第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

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线性代数知识点总结

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结线性代数知识点总结(上)线性代数是数学的一个分支,应用范围广泛,尤其是在数据分析、物理学、经济学等领域。

本文将对线性代数的一些重要知识点进行总结。

1. 向量向量是线性代数中的基本概念,可以看做是一个具有大小和方向的量。

向量的表示方法有多种,例如行向量、列向量和坐标向量。

2. 矩阵矩阵是一个矩形排列的数表,在线性代数中占有重要地位。

矩阵可以看做是向量的扩展,常用于表示线性变换和矩阵方程。

3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题,可以用矩阵方程的形式表示。

求解线性方程组的方法有高斯消元法、LU分解法等。

4. 行列式行列式是一个标志性的概念,可以将一个二阶或三阶方阵计算行列式,或者扩展到更高维度。

行列式用于判定矩阵的逆是否存在和计算解析式。

5. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵相似变换时的关键因素,具有重要的物理和几何意义。

利用特征值和特征向量可以求解线性微分方程组和主成分分析等问题。

6. 正交性和规范正交基正交性和规范正交基也是线性代数中的一个重要概念,可以将一个向量或矩阵按照一定的方式进行展开,方便计算和求解。

7. 向量空间和子空间向量空间是由所有向量组成的集合,满足一定的运算和性质。

子空间是向量空间的一个子集,仍满足向量空间的运算和性质。

以上是线性代数中的一些常见知识点,掌握这些知识点可以为学生在线性代数的学习中奠定扎实的基础。

线性代数知识点总结(下)上一篇文章我们总结了线性代数的一些重要概念,本文将继续介绍一些线性代数的知识点。

8. 线性变换线性变换是指向量空间上的一个函数,将一个向量映射为另一个向量,并满足一定的性质。

线性变换是线性代数中一个重要的概念,包括线性变换的矩阵表示、线性变换的核和像等。

9. 内积和正交性内积是线性代数中的一个重要概念,用于刻画两个向量之间的关系。

内积常常用于求解向量之间的夹角、长度等。

正交性和内积密切相关,正交向量是指两个向量之间的内积为零。

矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析

矩阵的行列式、秩与迹及特征值分析
A=[1,-2,3;2,3,1;3,T,T] B=det(A) C=rank(A) D=trace(A) E=eig(A) [V,D]=eig(A)
Al=[l,2,3;4,5,6] B1=det(A1) C1=trace(A1)
2.2矩阵的迹 矩阵的迹等于矩阵主对角线元素的总和。 也等于矩阵特征值的总和。
运算符:trace() 注意:要求矩阵是方阵
3.矩阵的特征值分析
E=eig(A ) 求矩阵A的全部特征值, 并构成向量E
[V,D]=eig(A )求矩阵A的全部特征值,构成 对角矩阵D;求A的特征向量 构成列向量V。
例2.4一1
矩阵的行列式、秩与迹 及特征值分析
主要内容
矩阵的行列式 矩 阵的秩与迹 矩阵 的特征值分析
1・矩阵的行列 式
运算符:det() 注意:用于求方阵阵的秩 矩阵的秩是矩阵的列向量组(或行向量组) 的任一极大线性无关组所含向量的个数。
运算符:rank()
2.矩阵的秩与迹

矩阵讲义全

矩阵讲义全

本课程的说明:矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的(数学是在已有的基础理论上模仿,推广而发展的。

要大胆猜想,小心证明!) 矩阵分析理论的组成:四部分:一、基础知识(包括书上的前三章内容)重点、难点:约当标准形与多项式矩阵,矩阵的分解等; 二、矩阵分析(第四章:矩阵函数及其应用)重点、难点:范数,矩阵幂级数,微分方程组; 三、矩阵特征值的估计(第五章)重点、难点:Gerschgorin 圆盘定理;广义逆矩阵; 四、非负矩阵(第六章)(注:不讲)重点、难点:基本不等式,素矩阵,随机矩阵等。

§1 线性空间与度量空间一、线性空间: 1.数域:Df 1:若复数的一个非空集合P 含有非零的数,且其中任意两数的和、差、积、商(除数不为0)仍在这个集合中,则称数集P 为一个数域 eg 1:Q (有理数),R (实数),C (复数),Z (整数),N (自然数)中哪些是数域?哪些不是数域? 2.线性空间— 设P 是一个数域,V 是一个非空集合,若满足:<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算(加法)即:V ∈∀βα, 经过该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应,称γ为α与β的和,记βαγ+= 并满足:① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—=有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .(线性空间必含θ)。

