第12章《全等三角形》人教版八年级上册解答题压轴题能力提升专练2份(解析版)

人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：经典题型专练1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．4.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C 点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）5．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．6．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CF A=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．7.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．8. 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．9. 如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．11. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD 延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．12. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．人教版八年级上册《全等三角形》解答题压轴题能力提升专练（答案版）全等三角形的性质和判定1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

2．判断两个三角形全等常用的方法如下表：经典题型专练1.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG，（2）BE=CM，证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，∴△BCE≌△CAM，∴BE=CM．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°，∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，AC，∴AD=12∵AC=2AB，∴AB=AD=DC，∴△EAB≌△EDC，∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，∴BE⊥EC．3．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．解：猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，又∠F AC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE⊥BD．故线段AE和BD的数量相等，位置是垂直关系．4.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=√3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=√3AC；（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C 点分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F ．（请你补全证明）证明：（1）∠B =∠D =90°，∠CAD =∠CAB =30°，∴AB =√32AC ，AD =√32AC ．∴AB +AD =√3AC ．（2）由（1）知，AE +AF =√3AC ，∵AC 为角平分线，CF ⊥CD ，CE ⊥AB ，∴CE =CF ．而∠ABC 与∠D 互补，∠ABC 与∠CBE 也互补，∴∠D =∠CBE ．∴Rt △CDF ≌Rt △CBE ．∴DF =BE ．∴AB +AD =AB +（AF +FD ）=（AB +BE ）+AF =AE +AF =√3AC ．5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，点E 在AD 上，△ADC 和△BDE 是等腰三角形，EC =5cm ，求AB 的长．解：∵△ADC和△BDE是等腰三角形且AD⊥BC∴△ADC和△BDE均为等腰直角三角形∴AD=DC，BD=ED∴Rt△ADB≌Rt△CDE（HL）∴AB=CE=5cm6．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CF A=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CF A；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CF A，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．7.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠ABC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．解：（1）猜想：AB=AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD．（2）猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠F AC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B．∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD．8. 如图，在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值．解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM =∠NAM ，在△AME 与△AMN 中，{AE =AN∠EAM =∠NAM AM =AM，∴△AME ≌△AMN （SAS ），∴ME =MN ．∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，又AB =4√2，∠BAC =45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形，∴BE =4，即BE 取最小值为4，∴BM +MN 的最小值是4．9. 如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，∠BAC 的外角平分线交直线BC 于D ，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC 分别交直线AB ，AC 于E ，F ，连接EF ．（1）求证：EF ⊥AD ；（2）若DE ∥AC ，且DE =1，求AD 的长．证明：（1）∵AD 是∠EAF 的平分线，∴∠EAD =∠DAF ．∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ，∴∠DEA =∠DF A =90°又AD =AD ，∴△DEA ≌△DF A ．∴EA =F A∵ED =FD ，∴AD 是EF 的垂直平分线．即AD ⊥EF ．（2）∵DE ∥AC ，∴∠DEA =∠F AE =90°．又∠DF A =90°，∴四边形EAFD 是矩形．由（1）得EA =F A ，∴四边形EAFD 是正方形．∵DE =1，∴AD =√2．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．