动态规划求最短旅行路线
动态规划求最短路径的两种方法
动态规划1．最短路线问题解（1）：将上图该画成下图：记a （1,2）=4，a(1,3)=5，依次类推，表示每个点和值的关系。
逆序递推方程：⎪⎩⎪⎨⎧==+++=0)6(61,2,3,4,5)}1(1),({min )(s f k k s k f k u k s k d k uk s k fAB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 8 7 75845348435 6 2 314 31234 5 6 789 101112134523 6 8 7 7584534 8435 6 2 314 3如图各状态：逆序递推，找出上一个状态到下一阶段的最小路径值。
例如，当K=4时，状态 它们到F 点需经过中途 点E ，需一一分析从E 到 F 的最短路：先说从D1到F 的最短路 有两种选择：经过 E1, E2, 比较最短。
这说明由 D1 到F 的最短距离为7，其路径为AB 1B 2C 1 C 2C 3 C 4D 1 D 2 D 3E 1 E 2F4523 6 87 75845348435 62 31 4 3第1阶段 第2阶段 第3阶段 第4阶段 第5阶段状态 1状态 2状态3状态 4状态 5状态 6)}(),(),(),(m in{)(252141511414E f E D d E f E D d D f ++=.7}35,43min{=++=.11F E D →→},,{3214D D D S =a=[0,4,5,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 4,0,inf,2,3,6,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf 5,inf,0,inf,8,7,7,inf,inf,inf,inf,inf,inf inf,2,inf,0,inf,inf,inf,5,8,inf,inf,inf,inf inf,3,8,inf,0,inf,inf,4,5,inf,inf,inf,inf inf,6,7,inf,inf,0,inf,inf,3,4,inf,inf,inf inf,inf,7,inf,inf,inf,0,inf,8,4,inf,inf,inf inf,inf,5,4,inf,inf,inf,0,inf,inf,3,5,inf inf,inf,inf,8,5,3,8,inf,0,inf,6,2,inf inf,inf,inf,inf,inf,4,4,inf,inf,0,1,3,inf inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,3,6,1,0,inf,4 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,5,2,3,inf,0,3 inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,inf,4,3,0]; s8=min(a(8,11)+a(11,13),a(8,12)+a(12,13)); s9=min(a(9,11)+a(11,13),a(9,12)+a(12,13)); s10=min(a(10,11)+a(11,13),a(10,12)+a(12,13)); s4=min(a(4,8)+s8,a(4,9)+s9); s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9); s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10); s7=min(a(7,9)+s9,a(7,10)+s10); s2=[a(2,4)+s4,a(2,5)+s5,a(2,6)+s6]; s2=min(s2);s3=[a(3,5)+s5,a(3,6)+s6,a(3,7)+s7]; s3=min(s3);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)运行结果为：s8 = 7 s9 = 5 s10 = 5 s4 = 12 s5 = 10 s6 = 8 s7 = 9 s2 =13s3 = 15 s1 = 17结果分析：s 表示每个点到终点的最短距离，那么最短路程为17。
多地点的最短路径算法
多地点的最短路径算法多地点最短路径算法是指在多个起点和多个终点之间寻找最优路径的算法。
在实际应用中，例如GPS导航系统和物流配送等领域，多地点最短路径算法具有重要的应用价值。
本文将介绍几种用于解决多地点最短路径问题的算法，包括Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是一种基于贪心策略的最短路径算法，广泛应用于图形问题中。
它的基本思想是不断扩展距离最短的节点，直到求得所有节点的最短路径。
在多地点最短路径问题中，可以将起点按顺序逐一添加到集合中，然后针对每个起点运行Dijkstra算法，最终得到每个终点的最短路径。
2. Floyd算法Floyd算法是一种动态规划算法，可以求出从任一起点到任一终点的最短路径。
它通过记录任意两个节点之间经过的中间节点，并计算出经过这些中间节点的最短路径长度。
在多地点最短路径问题中，可以构建一个权重矩阵，矩阵中的每个元素代表两个节点之间的距离，然后运行Floyd算法，最终得到每个起点到每个终点的最短路径。
3. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，它在搜索过程中利用信息启发式函数来预估从当前节点到目标节点的路径成本，以便更快地找到最短路径。
在多地点最短路径问题中，可以将每个起点作为初始节点，每个终点作为目标节点，然后运行A*算法，最终得到每个起点到每个终点的最短路径。
总结在多地点最短路径问题中，Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法都可以用来寻找最优路径。
Dijkstra算法适用于较小的问题，而且算法复杂度为O(n²)，适用于稠密图。
Floyd 算法适用于较大的问题，复杂度为O(n³)，适用于稀疏图。
A*算法可以在比较短时间内找到近似最优解，但在处理复杂的问题时速度较慢。