④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃=记的负元素为=有对V V<2> 数积:(数乘运算)—在P 与V 之间定义了另一种运算。

即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果,仍为V 中一个唯一确定的元素(存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应),称δ为k 与α的乘积。

记为αδk =并满足:① αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间(向量空间)记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量, θ—零向量, 负元素—负向量结论:可以证明,线性空间中的零向量是唯一的,负元素也是唯一的,且有:θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2:}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法,就构成实数域R 上的线性空间,记为:n m R ⨯同样,若V 为n 维向量,则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。

线性代数课件矩阵的特征值与特征向量

线性代数课件矩阵的特征值与特征向量

所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为 p 2 11
.
1 1 0

求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 第一步:写出矩阵A的特征方程,求出特征值.
1 l 1
0
AlI 4 3 l 0 2ll120
1
0 2l
特征值为 l12 ,l2l3 1
第二步:对每个特征值l代入齐次方程组 AlIxO,
l l 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
l 当 1 = 2 时 , 对 应 的 特 征 向 量 应 满 足
32
1
1 x1 32x2
0 0
即11
1
1
x1 x2
00
例 求 A 3 1 3 1 的 特 征 值 和 特 征 向 量 .
l l 解 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
1 l
A . 且x仍然是矩阵 kA ,A m ,A 1,A 分别对应于
kl, lm,l1,1A 的特征向量. l
证 (3)当 A 可 逆 时 ,l0, 由 Axlx可 得
l l A 1 A x A 1 x A 1 xA1xl1x
l l 故 1 是 矩 阵 A 1 的 特 征 值 , 且 x 是 A 1 对 应 于 1 的 特 征 向 量 .
Amxlmx
l l 故 m 是 矩 阵 A m 的 特 征 值 , 且 x 是 A m 对 应 于 m 的 特 征 向 量 .
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
l (2 )A m 的 特 征 值 是 m ;(m是正整数)

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。

在许多实际问题的分析和求解中,特征值和特征向量扮演着重要的角色。

本文将从定义、性质和应用三个方面来详细介绍矩阵的特征值与特征向量。

一、定义给定一个n阶方阵A,若存在非零向量x和标量λ,使得满足以下等式:Ax=λx则称λ为矩阵A的特征值,x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征向量是描述线性变换的方向,在变换过程中保持方向不变,特征值是对应于特征向量的缩放因子。

