84《圆锥曲线-双曲线》基础知识--教师版

二.双曲线

注意:牢记双曲线的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。

一.过焦点弦长公式的推导(注意分类,不要求记忆,但要熟练推导过程) ㈠焦点在x 轴上:

1.过左焦点且相交于同一支:

过双曲线22

221x y a b

-=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则:

;11a ex AF --=;21a ex BF --=焦点弦a x x e AB 2)(21-+-=

2.过左焦点且相交于两支

过双曲线22

221x y a b

-=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则:

;11a ex AF --=;21a ex BF +=焦点弦a x x e AB 2)(21++=

3.过右焦点且相交于同一支

过双曲线22

221x y a b

-=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则:

;12a ex AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21-+=

4.过右焦点且相交于两支

过双曲线22

221x y a b

-=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则:

;12ex a AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21++-=

㈡焦点在y 轴上:分别同上面的情况

1.过下焦点且相交于同一支

2.过下焦点且相交于两支

3.过上焦点且相交于同一支

4.过上焦点且相交于两支

二.焦点三角形:如图

设若双曲线方程为22

221x y a b

-=,21,F F 分别为它的左右焦点,),(00y x P 为双曲线上任意一点,则有:

性质1.若12F PF ,∠=θ则2

cot

.2

21θ

b S F PF =∆;特别地,当12F PF 90∠=时,有2

21b S F PF =∆

021y c S PF F ⨯=∆

性质2.双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点。

性质3.双曲线的焦点21F PF ∆中,1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β

当点P 在双曲线右支上时,有e 1tan

cot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时,有e 1

cot tan 22e 1

αβ-⋅=+

性质4.双曲线离心率为,e 其焦点21F PF ∆的旁心为,A 线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点,B 则

|BA |

e |AP |

=

三.双曲线中点弦的斜率的求法: ㈠双曲线中点弦的斜率公式:

设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有2

2

AB OM b k k a ⋅=

注:设00(,)M x y 是双曲线)0(1..22<=+mn y n x m 的弦AB (不平行y 轴)的中点,且

),(),,(2211y x B y x A ,则有: 0012121212y x n m y y x x n m x x y y k AB ⨯-=++⨯-=--=

即n m

k k OM AB -

=.

㈡若B A ,是双曲线22

221x y a b -=上关于中心对称的两点,P 是双曲线上的任一点,当PA 、PB 的斜率

PA k 和PB k 都存在时,有2

2PA PB

b k k a ⋅=

四.双曲线的焦半径的性质:a c a

b ->2

设),(00y x P 是双曲线22

221x y a b

-=上任意一点,点21,F F 分别是其左右焦点,设,1d PF =则:

⑴若,a c d -<则满足条件的点P 有0个; ⑵若,a c d -=则满足条件的点P 有1个;

⑶若,a c d a c +<<-则满足条件的点P 有2个; ⑷若,a c d +=则满足条件的点P 有3个; ⑸若,a c d +>则满足条件的点P 有4个;

五.双曲线的焦点弦的性质:a c a

b ->2

过双曲线22

221x y a b

-=焦点1F 的直线l 交双曲线于Q P ,两点,设,d PQ =则:

㈠当b a >时,a b a 222>,过焦点1F 的弦最短为a

b 2

2

(1)若,22a b d =则直线l 有1条; (2)若,222

a d a

b <<则直线l 有2条; (3)若,2a d =则直线l 有3条; (4)若,2a d >则直线l 有4条;

㈡当b a <时,a

b a 2

22<,过焦点1F 的弦最短为a 2

(1)若,2a d =则直线l 有1条; (2)若,222

a

b d a <<则直线l 有2条; (3)若,22a b d =则直线l 有3条; (4)若,22

a

b d >则直线l 有4条; 六.双曲线的焦点到渐近线的距离:

㈠双曲线22221x y a b -=的焦点F 到渐近线b

y x a =±的距离为;b

㈠双曲线12222=-b

x a y 的焦点F 到渐近线x b a

y ±=的距离为;b