根据实际应用的具体要求，可以选择适合的算法。
最短路径的七种类型
最短路径的七种类型
嘿，朋友们！咱今儿来聊聊最短路径的七种类型，这可有意思啦！
你看啊，就好比你要去一个地方，你肯定想走最快最省力的路吧。
这最短路径就像是你找路的指南。
第一种呢，就像是笔直的大道，一眼就能看到头，简单直接，没有弯弯绕绕，这就是单源最短路径。
你从一个点出发，直直地奔向目标，中间不拐弯抹角。
第二种呢，有点像走迷宫，但是有了特殊的方法让你能最快找到出口，这就是所有点对最短路径。
就好像你要把迷宫里每一个点到其他点的最短路径都搞清楚。
第三种啊，像那种有很多条路都能到目的地，但你得挑出最短的那条，这就是动态规划最短路径。
得好好算计一下，可不能瞎走。
第四种呢，就好像在一个大网里找路，要考虑好多好多的线和点，这就是网络流中的最短路径。
第五种，好比在一群乱麻中找最顺的那根线，这就是图论中的最短路径。
第六种，像是有很多障碍，但你得巧妙地绕过去找到最短的路，这就是带权图最短路径。
第七种，就像在一个复杂的世界里，找一条最快捷的通道，这就是多阶段决策最短路径。
你说这七种类型是不是很有趣？它们就像是生活中的各种选择，有时候我们要找到最快捷的方式去达成目标。
想想看，要是我们在生活中也能像找到最短路径一样，迅速地做出最好的选择，那该多好啊！
所以啊，朋友们，了解了这些最短路径的类型，咱以后做事就更有方向啦！别再瞎碰瞎撞啦，找对路，走得快，才能更好地迎接生活的挑战呀！咱可得把这些好好记住，说不定啥时候就派上用场啦！。
动态规划实现最短路径问题
动态规划实现最短路径问题⼀、设计最短路径的动态规划算法 <算法导论>中⼀般将设计动态规划算法归纳为下⾯⼏个步骤： 1）分析最优解的结构 2）递归定义最优解的值 3）⾃底向上计算最优解的值 4）从计算的最优解的值上⾯构建出最优解⼆、最短路径的结构 从最优解的结构开始分析(我们假设没有权值为负的路径),对于图G<V,E>的所有结点对最短路径的问题，我们能知道⼀条最短路径的⼦路径都是最短路径。
假设⽤邻接矩阵W=w(ij)来表⽰输⼊带权图,考虑从结点i到结点j的⼀条最短路径p，如果p最多有m(m为有限值)条边。
若i=j，则p的权值为0⽽且不包含其他边。
若i ≠ j，可以将i到j的路径转换为i -> k、k->j。
三、⼀个给定的图 1）给定⼀个有向图 2）我们可以给出这个有向图的邻接矩阵四、C++实现1 #include <iostream>2 #include<fstream>3 #include<sstream>4 #include<vector>5 #include<string>6using namespace std;7const int Max_Num = 100;89 typedef struct Point {10int n; //点的个数11double p[Max_Num];12double q[Max_Num];13int root[Max_Num][Max_Num];14double w[Max_Num][Max_Num];15double e[Max_Num][Max_Num];16 }Point;1718 vector<Point> points;19 vector<string> res;20 vector<int> num;2122void file_read();23void createPoint();24void optimalBST();25void printRoot(Point P);26void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite);27 template <class Type>28 Type stringToNum(const string& str) {29 istringstream iss(str);30 Type num;31 iss >> num;32 iss.str("");33return num;34 }3536void file_read() {37string str2, str1 = "", result;38 ifstream fileRead("in.dat");39if (fileRead.is_open()) {40while (getline(fileRead, str2, '\n')) {41if (str2.find("") != -1) {42 str1.append(str2 + "");43 }44else {45 num.push_back(stringToNum<int>(str2));46if (str1 != "") {47 res.push_back(str1);48 }49 str1 = "";50 }51 }52 res.push_back(str1);53 fileRead.close();54 }55 }5657void createPoint() {58string temp;59 Point P;60for (int i = 0; i < res.size(); i++) {61 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字62int n = num[i];63 stringstream input(res[i]);64while (input >> temp) {65 temp_str.push_back(temp);66 }67 P.n = n;68for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);69for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]);70 points.push_back(P);71 }72 }7374//根据书上的伪代码：接收概率列表p1....pn和q0.....qn以及规模n作为输⼊计算出e和root75void optimalBST(){76 Point P;77for(int i = 0; i<res.size(); i++) {78 vector<string> temp_str; //存放按照空格分开后的数字79int n = num[i];80string temp;81 stringstream