《直线和圆的方程》专题讲座
直线和圆的方程教学课件
• 圆方程的表示方法
• 通过标准式和一般式，介绍圆的方程表示方法。
• 直线和圆的位置关系
• 讲解直线和圆相交、相切和相离的位置关系。
案例分析：通过具体案例，引导学生理解直线和圆的应用场 景
• 案例选择
• 选择与直线和圆相关的实际问题，如几何、物理或工程问题，引导学生思考其应用场景。
• 问题解决实际问题中的应用方法和步骤。
点斜式
通过直线上的一点和斜率，可以写出直线方程的点斜式yy1=k(x-x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点。
截距式
通过直线在x轴和y轴上的截距，可以写出直线方程的截距 式x/a+y/b=1，其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程的表示方法
一般式
圆的一般方程为 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0， 其中D、E、F为常数。
直线和圆的方程教学 课件
汇报人：xxx
目录
01 教 学 目 标 02 教 学 内 容 03 教 学 方 法 04 教 学 步 骤
01
教学目标
理解直线和圆的基本概念
学生应能理解并掌握直线和圆的方 程形式，包括一般式、点斜式、两 点式和极坐标式。
学生应能通过比较直线和圆心的距 离与半径的大小，判断直线和圆的 位置关系。
及时反馈
对学生的练习情况进行 及时反馈，指出错误并 给出正确的解题方法。
小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。
导入新课
通过回顾上节课的知识点，引 出本节课的学习内容。
讲解新课
详细讲解直线和圆的方程，包 括定义、性质、图像等，并配
以例题进行说明。
小结作业
总结本节课所学内容，布置作 业。
《直线和圆的方程-大单元教学设计》示范公开课教学课件【高中数学人教】
数学运算
直观想象
数学建模
逻辑推理
直线与圆、圆与圆位置关系 单元
学科核心素养
数据分析
1.直线与圆的位置关系
数学抽象
2.圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系
主题
单元主题
本单元教学目标
整体设计
几何与代数
直线与圆、圆与圆的位置关系
四基四能
通过位置关系与方程的解、几何问题与代数方法的转化，用方程研究两个图形位置关系的方法的建立，体会数形结合和化归转化思想,
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角和斜率；2.会利用直线的斜率判断直线的平行和垂直；3.推导并掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，体会不同形式的直线方程的区别和联系，体会不同形式的直线方程所反映的几何特征.4.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导、利用直线的斜率判断直线的平行和垂直、直线方程的建立，经历几何问题代数化的过程，经历从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合和化归转化思想．提升直观想想，逻辑推理，数学建模学科核心素养
学科核心素养
1.能够根据直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题；3.通过位置关系与方程的解、几何问题与代数方法的转化，用方程研究两个图形位置关系的方法的建立，体会数形结合和化归转化思想,初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.
直线与圆、圆与圆的位置关系
学科核心素养
1.能用解方程组的方法判断两条直线的位置关系（相交、平行和重合），并能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2. 探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3. 通过建立二元一次方程组的解的情况、两条直线的交点个数与相应两条直线的位置关系的联系，体会数形结合思想及坐标法思想.；4. 通过两点间的距离公式、点到直线的距离公式，两条平行直线的距离这个内容探索，体会研究几何度量“距离”的研究方法，进一步体会“坐标法”的思想，体会通过代数方法研究几何问题的一般思路. 在两点间距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离的公式的探究和推导中，蕴涵着丰富的转化与化归、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
2022年 《直线和圆的方程知识点总结》优秀教案
直线与圆的方程复习〔一〕知识回忆一、直线方程.1.直线的倾斜角〔0°≤＜180°〕、斜率:2.过两点的直线的斜率____________.当〔即直线和x轴垂直〕时，直线的倾斜角＝，没有斜率3.直线方程的五种形式：点斜式：__________________；斜截式:__________________；两点式:_______________；截距式：____________________；一般式：______________________.3. ⑴两条直线平行：①假设_____________. ②不存在__________.⑵两条直线垂直：①假设_____________. ②不存在_______ ___ .4.过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内〕6.两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：______________________.7. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，那么有__________________.