最短路径Floyd算法动态规划问题及其程序设计样本
动态规划求最短路径的两种方法
动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。
逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。
例如，当K=4时，状态 它们到F 点需经过中途 点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路 有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。
这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。
floyd算法的例题讲解
floyd算法的例题讲解Floyd算法，也称为Floyd-Warshall算法，是一种用于解决所有点对最短路径问题的动态规划算法。
它能够找出图中任意两个节点之间的最短路径，并计算出最短路径的长度。
下面以一个具体的例题来讲解Floyd算法的应用。
假设我们有一个带权有向图，表示城市之间的道路网络，图中的节点表示城市，边上的权重表示两个城市之间的距离。
我们的目标是找出任意两个城市之间的最短路径。
给定以下带权有向图的邻接矩阵表示：A B C DA 0 3 ∞7B ∞0 2 ∞C 5 ∞0 1D ∞∞12 0其中，∞表示两个城市之间没有直接的道路连接。
我们可以使用Floyd算法来解决这个问题。
首先，我们初始化一个与邻接矩阵相同的矩阵，称为距离矩阵。
初始时，距离矩阵的值等于邻接矩阵的值。
接下来，我们使用三重循环来逐步更新距离矩阵的值。
循环变量k表示中转节点，i和j 表示起点和终点。
具体的算法步骤如下：对于每对节点i和j，如果存在中转节点k，尝试更新距离矩阵的值：dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])。
重复执行步骤1，直到遍历完所有的节点对(i, j)和中转节点k。
按照上述算法步骤，我们来计算最短路径的距离矩阵。
初始时，距离矩阵与邻接矩阵相同。
对于k = A：更新dist[A][B] = min(dist[A][B], dist[A][A] + dist[A][B]) = min(∞, 0 + 3) = 3。
更新dist[A][C] = min(dist[A][C], dist[A][A] + dist[A][C]) = min(∞, 0 + ∞) = ∞。
更新dist[A][D] = min(dist[A][D], dist[A][A] + dist[A][D]) = min(∞, 0 + 7) = 7。
对于k = B：更新dist[B][A] = min(dist[B][A], dist[B][B] + dist[B][A]) = min(∞, 0 + ∞) = ∞。
Floyd算法求解最短路径问题(完整程序代码)
引言在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里求出任意两个节点之间的最短距离。
当节点之间的权值是正值的时候，我们可以采用Dijkstra算法，用贪心策略加于解决。
但当节点之间的权值有负数的时候，Dijkstra就行不通了，这里介绍另外一种算法—Floyd最短路径算法。
对于任意图，选择存储结构存储图并实现FLOYD算法求解最短路经。
将问题分解，分解为两方面。
一是对于任意图的存储问题，第二个是实现FLOYD算法求解最短路经。
首先对于图的创建选择合适的存储结构进行存储，对于合适的存储结构可以简化程序。
本实验采用邻接矩阵存储。
然后是实现FLOYD算法求解最短路经，在FLOYD算法中路径的长度即是图中两定点间边的权值，FLOYD算法要求输出任意两个顶点间的最短路径，而且经过的顶点也要输出。
考虑到问题的特殊性，采用一个二维数组和一个三维数组进行存储。
二维数组存储最短路径，三维数组存储路径经过的顶点，在进行适当的算法后对这两个数组进行输出即可。
通过问题的分解，逐个解决，事先所要求的程序。
最短路径算法问题是计算机科学、运筹学、地理信息系统和交通诱导、导航系统等领域研究的一个热点。
传统的最短路径算法主要有Floyd算法和Dijkstra算法。
Floyd算法用于计算所有结点之间的最短路径。
Dijkstra算法则用于计算一个结点到其他所有结点的最短路径。
Dijkstra算法是已经证明的能得出最短路径的最优解，但它的效率是一个很大的问题。
对于具有n个结点的一个图，计算一个结点到图中其余结点最短路径的算法时间复杂度为O(n2)。
对于一座大中型城市，地理结点数目可能达到几万个到几十万个，计算最短路径的时间开销将是非常巨大的。
本文根据吴一民老师的建议，分析当前存在的各种求最短路径的算法，提出一种新的基于层次图的最短路径算法，即将一个平面图划分若干子图，子图抽象为一个高层图。
最短路径的计算首先在高层图中进行，缩小了最短路径的查找范围，降低了最短路径计算的时间开销。
Floyd最短路径算法(参考)
Floyd最短路径算法在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。
我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。
不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。
下面让我们先把问题稍微的形式化一下：如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。
若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。
又有d(ii)=0。
编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。
我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。
如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d (kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。
所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。
重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。
for(int i=0; i<n; i++)for(int j=0; j<n; j++)for(int k=0; k<n; k++)问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了，假设一旦找到了i-p-j最短的距离后，i到j就相当处理完了，以后不会在改变了，一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了，所以结果一定是不对的。
