可表示为-x =-x （-t ；ε）。
k 很小时ε很小，（1）无解。
（2）选取tc=v 1-g ，c x =2v 1-g ，则••-x +ε•-x +1=0，-x （0）=0，•-x （0）=1ε同上，-x 表达式同上。
但当k 很小时（2）有解。
它正是原问题忽略阻力时的近似解。
5 录象机计数器的用途一、问题：老式的录象机上有计数器，而没有计时器,计数器的读数并非均匀增长，而是先快后慢，那么计数器读数与录象带转过的时间之间有什么样的关系呢？在适当的假设下建立表述这个关系的数学模型． 二、模型假设：1）录象带的线速度是常数v ；2）计数器的读数n 与右轮盘转的圈数（记作m ）成正比n k m *=，k 为比例系数；3）录象带的厚度（加上缠绕时两圈间的空隙）是常数w ，空右轮盘半径为r ; 4)初始时刻t =0时n =0; 三、建立模型：当右轮盘转到第i 圈时其半径为i w r *+，周长为2π*(r+w*i)π，m 圈的总长度恰等于录象带转过的长度t v *，即： 四、模型求解：因为m=k*n 有:12*(*)*mi r w i v t π=+=∑推出：221()*2******2r w k n K n w v tππ++=考虑w<<r 所以有222*******k r n k n w v t ππ+=推出：222******k r n k n wt v vππ=+我们可以应用Mathematica 编程求解，程序如下： Slove[∑=nk i *12π*(t v i w r *)*==+,t ]结果为:vw n k w n k r n k t ******222++=*π6 问 题：质量为m 的小球以速度v 竖直上抛，阻力与速度成正比，比例系数为k ，设初始位置为x x ,0=轴竖直向上，则运动方程为方程的解可表示为),,,;(k m g v t x =。
试选择两种特征尺度将问题无量纲化，并讨论k 很小时求近似解的可能性。
问题分析：所谓无量纲化是指：对于变量x 和t 分别构造具有相同量纲的参数组合x c 和t c ，使新变量为无量纲量。
x c 称为特征长度，t c 称为特征时间。
统称特征尺度或参考尺度。
问题求解：[]t m k 1-=可以选取以下两种尺度将问题无量纲化（1） 选取尺度gvx k t c c m 121,--==，则方程化为aa ax x x x 122)0(,0)0(,01-===++ （1） 其中mgkva =，解可以表示为);(a t x x =。
k 很小时（1）无解。
（2） 选取尺度gvx g t c c v 121,--==，则方程化为1)0(,0)0(,01===++x x x a x（2）其中mgkva =，解可以表示为);(a t x x =。
k 很小时（2）有解。
它是原问题忽略阻力时的近似解。
结 果：原问题忽略阻力时运动方程为v x x mg xm ===+)0(,0)0(,0 （3） 解方程（3）可得：7 题目一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上来的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身身长()cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.932.1重量()g 756 482 1162 737 482 1389 652454 胸围()cm24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.921.6问题分析本题为了知道鱼的重量，用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量，这种方法只能针对同一种体形相似鱼，但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西，所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在此，我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的，密度也大体上是相同的。
模型假设⑴ 设鱼的重量为；⑵ 语的身长记为； 模型的构成与求解因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的，密度也相同，所以鱼的重量w 与身长l 的立方成正比，即，为这两者之间的比例系数。
即31v k w =，1k 为比例系数。
不过常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上面的模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待，如果只假定鱼的截面是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是l d k w 22=，2k 为比例系数。
利用题中给的数据，估计模型中的系数可得：1k =0.0146，2k =0.0322,将实际数据与模型结果比较如下表： 实际重量()g 765 482 1162 737 482 1389 652 454 模型31v k w = 727 469 1226 727 483 1339 675 483 模型l d k w 22=73046511007304831471607483结果分析及评注通过上面的一系列分析，可见估计的两个模型基本上都能让垂钓者满意，从上表中我们可以看到，两个模型算得的结果与鱼的实际结果相差不大，所以，在同一种鱼整体形状相似的，密度也相同的情况下，用身体长度去估计它的体重和考虑鱼身的情况下估计鱼的体重都是可行的。
可见这种类比法对于解释一些问题，还是非常重要的，我们得多多借鉴。
8题目. 雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
数学建模实验答案初等模型
数学建模实验答案初等模型Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】实验02 初等模型（4学时）（第2章初等模型）1.（编程）光盘的数据容量p23~27表1 3种光盘的基本数据CAV光盘：恒定角速度的光盘。
CLV光盘：恒定线速度的光盘。
R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1。
CLV光盘的信息总长度(mm) LCLV2221()R Rdπ-≈CLV光盘的信息容量(MB) CCLV= ρL CLV / (10^6)CLV光盘的影像时间(min) TCLV = CCLV/ ×60)CAV光盘的信息总长度(mm) LCAV222Rd π≈CAV光盘的信息容量(MB) CCAV= ρL CAV / (10^6)CAV光盘的影像时间(min ) TCAV = CCAV/ ×60)（验证、编程）模型求解要求：①（验证）分别计算出LCLV, CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。
