人教版八年级上册数学讲义
人教版八年级数学上册 角平分线 讲义
角平分线思考：如图，AD是∠CAB的角平分线，∠ACD=∠ABD=90°，则DC与DB的有什么关系？为什么？1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等格式：∵AD是∠CAB的角平分线∴∠1=∠2又∵∠ACD=∠ABD=90°∴DC=DB思考：如果这次反过来，已知DC=DB，∠ACD=∠ABD=90°，能证明∠1=∠2吗？2、角平分线逆定理：角的内部到这个角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上格式：∵DC=DB，∠ACD=∠ABD=90°∴∠1=∠2∴AD是∠CAB的角平分线1、如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD21D APOEB2、如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3B．PN＞3C．PN≥3D．PN≤33、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DEB. ∠AED＝90°C. ∠ADE＝∠ADCD. DB＝DC4、如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（）TQ＝PQ B、∠MQT＝∠MQPC、∠QTN＝90°D、∠NQT＝∠MQT5、在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm7、如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C 、D 分别在角的两边OA 、OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD 的是（ ）A 、PC ⊥OA ，PD ⊥OB B 、OC=ODC 、∠OPC=∠OPD D 、PC=PD8、如图,△ABC 的面积为1cm2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ,则△PBC 的面积为（ ） A.0.4cm2B.0.5cm2C.0.6cm2D.0.7cm29、如图所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°，则∠BAD ＝_____， ∠CDA ＝_____EDCBA10、如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是_____11、如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是______（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为12、如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是_____cm.13、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC＝_________°14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数15、如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C。
第12章旋转全等模型之夹半角模型讲义人教版八年级数学上册
“夹半角”模型模块一：夹半角模型知识导航夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如图所示。
这类题目有其固定的做法，当a取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。
夹半角的常见分类：（1）90度夹45度（2）120度夹60度（3）2a夹a题型一：90°夹45°例1 、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD 上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF；（2练习：1、在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC（1）DF－BE=EF；（2）∠AEB+∠AEF=180°.2、如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC=∠、CN、MN之间的数量关系并证明。
题型二：120°夹60°例2、已知如图所示，△ABC为等边三角形，∠且∠MDN=60°.（1）求证：BM+CN=MN；（2）若将上题条件中的“△ABC的一个内角∠A=60°明：若不成立，请说明理由。
练习：1、如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，∠且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF.2、如图所示，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°DC延长线上，且AE=EF+CF，求证：∠EBF=60°.题型三：2a夹a例3、如图，在四边形ABCD中，M、N分别为AB、，∠∠BDC，求证：BM+CN=MN.例4 在等边△ABC的两边AB、AC，BD=DC，当M、N分别在直线AB、AC（1）当点M、N在边AB、AC上，试求出BM、NC、ABC的周长L 的关系；（2）当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上试，若AN=2，则Q=__________（用含有L 的式子表示）。
练习：如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为 等腰直角三角形，A （4，4）. （1）求B 点坐标；（2）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上的一点，G 为EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰直角Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式1AM FM-=是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。
初中数学人教版八年级上册：第3讲 全等三角形(一)预习讲义
B．全等三角形是指面积相等的两个三角形
C．全等三角形的周长和面积分别相等
D．所有等边三角形都是全等三角形
⑶如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1＝
D 度．
【例 2】⑴如图：△ABC≌△DBF，∠B 的对应角是
，∠C 的对应角是
，∠BAC 的对应
角是
；AB 的对应边是
，AC 的对应边是
A
B
C
知识点
典型范例
三边分别相等的两个三角形全等（可以简 写成“边边边”或“SSS”）．
在△ABC 和△DEF 中，
AB＝DE BC＝EF
E
AC＝DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
典例精练
【例 3】如图，已知△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边上的中点．求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵D 是 BC 的中点，
ALeabharlann ∴．在△ABD 与△ACD 中，
_______ ∵ _______
AB = AC
B
D
C
∴△ABD≌△ACD（SSS）
3
【例 4】如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【例 5】如图，已知 AC，BD 相交于点 O，且 AB＝DC，AC＝DB，能得到∠A＝∠D 吗？为什么？
，BC 的对应边是
．
⑵如图，△ABC≌△CDA，AB 和 CD，BC 和 DA 是对应边，写出其他对应边及对应角．
⑶如图，△OCA≌△OBD，点 C 和点 B，点 A 和点 D 是对应顶点．写出这两个三角形中相等的
边和角．
A
C B
B O
D
(完整)人教版八年级上册数学讲义
八年级数学讲义第11章三角形三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接.2. 三角形的表示△ ABC 中，边：AB, BC, AC 或c, a, b.顶点：A, B, C .内角：/ A ,Z B ,Z C..二、三角形的边1.三角形的三边关系：(证明所有几何不等式的唯一方法)(1) 三角形任意两边之和大于第三边：b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差<第三边<两边之和.2. 三角形的主要线段2.1三角形的咼线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点2.3三角形的中线1.三角形的定义B三角形的三条中线交于三角形内部一点三、三角形的角 1三角形内角和定理结论〔：△ ABC 中：/ A+Z B+Z C=180° 结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ ABC 中，Z C=180°-(Z A+Z B )② 在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角. 如：△ ABC 中，已知Z A ：Z B ：Z C=2: 3： 4,求Z A Z B Z C 2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角. 2.2性质：① 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ② 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 ③ 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角(相等) 可见一个三角形共有 6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段 首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形•2、 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
