九年级数学中位线
九年级数学中位线知识点
九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。
本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。
一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。
二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。
即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。
2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。
重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。
3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。
这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。
三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。
2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。
四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。
解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。
然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。
数学初中中位线题型
数学初中中位线题型中位线是指一个平面图形的任意两个顶点之间的中垂线的交点。
在初中数学中，中位线是一个重要的概念，也是一种常见的考试题型。
以下是一些常见的中位线题型：1. 求三角形中位线长度三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD 的长度。
解法：连接AE，将三角形ABC分成两个三角形，分别为三角形ABE和三角形ACE。
根据中位线的性质可知，AD是三角形ABE的中位线，因此AD=BE/2。
同理，AD也是三角形ACE的中位线，因此AD=CE/2。
由此可得：AD=(BE+CE)/2=BC/2。
2. 求四边形中位线长度四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：连接EH、FG，可将四边形ABCD分成两个三角形AEH和CFG。
根据中位线的性质可知，EF是三角形AEH和CFG的中位线，因此EF=1/2(EH+FG)。
根据四边形中位线定理可知，EH=1/2(AC+BD)、FG=1/2(AC-BD)，代入公式可得：EF=1/2(AC+BD-AC+BD)=BD。
3. 求平行四边形中位线长度平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求对角线AC的中位线EF的长度。
解法：由于平行四边形的对角线互相平分，因此AC的中位线EF也平分平行四边形的对角线BD，即EF=1/2BD。
4. 求梯形中位线长度梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD中点，求中位线EF的长度。
解法：连接AC，将梯形ABCD分成两个三角形ABC和ADC。
根据中位线的性质可知，EF是三角形ABC和ADC的中位线，因此EF=1/2(BD)，其中BD为梯形的上底和下底之差。
5. 求三角形中位线交点的坐标三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB中点，求中位线AD、BE、CF的交点的坐标。
解法：根据中位线的性质可知，三角形ABC的中位线AD、BE、CF交于一点G，且AG=2/3AF、BG=2/3BD、CG=2/3CE。
华师大版九年级数学上册授课课件：23.4 中位线
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）.
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
知1－讲
【例2】 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中
线互相平分.
已知：如图,在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC,
AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第
三边，并且 等于第三边的一半）.
同理可得EF//BA.
猜想
如图23.4. 2，在△ABC中，点D、E分别 是AB与AC 的中点.根据画出的图形，可 以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 （来自教材）
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
（来自《典中点》）
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
拓展
知2－导
九年级上册数学 23.4中位线
∴ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC DE = 1 BC
B
C
2
用 ① 证明线段的平行问题（位置关系）
② 证明一条线段是另一条线段的2倍 途 或1/2 （数量关系）
A
理解三角形的中位线
D
E
定义的两层含义:
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
同学们，中位线的知识掌握了 吗？我们一起去检验一下吧!
算一算
A
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
D
E （2）若BC=10cm，
则DE= 4 cm，为什么？
B
图1
C
(3) S△ADE：S△ABC= 1:4 .
B
D 4F 53
A
E
图2
如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
D
E
连接三角形两边 中点的线段,叫做
三角形的中位线
B
F
C
AF是△ABC的中线
DE是△ABC的中位线
已知: △ABC 中，点D、E分别是AB、AC的中点。
求证： DE∥BC
DE = 1 BC 2
A
证明： ∵点D、E分别是AB、AC的中点。
∴
AD = AE = 1 AB AC 2
D
∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
DE ∴∠ADE=∠B，BC
=
1 2
B
∴ DE∥BC DE = 1 BC 2
E C
九年级数学三角形的中位线(PPT)5-4
❖ 如图,任意作一个四边形,并将其四边的
中点依次连接起来,得到一个新的四边形,
这个新四边形会是什么四边形?你能证
明它吗？D HA来自GEB
F
C
～茂盛｜发展经济，开辟～。 【财运】名发财的运气：～亨通。 【财政】名政府部门对资财的收入与支出的管理活动：～收入｜～赤字。 【财政赤字】年 度财政支出大于财政收入的差额，会计上通常用红字表示，所以叫财政赤字。也叫预算赤字。 【财主】?名占有大量财产的人：土～｜大～。 【裁】①动用 刀、剪等把片状物分成若干部分：～纸｜～衣；标识标牌 景区标牌 / 小区标识标牌 党建标识 核心价值观标识； 服。②量整张 纸分成的相等的若干份；开○：对～（整张的二分之一）｜八～报纸。③动把不用的或多余的去掉；削减：～军｜～员｜这次精简机构，～了不少人。④安 排取舍（多用于文学艺术）：别出心～｜《唐诗别～》。⑤文章的体制、格式：体～。⑥衡量；判断：～判｜～决。⑦控制；抑止：～制｜制～｜独～。 【裁编】∥动裁减编制：～定岗。 【裁兵】∥ī动旧指裁减军队。 【裁并】动裁减合并（机构）。 【裁撤】动撤销；取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科 室。 【裁处】动考虑决定并加以处置：酌情～。 【裁定】动①裁决。②法院在审理案件或判决执行过程中，就某个问题做出处理决定。 【裁断】动裁决判 断；考虑决定：这件事究竟怎样处理，还望领导～。 【裁夺】动考虑决定：此事如何处置，恳请～。 【裁度】〈书〉动推测断定。 【裁缝】动剪裁缝制 （衣服）：虽是布衫布裤，但～得体。 【裁缝】?名做衣服的工人。 【裁减】动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 【裁剪】动缝制衣服时把衣料按一 定的尺寸裁开：～技术｜这套衣服～得很合身。 【裁决】动经过考虑，做出决定：如双方发生争执，由当地主管部门～。 【裁军】动裁减武装人员和军事装 备。 【裁判】①动法院依照法律，对案件做出处理，分为判决和裁定两种。②动根据体育运动的竞赛规则，对运动员竞赛的成绩和竞赛中发生的问题做出评 判。③名在体育竞赛中执行评判工作的人：足球～｜国际～。也叫裁判员。 【裁判员】名裁判?。 【裁汰】〈书〉动裁减（多余的或不合用的人员）。 【裁 员】动（机关、企业）裁减人员。 【裁酌】动斟酌决定：处理是否妥当，敬请～。 【采】（採）①动摘（花儿、叶子、果子）：～莲｜～茶◇到海底～珠子。 ②动开采：～煤｜～矿。③动搜集：～风｜～矿样。④选取；取：～购｜～取。 【采】①精神；神色：神～｜兴高～烈。②（）名姓。 【采】同“彩”。 【采办】动采购；置办：～年货。 【采编】动采访和编辑：新闻～｜电视台的～人员。 【采茶戏】名流行于江西、湖北、广西、安徽等地的地方戏，由民间 歌舞发展而成，跟花鼓戏相近。 【采伐】动
九年级数学中位线定理1
阅读课本第34至36页，回答以下问题： 1、什么叫三角形的中位线？ 2、中位线有什么性质定理？ 3、如何证明中位线的性质定理？ 4、如何应用中位线的性质定理三角形的中位线。 B C D E
一个三角形有三条中位线.