input(res[i]);82while (input >> temp) {83 temp_str.push_back(temp);84 }85 P.n = n;8687for(int k = 0; k<=n; k++) P.p[k] = stringToNum<double>(temp_str[k]);88for(int k = n + 1; k<temp_str.size(); k++) P.q[k-(n+1)] = stringToNum<double>(temp_str[k]); 8990//初始化只包括虚拟键的⼦树91for (int i = 1;i <= P.n + 1;++i){92 P.w[i][i-1] = P.q[i-1];93 P.e[i][i-1] = P.q[i-1];94 }95//由下到上，由左到右逐步计算96for (int len = 1;len <= P.n;++len){97for (int i = 1;i <= P.n - len + 1;++i){98int j = i + len - 1;99 P.e[i][j] = Max_Num;100 P.w[i][j] = P.w[i][j-1] + P.p[j] + P.q[j];101//求取最⼩代价的⼦树的根102for (int r = i;r <= j;++r)103 {104double temp = P.e[i][r-1] + P.e[r+1][j] + P.w[i][j];105if (temp < P.e[i][j])106 {107 P.e[i][j] = temp;108 P.root[i][j] = r;109 }110 }111 }112 }113 points.push_back(P);114 }115 }116117void printOptimalBST(int i, int j, int r, Point P, ofstream &fileWrite){118int root_node = P.root[i][j];//⼦树根节点119if (root_node == P.root[1][P.n]){120//输出整棵树的根121 fileWrite << "k" << root_node << "是根" << endl;122 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);123 printOptimalBST(root_node +1 , j, root_node, P, fileWrite);124return;125 }126127if (j < i - 1){128return;129 }else if (j == i - 1){//遇到虚拟键130if (j < r)131 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl;132else133 fileWrite << "d" << j << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl;134return;135 }136else{//遇到内部结点137if (root_node < r)138 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的左孩⼦" << endl; 139else140 fileWrite << "k" << root_node << "是" << "k" << r << "的右孩⼦" << endl; 141 }142 printOptimalBST(i, root_node - 1, root_node, P, fileWrite);143 printOptimalBST(root_node + 1, j, root_node, P, fileWrite);144 }145146//输出最优⼆叉查找树所有⼦树的根147void printRoot(Point P){148 cout << "各⼦树的根：" << endl;149for (int i = 1;i <= P.n;++i){150for (int j = 1;j <= P.n;++j){151 cout << P.root[i][j] << "";152 }153 cout << endl;154 }155 cout << endl;156 }157158int main(){159 file_read();160 optimalBST();161 ofstream fileWrite("out.dat");162 Point P ;163for(int i = 0; i<points.size(); i++) {164 P = points[i];165 printRoot(P);166 printOptimalBST(1,P.n,-1, P, fileWrite);167 }168 fileWrite.clear();169return0;170 } 上述代码是将给定的邻接矩阵从⽂件中读取 然后根据输⼊的邻接矩阵求出最短路径。
算法论文：旅行商问题的求解方法(动态规划法和贪心法)讲解
旅行商问题的求解方法摘要旅行商问题（TSP问题）时是指旅行家要旅行n个城市然后回到出发城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求所走的路程最短。
该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知的问题。
本文主要介绍用蛮力法、动态规划法、贪心法和分支限界法求解TSP问题，其中重点讨论动态规划法和贪心法，并给出相应求解程序。
关键字：旅行商问题；动态规划法；贪心法；分支限界法1引言旅行商问题(TSP)是组合优化问题中典型的NP-完全问题，是许多领域内复杂工程优化问题的抽象形式。
研究TSP的求解方法对解决复杂工程优化问题具有重要的参考价值。
关于TSP的完全有效的算法目前尚未找到，这促使人们长期以来不断地探索并积累了大量的算法。
归纳起来，目前主要算法可分成传统优化算法和现代优化算法。
在传统优化算法中又可分为：最优解算法和近似方法。
最优解算法虽然可以得到精确解，但计算时间无法忍受，因此就产生了各种近似方法，这些近似算法虽然可以较快地求得接近最优解的可行解，但其接近最优解的程度不能令人满意。
