矩阵的范数和条件数
矩阵范数
二、向量范数的抽象定义： 1、向量范数的定义 n n x 定义9（向量范数）对于向量 R 或x C 的某个实值非负
2、常用的向量范数 T n n x y x y 定义10 设x ( x1 ,, xn ) R (或x C ) N （1）向量的“∞”范数： ( x ) || x || max x i ； 1 i n
§9 向量，矩阵范数，矩阵的条件数 T 线性方程组，解的形式均为向量，如近似解 x x1 , x 2 ,, x n ，
该近似解的误差估计如何？ 下一章要讨论解大型稀疏线性方程组的迭代法，迭代法的收 敛性怎样？ 需要对向量空间R n 或矩阵空间 nn 的元素 “大小”给出某 R 度量。即向量范数（或矩阵范数）概念， 种 从而引进 n 或R nn中元素 R 的距离概念。 向量、矩阵与线性方程组有着密切的关系，向量、矩阵范数是 解方程组以及研究与探讨方程组本身性质的工具。 9.1 向量，矩阵范数 二维，三维的长度概念：
k k
max x
1 i n
(k ) i
(k ) x i 0(当k ) x x
k
0(当k )。
由范数的等价性定理有：
(k ) lim x x k (k ) lim x x
k
(k ) x x 0当k , (k ) 2 x x 0当k 。
T
2 2 R 2中，x R 2， x1 x2，其中x x1 , x2 ； x T 2 2 2 R 3中, x R 3， x 1 x 2 x 3 , 其中x x1 , x 2 , x 3 。 x 2 2 2 n x R n , x x1 x 2 x n , 其中x x1 , x 2 , , x n T 。 推广到 R ：
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。
为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。
(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。
},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。
},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。
(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。
在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。
nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。
设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。
2.2矩阵的范数
§2.2 矩阵的范数我们知道：向量本身可以看作是矩阵，而一般的矩阵又有自身的运算特点，比如矩阵的乘法运算。
因此，我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点，这就有了我们以下要讨论的内容：一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数，若它满足下述三个条件： （1） 非负性：,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= （2） 齐次性：,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= （3） 三角不等式：,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数，若||||i 还满足下述第四个性质： （4） 相容性：,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。
注：在相容性的定义中，n l B C ×∈，m l AB C ×∈，实数||||B ，||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。
2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样，对于矩阵序列而言，它也有极限的概念。
设矩阵序列(){}k A ，其中()k m n A C ×∈，若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ，则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =，或者说(){}k A 收敛到矩阵A ，记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。
当然，也可按照范数定义矩阵的收敛性。
即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。
由三角不等式，可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。