八年级数学上册知识讲义-11.多边形的有关概念-人教版
精讲精练【考点精讲】1. 多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
注意：（1）理解多边形的定义要从以下两方面考虑：一是“在同一平面内”；二是“一些线段首尾顺次相接”；两者缺一不可。
（2）多边形通常以边数来命名，具有n条边的多边形叫n边形。
三角形、四边形都属于多边形。
2. 多边形的内角、外角、对角线的概念多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
注意：从n边形的一个顶点可以引出（n－3）条对角线，过n个顶点有)3(-⨯nn条对角线，但每条对角线都计算了两遍，所以n边形共有2)3(-nn条对角线。
3. 正多边形的概念各边相等各角也相等的多边形称为正多边形。
注意：正多边形必须同时满足两个条件：一是“各边相等”、二是“各角也相等”，两者缺一不可。
例如，各角都相等的四边形是矩形；各边相等的四边形是菱形。
只有各角相等，各边也相等的四边形是正方形（正四边形）。
【典例精析】例题1 在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程。
思路导航：对角线是由不相邻的两个顶点相连接而构成的，因此应从顶点入手。
可先探求从一个顶点出发可以画出多少条对角线，当归纳出对角线的条数与多边形顶点的个数之间的关系后，就可以解决本题了。
凸n边形每个顶点不能和它自己以及与它相邻的两个顶点作对角线，所以可作对角线的条数是（n－3）条，凸n边形有n个顶点，所以可作n（n－3）条。
由于每条对角线有两个端点，也就是每条对角线被计算了两次，所以凸n边形共有1(3)2n n-条对角线。
当n=8时，有18(83)45202⨯⨯-=⨯=条对角线。
答案：凸八边形的对角线应该是20条。
点评：本题主要对同学们探究问题的过程进行考查，可以通过类比多边形的内角和的探究方法来进行，所以我们在平时的学习中，不仅要牢记某些结论，还要多体验探究这些结论的方法，并能灵活运用。
初中数学 人教版八年级上册分式的化简 求值 与证明讲义
分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。
人教版八年级上数学精编讲义
第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
人教版八年级数学上册 全等三角形的判定HL 讲义
斜边直角边（HL ）一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等温馨提示：SSA 、AAA 不能证全等！！1、如图，点C 在∠DAB 的内部，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，CD=CB 那么Rt △ADC ≌Rt △ABC 的理由是（ ）A ．SSSB. ASAC. SASD. HL 2、如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFD 的理由是（ ）.A ．SSS B. AAS C. SAS D. HL3、下列说法正确的个数有（ ）①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.A ．1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4、在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）.A ．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等5、 下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ）A.一条边对应相等B.两条直角边对应相等C.一个锐角对应相等D.两个锐角对应相等6、给出下列条件：①两边一角对应相等②两角一边对应相等③三角形中三角对应相等④三边对应相等，其中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A. ①③B. ①②C. ②③D. ②④7、李明同学把一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的三块，现在要到玻璃商店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）.A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去8、如图，点D、E分别在线段AB、AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）∠B=∠CB、AD=AEC、BD=CED、BE=CD9、下列语句中不正确的是（）斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等有两边对应相等的两个直角三角形全等C、有两个角对应相等的两个直角三角形全等D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等10、如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A、∠A=∠DB、BC=EFC、∠ACB=∠FD、AC=DF11、在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF_______（填全等或不全等）12、如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是________（写一个即可）13、如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件________（写一个即可）14、如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是:____________（写一个即可）F E D C B A 15、如图，已知AD=BC.EC ⊥AB.DF ⊥AB ， C.D 为垂足，要使ΔAFD ≌ΔBEC ，还需添加一个条件.若以“ASA ”为依据，则添加的条件是_________16、如图,AB=CD,AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO,应添加的条件为_________(添加一个条件即可)17、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系18、已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.A D BC19、如图，Rt△ADC与Rt△BCD，∠A=∠B=90°，AC=BD，求证AD=BC20、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD（1）求证：BD=AD（2）（八字模型）试探究BE与AC的位置关系21、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线DE经过点C，且AD⊥DE于D，BE⊥DE于E。
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八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义?由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形?要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．? 2．三角形的表示?△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．?二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三条角平分线交于三角形内部一点. 三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 三角形的角 1 三角形内角和定理结论1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180°? ※三角形中至少有2个锐角结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．? ※三角形中至多有1个钝角注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角? 如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）?②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．? 如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数2三角形外角和定理外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 性质：?ADBCC BAD①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.?②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.?③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补?外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
3、多边形的对角线(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。
