上海高中数学-复数讲义
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件 (共18张ppt)
复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C 纯虚数集 实数集
决卡丹问题与邦贝利问题： 5、“虚数不虚”
意大利数学家卡尔丹 （G.Candano,1501-1576）
复数的概念
x2 10x 40=0 x 5 15, x 5 15
意大利数学家卡尔丹 （G.Candano,1501-1576）
(5 15) (5 15) 10, (5 15) (5 15) 40
一元二次方程的根有三种情形
问：对照前两种情形，第三种显得不太和谐， 能否有一种比较和谐的状态？
只存在于“想象之中”。 -1 i a (a 0) ?
- ai
思考？
这个例子告诉我们 -1只是个记号，我们
用 i 来表示 i 2 1，不能说明负数就可以
参与平方根运算了。
2、探究复数的一般形式
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数(complex number),
通常用字母z表示。 全体复数所形成的集合叫做复数集(complex set)，
用！
同学们你们发现什么？
负数 赋予意义
今天我们遇到了负数开平方这个超越实数
复 范围的问题，就是希望引入的数的平方为负数，
但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入 那么多，只要引入平方为多少就行了呢？
？2 负数
数 的 引
1777年欧拉提出 i 用来表示 i2 = 1
入
他用了“imaginary”一词的首字母，本意是它
沪教版高中数学高二下册 -13.1复数的概念 课件
知识运用
例2 已知(2 x y ) i 1 (2 y )i,其中x, yR， 求 x, y 的值.
例3 当实数 x, y为何值时，复数 zx23x(y22y8)i等于4.
练习3：P75（3，4）
课堂小结
一、知识内容
（1）复数的相关概念 （2）复数相等的充要条件
二、思想方法
转化思想： 即复数问题实数化！
作业布置
练习册：13.1 A组
思考题：
在实数集中，两个实数之间存在几 种关系？那么在复数集中，两个复数之 间呢？
谢 谢 指 导！
4、年轻是我们唯一拥有权利去编织梦想的时光。 15.一个人幸运的前提，其实是他有能力改变自己。 13、如果刀刃怕伤了自己而不与磨刀石接触，就永远不会锋利。 3.任何的限制，都是从自己的内心开始的。 3.最能让人感到快乐的事，莫过于经过一番努力后，所有东西正慢慢变成你想要的样子！ 15.世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 14、壮志与毅力是事业的双翼。 6、莫愁前路无知己，天下谁人不识君。 1. 只有经历过地狱般的磨砺，才能练就创造天堂的力量；只有流过血的手指，才能弹出世间的绝响。 5.成大事不在于力量多少，而在能坚持多久。 3、如果知道光阴的易逝而珍贵爱惜，不做无谓的伤感，并向着自己应做的事业去努力，尤其是青年时代一点也不把时光滥用，那我们可以武 断地说将来必然是会成功的。——聂耳 13.心若改变，你的态度跟着改变;态度改变，你的习惯跟着改变;习惯改变，你的性格跟着改变;性格改变，你的人生跟着改变。 8.有望得到的要努力，无望得到的不介意，无论输赢姿态都会好看。 8.说服自己、感动自己、征服自己，带着真诚感恩的心，勇敢地走完选定的生活道路，决不回头。 12、自信是成功的先决条件。 4.生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 3、开启中考成功之门，钥匙有三。其一：勤奋的精神；其二：科学的方法；其三：良好的心态。 4. 不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。
(完整版)高中数学复数讲义.教师版
复数知识内容一、复数的看法1．虚数单位i:（1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律依旧建立．（3） i 与－ 1 的关系 :i 就是1的一个平方根，即方程21 的一个根，方程21 的另一个根是 -i ．x x（4） i 的周期性：i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ．实数 a( b0)2．数系的扩大：复数a bibi( b0)纯虚数 bi( a0)虚数 a非纯虚数 a bi( a0)3．复数的定义：形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的会集叫做复数集，用字母 C 表示4．复数的代数形式 :平时用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：关于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 06．复数集与其他数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C7．两个复数相等的定义：假如两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，假如a，a，b，d，c ，d R ，那么 a bi c di a c ，b d二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．关于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确立的复数是z 0 0i 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数z1与z2的和的定义：z1z2 a bi c di a c b d i2．复数z1与z2的差的定义：z1 z2 a bi c di a c b d i3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14．