4
③你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? • 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED 证明:
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点. B D F A E C
DE BF FC. EF AD DB. FD CE EA.
数十,似乎在搬运着什么."天赐良机,若是此时强攻,定能打夏侯渊壹个措手否及/"长飞心中顿时心花怒放,便急匆匆想要回去带兵攻城.然而刚起身他就改变咯念头."若是在我回营の时候,城门关咯岂否是白来壹趟."长飞顿时陷入咯苦思之中,正当此时,长飞突然有咯新の办法."若 是我强攻进城,点起烽火让子龙看见,如此壹来,岂否是里应外合/"长飞思酌着,便急匆匆朝建安郡飞奔而去.建安城下,数十个梁兵正在匆忙搬运着什么,忽然之间壹个黑大汉从山上狂奔而下,忙时提起枪戟直指长飞."什么人,胆敢叁更半夜来我城下/"只见壹个梁兵朝飞奔而来の长飞 大喝壹声,试图阻止长飞."您长爷爷来也/"长飞狂然咆哮,手中丈八蛇矛瞬间凝聚起周遭の冷气,形成壹个漩涡气流,猛烈壹枪直接贯穿咯当先那个梁兵の咽喉.腾飞の鲜血尚未落地,长飞手中の丈八蛇矛卷着横扫八荒之势,猛烈の将周遭数十个梁兵瞬间碾为两半.漫天の血块,飞落在 梁军士卒の身上,瞬间把他们吓到魂飞破散,尽皆丧胆,再也顾否得什么军令,尖叫着四散而退.通往城内の道路,再无人阻挡.长飞登时狂笑咯起来,也没想太多,遍当即狂冲进城,欲上
23.4 中位线++课件+++2024-2025学年华东师大版九年级数学上册
图2
典例导思
1. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点
O ，点 E 为 CD 的中点.若 OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长
为（ C ）
A. 6
B. 12
（第1题）
C. 24
D. 48
典例导思
2. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，点 D 是 AC 延
பைடு நூலகம்
GF ∥ BC ， GF ＝ BC ，
∴ DE ∥ GF ， DE ＝ GF ，
∴四边形 DEFG 为平行四边形.
（第3题）
典例导思
（2）若 DG ⊥ BH ， BD ＝3， EF ＝2，求线段 BG 的
长度.
（2）解：∵四边形 DEFG 为平行四边
形，∴ DG ＝ EF ＝2.
∵ DG ⊥ BH ，∴∠ DGB ＝90°，
∴ AB ＝ AF ＝6 cm，
BD ＝ DF .
∴ CF ＝ AC － AF ＝4 cm.
∵ BD ＝ DF，点 E 为 BC 的中点，
∴ DE ＝ CF ＝2 cm.
图1
典例导思
如图2，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD 且
AC ＝4， BD ＝8，点 E 、 F 分别是边 AB 、 CD 的中点，
长线上一点， AD ＝24，点 E 是 BC 上一点，
BE ＝10，连结 DE ， M 、 N 分别是 AB 、
DE 的中点，则 MN ＝ 13 .
（第2题）
典例导思
3. （2023·株洲）如图所示，在△ ABC 中，点 D 、 E 分
华师大版数学九年级上册23.4《中位线》导学案
23.4 中位线一、知识回顾：1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，证明：△ADE∽△ABC二、探索新知猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？1、三角形中位线定义：连接三角形的线段,叫做三角形的中位线思考：三角形的中位线有几条?理解三角形的中位线定义的两层含义:(1)如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的(2)如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。
2、三角形的中位线定理：三角形的中位线第三边并且等于它的。
几何语言：练一练:(1)若△ABC三边AB、AC、BC的长分别为8、6、4，它的三条中位线围成的△DEF的周长_____ 。
(2)若△ABC的三条中位线围成的三角形周长为15cm，△ABC的周长是____ 。
(3)若△ABC的三条中位线长分别为3、4、5，则△ABC的周长为，面积为。
三、例题赏析例1、已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．（1）四边形ADEF是什么形状的四边形？并加以证明。
（2）DF与AE有什么关系？变式1：已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形。
B F变式2：已知：等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形。
变式3：已知：矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是。
变式4：已知：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形。
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