程序如下：②（编程）对于LCAV, CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。
★要求①的程序的运行结果：★要求②的程序及其运行结果：（编程）结果分析信道长度LCLV 的精确计算：212R CLVR L dπ=⎰模型给出的是近似值：2221()CLV R R L L dπ-=≈相对误差为：CLV L LLδ-=要求：①取R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1（题1）。
分别计算出LCLV, L和delta三个3行1列的列向量，仍后将它组合起来输出一个3行3列的结果。
②结果与P26的表2和P27（教材）的结果比较。
[提示]定积分计算用quad、quadl或trapz函数，注意要分别取d的元素来计算。
要用数组d参与计算，可用quadv（用help查看其用法）。
矩阵分析第2章习题解
第二章习题1、 用初等变换把下列矩阵化为标准型 （1）322253λλλλλλ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ （2）23100(1)λλ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ （3）22211λλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭（4）2(1)0000(1)λλλλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭解: （1）322253λλλλλλ⎛⎫- ⎪+⎝⎭2122()23233235351102033r r λλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫+⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭32103λλλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭（2）231(1)λλ⎛⎫-⎪-⎝⎭212222(3)32211110331(3)(1)4(1)r r λλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪-+-----⎝⎭⎝⎭[因为32331λλλ-+-除以21λ-商为3λ-余式为4(1)λ-]222222114(1)(3)(1)(3)(1)4(1)11λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭211(3)(1)42224(1)011(1)(3)(1)(1)4c c λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⎪ ⎪--+-+-⎝⎭31(1)(1)λλλ-⎛⎫⎪+-⎝⎭（3）22211λλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭222101λλλλλλλλ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭222221001(1)(1)λλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪-⎪ ⎪++-++-++⎝⎭43321000λλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭ 43210002λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 221(1)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭(4)2(1)000000(1)λλλλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭ 2(1)00021λλλλλλ+⎛⎫⎪⎪⎪++⎝⎭32(2)(1)000(2)1r r λλλλλλλ-++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭1(2)0000(1)λλλλλλ-+⎛⎫⎪⎪⎪+⎝⎭21(2)00(2)000(1)λλλλλλλ-+⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪+⎝⎭ 210(1)000(1)λλλλ⎛⎫⎪+⎪⎪+⎝⎭2100(1)000(1)λλλλ⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭2、试证：Jordan 块 10()0100J αααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于0000αεαεα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，这里0ε≠是任意实数。
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
第二章 初等数学建模
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
赌场如战场，有胜亦有败。 例5 常胜的赌徒 ，那么赌徒到底至少要 。但 要做到长胜， 要做到长胜 赌场如战场，有胜亦有败
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p,显 k . = 2[ln(1−ξ )/ln q]+1 −1 然连输K次的概率为 q 因此开k次至少有一次赢 不难解出：QMIN k 的概率为 − q。不论“常胜的概率p0有多大，只 1 . k 要p0 >0且q <1,只要K充分大,必有 1− q > p0 。 即只要赌徒有足够多的本钱，则可百赌百胜。
是不是花6分钱 准可以得到 是不是花 分钱,准可以得到 粒红色的糖 分钱 准可以得到2粒红色的糖 或者她花去8分钱准可得到 粒白色的糖, 或者她花去 分钱准可得到2粒白色的糖 分钱准可得到 粒白色的糖 所以她需要花8分钱是吗 分钱是吗? 所以她需要花 分钱是吗 ---
如果出售机内有6粒红色的 粒白色 如果出售机内有 粒红色的,4粒白色 显然只要花4分钱即可 分钱即可. 显然只要花粒红色的 分钱即可 粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少 的,5粒蓝色的 琼斯夫人最多要花多少 粒蓝色的 如果琼斯夫人的孩子是三 钱? 胞胎 那该怎样呢 胞胎,那该怎样呢 那该怎样呢?