矩阵范数的条件数cond
矩阵范数的条件数cond矩阵范数是线性代数中的一种概念，它可以描述矩阵的大小。
与之相关的条件数cond则衡量了矩阵的稳定性，它在数值计算、信号处理、优化算法等领域中有广泛的应用。
1. 什么是矩阵范数？矩阵范数是一个将矩阵映射到实数空间的函数，可以用来衡量矩阵的大小，形式化地表示为：||A|| = max{||Ax||/||x||}其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维向量，||x||表示向量x的范数。
常见的矩阵范数有欧几里得范数、一范数、无穷范数等。
2. 什么是条件数cond？条件数cond是矩阵A的范数和其逆矩阵的范数的乘积，形式化地表示为：cond(A) = ||A||·||A^-1||其中，A^-1是矩阵A的逆矩阵。
条件数越大，说明矩阵A越不稳定，容易出现误差。
3. 条件数在数值计算中的应用在数值计算中，我们经常需要求解线性方程组Ax=b。
如果矩阵A的条件数很大，那么求解过程中就容易出现误差，导致计算结果不够准确。
为了解决这个问题，我们可以使用一些技巧来减小条件数。
例如，对于大型矩阵，可以使用迭代方法来求解方程组，以减小计算复杂度和误差；对于条件数较大的矩阵，可以引入正则化项，通过约束范数来控制矩阵的大小，从而使其更加稳定。
4. 条件数在信号处理中的应用在信号处理中，我们常常需要对信号进行滤波或降噪等操作。
这些操作通常涉及到矩阵的逆或伪逆，因此需要特别注意矩阵的稳定性。
例如，对于图像降噪问题，我们可以使用奇异值分解等技巧来计算矩阵的伪逆，从而获得更好的降噪效果。
但是如果矩阵的条件数很大，那么就需要进行一些额外的处理，如截断小奇异值。
5. 条件数在优化算法中的应用优化算法通常涉及到求解目标函数的最优解。
若目标函数的Hessian矩阵条件数很大，那么优化算法容易陷入局部最优解，从而影响算法的收敛性。
为了避免这个问题，我们可以使用一些技巧来减小Hessian矩阵的条件数。
例如，可以加入正则化项，从而使Hessian矩阵更加稳定；也可以使用块对角化等技巧，将Hessian矩阵分解为若干个块对角矩阵，从而减小计算复杂度和误差。
矩阵范数的意义范文
矩阵范数的意义范文矩阵范数（Matrix Norm）是矩阵理论中的一个重要概念，它对矩阵的性质、收敛性和稳定性分析都起到了重要的作用。
矩阵范数是向量范数的推广，用于衡量矩阵的"大小"。
本文将从矩阵范数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍。
首先，我们来定义一下矩阵范数。
设A是一个m×n的矩阵，它的矩阵范数记为‖A‖。
矩阵范数应满足以下条件：1.非负性：‖A‖≥0，并且当且仅当A=0时，等号成立。
2.齐次性：对于任意标量λ，有‖λA‖=，λ，‖A‖。
3.三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有‖A+B‖≤‖A‖+‖B‖。
常见的矩阵范数有多种，常用的有以下几种：1. 1-范数（1-Norm）：也称为列和范数，定义为矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，即‖A‖₁=max{∑，aᵢⱼ，}，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。
2. ∞-范数（Infinity Norm）：也称为行和范数，定义为矩阵的每一行元素绝对值之和的最大值，即‖A‖∞=max{∑，aᵢⱼ，}，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。
3. 2-范数（2-Norm）：也称为谱范数，定义为矩阵A的最大奇异值，即‖A‖₂=√(矩阵A的最大特征值)。
4. F-范数（Frobenius Norm）：也称为Euclidean范数，定义为矩阵元素绝对值的平方和的开平方，即‖A‖F=√∑(，aᵢⱼ，²)，其中i=1,2,...,m，j=1,2,...,n。
接下来，我们来探讨一下矩阵范数的意义和性质。
首先，矩阵范数可以度量矩阵的大小。
和向量范数类似，矩阵范数被用来度量矩阵的"大小"，反映矩阵与零矩阵之间的距离。
矩阵范数越大，代表矩阵越"大"。
例如，对于1-范数，它表示矩阵的每一列元素绝对值之和的最大值，因此可以表示一个矩阵中最大的列向量的长度。
对于2-范数，它表示矩阵最大奇异值的平方根，可以用来度量矩阵的条件数，即矩阵有多么病态，是否容易受到舍入误差的影响。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
2范数和条件数病态方程组
由于
( I A)( I A)1 I ( I A)1 A( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
在最后一式两端取范数，得
( I A) 1 I A ( I A) 1
1 A
( I A) 1 I 1.
练习:计算矩阵
1 2 A 3 4 的各种范数.