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，那么有_______________.8.直线与平面所成夹角范围_________________.9.平面与平面所成夹角范围__________________.二、圆的方程.1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是___________________.2. 圆的一般方程：____________________ .当时，方程表示一个圆，其中圆心____________，半径_____________.当时，方程表示一个点__________,当时，方程无图形.3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.①__________;②__________;③__________.5. 直线和圆的位置关系：设圆：；直线：；（1）代数法：〔判别式法〕时分别相离、相交、相切.（2）几何法圆心到直线的距离.①时，与________；②时，与_______；③时，与_________.6．弦长求法〔1〕几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，那么．〔2〕解析法：联立方程求交点坐标，利用两点间的距离公式.7.圆与圆的位置关系1、判断方法：〔1〕代数法：〔判别式法〕时分别相离、相交、相切.〔2〕几何法：圆心到圆心的距离，时__________; 时__________;时____________;时_____________;____________.2、圆（1）两圆相交时，公共弦所在直线方程为.（2）经过两圆交点的圆系方程为：〔其中，不包括圆〕8、空间中任意一点与点之间的距离公式.【根底知识稳固】1、直线的倾斜角____________;在轴上的截距为_____________.2、直线平行于直线，那么实数________.3、以点为圆心且与直线相切的圆的方程为 ___________________.4、直线x+y－2=0被圆〔x－1〕2+y2=1所截得的线段的长为_____________________.6、两圆和相交于两点，那么直线的方程是_______________;________________.7、在圆内，过点的最短弦和最长弦分别为和，那么四边形的面积为_______________.探究一：圆的切线1、圆的方程是，求过圆上一点的切线方程.2、过点作圆的切线，求此切线的方程.探究二：与圆有关的最值问题〔1〕实数满足方程①求的最大值和最小值；②求的最大值和最小值；③求的最大值和最小值.【变式一】实数满足方程〔1〕求的最值；〔2〕求的最值；〔3〕求的最值.。
高二数学《直线与圆的方程的应用》课件
课前预习
课堂互动
课堂反馈
圆 C：(x－a)2＋(y－ r2－a2)2＝r2－a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax＋2 r2－a2y＝r2＋a2. 令 x＝a，得 y＝12 r2－a2， ∴H(a，12 r2－a2)，即 H 为 CD 中点，
∴EF 平分 CD．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得．
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式 的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及 解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解 决问题．
课前预习Βιβλιοθήκη 课堂互动课堂反馈于是有 aa＋ －110022＋ ＋bb22＝ ＝rr22， ， a2＋b－42＝r2.
课前预习
课堂互动
课堂反馈
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)． 把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过．
《直线和圆的方程》课件
圆的参数方程
圆的参数方程
01
$x=a+rcostheta, y=b+rsintheta$，其中$(a,b)$是圆心，$r$
是半径，$theta$是参数。
参数方程的应用
02
参数方程常用于圆的极坐标表示，方便计算圆的轨迹和运动。
参数方程与直角坐标系的关系
圆的一般方程
圆的一般方程
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$， 其中$D,E,F$是常数。
圆心坐标
圆心的坐标为$(-frac{D}{2}, frac{E}{2})$，通过圆心可以确 定圆的位置。
半径
半径的平方为 $frac{D^2+E^2-4F}{4}$，通 过半径可以确定圆的大小。
参数$D,E,F$
02
圆的方程的介绍
圆的标准方程
圆的标准方程
圆心坐标
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是 圆心，$r$是半径。
圆心的坐标为$(a,b)$，通过圆心可以确定 圆的位置。
半径
圆上任一点坐标
半径是圆上任一点到圆心的距离，用$r$表 示。
根据圆的标准方程，圆上任一点的坐标可 以表示为$(a+rcostheta, b+rsintheta)$， 其中$theta$是参数。
《直线和圆的方程》 ppt课件
目 录
• 直线方程的介绍 • 圆的方程的介绍 • 直线与圆的位置关系 • 直线与圆的实际应用
01
直线方程的介绍
直线的斜率与截距式
总结词
斜率截距式是直线方程的基本形式，它描述了直线在直角坐标系中的位置关系 。
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆
高考数学专题讲座 第11讲 直线与圆考纲要求：(1)理解直线斜率的概念,掌握两点的直线的斜率,掌握直线方程的点斜式\两点式\一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.(2)掌握两条直线平行于垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式.能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.(3)了解二元一次不等式表示平面区域. (4)了解线性规划的意义,并会简单应用. (5)了解解析几何的基本思想,了解坐标法.(6)掌握圆的标准方程和一般方程.理解圆的参数方程. 基础达标1．若直线l 的倾斜角为π＋arctan(－12)，且过点(1，0)，则直线l 的方程为________________．x ＋2y －1=02．已知定点A （0，1），点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________________． （－12，12）3．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值X 围是 ( C ) A ．(0，1)B ．(33，3)C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3) 4．过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是 ( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝45．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0(θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z )的位置关系是 ( C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4（a ＞0）及直线l ：x －y ＋3＝0．当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a ＝ （ C ） A ． 2 B ．2－2C ．2－1 D ．2＋1 例题选讲例1．（1）过点M (2,1)作直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点．① 若△AOB 的面积取得最小值,求直线l 的方程，并求出面积的最小值；② 直线l 在两条坐标轴上截距之和的最小值；③若|MA |·|MB |为最小，求直线l 的方程．解：(1)①由于已知直线l 在坐标轴上的截距,故选用直线的截距方程:1=+bya x （i ） 由已知a ＞0,b ＞0.故S △AOB ＝21ab （ii ） 由已知,直线(i)经过点(2,1).故112=+b a ,就是a ＋2b ＝ab ,a ＝12-b b (∵b ≠1) (iii) ∵a ＞0, b ＞0, ∴a ＞1. 将(iii)代入(ii),得S ＝12-b b ＝1112-+-b b ＝b ＋1＋11-b ＝(b －1)＋11-b ＋2.当b ＞1时 S ≥211)1(-⋅-b b ＋2＝4. 等号当且仅当 b －1＝11-b 即b ＝2时成立.代入(iii)得a ＝4. ∴所求的直线方程为24yx +＝1,即x②解一：a ＋b ＝2b b －1＋b ＝2(b －1)＋2b －1＋b ＝ ＝ 2b －1＋b －1＋当b ＞1时 , a ＋b ≥2(2b －1)(b －1)等号当且仅当 b －1＝2b －1， 即解二：a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )(2a ＋1b )＝3等号当且仅当2b a ＝a b ，即a 2＝2b 2③由于直线l 绕点M 运动,故可选∠OAB 2θsin M y ＝1sin θ, |MB |＝θcos M x ＝2cos θ,|MA |·|MB |＝1sin θ×2cos θ＝4s in2θ，∴当sin2θ＝1时，|MA |·|MB |有最小值4， 此时tan θ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －3＝0.（2）已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P （x ，y ）为圆上任意一点．①求y －22x －2的最大值、最小值；②求x －2y的最大值、最小值．解：（1）令k ＝y －2x －1，则k 表示经过P 点和A （1，2）两点的直线的斜率，故当k 取最大值或最小值时，直线P A ：kx －y ＋2－k ＝0和圆相切，此时d ＝|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，解得k ＝3±34，所以y －22x －2的最大值为3＋38，最小值为3－38；（2）方法一：令x －2y ＝t ，可视为一组平行线系，由题意，直线应与圆C 有公共点，且当t 取最大值或最小值时，直线x －2y －t ＝0和圆相切，则d ＝|－2－t |5＝1，解得t ＝－2±5，所以x －2y 的最大值为－2＋5，最小值为－2－5；方法二：因为P （x ，y ）为圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1上的点，令x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，2π)，所以x －2y ＝－2＋cos θ－2 sin θ＝－2＋5cos(θ＋φ)( φ＝arctan2)，当θ＋φ＝2π，即θ＝2π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝1，x －2y 取到最大值为－2＋5，当θ＋φ＝π，即θ＝π－arctan2时，cos(θ＋φ)＝－1，x －2y 取到最大值为－2＋5；例2．已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为55．求该圆的方程． 解：设圆P 的圆心为P (a ，b )，半径为γ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |．由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P 截x 轴所得的弦长为r 2．故r 2=2b 2又圆P 被y 轴所截得的弦长为2，所以有 r 2＝a 2+1．从而得2b 2－a 2＝1．又因为P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为55，所以5552b a d -=， 即有 a －2b ＝±1， 由此有⎩⎨⎧=-=-121222b a a b ⎩⎨⎧-=-=-121222b a a b 解方程组得⎩⎨⎧-=-=11b a ⎩⎨⎧==11b a 于是r 2=2b 2=2，所求圆的方程是(x +1)2+(y +1)2=2，或(x －1)2+(y －1)2=2．思考：求在满足条件①、②的所有圆中，圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离最小的圆的方程．解法一:设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为│b │， │a │． 由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P 截X 轴所得的弦长为r 2，故r 2=2b 2， 又圆P 截y 轴所得的弦长为2，所以有 r 2=a 2+1．从而得2b 2－a 2=1．又点P (a ，b )到直线x －2y =0的距离为52b a d -=，所以5d 2=│a －2b │2 =a 2+4b 2－4ab≥a 2+4b 2－2(a 2+b 2)=2b 2－a 2=1，当且仅当a =b 时上式等号成立，此时5d 2=1，从而d 取得最小值． 由此有⎩⎨⎧=-=12,22a b b a 解此方程组得⎩⎨⎧==;1,1b a 或⎩⎨⎧-=-=.1,1b a 由于r 2=2b 2知2=r ．于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2． 解法二:同解法一，得52b a d -=∴d b a 52±=-得2225544d bd b a +±= ①将a 2=2b 2－1代入①式，整理得01554222=++±d db b②把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d 2－1)≥0，得 5d 2≥1．∴5d 2有最小值1，从而d 有最小值55． 将其代入②式得2b 2±4b +2=0．解得b =±1．将b =±1代入r 2=2b 2，得r 2=2．由r 2=a 2+1得a =±1． 综上a =±1，b =±1，r 2=2． 由b a 2-=1知a ，b 同号． 于是，所求圆的方程是(x －1) 2+(y －1) 2=2，或(x +1) 2+(y +1) 2=2．例3．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于零．（1）求向量AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线y ＝ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值X 围．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u AB 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a aa a a ax a x x x a a x x ax x x x yy y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.4．已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果|AB |＝423，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程． 解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或 （2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。
专题四 第1讲直线与圆
(2)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，
B(x2，y2)两点，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；
∴|M→N|2≤100＋100＋8|C→M|·|C→N|cos∠MCN， ∴|M→N|2≤100＋100＋200×25＋255－0 |M→N|2， ∴|M→N|≤4 5，
设圆心C到直线y＝－2x－m的距离为d，
则 2 r2－d2＝2 25－|3＋5m|2≤4 5， 解得m≥2(舍负)， 又直线y＝－2x－m与圆C相交，可得d＜r， 即|3＋5m|＜5⇒m＜5 5－3， 综上所述 m 的取值范围是[2,5 5－3).
Ax＋By＋C＝0， 程组
x－a2＋y－b2＝r2， 消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ＜0， 直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.
设圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为
板块二 专题四 解析几何
内容索引
NEIRONGSUOYIN
热点分类突破 真题押题精练
1
PART ONE
热点一 直线的方程及应用 热点二 圆的方程及应用 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
热点一 直线的方程及应用
1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不 能表示垂直于坐标轴的直线.