复数的加法运算满足联合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 )5．乘法运算规则：设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i其实就是把两个复数相乘，近似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，而且把实部与虚部分别合并．两个复数的积依旧是一个复数．6．乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1 z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z 1 z 2 z 3z 1 z 2 z 1 z 37． 复数除法定义：满足 c di x yia bi 的复数 x yi ( x 、 y R )叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：(a bi)c di 也许abic di8． 除法运算规则：设复数 a bi ( a 、 b R ) ，除以 c di ( c ， d R )，其商为 x yi （ x 、 yR ) ，即 ( a bi) c dixyi ∵ xyi c dicx dydx cy i∴ cxdydx cy i a bix ac bdcx dy ac 2d 2由复数相等定义可知，解这个方程组，得dxcyb bc，yadc 2d 2于是有 : (a bi)cdi ac bdbc adi2 222cdcd ②利用c di c di c 22abi的分母有理化得：d 于是将 c di原式a bi (abi)( c di) [ ac bi ( di)] (bc ad)ic di (cdi)( cdi)c2d2(acbd ) (bc ad)i ac bd bc adc 2d 2 c 2 d 2 c 2d 2 i ．∴ ( (abi)c di ac bd bc adc 2d 22d 2ic评论 : ①是惯例方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采纳的分母有理化思想方法，而复数 c di 与复数 c di ，相当于我们初中学习的3 2 的对偶式 3 2 ，它们之积为1是有理数，而 c di c dic 2d 2 是正实数．所以可以分母实数化．把这类方法叫做分母实数化法．9． 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
上海高考数学复数知识点
上海高考数学复数知识点复数，作为高考数学中的一个重要概念，广泛应用于各个数学分支中。
对于上海高考来说，对复数的理解和应用是考生必备的数学知识之一。
本文将全面介绍上海高考数学中的复数知识点，帮助考生更好地掌握这一内容。
一、复数的引入1. 实数的不完备性在高中数学中，我们知道实数是由有理数与无理数构成的。
然而，即便是把这两类数合并在一起，仍然有些问题无法解决。
例如，方程x²=-1在实数范围内无解，这就引出了复数的概念。
2. 复数的定义复数由实部和虚部构成，形如a+bi。
其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面上的点表示，实部对应的是点在实轴上的投影，虚部对应的是点在虚轴上的投影。
二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法就是实部相加，虚部相加。
例如，(3+2i)+(5+4i)=8+6i。
减法同理，即实部相减，虚部相减。
2. 乘法和除法复数的乘法则是根据分配律展开进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法可以通过有理化的方法进行，具体推导与实数的除法类似。
3. 共轭复数一个复数的共轭复数由实部保持不变，虚部变号得到。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
共轭复数的应用十分广泛，例如求复数的模、求复数的平方等等。
三、复数的性质和定理1. 关于复数的模复数的模是指复数到原点的距离，记作|z|。
对于复数a+bi，它的模为√(a²+b²)。
复数的模具有非负性、三角不等式和模的性质等特点。
2. 欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，被广泛应用于各个领域。
它的表达形式为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e表示自然对数的底，i为虚数单位，x为实数。
3. 复数根的性质对于复数z的n次方根，一共有n个解。
这些解在平面上均匀分布在一个圆周上，称为复数单位圆。
复数根的求解可以利用欧拉公式和三角函数理论来处理。
第9章 复数(单元复习课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
＋
cosπ6＋isinπ6
2＋…＋
cosπ6＋isinπ6
n －1＝
1－
cosπ6＋sin
π 6
n
1－
cosn6π＋sin
nπ 6
1－ cosπ6＋sinπ6 ＝
1－
cosπ6＋sin
π 6
，
当 n＝12 时，上述复数为 0，即可回到原点．
2a＝2，
a＝1，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选 A.
a2＋b2＝2b， b＝1.
(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝32＋＋2ii2，则zz12＝(
)
A．－4＋3i
B．3＋4i
C．3－4i
D．4－3i
(2)D (2)zz12＝2－33＋i22i＋i2 ＝2－33＋i23i－32－i22i＋ i2 ＝－13i133＋4i＝4－3i.]
i的幂有周期性，周期为4.
i i2 1 i3 i i4 1
2.复数的相关概念
(4)复数相等：
设a,b, c, d R. ①a bi c di a c且b d; ②a bi 0 a b 0.
