第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析
Al=[l,2,3;4,5,6] B1=det(A1) C1=trace(A1)
2.2矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵主对角线元素的总和。 也等于矩阵特征值的总和。
运算符：trace() 注意：要求矩阵是方阵
3.矩阵的特征值分析
E=eig(A ) 求矩阵A的全部特征值， 并构成向量E
[V,D]=eig(A )求矩阵A的全部特征值，构成 对角矩阵D；求A的特征向量 构成列向量V。
例2.4一1
矩阵的行列式、秩与迹 及特征值分析
主要内容
矩阵的行列式 矩 阵的秩与迹 矩阵 的特征值分析
1・矩阵的行列 式
运算符：det() 注意：用于求方阵阵的秩 矩阵的秩是矩阵的列向量组(或行向量组) 的任一极大线性无关组所含向量的个数。
运算符：rank()
2.矩阵的秩与迹
矩阵讲义全
本课程的说明：矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的（数学是在已有的基础理论上模仿，推广而发展的。
要大胆猜想，小心证明！） 矩阵分析理论的组成：四部分：一、基础知识（包括书上的前三章内容）重点、难点：约当标准形与多项式矩阵，矩阵的分解等； 二、矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）重点、难点：范数，矩阵幂级数，微分方程组； 三、矩阵特征值的估计（第五章）重点、难点：Gerschgorin 圆盘定理；广义逆矩阵； 四、非负矩阵（第六章）（注：不讲）重点、难点：基本不等式，素矩阵，随机矩阵等。
§1 线性空间与度量空间一、线性空间： 1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域 eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？ 2．线性空间— 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .（线性空间必含θ）。
④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素（存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应），称δ为k 与α的乘积。
记为αδk =并满足：① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
2.2矩阵的范数
§2.2 矩阵的范数我们知道：向量本身可以看作是矩阵，而一般的矩阵又有自身的运算特点，比如矩阵的乘法运算。
因此，我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点，这就有了我们以下要讨论的内容：一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数，若它满足下述三个条件： （1） 非负性：,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= （2） 齐次性：,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= （3） 三角不等式：,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数，若||||i 还满足下述第四个性质： （4） 相容性：,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。
注：在相容性的定义中，n l B C ×∈，m l AB C ×∈，实数||||B ，||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。
2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样，对于矩阵序列而言，它也有极限的概念。
设矩阵序列(){}k A ，其中()k m n A C ×∈，若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ，则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =，或者说(){}k A 收敛到矩阵A ，记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。
当然，也可按照范数定义矩阵的收敛性。
即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。
由三角不等式，可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。
线性代数 矩阵的特征值与特征向量(课堂PPT)
互不相等的特征值.
§
20
例1. 问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵P，使
1 2 2
P1AP 为对角矩阵.
这里
A
2 2
2 4
4 2
解: A的特征多项式为
1 2 2 E A 2 2 4
n1
n2
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
§
4
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量，
性质3：已知 为n阶矩阵A的一个特征值，则
（1） kA 必有一个特征值为 k ;
（2） A2 必有一个特征值为
2
;
§
8
（3） Am (m Z ) 必有一个特征值为 （4）A可逆时，A1必有一个特征值为 （5）A可逆时，A* 必有一个特征值为
m
;
1 ;
A
；
（6）多项式( A)必有一个特征值为 ( ).
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
§2 矩阵可对角化的条件、实对称 矩阵的对角化
§
1
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§
2
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为
定理1 ：设矩阵A 是一个 n 阶方阵，则A可对角化 A 有 n 个线性无关的特征向量.