但限于所学知识和时间限制，本文重点只讨论传统优化算法中的动态规划法、贪心法和分支限界法，并对蛮力法做简单介绍，用以比较。
2正文2.1蛮力法2.1.1蛮力法的设计思想蛮力法所依赖的基本技术是扫描技术，即采用一定的策略将待求解问题的所有元素一次处理一次，从而找出问题的解。
一次处理所有元素的是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。
在基本的数据结构中，一次处理每个元素的方法是遍历。
2.1.2算法讨论用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。
如对于图1，我们求解过程如下：（1）路径：1->2->3->4->1；路径长度：18；（2）路径：1->2->4->3->1；路径长度：11；（3）路径：1->3->2->4->1；路径长度：23；（4）路径：1->3->4->2->1；路径长度：11；（5） 路径：1->4->2->3->1；路径长度：18；（6） 路径：1->4->3->2->1；路径长度：18；从中，我们可以知道，路径（2）和（4）路径长度最短。
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。
本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。
求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。
对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最短路程即可，即求d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。
对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。
动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
总之，动态规划是一种很有用的优化技术，它可以有效解决各种运筹学问题。
它不仅可以帮助我们解决许多具体问题，而且还能使我们更好地理解问题及其解法。
动态规划求解TSP问题
f5(i, )=min{Cij+f6(1, )}=Ci1, d5(i, 1), i=2, 3, 4, 5 f5(i, )的值列表如下：
1
i 2
f5(i, ) 2
5 3
5 1 2 7
2
2 3 3
3
4 5
7
2 5
6
4 4
5
7
对于k=4, 有
f4(i, S4)=min{Cij+f5(j, S5)}, jS4, f4(i, S4。并且有 xn=(i, ), i=2, 3, …, n,
xn+1=(1, )
4
动态规划模型构造
决策变量：dk=(i, j), 其中i为当前所在的城市, j为下一站将要到达的城市。 状态转移方程：若当前的状态为 xk=(i, Sk) 采取的决策为 dk=(i, j) 则下一步到达的状态为 xk+1=T(xk, dk)=(j , Sk\{j})
9
(i, S3) (2, {3, 4}) (2, {3, 5})
J {3} {4} {3} {5}
Cij 3 5 3 1
S4 {4} {3} {5} {3}
Cij+f4(j, S4) 3+f4(3, {4})=3+6=9* 5+f4(4, {3})=5+11=16 3+f4(3, {5})=3+11=14* 1+f4(5, {3})=1+13=14*
(1, S1) (1, {2, 3, 4, 5})
J {2} {3} {4} {5}
Cij 2 7 2 5
S2 {3, 4, 5} {2, 4, 5} {2, 3, 5} {2, 3, 4}
动态规划在最短路径问题中的应用
动态规划在最短路径问题中的应用动态规划是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解成更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高解决问题的效率。
最短路径问题是在图或者网络中找到从起点到终点的最短路径的问题，可以使用动态规划算法来解决。
本文将介绍动态规划在最短路径问题中的应用及其算法实现。
一、最短路径问题在最短路径问题中，我们需要在图或网络中找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
最短路径可以通过边的权重来衡量，权重可以表示距离、时间、代价等。
最短路径问题有多种变体，其中最常见的是单源最短路径和全源最短路径。
单源最短路径问题是在给定一个起点的情况下，找到该起点到其他所有节点的最短路径。
最常用的算法是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
二、动态规划原理动态规划通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高算法的效率。
它将问题分解成更小的子问题，并使用递推关系来计算子问题的解。
在最短路径问题中，我们可以使用动态规划来计算从起点到每个节点的最短路径。
首先，我们定义一个一维数组dist[]来保存从起点到每个节点的最短路径长度。
初始化时，dist[]的值为无穷大，表示路径长度未知。
然后，我们从起点开始逐步计算每个节点的最短路径长度。
具体的动态规划算法如下：1. 初始化dist[]为无穷大，起点的dist[]为0。
2. 对于每个节点v，按照拓扑顺序进行如下操作：2.1. 对于节点v的所有邻接节点u，如果dist[v] + weight(v, u) < dist[u]，则更新dist[u]。
2.2. 拓扑顺序可以根据节点的拓扑顺序进行计算或者使用深度优先搜索（DFS）算法。