二、性质1.特征值与特征向量的存在性和唯一性对于n阶方阵A,它一定存在n个特征值,但不一定有n个线性无关的特征向量。

每个特征值对应的特征向量也不一定唯一2.特征值的性质(1)特征值的和等于方阵的迹,即λ1 + λ2 + ... + λn =tr(A)。

(2)特征值的积等于方阵的行列式,即λ1 * λ2 * ... * λn = det(A)。

3.特征向量的性质(1)对于同一个特征值λ,存在无穷多个线性无关的特征向量。

(2)特征向量的线性组合仍然是一个特征向量。

三、应用矩阵的特征值与特征向量在多个学科和领域中都有广泛的应用。

1.物理学在量子力学中,特征值与特征向量的概念被用来描述量子态和量子测量。

2.工程学在结构力学中,特征值与特征向量可以用来分析弹性体的振动频率和振动模态。

3.数据分析特征值与特征向量可以用于主成分分析(PCA),以降低数据的维度并提取最重要的特征。

4.图像处理特征值与特征向量可以用于图像压缩和图像恢复等领域。

5.机器学习在机器学习算法中,特征值与特征向量可以用于降维、分类和聚类等任务。

总结:矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念,具有很多实际应用。

通过特征值与特征向量,我们可以分析矩阵的性质、求解特征方程、降低数据维度等。

理解和掌握矩阵的特征值与特征向量对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。

矩阵论五矩阵分析

矩阵论五矩阵分析

矩阵论五矩阵分析矩阵论作为数学中的一个重要分支,研究的是矩阵的性质、运算和应用。

在实际应用中,矩阵论广泛应用于线性代数、计算机科学、物理学、经济学等领域,起到了重要的作用。

本文将介绍矩阵分析这一矩阵论的重要内容。

矩阵分析是矩阵论中的一个重要分支,它研究的是矩阵的各种性质和内在结构。

矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换、相似矩阵等概念和定理。

首先,矩阵的行列式是一个非常重要的概念。

行列式是一个把方阵映射到实数的函数,用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等问题。

行列式的计算可以通过对矩阵进行列展开、代数余子式等方法来进行。

同时,行列式还具有一系列重要的性质,如行列式的线性性、行列式的性质、Cramer法则等,这些性质为行列式的计算和应用提供了便利。

其次,矩阵的特征值和特征向量也是矩阵分析的重要内容。

特征值和特征向量描述了矩阵在线性变换下的性质,是矩阵的本征特性。

通过求解特征方程,可以得到矩阵的特征值,通过求解对应的特征向量,可以得到矩阵的特征向量。

特征值和特征向量在很多应用中起着重要的作用,如在物理学中用于描述物理量在变换下的特性,亦或者在图像处理中用于图像压缩和分解等。

此外,矩阵的正交变换也是矩阵分析中的一个重要概念。

正交变换是指保持向量长度和夹角不变的线性变换,可以通过一个正交矩阵来实现。

正交变换在几何学中起到了非常重要的作用,如在三维空间中的旋转变换、投影变换等。

正交矩阵具有很多重要的性质,如正交矩阵的逆等于其转置、正交矩阵的行列式为1或-1等。

最后,相似矩阵也是矩阵分析中的一个重要概念。

相似矩阵是指可以通过一个可逆矩阵相似变换得到的矩阵。

相似矩阵具有相同的特征值,特征向量和行列式。

相似矩阵在矩阵的相似性和等价性判断、矩阵的对角化等问题中起到了重要的作用。

总之,矩阵分析作为矩阵论的重要分支,研究的是矩阵的各种性质和内在结构,是矩阵论的重要内容之一、矩阵分析包括矩阵的行列式、特征值、特征向量、正交变换和相似矩阵等概念和定理。

大一高数矩阵知识点总结

大一高数矩阵知识点总结

大一高数矩阵知识点总结在大一的高等数学课程中,矩阵是一个重要的数学概念。

掌握了矩阵的相关知识,不仅可以帮助我们解决线性代数中的问题,还可以应用于其他学科领域。

下面是我对大一高数矩阵知识点的总结:一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义:矩阵是一个按照矩形排列的数表,其中的数称为元素。

2. 矩阵的阶:矩阵的行数和列数称为矩阵的阶。

一个m行n列的矩阵表示为m×n的矩阵。

3. 矩阵的转置:将矩阵的行和列对调得到的新矩阵。

若A为一个m×n的矩阵,其转置记作A^T。

4. 矩阵的相等:两个矩阵的对应元素相等,则称两个矩阵相等。

二、矩阵的运算1. 矩阵的加法:若A和B为两个同阶矩阵(m×n),则它们的和C为一个与A、B同阶的矩阵,C的第(i,j)个元素等于A的第(i,j)个元素与B的第(i,j)个元素之和。

2. 矩阵的数乘:若A为一个m×n的矩阵,k为一个实数或复数,则kA为一个与A同阶的矩阵,kA的第(i,j)个元素等于k与A的第(i,j)个元素的积。

3. 矩阵的乘法:若A为一个m×n的矩阵,B为一个n×p的矩阵,则它们的积C为一个m×p的矩阵,C的第(i,j)个元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。

4. 矩阵的幂:若A为一个n×n的矩阵,k为一个正整数,则A的k次幂为将A乘以自身k-1次。

三、矩阵的性质1. 矩阵的加法交换律:A+B = B+A2. 矩阵的加法结合律:(A+B)+C = A+(B+C)3. 矩阵的数乘分配律:k(A+B) = kA + kB4. 矩阵的乘法结合律:(AB)C = A(BC)5. 矩阵的乘法分配律:A(B+C) = AB + AC四、矩阵的逆1. 可逆矩阵:设A是一个n×n的矩阵,若存在一个n×n的矩阵B,使得AB = BA = I,其中I是n阶单位矩阵,A称为可逆矩阵,B称为A的逆矩阵,记作A^(-1)。

线性代数知识点总结(第5章)

线性代数知识点总结(第5章)

线性代数知识点总结(第5章)(一)矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义:设A为n阶矩阵,如果存在数λ及非零列向量α,使得Aα=λα,称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义:|λE-A|称为矩阵A的特征多项式(λ的n次多项式)。

|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程(λ的n次方程)。

注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论:(1)若α为齐次方程Ax=0的非零解,则Aα=0·α,即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量(2)A的各行元素和为k,则(1,1,…,1)T为特征值为k的特征向量。