考研数学之矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量内容提要一、基本概念1.A 是一个n 阶方阵,如果存在一个数λ和一个n 维非零列向量α,使得λαα=A 成立,则称λ为矩阵A 的特征值，非零列向量α称为矩阵A 的属于特征值λ的特征向量.2.A 为n 阶方阵,λ为未知量,则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A E λλλλ 212222111211称为矩阵A 的特征矩阵;其行列式A E f -=λλ)(为λ的n 次多项式,称为矩阵A 的特征多项式;0=-A E λ称为矩阵A 的特征方程.3.n 阶方阵A 的主对角线上的元素的和称为A 的迹,记作)(A t r ,即)(A t r nn a a a +++= 2211.4.对于n 阶方阵A 和B ,若存在n 阶可逆方阵P ,使B AP P =-1成立,则称A 与B 相似,记为B A ~.满足: (1)自身性 即A A ~;(2)对称性 若B A ~,则A B ~;(3)传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~. 5.若矩阵A 与对角阵相似,则称A 可对角化.6.实矩阵A =n m ij a ⨯)(,如果0≥ij a ,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为非负矩阵;如果ij a >0,),,2,1;,,2,1(n j m i ==,称A 为正矩阵.7.如果n 阶方阵A =n m ij a ⨯)(,可以经过一系列相同的行和列互换,化为⎪⎭⎫⎝⎛221211A O A A ,其中11A ,22A 为子方阵(不一定同阶),则称A 为可分解矩阵,否则称A 为不可分解的矩阵.8.若n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则称=)(A P |}|,,||,|max{|21n λλλ 为A 的最大特征值(或为A 的谱半径). 二、几个结果1.特征值和特征向量的基本性质(1)n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 有相同的特征值(但特征向量一般不同);(2)属于A 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的特征向量不一定必相关);(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量;(4)设n λλλ,,,21 为n 阶方阵A 的特征值,则有①nn n a a a ++=+++221121λλλ,即A 的特征值的和等于矩阵A 的主对角线的元素的和; ②||21A n =λλλ .推论 若矩阵A 可逆⇔矩阵A 的特征值全不为零.(5)若λ为矩阵A 的特征值,α是A 的属于λ的特征向量,则①λk 是kA 的特征值(k 为任意常数); ②m λ是m A 的特征值(m 为正整数);③当A 可逆时,1-λ是1-A 的特征值,λA是*A 的特征值;④)(0λP 是)(A P 的特征值,其中)(x P 为任一多项式.注意 α仍是矩阵kA 、m A 、1-A 、*A 、)(A P 对应于特征值λk 、m λ、1-λ、λA、)(0λP 的特征向量. )6(*若A 为实对称矩阵,则A 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值的特征向量彼此正交. 2.相似矩阵的性质若A ～B ,则(1)B A =,)()(B r A r =,)()(B t A t r r =;(2)T A ～T B ,1-A ～1-B ,m A ～m B ,kA ～kB ,)(A P ～)(B P ;(3)||||B E A E -=-λλ,即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同的特征值,但特征向量不一定相同.3.矩阵可对角化的条件(1)n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量;(2)n 阶方阵A 有n 个不同的特征值,则A 一定可对角化; )3(*实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵P (1-=P P T ),使Λ=-AP P 1.例题解析例1 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011102124A ,则A 的对应于特征值2=λ的特征向量α为( ).(A )T )0,0,0( (B )T )0,1,1(- (C )T )2,1,1( (D )T )1,0,1(解 根据定义,只需验证选项中的向量α是否满足αα2=A )0(≠α,显然,零向量不是矩阵A 的特征向量,应排除(A ). 对于(B ),因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0112022011011102124αA ,所以,=α()T0,1,1-是A 的对应于2=λ的特征向量,应选(B ). 例2 设A 为n 阶矩阵,下述结论中正确的是( ). (A )矩阵A 有n 个不同的特征根(B )矩阵A 与T A 有相同的特征值和特征向量(C )矩阵A 的特征向量21,αα的线性组合2211ααc c +仍是A 的特征向量 (D )矩阵A 对应于不同特征值的特征向量线性无关解 对于选项(A ),矩阵A 有n 个特征根(在复数范围内),但这些特征根中可能有重根,故(A )错.对于选项(B ),A 与T A 有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故(B )错.对于选项(C ),未说明21,αα对应的特征值.如果21,αα是对应于A 的同一特征值λ的特征向量,则当21,c c 不全为零时,2211ααc c +仍是A 的对应于特征值λ的特征向量;如果21,αα是对应于A 的不同特征值21,λλ的特征向量,则2211ααc c +不是A 的特征向量(0,021≠≠c c 为任意常数).关于这一结论的证明,见例8.对于选项(D )是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选(D ).例3 如果n 阶矩阵A 任意一行的n 个元素之和都是a ,则A 有一个特征值( ). (A )a (B )a - (C )0 (D )1-a解 在||A E -λ中,把第二列到第n 列都加到第一列上,则第一列有公因子αλ-,提出后可知αλ-是||A E -λ的因子,所以a 是A 的一个特征值.应选(A ).例4 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2221A ,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ).(A )A E +-2 (B )A E - (C )A E -2 (D )A E --3 解 矩阵A 的特征多项式为)2)(3(2221-+=+-=-λλλλλA E ,故A 的特征值为31-=λ,22=λ.