作用：将复数问题转化为实数问题．
注：①若两个复数能比较大小，则它们必为实数. ②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小. 如：3与1+2i不能比较大小；2+3i与1+2i不能比较大小.
一个探险家无意中得到一张藏宝图，图上画着一座海 岛，海岛上有两座宝塔A和B，以及一座寺庙，藏宝图用一种 比较特别的方式指出了宝藏的位置．
从寺庙开始沿直线走向宝塔A，到达后记下距离并向左转 90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处做一记号．再回到 寺庙，同样沿直线走向宝塔B，到达后记下距离并向右转 90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处再做一记号，两个 记号连线的中点就是宝藏所在的位置．
数学基础讲义-第九章复数
第九章复数复数是对实数域拓展得到的新的数域，然而复数其实并不算是全新的概念，它与已经学习的实数和向量都有直接联系。
根据实数的运算进一步推广即可得到复数的性质和运算规律；复数与向量在形式上具有诸多相同点并能建立起对应关系。
复数也具有显著的“数形结合”的特点，通过虚数单位i将“数”与“形”更加直接地结合了起来。
高中阶段对复数的学习和考察的内容较为基本，可以将学习本章当作对代数运算与向量知识的复习。
一、虚数与复数从用于计数的自然数开始，先根据加法和减法拓展到整数，再根据乘法和除法拓展到有理数，又根据乘方和开方拓展到实数，现在进一步拓展到复数。
1.1 实数与虚数解一元二次方程时，根据各项系数可以判断方程根的情况。
对于一元二次方程20ax bx c（0a ）配方得：2224 (24b b ac xa a等式左边是完全平方数，恒大于等于0，由此可得：若240b ac，则方程有2个不同的实根。
若240b ac，则方程有2个相同的实根，或称只有1个实根。
若240b ac，则方程有没有实根。
为了令一元二次方程总是有解，现在规定根号内也可为负数，即：虚数。
现在只简单生硬地规定：对于虚数的具体含义，接下来将根据该规定，结合具体运算进行推导。
为方便地表示虚数，再引入一个新的单位：虚数单位，一般用符号i 表示。
其定义式为：i将实数的乘法运算作用于虚数单位i 。
任意虚数都可以用一个实数与虚数单位i 的乘积表示：5i根据虚数单位的定义i ，可得到关于i 的一系列运算规律：221i321i i i i i4242()(1)1i i即：对于任意k Z ，都有：41k i ，41k i i ，421k i ，43k i i 虚数的表示方式也适用于实数，只是通常被省略了。
若将“1”看作“实数单位”，即：1 。
“实数单位”“1”1 。
可以将实数和虚数看作分别属于两个不同“空间”的数，实数以1）为单位，在“实在”的空间内；i ）为单位，在“虚拟”的空间内。
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件(共12张PPT)
我们希望i能与实数进行加、减、乘、除运 算，会产生哪些形式的“新数”呢？请举例；
这些数能用统一的形式表示吗？
复数的概念
例2.实数m取什么值时,复数 z = m²+m-2+(m²-1)i
是:(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数（4）0
数系的扩充
自然数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
正整数 负整数 自然数
零
分数 整数
虚数
无理数 有理数
实数
复数
印度人
实际需要
实际需要
印度人
古希腊
几何直觉
古希腊
内部发展
内部发展
实际需要 毕达哥拉斯
实际需要
内部发展
虚数的历史
卡
笛
尔
卡
丹
尔
1545年卡尔丹在解方程的过程中第一 次大胆使用了负数平方根的概念。
欧 拉
1637年法国数学家笛卡尔率先给这种
新数取名为虚数（imaginary）。
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ复数z 是
纯虚数．
思考： a = 0 是 z = a + b i(a,bR)为纯虚 数的 必要不充分 条件.