算法12--最短路径--弗洛伊德(Floyd)算法
D(2) [i][j] = min{D(1) [i][j], D(1) [i][2]+D(1) [2][j]}
6
0123
V2 8 V3
8
0 1 1920 43 0
3
4 52
ADA(((-32101)))==
8
11021 0 98 2 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
90 110 6 0 3
12
5.算法实现
• 图用邻接矩阵存储 • edge[ ][ ]存放最短路径长度 • path[i][j]是从Vi到Vj的最短路径上Vj前一顶点序号
void floyd ( ){
for ( int i = 0; i < n; i++ ) //矩阵dist与path初始化
for ( int j = 0; j < n; j++ ) { //置A(-1)
例题：
6 A4 3 11
C
初始：
0 6
4 0
11 2
3 0 B
路径： BA CA
AB AC BC
2 0 4 11
加入A： 6 0 2 37 0
AB AC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入B： 6 0 2
37 0
AB ABC
路径： BA
BC
CA CAB
04 6 加入C： 5 0 2
37 0
AB ABC
8
0092 3 45 0 687
1 2
9
V0
V1
8
8
0160 3
1
以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短
(完整word版)floyd算法、Dijkstra算法实例讲解
printf("请输入邻接矩阵\n");
for (v = 0; v < G.vexnum; v++)
for (w = 0; w < G.vexnum; w++)
scanf("%d",&G.arcs[v][w]); //读入邻接矩阵
// P[v][w][k]为TRUE，则从v到w的最短路径中含有k节点
printf("%c到%c最短路径为",65+a,65+b);
printf("%c\t",65+a);
find(P,G,a,b);
printf("%c\t",65+b);
printf("长度为%d",D[a][b]);
printf("\n");
}
}
void find(int P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM],MGraph G,int a,int b){
A→C→B=5(比上面第一步的A→B=6要短)
此时到D权值更改为A→C→B=5，
A→C→D=6，
A→C→E=7，
A→C→其它U中的顶点=∞，发现A→C→B=5权值为最短
3
选入B，此时S=<A、C、B>
此时最短路径A→A=0，A→C=3，A→C→B=5
以B为中间点
从A→C→B=5这条最短路径开始找
U=<D、E、F>
int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
基于Floyd算法的最短路径问题的求解c++1【范本模板】
摘要现实生活中许多实际问题的解决依赖于最短路径的应用,其中比较常用的是floyd算法.通过floyd算法使最短路径问题变得简单化。
采用图的邻接矩阵或邻接表实现最短路径问题中图的存储。
采用Visual C++6.0的控制台工程和MFC工程分别实现基于floyd 算法求最短路径的应用.关键词:最短路径；floyd算法;邻接矩阵；MFC工程目录1需求分析 (1)2算法基本原理 (1)2。
1邻接矩阵 (1)2.2弗洛伊德算法 (2)3类设计 (3)3.1类的概述 (3)3。
2类的接口设计 (3)3.3类的实现 (4)4基于控制台的应用程序 (7)4.1主函数设计 (7)4.2运行结果及分析 (8)5基于MFC的应用程序 (9)5。
1图形界面设计 (9)5。
1程序代码设计 (11)5。
3运行结果及分析 (20)结论 (22)参考文献 (23)1需求分析Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法.该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
假若要在计算机上建立一个交通咨询系统则可以采用图的结构来表示实际的交通网络。
这个资讯系统可以回答游客提出的各种问题.例如，一位旅客要从A城到B城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。
假设图中每一站都需要换车，则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到B所含边的数目最少的路径。
我们只需从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B就终止。
由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数.但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。
有时对于旅客来说,可能更关心的是节省交通费用；对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。
为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值，权的值表示两城市间的距离,或图中所需时间，或交通费用等等。
Floyd最短路径算法
Floyd最短路径算法Floyd最短路径算法2006-10-20, by leon_jlu 在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。
我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了... 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。
不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。
下面让我们先把问题稍微的形式化一下：如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。
若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。
又有d(ii)=0。
编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。
我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。
如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。
所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k 再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。