因为 02)1()2(22=--=--=+-A E A E A E ,即选项(A )是奇异矩阵,而1不是A 的特征值,必有0||≠-A E ,应选(B ).例5 已知三阶方阵A 的三个特征值为1,-2,3,则=||A ,1-A 的特征值为 ,T A 的特征值为 ,*A 的特征值为 ,E A A ++22的特征值为 .解 因为6||321-==λλλA ,由||||T A E A E -=-λλ,知A 与T A 有相同的特征值,故T A 的特征值为1,2-,3.若设X 为A 属于λ的一个特征向量,则有X AX λ=,于是有X X A λ11=-,X A X A A X A λ==-1*,X X A k k λ=,从而推得1-A 的特征值为λ1,*A 的特征值为λ||A .矩阵多项式)(A f 的特征值为)(λf ,从而可写出各自具体内容.应填6-;31,21,1-;3,2,1-;2,3,6--;16,1,4.例6 设A 是三阶方阵,并且0322=+=+=-E A E A E A ,则E A 32-* = .解 由0322=+=+=-E A E A E A ,可得A 的特征值分别为23,2,1--, 所以 3)23()2(1=-⋅-⋅=A ,于是E A E A A E A 36323211-=-=---*的特征值分别为7,6,3--,故 126)7()6(332=-⨯-⨯=-*E A ,应填126.例7 设4阶方阵A 满足条件03=+A E ,E AA T 2=,0<A ,其中E 是4阶单位阵,则方阵A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为_______.解 由0)3(3=--=+E A E A ,得A 的一个特征值3-=λ.又由条件有 16224===E E AA T , 162===A A A AA T T .因为0<A ,所以4-=A ,且知A 可逆.设A 的属于特征值3-=λ的特征向量为α,则αααααα3133111-=⇒-=⇒-=---A A A A A ,又因为0≠A ,所以11,31-*-=-=A A A A A A αα,故αα34=*A ,可知*A 的特征值为34.应填34.例8 设21,λλ是n 阶矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,试证:2211ααc c +(01≠c ,02≠c ,任意常数)不是A 的特征向量. 证 反证法.设2211ααc c +为A 的对应于特征值λ的特征向量,于是 )()(22112211ααλααc c c c A +=+又由已知,有111αλα=A ,)0(1≠α,222αλα=A ,)0(2≠α.代入上式左边,得 22211122112211)(αλαλααααc c A c A c c c A +=+=+, 因此)(2211222111ααλαλαλc c c c +=+, 所以0)()(222111=-+-αλλαλλc c . 因21λλ≠,所以向量21,αα线性无关,故 0)(11=-λλc , 0)(22=-λλc , 其中21,c c 是不等于零的任意常数.由此可得λλ=1,λλ=2,即21λλ=,与已知条件矛盾!所以2211ααc c +不是A 的特征向量.例9 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110020112A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式)1()2(110201122--=-----=-λλλλλλA E , 所以,A 的特征值为11=λ,232==λλ.对于11=λ,解齐次线性方程组O X A E =-)(, 因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-000010101010010111)(A E ,由此可得同解方程组⎩⎨⎧==+00231x x x ,取3x 为自由未知量,令13=x ,得方程组的基础解系T -=)1,0,1(1α.于是A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为11αc (01≠c ,为任意常数).对于232==λλ,解齐次线性方程组0)2(=-X A E , 因⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000110110000110)2(A E ,由此可得同解方程组 032=+x x .取自由未知量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31x x 分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛01,⎪⎭⎫⎝⎛10可得方程组的基础解系 T T -==)1,1,0(,)0,0,1(32αα于是,A 的对应于232==λλ的全部特征向量为3322ααc c +(32,c c 为不全为零的任意常数).注 1.求特征值、特征向量的基本方法:(1)计算矩阵A 的特征多项式()A E f -=λλ;(2)求出特征方程()0=-=A E f λλ的全部根,即A 的全部特征值; (3)对每一个特征值0λ,求出O X A E =-)(0λ的一个基础解系r n -ηηη,,,21 , 则A 的属于0λ的全部特征向量为r n r n k k k --+++ηηη 2211,其中r n k k k -,,,21 为不全为零的常数.2.这类计算题中,方程组()O X A E =-λ的系数矩阵常常出现零列(如此题中)2(A E -的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量.例如,在本题中求O X A E =-)2(的基础解系时,取31,x x 为自由未知量.例10 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A ,(1)求A 的特征值;(2)求1-+A E 的特征值.解 A 的特征多项式12122212221r r A E ++-+---+=-λλλλ122011221+-----+λλλλ)5()1(2+-=λλ. 所以,A 的特征值为1,1,5-.由特征值性质可知,1-A 的特征值为1,1,51-,于是1-+A E 的特征值为2,2,54. 例11 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100y x A 有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件.解 A 的特征多项式为λλλλ01110-----=-y x A E )1()1(2+-=λλ, 所以,A 的特征值为 121=，λ,13-=λ.只要121=，λ有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵A E -⋅1的秩等于1. 因为A E -⋅1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1010101y x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→00000101x y ,只要满足0=+y x 即可.