三、算法实现下面是使用动态规划算法解决最短路径问题的示例代码：```// 定义图的邻接矩阵和节点个数int graph[MAX][MAX];int numNodes;// 定义dist[]数组来保存最短路径长度int dist[MAX];// 定义拓扑排序和DFS算法需要的变量bool visited[MAX];stack<int> s;// 动态规划算法求解最短路径void shortestPath(int startNode) {// 初始化dist[]数组为无穷大for (int i = 0; i < numNodes; i++) {dist[i] = INT_MAX;}dist[startNode] = 0;// 拓扑排序或DFS计算每个节点的最短路径长度 for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (!visited[i]) {DFS(i);}}// 输出最短路径长度for (int i = 0; i < numNodes; i++) {cout << "Node " << i << ": " << dist[i] << endl; }}// 深度优先搜索void DFS(int node) {visited[node] = true;for (int i = 0; i < numNodes; i++) {if (graph[node][i] != 0 && !visited[i]) {DFS(i);}}s.push(node);}```以上示例代码演示了使用动态规划算法求解最短路径问题的基本原理和步骤。
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动态规划求最短旅行路线摘要：在我们日常生活和旅行中经常遇到求最短路径的问题，将动态规划思想运用到求解旅行问题最短路径中，将过程划分为几个阶段，在每阶段中选取最优策略，最后将找到整个过程的总体优化目标即最短路径。
给出了动态规划方法的基本原理，尽力了动态规划数学模型，通过一个实际应用例子具体说明动态规划求解旅行问题最短路径过程，并总结出动态规划在此类问题中的优越性。
关键词:动态规划，最短路径，多阶段决策，Matlab一、预备知识1.基本理论1.1动态规划基本思想动态规划]1[是一种强有力的算法设计技术，它被广泛用于求解组合最优化问题。
这种方法是采用自底向上的方式递推求值，将待求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，并把子问题的解存储起来以便以后用来计算所需要求的解。
总言之，动态规划的基本思想就是把全局的问题化为局部的问题，为了全局最优必须局部最优。
动态规划基本步骤：（1）找出最优解的性质，并刻划其结构特征；（2）递归的定义最优值；（3）以自底向上的方式计算出最优值；（4）根据计算最优值时的信息，构造最优解。
1.2多阶段决策过程分析多阶段决策]3[问题是根据问题本身的特点，将其求解的过程划分为若干个相互独立又相互联系的阶段，在每一个阶段都需要做出决策，并且在一个阶段的决策确定以后再转移到下一个近阶段，在每一阶段选取其最优决策，从而实现整个过程总体决策最优的目的。
适合用动态规划方法求解的问题是一类特殊的多阶段决策问题，具有“无后效性”的多阶段决策问题，一般具有以下特点：（1）可以划分成若干个阶段，问题的求解过程是对若干个阶段的一系列决策过程。
（2）每个阶段有若干个可能状态。
（3）一个决策将你从一个阶段的一种状态带到下一阶段的某钟状态。
（4）在任一阶段，最佳的决策序列和该阶段以前的决策无关。
（5）各阶段状态之间的转换有明确定义的费用，而且在选择最佳决策时有递推关系（即状态转移方程）。
二、动态规划求最短旅行路线2.1问题重述设某旅行者要从A点出发到终点B，他事先得到一张路线图如图1所示，各阶段距离如图上所标数值，旅行者沿着箭头方向行走总能到达B点。
试求出A 到B点两点间的最短旅行路线及距离。
图1：旅游路线图2.2问题模型建立（两种方法）2.2.1逆序递推法模型首先根据网络图建立数学模型，我们可以将旅行过程划分成六个阶段。
阶段便两用k 表示；状态变量s 。
表示k 阶段初可能的位置；决策k X 表示k 阶段初可能选择的路线；状态转移方程k k k x s s -=+1； 阶段指标k v 表示k 阶段与所选择的路段相应的路长； k f 表示第k 阶段点k s 到终点层的旅行费用；递推公式}min{1++=k k k f v f ,k=6,5,4,3,2,1； *k x 表示最优决策；边界条件k=7时,07=f 。
2.2.2 Dijkstra 算法模型求A 到B 点最短路，对于每个顶点，定义两个标记))(),((v z v l ，其中： )(v l ：表从起点A 到v 的一条路的权。
)(v z ：v 的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终)(v l 为从顶点A 到B 的最短的权。
S ：具有永久标号的顶点集输入：带权邻接矩阵),(v u w 。
2.3模型求解(两种解法)2.3.1逆序递推法逆序递推方程为：)}(),({min )(11+++=k k k k u k k s f u s d s f k k=6,5,4,3,2,1；0)(77=s f .整个计算过程分六个阶段，从最后一个阶段开始直到第一阶段结束，利用Matlab ]4[最后求得最短路径]2[。
最后求得：{}16},16m in{)(),(),(),(m in )(221==++=D f D A d C f C A d A f 于是从A 到B 的最短路线为：A->C->F->J->M->O->B ，其长度为16。
matlab 代码如下：a=[0 4 3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;... Inf 0 inf 5 4 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;... Inf inf 0 inf 7 3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;... Inf inf inf 0 inf inf 2 1 inf inf inf inf inf inf inf inf;... Inf inf inf inf 0 inf inf 1 2 inf inf inf inf inf inf inf;... Inf inf inf inf inf 0 inf inf 7 4 inf inf inf inf inf inf;... Inf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf 3 inf