新课标高三数学人教版复习单元讲座 直线圆的方程
xy=1 +ab
a——直线的横截距b——直线的纵截距
过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式
一般式
=0
AxC+By+
ACC分别为，，BAB斜率、横截距和纵截距
A、B不能同时为零
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．圆的方程
222ab0)0(rxa)(yb)r()(Ca,b时，圆。特殊地，当圆心为，半径为r的圆的标准方程为：第1页（共10页）2018年3月19日星期一Wisdom&Love
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222ryx心在原点的圆的方程为：。ED22),(0xFyDxEy圆的一般方程，圆心为点， 22224EDF22DE4F0r。半径，其中 22222xy0DxEyAxBxyCyF项的系数相项，表示圆的方程的充要条件是：①、二元二次方程22AC0DE4AF0。；②、没有xy项，即B=0同且不为0，即；③、
l两点，求、B分别交x轴、y轴的正半轴于AP例2．过点（2，1）作直线B
|·|PBPAl 的值最小时直线的方程。
θ＝，解析：依题意作图，设∠BAO，1）P（2
21θPBPA， 则， cossinx O A
424 2·PAPB， 2sinsinsincoscos|PB·PA|145sin2l 时的值最小，此时直线，即°，的倾斜角为当1351ktan135。∴斜率l2x11·y0y3xl故直线，即的方程为。点评：求直线方程是解析几何的基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外，还要用到一些技巧。：斜率公式及应用题型20y2xy04x2y的最大值满足3．（1）（05年江西高考）设实数x，y，则例 x02y3
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《直线和圆的方程》专题讲座一、 求最值问题若a i ＞0（i=1，2，…，n ），则有na a a n +++...21≥nn a a a ⋯⋯⋅21（1）当a 1+a 2+…+a n =s （常数）时，积a 1·a 2……a n 有最大值为(ns )n，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.（2）当a 1·a 2……a n =p （常数）时，和a 1+a 2+…+a n 有最小值有n n p ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时取得.利用此公式求最值，按大纲要求只需掌握n=2时的情形.同时在应用时需注意以下三点：（1）作和或作积的数必须都为正；（2）若求和的最小值，则它们的积必须是一个常数，而若求积的最大值，则它们的和必须是一个常数；（3）在允许范围内这几个数能达到相等。
【例1】求下列函数的最值. （1）y=432+x x； （2）y=434322+++-x x x x .分析 此类题一般用判别式求最值，其实，应用二元均值不等式也能予以解答。
解（1）当x=0时，y=0 ， 当x ≠0时，y =xx 43+=xx 43+≤43 ∴－43≤y ≤43 当且仅当x =x4( )，即x=±2时，等号成立. ∴y min =－43，y min =43 （2）易知函数的定义域是R.y=434322+++-x x x x =1－4362++x x .①当x ＞0时，1＞y=1－346++xx ≥1－3426+=71 即当x=2时，y=71； ②当x=0时，y=1； ③当x ＜0时，1＜y=1+3)(4)(6--+-x x≤3426+即当x=－2时，y=7. 综合以上知，y min =7，y min =71 说明 将函数解析式变形以出现“x+xa”是活用平均值不等式求最值的前提. 事实上，对于（2），若令x=2tan θ ，则有y=43143122+++-x x x x=θθ2sin 342sin 34+-. 由此确定这个三角函数的最值也很容易. 【例2】已知x ，y ∈R +，且2x+y=1，求证：x 1+y1的最小值为3+22. 分析 注意到条件中给出1+2x+y ，而所要求证的不等式左边x 1+y1中的也含有1，故可将已知条件作逆向代换，即把1换成2x+y ，可使问题得到巧妙的解决. 解∴x 1+y 1=x y x +2+ yy x +2 =2+x y +y x2+1 =2+x y +yx 2∵y ∈R + ∴x y +y x 2≥2yx x y 2⋅=22 ∴x 1+y 1≥3+22当且仅当x y =y x 2，即x=222-，y=2－1时取“=”.二、 判别式法的应用【例1】已知a ，b ，c ∈R ，a+b+c=0，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于23. 证明：∵abc=1＞0∴a ，b ，c 要么同正，要么有两个数为负，另一个数为正。
