空间向量及其运算学案

8.6空间向量及其运算考情分析1．考查空间向量的线性运算及其数量积． 2．利用向量的数量积判断向量的关系与垂直． 3．考查空间向量基本定理及其意义． 基础知识1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量． 2．空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB→＝OA →＋AB →＝a ＋b ；BA →＝OA →－OB →＝a －b ；OP →＝λa (λ∈R )． (2)运算律：(1)加法交换律：a ＋b ＝b ＋a . (3)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (4)数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b. ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b 则|a||b|cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，即a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．基本定理(1)共线向量定理：空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数x ，y 使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c . 注意事项1.用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }； (2)用a ，b ， c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．2.(1)共线向量定理还可以有以下几种形式： ①a ＝λb ⇒a ∥b ；②空间任意两个向量，共线的充要条件是存在λ，μ∈R 使λa ＝μb .③若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →且λ＋μ＝1.(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”．3.空间向量的四种运算与平面向量的四种运算加法、减法、数乘、数量积从形式到内容完全 一致可类比学习．学生要特别注意共面向量的概念．而对于四种运算的运算律，要类比实数加、减、乘的运算律进行学习．题型一 空间向量的线性运算【例1】已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x 、y 的值分别为( )A. x ＝1，y ＝1B. x ＝1，y ＝12 C. x ＝12，y ＝12 D. x ＝12，y ＝1答案：C解析：如图，AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12(A B →＋A D →)．【变式1】 如右图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，试用a ，b ，c 表示BG→，BN →.解 BG→＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM → ＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN→＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c . 题型二 共线共面定理的应用【例2】►如右图，已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．证明 取ED ′→＝a 、EF →＝b 、EH →＝c ，则HG →＝HB →＋BC →＋CG →＝D ′F →＋2ED ′→＋12AA ′→＝b －a ＋2a ＋12(AH →＋HE →＋EA ′→)＝b ＋a ＋12(b －a －c －a )＝32b －12c ，∴H G →与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面．证明E 、F 、G 、H 四点共线，只须证明HG →＝λEF →＋μEH →即可，即证HG →、EF→、EH →三个向量共面．此种方法也是证明直线与平面平行的方法．【变式2】 如图在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点， 试证A 1B ∥平面AC 1D .证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ，则 BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→＝a ＋c ， AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ， AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ，BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵AB ⊄平面AC 1D ， 因此A 1B ∥平面AC 1D .题型三 空间向量数量积的应用【例3】►如图，在四面体S -ABC 中，若SA ⊥BC ，SB ⊥AC ，试证SC ⊥AB . 证明 取SA→＝a ，SB →＝b ，SC →＝c ，由已知SA ⊥BC ，SB ⊥AC ， 即⎩⎨⎧a ·(c －b )＝0 ①b ·(c －a )＝0 ② ②－①得c ·(b －a )＝0， 则SC ⊥AB .利用空间向量的基本定理适当的选取基底，将立体几何问题转化为已知⎩⎨⎧a ·(c －b )＝0，b ·(c －a )＝0，求证c ·(b －a )＝0 【变式3】 已知如右图所示，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°. (1)求证：C 1C ⊥BD ；(2)当CDCC 1的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．(1)证明 取CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， BD →＝CD →－CB →＝a －b ，CC 1→·BD →＝c·(a －b )＝c·a －c·b ＝12|c ||a |－12|c ||b |＝0，∴C 1C →⊥BD →，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，则A 1C ⊥C 1D ，CA 1→＝a ＋b ＋c ，C 1D →＝a －c . ∴CA 1→·C 1D →＝0，即(a ＋b ＋c )·(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a||c|－2c 2＝0， (3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0， ∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.即当CD CC 1＝|a||c|＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD .重难点突破【例4】如图，四棱锥SABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形．AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1. (1)证明：SD ⊥平面SAB ；(2)求AB 与平面SBC 所成的角的正弦值．[解析] 以C 为坐标原点，射线CD 为x 正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .设D (1,0,0)，则A (2,2,0)、B (0,2,0)． 又设S (x ，y ，z )，则x ＞0，y ＞0，z ＞0.(1)证明 A S →＝(x －2，y －2，z )，BS →＝(x ，y －2，z )，DS →＝(x －1，y ，z )，由|AS →|＝|BS→|得 (x －2)2＋(y －2)2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2， 故x ＝1.由|DS→|＝1得y 2＋z 2＝1， 又由|BS→|＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4，即y 2＋z 2－4y ＋1＝0，故y ＝12，z ＝32.于是S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，32，AS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，32，BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，DS →·AS →＝0，DS →·BS →＝0，故DS ⊥AS ，DS ⊥BS ，又AS ∩BS ＝S ，所以SD ⊥平面SAB . (2)解 设平面SBC 的法向量a ＝(m ，n ，p )，则a ⊥BS →，a ⊥CB →，∴a ·BS →＝0，a ·CB →＝0.又BS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，32，CB →＝(0,2,0)，故⎩⎨⎧m －32n ＋32p ＝0，2n ＝0.取p ＝2得a ＝(－3，0,2)． 又AB→＝(－2,0,0)， cos 〈AB →，a 〉＝AB →·a |AB →|·|a |＝217.故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为217.巩固提高1. 已知AB→＝(2,4,5)， CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( )A. x ＝6，y ＝15B. x ＝3，y ＝152 C. x ＝3，y ＝15 D. x ＝6，y ＝152答案：D解析：∵32＝x 4＝y5， ∴x ＝6，y ＝152，选D 项．2.已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为 ( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°答案：A解析：设l 与α所成的角为θ， ∵cos 〈m ，n 〉＝－12， ∴sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.又∵直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF→的值为( ) A. a 2 B. 12a 2 C. 14a 2 D.34a 2 答案：C解析：AE →·A F →＝12(AB →＋AC →)·12AD → ＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →) ＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2. 故选C.4. 已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A. P (2,3,3)B. P (－2,0,1)C. P (－4,4,0)D. P (3，－3,4) 答案：A解析：由于n ＝(6，－3,6)是平面α的法向量，所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直，只有在选项A 中， MP →＝(2,3,3)－(1，－1,2)＝(1,4,1)，MP →·n ＝(1,4,1)· (6，－3，6)＝0，所以选项A 中的点P 在平面α内．5.在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( )A. －1B. 0C. 1D. 不确定答案：B解析：选取不共面的向量AB→，AC →，AD →为基底， 则原式＝AB →·(AD →－AC →)＋AC →·(AB →－AD →)＋AD →·(AC →－AB →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＋AC →·AB →－AC →·AD →＋AD →·AC →－AD →·AB → ＝0.。