例12 设向量T K )1,,1(=α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211121112A 的逆矩阵1-A 的特征向量,试求常数K 的值.分析 用特征值、特征向量的定义讨论.解 设λ是α所属的特征值,则λαα=-1A ,αλαA =,.即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112111211K K λ,由此,得方程组⎩⎨⎧=+=+K K K )22(1)3(λλ,其解为11=λ,21-=K ;412=λ,12=K .于是,当2-=K 或1时,α是1-A 的特征向量.例13 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=a c b c aA 01351,其行列式1-=A ,又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为T )1,1,1(--=α,求c b a ,,和0λ的值.解 由题设知E E A AA -==*,αλα0=*A . 于是有αλααααA A A E AA 0)(==-=-=**. 即有0λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11111101351a c b c a. 得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=++-1)1( 1)2( 1)1(000a c b c a λλλ.由此解得 10=λ,3-=b ,c a =.再代入1-=A 得2==c a .例14 设A 为n 阶方阵,任一非零的n 维向量都是A 的特征向量,试证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ00A , 即A 为数量矩阵.证 设),,2,1,(n j i a ij ⋅⋅⋅=是A 的第i 行、第j 列元素,因单位坐标向量,1εn εε,,2⋅⋅⋅也是A 的特征向量,设n λλλ,,,21 是对应的特征值,则有 i i A λεε= ),,1(n i ⋅⋅⋅=即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001 i ni ii i i a a a A λε, ),,1(n i ⋅⋅⋅=.故 i ii a λ=,0=ji a (i j ≠).这样⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A λλλ0021. 因为0≠+j i εε (i j ≠),也是A 的特征向量,设λ为对应的特征值,则由 j i j i j i A λελεεελεε+=+=+)()(, j j i i j i j i A A A ελελεεεε+=+=+)(,有 0)()(=-+-j j i i ελλελλ.因j i εε,线性无关,故λλλ==j i .于是可得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ0 A . 例15 设B A ,均为n 阶方阵,试证AB 与BA 有相同的特征值. 证 如果矩阵AB 是不可逆的,则0=AB ,所以 0==⋅=⋅=AB B A A B BA . 由此可得0)1(0=-=-AB AB E n , 0)1(0=-=-BA BA E n .即AB 与BA 都有特征值0.当AB 不可逆,且00≠λ为AB 的任一非零特征值时,需证0λ也是BA 的特征值.实际上,设AB 的对应于0λ的特征向量为)0(≠αα,则 αλα0=AB . 在上式两边左乘B ,得)()(0αλαB B BA =. 令αηB =,则有ηλη0=BA ,只需证明0≠η.假设0==αηB ,于是0==αηAB A .这与00≠=αλαAB 矛盾.因此0≠η.即0λ是BA 的一个特征值,对应的特征向量为αB .由0λ的任意性可知,AB 的任一非零特征值都是BA 的特征值.类似可证BA 的任一非零特征值也是AB 的特征值.当矩阵AB 可逆时,AB 的任一特征值不等于零.类似于上面的证明可得AB 与BA 有相同的特征值.例16 设B A ,为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( ). (A )B E A E -=-λλ(B )A 与B 有相同的特征值和特征向量 (C )A 与B 都相似于一个对角阵(D )对任意常数t ,A tE -与B tE -相似解 由A 与B 相似,则存在可逆阵P ,使得 B AP P =-1,从而 B tE AP P P tP P A tE P -=-=----111)(, 即A tE -与B tE -相似.应选(D ).例17 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020002A ,则下述矩阵中与A 相似的矩阵是( ).(A )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3001200121A (B )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3000200122A(C )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3000201023A (D )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3110210024A解 因矩阵A 已是对角形矩阵,而各选项中矩阵与A 有相同的特征值,故只需判断各选项中的矩阵可否对角化.对于选项(A ),特征多项式)3()2(21--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考察方程组O X A E =-)2(1,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000100010100100010)2(1A E ,于是2)2(1=-A E r .方程组O X A E =-)2(1的基础解系中仅含1个向量,而=1λ22=λ是二重特征值,故矩阵1A 不能对角化,即1A 不与A 相似.对于选项(B )与(D ),用类似方法可判断矩阵42,A A 不可对角化,故42,A A不与A 相似.对于选项(C ),矩阵3A 的特征多项式)3()2(23--=-λλλA E ,其特征值为221==λλ,33=λ.考虑方程组O X A E =-)2(3,其系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-000000100100000100)2(3A E ,故1)2(3=-A E r ,方程组O X A E =-)2(3的基础解系中恰恰含两个向量,故3A 可对角化.应选(C ).