∵a+b+c=0， ∴a ，b ，c 不能同正.可设a ＞0，b ＜0，c ＜0，只需证明a ＞23即可. ∵b+c=－a ，bc=a1， ∴b ，c 是一元二次方程x 2+ax+a1=0的两个负实根. ∴△=a 2－a4≥0，即a 3≥4. ∴a ＞34＞3827=23 ∴a ，b ，c 中至少有一个大于23. 说明 作此题前要将条件分析好，即由a+b+c=0知a ，b ，c 不能都大于零，只能其中有两个数为负，一个数为正，这样，只需证明为正的那个数大于23即可。
【例2】已知x+y+z=5, x 2+y 2+z 2=9中，得 x 2+(y －5)x+y 2－5y+8=0， ∵x ∈R, ∴△≥0，即(y －5)2－4(y 2－5y+8) ≥0，解得1≤y ≤37 即y ∈[1，37] 同理可证x ∈[1，37 ] z ∈[1，37]说明 在用判别式法证不等式时，要注意“主元”的取值范围.三、 直线系直线系指的是具有某种共同性质的直线的集合。
利用直线系理论来解决有关问题时，常常显得简捷明快，所以灵活运用直线系知识是重要的解题方法和技巧之一。
（一）平行直线系Ax+By+λ=0是平行于直线Ax+By+C=0的平行直线系（其中λ为常数，当λ=C 时，两直线重合）.Bx －Ay+λ=0是垂直于直线Ax+By+C=0的平行直线系.【例1】求过点P （1，1）且分别与直线3x －5y+4=0平行或垂直的直线方程。
解 将点P 的坐标（1，1）分别代入 3x －5y+λ=0及5x+3y+u=0， 得λ=2，u=－8 。
故与已知直线平行的直线为3x －5y+2=0，与已知直线垂直的直线为 5x+3y －8=0.（二） 过两直线交点的直线系【例2】过直线：2x+y+8=0和x+y+3=0的交点作一直线，使它夹在两直线x －y －5=0和x －y －2=0之间的线段长等于3，求此直线方程.解 如图7—33，两平行线x －y －5=0与x －y －2=0间的距离u=23∵所求直线被这两行线截下的线段为3=2d ∴所求直线与这两平行线夹角为450又x －y －5=0的倾角为450，∴所求直线倾角为00与900 ∵过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，求所求直线方程为： 2x+y+8+λ(x+y+3)=0，即：(2+λ)x+(1+λ)y+(8+3λ)=0，① 令2+λ=0得λ=－2，令1+λ=0得λ=－1代入①式得所求直线方程为y=2或x=－5. 图7—33四、 对称问题对称分为点对称（中心对称）和轴对称两种，这是中点坐标公式和直线与直线垂直的应用。
【例1】求①点P （x ，y ）②直线l ：2x －y+3=0 ③圆x 2+y 2=1分别关于点A （1，2）对称的点，直线和圆的方程.解 ①点P 关于点A 的对称点P /（x /，y /） 则A 是PP /的中点，由中点坐标公式x-y-2=033x-y-5=0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-2221//yy x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-∆=--=y y x x //2∴P /(―2―x ， 4―y) ②设l 关于点A 对称的直线l /上任一点M （x ，y ）则M （x ，y ）关于点A （－1，2）的对称点M /(－2－x ，4－y)在直线l 上，∴2（－2－x ）－（4－y ）+3=0 即2x －4y+5=0③在圆x 2+y 2=1关于点A （－1，2）对称的圆上任取一点M （x ，y ），则M 关于点A 的对称点M /（－2－x ）2+(4－y)2=1 即：(x+2)2+(y －4)2=1 说明 通过本题得出结论：①点P （x ，y ）关于点A （x 0，y 0）的对称点是P /（2x 0－x ，2y 0－y ） ②曲线F （x ，y ）=0关于点A 的对称曲线的方程是F(2x 0－x ，2y 0－y)=0.【例2】求①点P(x 0，y 0) ②圆C ：x 2+y 2=1分别关于直线x －y+1=0对称的点和圆的方程. 