归纳小结
1.数的发展过程： N Z Q R C
2.复数有关概念：
虚数单位 复数的形式: z a b(a i,b R )
复数的分类
复数相等
ab icd iba
高 斯
1777年著名的数学家欧拉首次用ｉ表示 1801年，高斯系统地使用这个符号，
-1 的平方根，但认为它们是虚幻的。 才使i通行于世。
没有复数，便没有电磁学， 便没有量子力学，便没有 近代文明----陈省身
高中数学课件-复数及其三角形式(讲义)
【知识要点】1.虚数单位引入一个新数i ，叫做虚数单位，规定：21i =-。
0a ≥a R ∈。
2.复数集及其分类形如(),a bi a b R +∈的数称为复数，复数集用字母C 表示。
只有实数之间才能比较大小。
复数()(0),(0,0)(0)(0,0)b a bi a b R a b b a b =⎧⎪+∈=≠⎧⎨≠⎨⎪≠≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数的虚数3.复数的实部、虚部、共轭、模对于(),z a bi a b R =+∈，a 叫做复数z 的实部，记作Re z ；b 叫做复数z 的虚部，记作Im z 。
对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的共轭复数z a bi =-。
对于(),z a bi a b R =+∈，定义它的模z = 复数相等的充要条件(),a bi a b R +∈与(),c di c d R +∈相等的充要条件是a c =且b d =4.复数的运算加减法：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++，()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+- 乘除法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，()22220a bi ac bd bc adc di i c di cd c d++-+≠=++++ 把()n n N+∈个z 相乘记作nz，定义()1,0nn zn N z z-+=∈≠，定义()001z z ≠= n 次方根若(),2n x z n N n +=∈≥，则称x 为z 的n 次方根。
2次方根又称平方根，3次方根又称立方根。
非零复数在复数域内有n 个n 次方根。
复数及其三角形式【例题1】若()23f z z z i =+-，0()63f z i i +=-，试求0()f z -．【例题2】若()220,0x xy y x y ++=≠，求20182018x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭【例题3】设z 为复数，且0z z -≠，2r z z+∈R ，0r >，证明：z r z r -+是纯虚数．【例题4】设z 是虚数，1w z z=+是实数，且12w -<<． ⑴求z 的值及z 的实部的取值范围；⑵设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；⑶求2w u -的最小值．【例题5】（1）12122,3,4z z z z ==+=，求1122,z z z z -（2）2z z z R z-=∈，求z【例题6】（1）设复数1z ，2z 满足12120z z A z A z ⋅+⋅+⋅=，其中A =12z A z A +⋅+的值．（2）已知复数12,z z 满足122,3z z ==；12632(3)5z z i -=+；试求12z z 的值；【例题7】k R ∈，z C ∈ ，1z =，求21z kz ++的最大值【例题8】复平面单位圆上四个不同点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数是1234,,,z z z z ，12340z z z z +++=，求证：1234,,,Z Z Z Z 四个点组成的图形为矩形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、知识点梳理: 1、i 的周期性：i4=1，所以，i41, i421, i43, i41“zi 4n i 4n1 严2 i 4n3 =0 n Z2、复数的代数形式：a bi a, b R , a 叫实部，b 叫虚部，实部和 虚部都是实数。
C = bi|a,叫做复数集。
二二二二.3、 复数相等： a bi = c di ：= a = c 且b=d ； a • bi =0：= a =0且b=0「实数(b=0)4、 复数的分类： 复数Z 二a bi 士疥一般虚数(b=0,a = 0) 虚数(b H0)gi 纯虚数(b 式0,a=0)虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3 i,6 2i 也没有大 小。