解：（1）∵AD∥BC（已知），∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），∵E是CD的中点（已知），∴DE=EC（中点的定义）．∵在△ADE与△FCE中，∠ADC=∠ECF，DE=EF，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD（全等三角形的性质）．（2）证明：∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF（已证），∴AB=BC+AD（等量代换）．11. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD 延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，∴BD=AD．在△BDC与△ADC中，{BD=AD∠CBD=∠CAD BC=AC，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCB=∠DCA，又∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠DCB=∠DCA=45°．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；（2）如图，连接MC．∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°﹣∠DMC=180°﹣60°=120°，∠ADC=180°﹣∠MDC=180°﹣60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM．在△ADC与△EMC中，{∠ADC=∠EMC ∠DAC=∠MEC AC=EC，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．12. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB．∴AN=BM．（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE=∠CMB．∵∠MCN=60°=∠ACM，AC=MC，∴△ACE≌△MCF．∴CE=CF．∴△CEF的形状是等边三角形．人教版八年级数学上册《全等三角形》解答题能力提升靶向专练一．SSS型全等1. 如图，AB=AC，DB=DC，EB=EC.(1)图中有几对全等三角形？请一一写出来.(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明.2.如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D.3.根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论，然后证明你的结论(不要求写已知、求证).4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC中点.(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.5.已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE. 试说明∠BAC=∠DAE.6.已知，如图(1)，点A，C，F，D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.(1)试说明AB∥ED，BC∥EF的理由.(2)把图中的△DEF沿直线AD平移到四个不同位置，如图(2)，(3)，(4)，(5)，仍有上面的结论吗？二．SAS型全等1. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，那么AE=CE吗？2.如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE.3. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.(1)求证：AB=CD.(2)若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数.4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E.试说明△ABC≌△MED.5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.求证：AB=BF.6.如图，分别过点C，B作△ABC的边BC上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F.求证：BF=CE.7. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，试说明：DE=AD+BE.三．ASA和AAS型全等1. 已知：如图，AB∥CD，点E是AB的中点，CE=DE.求证：(1)∠AEC=∠BED.(2)AC=BD.2.如图所示，在某市郊的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能到达的A，B两点的距离.(只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算).3. 在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.【解析】如图，延长AD至点E使DE=AD，连接CE，因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD，4. 如图，点E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF.求证：△ADE≌△CBF.5.如图所示，在有公共顶点的△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD.6.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC，延长AD到E点，使DE=AB.(1)求证：∠ABC=∠EDC.(2)求证：△ABC≌△EDC.人教版八年级数学上册《全等三角形》解答题能力提升靶向专练（解析版）一． SSS 型全等1. 如图，AB =AC ，DB =DC ，EB =EC .(1)图中有几对全等三角形？请一一写出来. (2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明.【解析】(1)3对.△ABD ≌△ACD ，△ABE ≌△ACE ， △DBE ≌△DCE . (2)△ABD ≌△ACD .证明：在△ABD 与△ACD 中， AB =AC ，DB =DC ，AD =AD ， 所以△ABD ≌△ACD (SSS ).2.如图，已知AB =CD ，AC =BD ，求证：∠A =∠D .【证明】连接BC ，在△ABC 和△DCB 中，{AB =CD,AC =DB,BC =CB,所以△ABC ≌△DCB (SSS )， 所以∠A =∠D .3.根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论，然后证明你的结论(不要求写已知、求证).【解析】结论：OM平分∠BOA，证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，在△COM和△DOM中，{OC=OD, CM=DM, OM=OM,所以△COM≌△DOM，所以∠COM=∠DOM，所以OM平分∠BOA.4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC中点.(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.【解析】(1)因为点D是BC中点，所以BD=CD.在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，BD=CD，所以△ABD≌△ACD(SSS).