重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。
所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最短路径动态规划问题及其程序设计
林旭东
(深圳大学管理学院,广东深圳518060)
[摘要]本文以最短路径问题为例,在给出佛洛伊德算法的基础上,设计了求解该算法的计算程序,这样可大大提高最短路径计算的效率。
[关键词]最短路径; 动态规划; 程序设计
1 佛洛伊德算法
已知有n个顶点的有向图,佛洛伊德算法能够求解出每一对顶点之间的最短路径。
假设使用邻接矩阵d ( i, j)来对图进行存储, d ( i, j)表示υi 到υj 之间的距离,可是该距离不一定是最短距离。
佛洛伊德算法的基本思想是:为求顶点υi→υj 之间的最短距离,需要进行n次试探。
首先将υ0 加入路[收稿日期] - 12 - 22[作者简介]林旭东(1972 - ) ,男, 湖北武汉人,深圳大学管理学院副教授,博士后,主要研究方向:数量模型与决策分析。
径,考虑路径υi →υ0 →υj 是否存在,如果存在,则比较υi →υj和υi →υ0 →υj 的路径长度,取长度短的路径作为υi →υj 的路径,记作(υi ,υj ) 。
接着在路径上再增加一个顶点υ1 ,比较υi→υ1 →υj 和(υi ,υj )的路径长度, 取长度短的路径作为(υi ,υj) 。
不断将顶点υ2 ,υ3 , .,υn - 1加入进行试探, 最后得到的(υi ,υj )必定为υi →υj 的最短路径。
若使用数组dk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径长度的变化情况,使用数组pk ( i, j)表示加入顶点k后,最短路径上顶点的变化情况,这样佛洛伊德算法就会产生一组d 0 ( i, j) ,d1 ( i, j) , ., dn - 1 ( i, j)和一组p0 ( i, j) , p1 ( i, j) , ., pn - 1 ( i, j) 。
R2 =
01314 014 01286 0
01197 01263 01394 01146
01211 01281 01392 01116
01231 01308 01346 01115 ,
R3 =
01367 01409 01224 0
01402 01412 01186 0
01367 01409 01224 0
01326 01435 01239 0 。
(2) 利用层次分析法确定指标权重:A = (01123, 01769,01108) ,
A1 = (01201, 01206, 01324, 01269) , A2 = (01189,01323, 01195, 01293) , A3 = (01203, 01286, 01168, 01343) 。
(3) 对Vi和U作综合评价。
对Vi作综合评价,则有B1 =A1 ×R1 = (01356 8, 01380 3, 01222 2, 01040 6) , B2 = A2 ×R2= (01231 8, 01305 6, 01359 1, 01103 5) , B3 =A3 ×R3 = (01362 9,
01418 8, 01218 3)。
对U作综合评价,则有B = A ×R = A ×[B1 ,B2 , B3 ]T = (01261 3, 01327 0, 01327 1, 01084 6) 。
(4) 计算综合评价值:W = B ×CT = 21765,表明广西北部湾经济区物流竞争力相对比较强,这主要得益于该区域优越的物流竞争环境和强的竞争潜力。
因此, 广西北部湾经济区物流业有比较好的发展前景。
4 结束语
实践表明,灰色综合评价法应用于区域物流竞争力的综合评价是有效的、可靠的, 既能够评价一个区域物流竞争力所属的评价灰类,又能够对不同区域的物流竞争力进行选优排序,还能得出评价指标各组成要素的优劣排序, 所得评价信息可满足不同的评价需求。
然而,同其它定量分析方法一样,灰色综合评价法对区域物流竞争力的评价, 仍有一定的局限性和不确定性。
比如指标设置的代表性程度、专家评分以及指标权重的确定等都具有一定的主观性和随机性。
因此,在实际工作中应及时剔除突发因素的影响, 使模型评估结果更加符合实际。
主要参考文献
[ 1 ]姚建华. 物流产业竞争力评价指标体系研究[ J ]. 商业经济文荟, (1) : 20 - 23.
[ 2 ]李旭宏,李玉民,顾政华, 等. 基于层次分析法和熵权法的区域物流发展竞争态势分析[ J ]. 东南大学学报:自然科学版, , 34(3) : 398 - 401.
[3 ]谢如鹤,邱祝强,陈宝星. 区域物流产业竞争力指标体系及其应用
[ J ]. 工业工程, , 11 (1) : 109 - 112.
[ 4 ]邵万清. 物流产业评价指标与方法的探讨[ J ]. 物流科技, , 29(11) : 8 - 10.
[ 5 ]胡笙煌. 主观指标评价的多层次灰色评价法[ J ]. 系统工程理论与实践, 1996 (1) : 12 - 21.
[ 6 ]肖艳. 区域物流竞争力评价研究[D ]. 重庆:重庆大学机械工程学院, . [ 7 ]苏飞,唐万生. 商业银行授信风险分析的灰色综合评价法[ J ]. 哈尔滨理工大学学报, , 9 (4) : 47 - 51.
[ 8 ]邓聚龙. 灰色系统理论教程[M ]. 武汉: 华中理工大学出版社,1991: 144 - 162.84经济管理
最后dn - 1 ( i, j)和pn - 1 ( i, j)就是顶点υi 到υj 之间的最短距离和相应路径。
2 动态规划求解的佛洛伊德算法程序设计
如图1所示:给定一个线路网络,两点之间连线上的数字表示两点间的距离,求一条从A到E的路线,使总距离为最短。
下面设计的程序要求用邻接矩阵存储图1 上三角阵。
令υ1 ,υ2 , .,υ9 分别表示图1中点A, B1 , B2 , C1 , C2 , C3 , D1 ,D2 和E,则图1能够表示为(用99999表示∞) :
图1 动态规划的最短路径图
d ( i, j) =
99999 5 2 99999 99999 99999 99999 99999 99999
99999 99999 99999 3 7 99999 99999 99999 99999
99999 99999 99999 99999 6 3 99999 99999 99999
99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 99999 99999
99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 8 99999
99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 1 99999
99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999。