注 矩阵A 对角化的步骤:(1)求出A 的特征值:1λ,2λ, n λ,对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组O X A E i =-)(λ的一个基础解系,若基础解系中所含向量的个数等于i λ的重数,则A 可对角化,否则A 不可对角化;(2)以A 的n 个线性无关的特征向量:n ααα,,,21 为列构造可逆矩阵=P ),,,(21n ααα ,则有对角阵Λ=diag(n λλλ,,,21 )=AP P 1-.注意顺序:i α为属于i λ的特征向量.例18 三阶矩阵A 的特征值为1,2-,3,矩阵A A B 22-=,求:(1)B 的特征值;(2)B 是否可对角化,若可以,试写出其相似对角形矩阵;(3)行列式E A B 2-和的值.解 设λ为A 的任一特征值,对应的一个特征向量为α,则λαα=A , )0(≠α.所以αλαλα22==A A ,αλλλααλαα)2(2)2(222-=-=-=A A B ,即,对应于A 的一个特征值λ,B 对应的特征值为λλ22-.由此可知当A 的特征值为1,2-,3时,B 的特征值为1-,8,3.因为B 有三个不同的特征值,所以B 可与一对角阵相似,其相似对角形矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-300080001.于是 2438)1(-=⨯⨯-=B ,63)2(1-=⨯-⨯=A .又因为)2(E A A B -=,所以46242=--==-A BE A . 例19 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3212A ,求100A . 分析 直接求100A 计算量过大,可设法利用对角矩阵进行计算. 解 A 的特征多项式)4)(1(2212--=----=-λλλλλA E , 故A 的特征值为11=λ,42=λ.当11=λ时,可求出一个基础解系:T )1,1(1-=α.当42=λ时,可求出一个基础解系:T )2,1(2=α.令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111P ,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3/13/13/13/21P ,此时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-40011AP P , 即有 14001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P P A 因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3/13/13/13/24001211140011001100100P P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+-+-+=100100100100421422414231. 例20 若三阶方阵A 的特征值为61=λ,32=λ,33=λ,其相应的特征向量为T )1,1,1(1=α,T )1,0,1(2-=α,T )1,2,1(3-=α,求矩阵A ,5A .解 因为可逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P , 则Λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3000300061AP P . 故A =1300030006-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6/13/16/12/102/13/13/13/1300030006111201111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛411141114. 因A ～Λ,故5A ～5Λ,即有1555555555332336336⨯=⨯⨯==Λ=A . *例21 若三阶实对称矩阵A 的特征值为1,4,2-,且对于11=λ和42=λ的特征向量分别为T )2,1,2(1-=α,T )1,2,2(2-=α,求矩阵A ,5A .解 设23-=λ的特征向量为T c b a ),,(3=α,由于实对称矩阵的特征向量是相互正交的,故有0),(21=αα,0),(32=αα,即⎩⎨⎧=+-=-+022022c b a c b a , 解之可得 2c a =,c b =,c c =. 令2=c ,即有1=a ,2=b .故T )2,2,1(3=α.取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==212221122),,(321αααP . 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-221122212911P . 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2411AP P , 所以1241-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22112221291241212221122 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022. 此时由A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ241, 故5A ～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ555)2(41. 因此1555)2(41-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221122212913210241212221122⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=9002178198021783969415819804158406891 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=100242220242441462220462452. *例22 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210010000010010y A . (1)已知A 的一个特征值为3,试求y ;(2)求矩阵,使)()(AP AP T 为对角阵.解 (1)由31=λ,代入特征方程0=-A E λ,得 1100130000310013-----y ()02811133113=-=-----=y y . 所以2=y .(2)由)()(AP AP T P A P AAP P T T 2==,问题转化为2A 的对角化问题. 由于⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5445112A , 只要将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54451A 对角化即可,由 0910544521=+-=----=-λλλλλA E , 得11=λ,92=λ.