然应当把水池、 盘子大小相同， 然应当把水池、 ，你还应当调查 可见 ，假设条件 的提出不 ：盘子大小相同， 易回答了，当然， 易回答了，当然 假设我们了解到 空气等吸热的因 我们了解到： 假设我们了解到 仅和你 研的 洗过的， 洗过的，其后可能还会再用清水 （4） ，素都考虑进去，但餐馆老板的原 ） 均为瓷质菜盘， 是一 有关，素都考虑进去， 问题 有关每个盘子的洗涤时间 △T是一 、 还和 ，更换热水并非因为水太脏 你准备利用哪些知 识 一下一池水的质量是多少， 一下一池水的质量是多少，查一 均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠 冲洗， 冲洗 个常数。（ 。（这一假设甚至可以去掉 个常数。（这一假设甚至可以去掉 。 意只是想了解一下一池热水平均 准备建立什么样的模型以及你准 备研 一 下瓷盘的吸热系数和质量等。 下瓷盘的吸热系数和质量等 盘子浸泡在热水中， 盘子浸泡在热水中，然后 。 水不够热了。 了，而是因为 水不够热了 不要） 清洗。 即在你提出假设时， 不要） 清洗。 ，即在你提出假设时， 大约可以洗多少盘子， 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 究的深入程度有关， 究的深入程度有关 焉用牛刀？ 焉用牛刀？ 你建模的框架已经基本搭好了。 你建模的框架已经基本搭好了。
线性代数第二章习题及解答
··· ··· .. . ···
∗ ∗ . . .
2 a2 n1 + · · · + ann
(1)
(2)
2 2 由 A2 = 0 得到 a2 0 i1 + ai2 + · · · + ain = 0, i = 1, 2, . . . , n 于是 aij = ( ) 1 2 2 cos θ sin θ 8. 设 A = ,B = , C = 2 1 −2 − sin θ cos θ 2 −2 1
证明：|A−1 | =
|A| = ±1
1 |A|
注意到 A−1 的元素为正数所以其行列式必为整数， 即
1 |A|
为正数， 于是只有
若 |A| = ±1, 由于 A−1 = 整数.
A∗ |A|
注意到 Aij 为整数，于是 A∗ 的元素必为整数，则 A−1 的元素为
1 3 0 0 0
0 2
20 −1 −1 0 , P AP = 0 1 0 求 A 0 0 2 1 2 520 0 0 解：P AP −1 P AP −1 · · · P AP −1 = P A20 P −1 = 0 1 0 20 0 0 220 520 0 0 2 · 520 − 1 1 − 220 2 · 520 − 221 20 20 那么 A20 = P −1 2 · 520 − 221 0 1 0 P = 2 · 5 − 2 2 − 2 0 0 20 −520 + 1 −1 + 220 −520 + 221 19. 设 A, B, A + B 可逆， 证明 (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B )−1 B
数学建模-初等模型讲义
123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例 分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。 贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23
第二章初等模型(精)
Ta
Tb l
k1 Tb
T2 d
解得：
Ta
1 k1l k2d T1 T2
2 (k1l) /(k2d )
Q
k1
T1(1来自k1l k2d )T1 2 k1l k2d
d
T2
k1
d
T1 2
T2 k1l k2d
f(h)
1室
室 外
0.9 0.8
内 T1
类似有
Q
2、室内温 度T1与户外温 度T2均 为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数 为常数。
室 设玻璃的热传导系数 为k1，空气的
室
内 热传导系数 为k2，单位时间通过单
外
Ta
位面积由温度高的一侧流向温度低 T1 的一侧的热量为Q
T2
Tb
由热传导公式 Q =kΔT/d
dl d
Q
k1
T1
d
Ta
k2
Q'
k1
T1 T2 2d
2
T2 0.7 0.6
Q' 2 (k1l) /(k2d )
0.5 d 0.4d
一般 k1 16 ~ 32 k2
故
Q Q'
1 1 8l / d
0.3
1
记h0=.2l/d并令f(h)= 8h 1 此函数的图形为
0.1
考虑到美00观和1 使2用上3的方4 便，5 h不6必取7 得过8 大9，例1如0h，可
取h=3，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗
时的 3% 。
§2.3 崖高的估算
假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。
第2章 初等模型(数学建模)
40
50 60 70 80
58.7
73.3 88.0 102.7 117.3
116（124）
173（186） 248（268） 343（372） 464（506）
126.2
187.8 261.4 347.1 444.8
2.1
2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
“公平”分配方 法 人数 席位
A方 B方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平
若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
系别 学生 比例
20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4
21席的分配
比 例 加 惯 例
人数 （%） 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0
总和 200
100.0
20.0
20
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!