(3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结:特征值与特征向量的求法(1)A为抽象的:由定义或性质凑(2)A为数字的:由特征方程法求解5、特征方程法:(1)解特征方程|λE-A|=0,得矩阵A的n个特征值λ1,λ2,…,λn注:n次方程必须有n个根(可有多重根,写作λ1=λ2=…=λs=实数,不能省略)(2)解齐次方程(λi E-A)=0,得属于特征值λi的线性无关的特征向量,即其基础解系(共n-r(λi E-A)个解)6、性质:(1)不同特征值的特征向量线性无关(2)k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r(λi E-A)≤k i(3)设A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则|A|=Πλi,Σλi=Σa ii(4)当r(A)=1,即A=αβT,其中α,β均为n维非零列向量,则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα,λ2=…=λn=0(5)设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,则(二)相似矩阵7、相似矩阵的定义:设A、B均为n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP,称A与B相似,记作A~B8、相似矩阵的性质(1)若A与B相似,则f(A)与f(B)相似(2)若A与B相似,B与C相似,则A与C相似(3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之和)【推广】(4)若A与B相似,则AB与BA相似,A T与B T相似,A-1与B-1相似,A*与B*也相似(三)矩阵的相似对角化9、相似对角化定义:如果A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ=,称A可相似对角化。

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第五专题 矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一:参照课本194页,例4.3.证明二:利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质;从而I p +AB ,I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同,大小相同;其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积,因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。

二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。

下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义:nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑,etrA=exp(trA)性质:1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ,线性性质;2. Ttr(A )tr(A)=;3. tr(AB)tr(BA)=;4.1tr(P AP)tr(A)-=; 5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量;6. nnkki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0;8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ);9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。

若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理:对任意两个m×n复矩阵A和B|tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。

特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时0≤|tr(AB)|≤定理:设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0,B≥0,则0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B)λ1(B)表示B的最大特征值。

证明:tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) ≥0,又因为A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0,所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2,得tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)推论:设A为Hermite矩阵,且A>0,则tr(A)tr(A-1)≥n另外,关于矩阵的迹的不等式还有很多,请参考《矩阵论中不等式》。

三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester 于1861年引进的。

它是矩阵的最重要的数字特征之一。

下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。

定义:矩阵A 的秩定义为它的行(或列)向量的最大无关组所包含的向量的个数。

记为rank(A)性质:1. rank(AB)min(rank(A),rank(B))≤;2. rank(A B)rank(A,B)rank(A)rank(B)+≤≤+;3.H Hrank(AA )rank(A )rank(A)==; 4. rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)===,其中X 列满秩,Y 行满秩(消去法则)。

定理(Sylvester ):设A 和B 分别为m×n 和n×l 矩阵,则rank(A)rank(B)n rank(AB)+-≤min(rank(A),rank(B))≤Sylveste 定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。

其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》,三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。

四、相对特征根定义:设A 和B 均为P 阶实对称阵,B>0,方程|A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。

性质:|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0(因为B>0,所以B1/2>0)注:求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。

因B-1/2AB-1/2是实对称阵,所以特征根为实数。

定义:使(A-λi B)l i=0的非零向量l i称为对应于λi 的A相对于B的特征向量。

性质:①设l是相对于λ的A B-1的特征向量,则A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量(转化为求A B-1的特征向量问题)。

②设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量,则B-1/2AB-1/2l=λl可得A (B-1/2l)=λB(B-1/2l)则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量(转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题)。

五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。

先讨论向量范数。

1. 向量范数定义:设V 为数域F 上的线性空间,若对于V 的任一向量x ,对应一个实值函数x ,并满足以下三个条件:(1)非负性 x 0≥,等号当且仅当x=0时成立; (2)齐次性 x x ,k,x V;α=α⋅α∈∈ (3)三角不等式x y x y ,x,y V +≤+∈。

则称x 为V 中向量x 的范数,简称为向量范数。

定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。

例1. nx C∈,它可表示成[]T12n x =ξξξ,i C ξ∈,1n22i 2i 1x ∆=⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑就是一种范数,称为欧氏范数或2-范数。