求得相应特征向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111α, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=112α. 单位化 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11211β, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11212β.即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121212111P 使⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9111)()(AP AP T . 注 由正交矩阵P 将实对称矩阵A 化为对角阵的步骤:(1)求出实对称阵A 的全部特征值:1λ,2λ, ,n λ;(2)对于每一个特征值i λ,求出齐次线性方程组0)(=-X A E i λ的一个基础解系;(3)利用施密特正交化法将基础解系正交化、单位化,求出属于i λ的一个标准正交组;(4)将所有正交化、单位化后的n 个特征向量作为列向量构成矩阵P ,则P 为所求正交矩阵,并可得对角阵AP P 1-=),,,(diag 21n λλλ .例23 设n 阶方阵A 有n 个互不相同的特征值,证明:A 的特征向量也是B 的特征向量的充分必要条件是B A ,可交换.证 必要性因为A 有n 个互不相同的特征值,故A 可对角化.即存在可逆阵P ,使11Λ=-AP P .由于A 的特征向量也是B 的特征向量,故对同样的P ,有21Λ=-BP P .于是1211211))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P AB ,1121112))((---ΛΛ=ΛΛ=P P P P P P BA .而1221ΛΛ=ΛΛ,所以,BA AB =.充分性设λαα=A ,0≠α.两边左乘B ,利用BA AB =,有)()()(αλααB B A A B ==.若0≠αB ,由上式可知αB 也是A 的属于特征值λ的特征向量.由于A 的特征值两两不同,故属于特征值λ的线性无关的特征向量只有一个,因此α与αB 应成比例,即μαα=B ,即α为B 的特征向量;若0=αB ,则αα0=B )0(≠α,故α仍为B 的特征向量.总之,A 的特征向量也是B 的特征向量. 例24 已知矩阵A 与C 相似,矩阵B 与D 相似,证明分块矩阵⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A 与⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O C 相似. 证 由条件知,存在可逆矩阵Q P ,使得 AP P C 1-=, BQ Q D 1-=.取⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q O O P X ,则X 可逆,且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---111Q O O P X .这时 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---Q O O P B O O A Q O O P X B O O A X 111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--D O O C BQ Q O O AP P 11, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛B O O A 与⎪⎭⎫ ⎝⎛D O O C 相似. 例25 设 矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 为二阶实矩阵,且0>bc ,证明A 可与一对角矩阵相似.证 因A 的特征多项式dc b a A E ----=-λλλ)()(2bc ad d a -++-=λλ, 其判别式04)()(4)(22>+-=--+=∆bc d a bc ad d a 所以A 必有两个不同的特征值,故A 必可与一对角阵相似.。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
大一线性代数矩阵知识点总结
大一线性代数矩阵知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，它是一种方便表示和处理线性变换的数学工具。
在大一线性代数课程中，我们将学习矩阵的相关知识，本文将对一些重要的矩阵知识点进行总结。
1. 矩阵的定义和表示方式- 矩阵是由m行n列元素排列成的矩形阵列，用大写字母表示，如A、B等。
- 矩阵可以用方括号表示，如A=[a_ij]，其中a_ij代表矩阵A 的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的运算- 矩阵的加法：对应元素相加。
- 矩阵的数乘：矩阵中的每个元素乘以相同的数。
- 矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行乘法运算，结果的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
3. 矩阵的特殊类型- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
- 方阵：行数等于列数的矩阵。
- 单位矩阵：主对角线元素为1，其它元素为0的方阵，用I 表示。
4. 矩阵的转置- 矩阵的转置就是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵，用A^T表示。
5. 矩阵的行列式- 行列式是一个标量，表示一个方阵所围成的平行四边形的有向面积。
- 行列式常用符号为|A|或det(A)，其中A为方阵。
6. 逆矩阵- 对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
- A的逆矩阵记为A^{-1}。
7. 矩阵的特征值和特征向量- 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax=λx，其中λ为标量，则称λ为A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
8. 矩阵的特征分解- 对于一个可对角化的矩阵A，存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得A=PDP^{-1}，其中D为对角矩阵，P为特征向量矩阵。
9. 矩阵的秩- 矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，用rank(A)表示。