inf inf inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 3 4 inf inf inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 2 5 inf inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 2 inf inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 5 inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 2 8 inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 4 inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 2;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 1;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0]s11=a(11,14)+a(14,16);s12=min(a(12,14)+a(14,16),a(12,15)+a(15,16));s13=a(13,15)+a(15,16);s7=a(7,11)+s11;s8=min(a(8,11)+s11,a(8,12)+s12);s9=min(a(9,12)+s12,a(9,13)+s13);s10=a(10,13)+s13;s4=min(a(4,7)+s7,a(4,8)+s8);s5=min(a(5,8)+s8,a(5,9)+s9);s6=min(a(6,9)+s9,a(6,10)+s10);s2=min(a(2,4)+s4,a(2,5)+s5);s3=min(a(3,5)+s5,a(3,6)+s6);s1=min(a(1,2)+s2,a(1,3)+s3)程序运行结果：于是从A 到B 的最短路线为：A->C->F->J->M->O->B ，其长度为16。
2.3.2 Dijkstra 算法算法步骤：（1）赋初值：令 A 顶点为u 0，S ＝{u 0}, l u ()0=0,∀∈=v S VS \，令l v ()=Wu v (,)0,z v ()= u 0 u ←u 0（2）更新l v ()、z v ()： ∀∈=v S VS \,若l v ()>lu W u v ()(,)+则令l v ()=lu W u v ()(,)+,z v ()= u（3）设v *是使l v ()取最小值的S 中的顶点，则令S=S ∪{v *}，u ←v *（4）若S ≠φ，转2，否则，停止。
用上述算法求出的l v ()就是A 到其它顶点的最短路的权，从v 的父亲标记)(v z 追溯到A, 就得到A 到B 的最短路的路线。
Matlab代码如下：w=[0 4 3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;... Inf 0 inf 5 4 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;...Inf inf 0 inf 7 3 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf;...Inf inf inf 0 inf inf 2 1 inf inf inf inf inf inf inf inf;...Inf inf inf inf 0 inf inf 1 2 inf inf inf inf inf inf inf;...Inf inf inf inf inf 0 inf inf 7 4 inf inf inf inf inf inf;...Inf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf 3 inf inf inf inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 3 4 inf inf inf inf;...Inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 2 5 inf inf inf;...Inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 2 inf inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf 5 inf inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 2 8 inf;...Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 4 inf;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 inf 2;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0 1;... Inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 0] n=size(w,1);w1=w(1,:);%赋初值for i=1:nl(i)=w1(i);z(i)=1;ends=[];s(1)=1;u=s(1);k=1lzwhile k<n% 更新 l(v) 和 z(v)for i=1:nfor j=1:kif i~=s(j)if l(i)>l(u)+w(u,i)l(i)=l(u)+w(u,i);z(i)=u;endendendendlz%求v*ll=l;for i=1:nfor j=1:kif i~=s(j)ll(i)=ll(i); elsell(i)=inf; endendendlv=inf;for i=1:nif ll(i)<lvlv=ll(i);v=i;endendlvvs(k+1)=vk=k+1u=s(k)endlz程序运行结果为：于是从A到B的最短路线为：A->C->F->J->M->O->B，其长度为16。