(2)AD⊥BC.理由：由(1)，得△ABD≌△ACD，所以∠ADB=∠ADC=90°，所以AD⊥BC.5.已知：如图，AB=AC，AD=AE，BD=CE.试说明∠BAC=∠DAE.【解析】在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，AD=AE，BD=CE，所以△ABD≌△ACE(SSS)，所以∠BAD=∠CAE，所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.6.已知，如图(1)，点A，C，F，D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF.(1)试说明AB∥ED，BC∥EF的理由.(2)把图中的△DEF沿直线AD平移到四个不同位置，如图(2)，(3)，(4)，(5)，仍有上面的结论吗？【解析】(1)因为AF=DC，所以AF-CF=DC-CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，{AC=DF, AB=DE, BC=EF,所以△ABC≌△DEF(SSS)，所以∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，所以AB∥ED，∠BCF=∠EFC，所以BC∥EF.(2)在图(2)中AB∥ED，BC和EF在同一条直线上，图(3)，(4)，(5)中上面的结论仍成立，证明方法与(1)类似.二．SAS型全等1. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，那么AE=CE吗？【解析】AE=CE.因为FC∥AB，所以∠ADE=∠F，又因为DE=FE，∠DEA=∠FEC(对顶角相等)，所以△ADE≌△CFE(ASA)，所以AE=CE.2.如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE.【证明】因为AE∥BD，所以∠EAC=∠ACB，因为AB=AC，所以∠B=∠ACB，所以∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，{∠B=∠EAC, AB=AC,∠BAD=∠ACE,所以△ABD≌△CAE(ASA)，所以AD=CE.3. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.(1)求证：AB=CD.(2)若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数.【解析】(1)因为AB∥CD，所以∠B=∠C.因为AE=DF，∠A=∠D，所以△ABE≌△DCF(AAS).所以AB=CD.(2)因为AB=CD，AB=CF，所以CD=CF.所以∠D=∠CFD.因为∠B=∠C=30°，所以∠D=75°.4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E.试说明△ABC≌△MED.【解析】在△ABC和△MED中，因为BC∥EM，所以∠B=∠MED，因为DM⊥AB，所以∠MDE=90°，所以∠C=∠MDE.因为AC=MD，所以△ABC≌△MED.5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F.求证：AB=BF.【证明】因为EF⊥AC，所以∠F+∠C=90°.因为∠A+∠C=90°，所以∠A=∠F.又因为DB=BC，∠FBD=∠ABC，所以△FBD≌△ABC，所以AB=BF.6.如图，分别过点C，B作△ABC的边BC上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F.求证：BF=CE.【证明】因为CE⊥AF，FB⊥AF，所以∠DEC =∠DFB=90°.又因为AD为BC边上的中线，所以BD=CD，且∠EDC =∠FDB(对顶角相等)所以△BFD≌△CED(AAS)，所以BF=CE.7. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，试说明：DE=AD+BE.【解析】因为∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCE=90°，因为AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADC=∠CEB=90°，所以∠ACD+∠DAC=90°，所以∠CAD=∠BCE，在△ADC与△CEB中{∠ADC=∠CEB,∠CAD=∠BCE, AC=BC,所以△ADC≌△CEB(AAS)，所以AD=CE，DC=BE，因为DE=DC+CE，所以DE=AD+BE.三．ASA和AAS型全等1. 已知：如图，AB∥CD，点E是AB的中点，CE=DE.求证：(1)∠AEC=∠BED.(2)AC=BD.【证明】(1)因为AB∥CD，所以∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC.因为CE=DE，所以∠ECD=∠EDC，所以∠AEC=∠BED.(2)因为E是AB的中点，所以AE=BE，在△AEC和△BED中，{AE=BE,∠AEC=∠BED, EC=ED,所以△AEC≌△BED(SAS)，所以AC=BD.2.如图所示，在某市郊的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能到达的A，B 两点的距离.(只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算).【解析】在地面上找一个能同时看到A，B两点的点O，分别在AO，BO的延长线上取点C，D使CO=AO，DO=BO，只需量出CD的长度即为A，B两点的距离.根据：在△AOB与△COD中，{CO=AO,∠AOB=∠COD, DO=BO.所以△AOB≌△COD，所以AB=CD，量出CD的长度即为A，B两点的距离.3. 在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围.【解析】如图，延长AD至点E使DE=AD，连接CE，因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD，在△ABD和△ECD中，{BD=CD,∠ADB=∠EDC, AD=ED,所以△ABD≌△ECD(SAS)，所以EC=AB=5.在△ACE中，EC-AC<AE<AC+EC.即5-3<2AD<3+5.所以1<AD<4.4. 如图，点E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF.求证：△ADE≌△CBF.【证明】因为AE∥CF，所以∠AED=∠CFB.因为DF=BE，所以DF+EF=BE+EF，即DE=BF.因为在△ADE和△CBF中，AE=CF，∠AED=∠CFB，DE=BF，所以△ADE≌△CBF(SAS).5.如图所示，在有公共顶点的△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠CAB=∠EAD.求证：CE=BD.【证明】因为∠CAB=∠EAD，所以∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，即∠CAE=∠BAD.在△CAE和△BAD中，{AC=AB,∠CAE=∠BAD, AE=AD,所以△CAE≌△BAD(SAS)，所以CE=BD.6.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC，延长AD到E点，使DE=AB.(1)求证：∠ABC=∠EDC.(2)求证：△ABC≌△EDC.【证明】(1)在四边形ABCD中，因为∠A=∠BCD=90°，所以∠B+∠ADC=180°.又因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ABC=∠EDC.(2)连接AC.在△ABC和△EDC中，{BC=DC,∠ABC=∠EDC, AB=DE,所以△ABC≌△EDC.。