10. 线性方程组与矩阵- 线性方程组可以用矩阵的形式表示，例如AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
以上是大一线性代数矩阵知识点的简单总结。
矩阵在线性代数中起着重要的作用，它不仅可以用于表示线性变换，还可以用于解决线性方程组和求解特征值等问题。
第五专题矩阵的数值特征（行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）
第五专题矩阵的数值特征（⾏列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）第五专题矩阵的数值特征（⾏列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）⼀、⾏列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明⼀：参照课本194页，例4.3.证明⼆：利⽤AB 和BA 有相同的⾮零特征值的性质；从⽽I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数⽬相同，⼤⼩相同；其余特征值都等于1。
⾏列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以⼆者相等。
⼆、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然⽽，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应⽤，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下⾯讨论有关迹的⼀些性质和不等式。
定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+µ=λ+µ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnkki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;9. 对于n 阶⽅阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若⼲基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维⾣空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利⽤Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m×n复矩阵A和B|tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这⾥等号成⽴的充要条件是A=cB,c为⼀常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五专题 矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一：参照课本194页，例.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2.Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5.H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量； 6. nnkk i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A HB)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。
特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时0≤|tr(AB)|≤定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B)λ1(B)表示B的最大特征值。
证明：tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) ≥0，又因为A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2，得tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，则tr(A)tr(A-1)≥n另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。
三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。
它是矩阵的最重要的数字特征之一。
下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。
定义：矩阵A 的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。
记为rank(A)性质：1. rank(AB)min(rank(A),rank(B))≤；2. rank(A B)rank(A,B)rank(A)rank(B)+≤≤+；3.H Hrank(AA )rank(A )rank(A)==； 4.rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)===，其中X 列满秩，Y 行满秩（消去法则）。
定理（Sylvester ）：设A 和B 分别为m×n 和n×l 矩阵，则rank(A)rank(B)n rank(AB)+-≤min(rank(A),rank(B))≤Sylveste 定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。
其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。
四、相对特征根定义：设A 和B 均为P 阶实对称阵，B>0，方程 |A-λB |=0的根称为A 相对于B 的特征根。
性质：|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0(因为B>0，所以B1/2>0)注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。
因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。
定义：使(A-λi B)l i=0的非零向量l i称为对应于λi的A相对于B的特征向量。
性质：①设l是相对于λ的A B-1的特征向量，则A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量（转化为求A B-1的特征向量问题）。
②设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则B-1/2AB-1/2l=λl可得A (B-1/2l)=λB(B-1/2l)则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。