证明:(i )非负性 1n22i 2i 1x 0=⎛⎫=ξ≥ ⎪⎝⎭∑,当且仅当()i 0i 1,2,,n ξ==时,即x =0时,2x=0(ii )齐次性11nn 2222i i 22i 1i 1x x==⎛⎫⎛⎫α=αξ=α⋅ξ=α⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑(iii )三角不等式[]T12n y =ηηη ,i C η∈[]T1122n n x y +=ξ+ηξ+ηξ+ηn22i i 2i 1x y =+=ξ+η∑()22222i i i i i i i i i i 2Re 2ξ+η=ξ+η+ξη≤ξ+η+ξη n222i i 222i 1x y x y 2=+≤++ξη∑()222222222x y x y 2x y +=++根据H ölder 不等式:11nnnpqp q i i i i i 1i 1i 1a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑,i i 11p,q 1,1,a ,b 0p q >+=> 11nnn2222i i i i 22i 1i 1i 1x y ===⎛⎫⎛⎫=ξη≥ξη ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∴ 222x y x y +≤+2. 常用的向量范数(设向量为[]T12n x =ξξξ)1-范数:ni 1i 1x==ξ∑;∞-范数:1i nx i max ∞≤≤=ξ;P-范数:1np p i p i 1x =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑ (p>1, p=1, 2,…,∞,);2-范数:()1H22x x x =;椭圆范数(2-范数的推广):()1H2Axx Ax=,A 为Hermite 正定阵.加权范数:1n22i i wi 1xw =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑,当[]12n A W diag w w w ==,i w 0>证明:px显然满足非负性和齐次性(iii )[]T12n y =ηηη1npp i p i 1x =⎛⎫=ξ ⎪⎝⎭∑,1n pp i pi 1y =⎛⎫=η ⎪⎝⎭∑,1npp ii p i 1x y =⎛⎫+=ξ+η ⎪⎝⎭∑()nnppp 1i i i ii ipi 1i 1nnp 1p 1i ii i iii 1i 1x y-==--==+=ξ+η=ξ+ηξ+η≤ξ+ηξ+ξ+ηη∑∑∑∑应用H ölder 不等式()11nnnqpp 1p 1q p ii i i ii i 1i 1i 1--===⎡⎤⎡⎤ξ+ηξ≤ξ+ηξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑()11nnnqpp 1p 1q p iii i ii i 1i 1i 1--===⎡⎤⎡⎤ξ+ηη≤ξ+ηη⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑()111p 1q p p q+=⇒-= ∴111n nn n qp p p p p p i i ii i i i 1i 1i 1i 1====⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ξ+η≤ξ+ηξ+η ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 111nnnpppp p p i i i i i 1i 1i 1===⎛⎫⎛⎫⎛⎫ξ+η≤ξ+η ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑即 p p px y x y+≤+3. 向量范数的等价性 定理 设α、β为nC 的两种向量范数,则必定存在正数m 、M ,使得m xx M xαβα≤≤,(m 、M 与x无关),称此为向量范数的等价性。

同时有11x xx Mmβαβ≤≤注:(1)对某一向量X 而言,如果它的某一种范数小(或大),那么它的其它范数也小(或大)。

(2)不同的向量范数可能大小不同,但在考虑向量序列的收敛性问题时,却表现出明显的一致性。

4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。

因为一个m ×n 阶矩阵可以看成一个mn 维向量,所以m n C ⨯中任何一种向量范数都可以认为是m ×n 阶矩阵的矩阵范数。

1. 矩阵范数定义:设m n C ⨯表示数域C 上全体m n ⨯阶矩阵的集合。

若对于m n C ⨯中任一矩阵A ,均对应一个实值函数A ,并满足以下四个条件:(1)非负性:A 0≥ ,等号当且仅当A=0时成立; (2)齐次性:A A ,C;α=αα∈(3)三角不等式:m nA B A B ,A,B C ⨯+≤+∈,则称A 为广义矩阵范数;(4)相容性:AB A B ≤⋅,则称A 为矩阵范数。

5. 常用的矩阵范数 (1)Frobenius 范数(F-范数)F-范数:12n2ij Fi j 1Aa =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,=矩阵和向量之间常以乘积的形式出现,因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。

定义:如果矩阵范数A 和向量范数x 满足Ax A x≤⋅则称这两种范数是相容的。

给一种向量范数后,我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。

(2)诱导范数设A ∈C m ×n ,x ∈C n , x 为x 的某种向量范数, 记x 1A max Ax == 则A 是矩阵A 的且与x 相容的矩阵范数,也称之为A 的诱导范数或算子范数。

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