5、 复数的模：若向量oz 表示复数 乙则称oz 的模r 为复数z 的 模， z =|a bi |二■. a 2 b 2 ； 积或商的模可利用模的性质(Z 1 Z 26、 复数的几何意义：复数|z=a+bi(a,b€R )«-一对复平面内的点一一对应复数Z =a +bi(a,b 乏R)㈠ 平面向量O#，7、 复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴•，实轴上 的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯 虚数&复数代数形式的加减运算复数1)乙川厶,=|乙| ：Z 2 HI ：Z n ， ( 2)复数z1 与z2 的和：z12=()+()=()+()i. a,b,c,d R复数z1 与z2 的差：z12=()-()=()+()i. a,b,c,d R复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1，z2 a,b,c,d・R ；OZ= OZ, ON (a ,b)+(c , d)=( , ) = ()+()i复数减法的几何意义：复数z12的差(a - c)+(b - d)i对应.由于Z2Z^OZ^-OZ2,两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9、特别地，令二一.,|胡=|AB =Z B-Z A为两点间的距离。
|z-Z i|=|z-Z2|Z 对应的点的轨迹是线段乙Z2的垂直平分线；|z-Z o|=r , z 对应的点的轨迹是一个圆；|z-z,| |z-z2p2a Z1Z2 : 2a , z 对应的点的轨迹是一个椭圆；|z-Z i I-|z-z2| =2a( Z1Z2 >2a ), z 对应的点的轨迹是双曲线。
乙一乙，兰乙±z2乞乙+z210、显然有公式： 2 2 2 2Zi+Z2 +乙—Z2 =2(|乙+ Z2 )11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2= ()()=( - )+()i. a,b,c,d R复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R中正整数指数的运算律，在复数集C中仍然成立.即对z123 € C及€ N*有:,(),(z1z2)12n.复数的除法：ZL=() -■()旦埋普里巴驾i a,b,c,d・R，分母实Z2 c+dic+d c+d数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时， 这两个复数叫互为共轭复数； 特别地，虚部不为0的两个共轭复 数也叫做共轭虚数;Z 二a • bi,z 二a —bi a,b ・R ，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴i i .22-------- = i①(i i) =2i ②(i —i) =-2i ③ i_i=i ②’2③i 亠心亠心2 =0 ④复数相等求解。
但仍然适用韦达定理。
X 2 -X i 是实系数一元二次方程 a X 2 bX ^0的两个根，求X 2 -X i 的方法:对称。
=| z 1= a 2 b 2Z i二 Z 2 二Z i 二 Z 2, Z i Z 2 = Z i Z 2 ,13、 熟记常用算式：h_i ，i14、 复数的代数式运算技巧: 2(i i) =2i ，(i-i)Z 二 互」i i . i-i，- i ，i'i-i i iZ i Z 2 (1) (2)、"一丄士旦i ”的立方根 2 2的性质:i5、实系数一元二次方程的根问题： （1） 当厶=b 2-4ac_0时，方程有两个实根（2） 当厶=b 2-4ac ：：：0时，方程有两个共轭虚根，其中 此时有X i ,X 2X i2 =X2注意两种题型: (1) X i —X22cb - i =X/2 =—且 X i 2a⑵ X i +|X 2o2a虚系数一元二次方程有实根问题： 不能用判别式法，般用两个已知 5_ 2.2Z Z = a b ：二 R,Z Z(1)当厶二 b ? _4ac _0 时，x 2 -禺 =J (X 4 +x 2)2 —4X 4X 2 =—4ac(2)当-b ^4ac ：：：0 时，二、典例分析: 例1.( 1)复数等于()D. - 1-i解析:复数=互=i (r i^ -1 i ，选C.1 -i(2)若复数z 同时满足z - z = 2i , z = iz ( i 为虚数单位)，则z解：已知=Z -iZ =2i = Z2L=i -1 ； 1 - i(3)设a 、b 、c 、d € R,则复数()()为实数的充要条件是C. 0=J|(X 1 +X 2)2 —4X 1X 24ac - b 2已知X 1，X 2是实系数一元二次方程 ax 2+bx+c = 0的两个根，求X 2 +X 1的方法：当厶二b 2 -4ac 亠0时， >0,即—>0，则x 2屮(1) ①X 1 x ?X i X-I x 2②X 1■X2 c 0,即-<0，贝U X 2忖 X ix 1 x 2 )2 —4^X 2 二b 2 - 4ac la(2)当厶二 b 2「4ac ::: 0 时， X 2I + X 1 =2x 1=2 . x 1 x 2 = 2A.1 - iB.1C. - 1+ i解析：(1 ) a,b,c R,复数(a bi)( c d)= (ac _bd) (ad bc)i 为 实数， 二 ad bc =O ,选 D;解析：x y =x (1 i) y (1 2i) x y x2y ，1-i 1-2i 2 52 52 55,所以x + y = 4o点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。