解 ①设点P 关于直线x －y+1=0对称的点P /（x 1，y 1）则线段PP /的中点在对称轴上，且PP /⊥对称轴. ∴210x x +－210y y ++1=0解得：⎩⎨⎧+=-=110101x y y x1010x x y y --―1=―1即P /（y 0－1，x 0+1）②在所求的对称圆上任取一点M （x ，y ），则点M 关于x －y+1=0对称的点M /（y －1，x+1）在已知圆C 上，∴(y －1)2+(x+1)2=1.就是所求的对称的圆.说明 点（x 0，y 0）关于直线x －y+1=0对称的点（y 0－1，x 0+1）可以直线代换而得，不必列方程组求解.其代换法则是这样的：对称点的横坐标是把原来点的纵坐标y 0代入对称轴方程的y 而得x －y 0+1=0，从而x=y 0－1；所求对称点的纵坐标，是把原来点的横坐标x 0代入对称轴方程的x 而得x 0－y+1=0从而y=x 0+1.斜率为±1的直线索对称轴时，都可用此代换法是，再如点P （x 0，y 0）关于直线x+y+b=00对称的点P /的坐标是（－y －b ）2+(x －b)2=1即(x+b)2+(y+b)2=1.一般地，曲线F （x ，y ）=0关于直线x －y+b=0对称的曲线是F （y －b ，x+b ）=0；曲线F(x ，y)=0关于直线x+y+b=0对称的曲线是F(－y －b ，－x －b)=0.当对称轴为y=±x 时，即是上述x ±y+b=0中，b=0的特殊情形.上述代换法则仍然成立，当对称轴垂直于坐标轴时，可给合图形直接求出对称点的坐标；当对称轴不是上述几种特殊情形时，没有简单的方法，只有【例2】的①那样列方程组求解.点P （x 0，y 0）关于某对称轴对称的点的坐标（特殊对称轴）如表7—5： 表7—5对称轴方程 x=x 1 y=y 1 y=x y=－x x+y+b=0x －y+b=0 对称点P / 的坐标(2x 1－x 0，y 0) (x 0,2y 1－x 0) (y 0,x 0)(－y 0, －x 0)(－y 0－b, －x 0－b)(y 0－b,x 0+b)五、 圆系（一）同心圆系设圆C 的一般式方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则与圆C 同心的同心的圆系方程为x 2+y 2+Dx+Ey+λ=0.若圆C 的标准方程为(x －a)2+(y －b)2=r 2，则与圆C 同心的圆系方程为线长等于的圆的方程.解 设所求同心的方程为x 2+y 2－2x+4y+λ=0， 由于从点A （4，3）向此圆所引的切线长为5，所以 42+32－2×4+4×3+λ=52 得λ=－4.故所求圆的方程为x 2+y 2－2x+4y －4=0. （二）共轴圆系 设两个同心的圆的方程为 C 1：x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0 C 2：x 2+y 2+D 2x+E 2Y+F 2=0 记方程C ：C 1+λC 2=0.当λ=－1时，C 为一直线方程，这条直线叫做两圆的根轴，它是从两圆外向两圆引切线使切线长相等的点的轨迹.（当两圆相离或内含或相切的轨迹为一直线，当两圆相交时轨迹为公共弦所在直线去掉公共弦所剩余的两部分.）当λ≠－1时，C 表示过C 1，C 2两圆交点的圆系（但不包括C 2），即它们都有相同的根轴l ：C 1－C 2=0，故称共轴圆系.【例2】求经过两圆x 2+y 2+3x －y=0和3x 2+3y 2+2x+y=0的交点及点P （1，1）的圆的方程.解 设所求圆的方程为3x 2+3y 2+2x+y+λ(x 2+y 2+3x －y)=0 将点P （1，1）的坐标代入上式，得λ=－49. 故所求圆的方程为3x 2+3y 2－19x+13y=0.【例3】求过直线2x+y+4=0和圆x 2+y 2+2x －4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.（1）过原点； （2）有最小面积. 解 设所求圆的方程为x 2+y 2+2x －4y+1+λ(2x+y+4)=0， 即x 2+y 2+2(1+λ)x+(λ－4)+(1+4λ)=0. （1）∵此圆过原点，∴1+4λ=0. 由此得λ=－41 故所求圆的方程为x 2+y 2+23x －417y=0 （2）将圆系方程化为标准式，有 (x+1+λ)2+(y －24-λ)2=45(λ－58)2+54 当其半径最小时，圆的面积最小，此时λ=58为所求. 故满足条件的圆的方程为 (x+513) 2+(y －56)2=54.。