任意凸形多边形的外角和等于360°※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。
【考点三】判断三角形的形状8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。
9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
10、若△ABC的三边为a、b、c（a与b不相等），且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0，试判断△ABC的形状。
二、三角形角有关计算1.如图△ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠A= 50°,∠C = 70°求∠DAC,∠AOB解∵AD是△ABC的高,∠C = 70°∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20°∵ ∠BAC =50°∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60°∵ AE 和BF是角平分线∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30°∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125°2.如图, △ABC中, D是BC边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC的度数3.已知：P是△ABC内任意一点. 求证：∠BPC＞∠A4.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A= 100°，求x的值5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。
求证：∠BOC=90°+ ∠A (角平分线模型)6.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。
求证：∠P=90°- ∠A (角平分线模型)7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：∠A=2∠D (角平分线模型)8.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，求∠P的度数9.如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC (飞镖模型)第12章全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC∆≌DEF∆2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等二、全等三角形的判定1 全等三角形的判定方法：（SAS）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)2．全等三角形证题的思路：3全等三角形的隐含条件：①公共边（或公共角）相等 ②对顶角相等 ③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 ④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等全等三角形（SAS ）【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DEAB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.证明：在△ABE 和△ACD中，AB=AC ， ∠BAE=∠CAD AD=AE∴△ABE≌△ACD （SAS）∴BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】如图，点A 、F 直线上，点B 和点AD 的两侧，AB ∥DE ＝DC 。
求证：BC ∥EF 。
【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
求证：BD ＋CD=AD 。
C FA DB ECD ECF DA BCE全等三角形（SSS ）【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”， 几何表示【典型例题】【例1】如图，在ABC ∆中，M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是ABC ∆的角平分线 证明:在△ABD 和△ACD 中，AB=AC DB=DC AD=AD∴△ABD ≌△ACD (SSS) ∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC∴MB=MC∴AM 是ABC ∆的角平分线(三线合一)【例2】如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。
求证：BD ⊥AC 。
例 3. 如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：∠B=∠C 。
例4. 如图，在ABC ∆中,ο90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。
F（图22）E DCBA两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS ”， 【典型例题】BC=EF【例1】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：【例2】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE 【例3】已知：如图，AB =AC ，BD ?AC ，CE ?AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试证明之．ABD E CA DBEC FAC BD EF ABCP 1 23 4两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS ”， 【典型例题】【例1】如图，已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =． 【例2】如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN【例3】已知：如图AC ⊥CD 于C , BD ⊥CD 于D , M 是AB 的中点 , 连结CM 并延长交BD 于点F 。
求证：AC=BF ．全等三角形（HL ）【知识要点】直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL ”【典型例题】1、如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足， DE =BF ．求证：AB ∥CD ．ADECBF例2、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．例3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。
（1）求证：MN=AM+BN 。
全等三角形常见辅助线的作法一 倍长中线法倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长××到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角）方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后__构造全等三角形_，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问题【例题精讲】例1、如图1，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ． 分析：①因为AD 为中线，延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ；②进而利用全等三角形的判定（SAS ）△ABD ≌△ECD ；③由全等可得_AB =EC __； 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接EC? ∵AD 是中线?? ∴DC=DB在△CDE 和△BDA 中DE=AD ，∠CDE=∠BDA ， DC=DB?∴△CDE ≌△BDA （SAS ） ∴CE=AB?在△AEC 中 CE+AC>AE ，CE=AB ∴AB+AC>AE?? ∵DE=AD∴AE=2AD?? ∵AB+AC>AE??? ∴AB+AC>2AD例2如图CB ，CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC =AB ．求证：CE =2CD ．证明：延长CD 至，使DF=CD ，连接BF ，在⊿ADF 和⊿BDC 中 AD=BD∠ADF=∠BDCCD=DFBC DEF A∴⊿ADF ≌⊿BDC ∴AF=BC ，AF ∥BC ∴∠CAF+∠ACB=180°， ∵ ∠ACB=∠ABC ，∠ABC+∠CBE=180° ∴∠CAF=∠CBE 又因为AC=BE ，∴⊿CAF ≌⊿CBE ∴CE=CF例3、 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．证明：延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF∆和BEH ∆中 ∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠例4、如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC HA FGBE DC二截长补短法截长:1.过某一点作长边的垂线?2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。