答案：-1 i（2） 设复数Z 满足关系z|z|=2 i ，求Z ； 解：设（为实数），由已知可得a bP . a 2 b^ 2 i:2 2"由复数相等可得：a “ =2，解得a=3,b=1，所以z = ?+ib = 144设（为实数）复数问题实数化。
（3） 若x • C ，解方程| x 戶1 • 3i -x（4）已知存亠泪，其中m ，n 是实数,i 是虚数单位，则m • ni(A)1+2i(B) 1-2i (C)2(D)2 - i 解析:—=1 — ni =• m n ］亠 1 — n i ， 1 in 是实数，得讥2 i ，故选择 Co(5) 设x ，y 为实数，且右己一3而旦二型戲丄3i 1 -3i 102 2所以2+㈠且迸3，解得 x =-1，例2: （1）计算:——1996- 2.3 i •一 2 1 2.3i 1 - i解：设(€ R)代入条件得：... a2• b2 = 1 _a • (3_ b)i ,由复数相等的定义可得：时豊b；=1-a,...-4, 3,.- 4+3i o例3: (1)复数z满足|z i|2—|z — i|2/,则z对应的点在复平面内表示的图形为(A)A.直线B .圆C .椭圆D .抛物线解：令(x, y € R),则x2+(1)2 - [x2+(y - 1)2]=1，二1/4。
故选A o (2)设复数Z满足：|z • 3— .. 3i |=J3，求的最大值与最小值；解：的最大值为3 3，最小值为,3 ；(3)已知z € C,—21且复数z- 2对应的点落在直线上，求z o解：设z-2,V- 21,二 a 九二,2，z=2 二二i 或z=2_，-」i o2 2 2 2【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设再利用条件，但运算复杂。
⑷设zC,1_|z|__2，贝U复数u=z(1i)，在复平面内对应的图形面积为。
解：I 2? |1、2 , . 2 WW 2，故面积二[22-(.、2)2]=2 二。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。
例4：已知1, a, b为实数，(1)若3 2+3z - 4,求I 3 |;2 .(2)若 Z 2 az b J _i ，求 a , b 的值。
z 一 z +1解：(1)W =(1)2+3(1 - i) -4=— 1— i ，二 U2 (2)由条件电21=1_i ，二(a b) (a 2)i =1 i ,•【思维点拨】利用复数的充要条件解题。
例5：设z ・C,且—仝是纯虚数，求|z ■ i |的最大值。
z—1解：令(x , 2 2x y -x 22225(x-1) y (x -1)y虚数，x 2y 2_x 二y 式0，即(X 一扌)2 y 2 =4® = 0)数形结合可知本题是求圆(x -弓2 • y 2 = ]y = 0)5 1---- o2上的点到A(0, - 1)的最大距离o A |z i| x3.设复数 3 = — 1 + _^i , 2 2则 1 + 3=() C(A )-3(B )3 2(C) _ 1(D ) 1.,24.复数z1的共轭复数是(1 —iB )A . 1，1iB. 1 _ 1 iC.1 —iD. 1 i2 22 25.若复数 z 满足方程z 2 2=0 ，则八 ( ) D练习：1 .已知复数z 与(z+2)2 -8i 均是纯虚数，贝V z = ________ Z =-2i 2..若(a-2i),b-i ，其中 a 、b € Ri 是虚数单位，则 a 2 b 2=( D )A. 0B. 2 C . 5 D. 52A. _2 2B. -2 2C. -2.2iD. -2.2i 6.设a 、b 、c 、d ・R ，若S 为实数，则 (C ) c +d i(A) be ad 0 (B) be _ ad 0 (C) be _ ad =0 (D) bead =07. 如果复数(m 2 i)(1 - mi)是实数，则实数m 二( ) BA . 1B . -1C .2D . 一 2 8. (―)2005 二()A1 - iA . iB . - iC . 2 2005 D. - 220059. 满足条件|z-i^3 4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 )C一条直线 B.两条直线 C . 圆 D. 椭圆Z 1=a 2i , Z 2=3-4i ，且三为纯虚数，则实数a 的值Z 28 .a =-311.已知=1 -ni ,其中m, n 是实数，i 是虚数单位，则m • ni 二C1 i(A)1+2i (B) 1-2i (C)2(D)2- i12、 复数(1_i )3的虚部为(A)3( B )- 3 (C)2 (D )-2 解析:复数（1-i ）3=1-3i-3+i=-2-2i ,所以它的虚部为一2,选D. 13、在复平面内，复数 口对应的点位于i（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限解：「丄i （什°=1- i 故选D;i-1点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点， 属于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。