五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。
先讨论向量范数。
1. 向量范数定义：设V 为数域F 上的线性空间，若对于V 的任一向量x ，对应一个实值函数x ，并满足以下三个条件：（1）非负性 x 0≥，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 x x ,k,x V;α=α⋅α∈∈ （3）三角不等式x y x y ,x,y V +≤+∈。
则称x 为V 中向量x 的范数，简称为向量范数。
定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。
例1. n x C ∈，它可表示成[]T12n x =ξξξ，i C ξ∈，1n22i 2i 1x ∆=⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。
证明：（i ）非负性 1n22i 2i 1x 0=⎛⎫=ξ≥ ⎪⎝⎭∑，当且仅当()i 0i 1,2,,n ξ==时，即x ＝0时，2x＝0（ii ）齐次性11nn 2222i i 22i 1i 1x x ==⎛⎫⎛⎫α=αξ=α⋅ξ=α⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（iii ）三角不等式[]T12n y =ηηη ，i C η∈[]T1122n n x y +=ξ+ηξ+ηξ+ηn22i i 2i 1x y =+=ξ+η∑()22222i i i i i i i i i i 2Re 2ξ+η=ξ+η+ξη≤ξ+η+ξη n222i i 222i 1x y x y 2=+≤++ξη∑()222222222x y x y 2x y +=++根据H ölder 不等式：11nnnpqp q i i i i i 1i 1i 1a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，i i 11p,q 1,1,a ,b 0p q >+=> 11nnn2222i i i i 22i 1i 1i 1x y ===⎛⎫⎛⎫=ξη≥ξη ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∴ 222x y x y +≤+2. 常用的向量范数（设向量为[]T12n x =ξξξ）1-范数：ni 1i 1x==ξ∑；∞-范数：1i nx i max ∞≤≤=ξ；P-范数：1npp i p i 1x =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑ （p>1, p=1, 2,…,∞,）;2-范数：()1H22x x x=;椭圆范数(2-范数的推广):()1H2Axx Ax=，A 为Hermite 正定阵.加权范数：1n22i i wi 1xw =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑，当[]12n A W diag w w w ==，i w 0>证明：px显然满足非负性和齐次性（iii ）[]T12n y =ηηη1npp i p i 1x =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑，1npp i pi 1y =⎛⎫=η ⎪⎝⎭∑，1npp i i p i 1x y =⎛⎫+=ξ+η ⎪⎝⎭∑()nnppp 1i i i ii ipi 1i 1nnp 1p 1i ii i iii 1i 1x y-==--==+=ξ+η=ξ+ηξ+η≤ξ+ηξ+ξ+ηη∑∑∑∑应用H ölder 不等式()11nnnqpp 1p 1q p ii i i ii i 1i 1i 1--===⎡⎤⎡⎤ξ+ηξ≤ξ+ηξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ()11nnnqpp 1p 1q p iii i ii i 1i 1i 1--===⎡⎤⎡⎤ξ+ηη≤ξ+ηη⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑()111p 1q p p q+=⇒-= ∴111n nn n qp p p p p p i i ii i i i 1i 1i 1i 1====⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ξ+η≤ξ+ηξ+η ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 111nnnpppp p p ii i i i 1i 1i 1===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ξ+η≤ξ+η ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑即 p p px y x y+≤+3. 向量范数的等价性 定理 设α、β为nC 的两种向量范数，则必定存在正数m 、M ，使得 mxx M xαβα≤≤，（m 、M 与x 无关），称此为向量范数的等价性。
同时有11x xx Mmβαβ≤≤注：（1）对某一向量X 而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。
（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。
4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。
因为一个m ×n 阶矩阵可以看成一个mn 维向量，所以m n C ⨯中任何一种向量范数都可以认为是m ×n 阶矩阵的矩阵范数。
1. 矩阵范数定义：设m n C ⨯表示数域C 上全体m n ⨯阶矩阵的集合。
若对于m n C ⨯中任一矩阵A ，均对应一个实值函数A ，并满足以下四个条件：（1）非负性：A 0≥ ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性：A A ,C;α=αα∈（3）三角不等式：m n A B A B ,A,B C ⨯+≤+∈,则称A 为广义矩阵范数；（4）相容性：AB A B ≤⋅,则称A 为矩阵范数。
5. 常用的矩阵范数（1）Frobenius 范数（F-范数）F-范数：12n2ij Fi j 1Aa =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，=矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。
定义：如果矩阵范数A 和向量范数x 满足Ax A x ≤⋅则称这两种范数是相容的。
给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。
（2）诱导范数设A ∈C m ×n ，x ∈C n , x 为x 的某种向量范数， 记x 1A max Ax == 则A 是矩阵A 的且与x 相容的矩阵范数，也称之为A 的诱导范数或算子范数。