答案 : 6,7, 15 221 , 30
§2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组
2.3.1
矩阵的条件数与线性方程组的性态
给定线性方程组 Ax =b，现在考察，系数矩阵 A 和常数列 b 有了微小变化 △A，△b ，它如何影 响解向量 x，即，解向量 x 的变化量 △x 何样？ 由于A （或 b）的元素是测量得到的，或者是 计算的结果，在前种情况下， A （或 b）常常带有 某些观测误差，在后种情况下， A （或 b）包含舍 入误差，因此我们处理的实际矩阵是A + △A （或 b+ △b ）。
n×n矩阵 A，式(1.2)中定义的函数是一种矩阵范 数，并且它与给定的向量范数是相容的.
A max Ax
单位球上的 最大像值
x 1
(1.2)
证明 先证相容性. 对任意的n×n矩阵A和n维非零向
量 y. 由于
y 1 max Ax A Ay . x 1 y y
所以有
Ay y max Ax y A ,
考察方程组 Ax = b, 当 A 或 b 有微小扰动时, 对解的影响， 首先看一个例子：
1 x1 2 1 , 1 1.0001 x2 2 1 x1 2 1 x 1 1.0001 2.0001 2
矩阵的条件数
定理2
设
A
C nn n
， ACnn ， b Cn
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
数||.|| 相容.设x是线性方程组Ax=b的解，xˆ 是
线性方程组( A A)xˆ b b 的解
若 A1 A 1，则
误差对解的误差的影响
det( A)
0.00002
误差估计中的应用
1.对求矩阵的逆的过程中产生的相对误差
的影响
定理1
设
A
C nn n
是一个可逆矩阵， ACnn
是一个矩阵，||.|| 是Cnxn上的一个矩阵范数.
若 A1 A 1 则 A A 可逆，且有
A1 ( A A)1
A1 A
A1
1 A1 A
误差估计中的应用
x xˆ
cond( A)
A
x
1 cond( A)( A A ) A
cond( A)
b
1 cond( A)( A
A)
b
误差估计中的应用
2.在解线性方程组Ax=b时系数矩阵A和向
量b的数据误差对解的误差的影响
定理3
设
A
C nn n
，b, r C n
，
而Cn上的向量范数 与Cnxn上的矩阵范
(5)当A、B是可逆矩阵时，则
cond(AB) cond(A)cond(B)
矩阵的条件数
1
n阶Hilbert矩阵
H
i
1 j
1
nn
1 2
1 2 1 3
1 1
cond2 (H4 )=1.5514 104 n n 1
1
n
1
n 1
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2 2 2 x1 x2 xn
max { xi }
(3)向量的1－范数：
X
1
xi
i 1
1i n n
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
4
3 || b ||2 4 0.513 10 0.01% 此时精确解为 x* ||b ||2 1.0203
|| x ||2 2.0102 > 200% || x ||2
A A x x
#证毕
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
条件数和病态矩阵
定义：（条件数）
Condp ( A) A p A1
p
p
表示A的某种范数
设 Ax b ， A 引入误差 A 后，解引入误差 x ，则
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
向量的范数
例1 考虑下面的两个线性方程组：
6 x2 8 6 x2 8 2 x1 2 x1 与 2 x1 6.00001x2 8.00001 2 x1 5.99999 x2 8.00002
计算cond (A)2 。
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
解：考察 A 的特征根 de t(I A) 0 1 1.980050504 2 0.000050504
College of Science
理学院
定义 设向量XRn ,若X的实值函数N(X)=‖X‖,满足条件: (1)非负性: ‖X‖0 ,且‖X‖=0的充要条件为X=0; (2)齐次性: ‖kX ‖=|k |‖X‖, kR； (3)三角不等式:对任意 X,YRn ,都有: ‖X+Y‖‖X‖+‖Y‖ 则称N(X)=‖X‖为Rn上的向量 X 的范数。 定义：设X=(x1,x2,…,xn)T Rn ,则定义: (1)向量的2－范数： (2)向量的－范数：
x1 1 x 和 其解分别为： x2 1
x1 10 x x2 2
在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代 法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利 用向量与矩阵的范数的概念。
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
定理：设A=(aij)n×n,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数
A 1 max aij
1 j n
n
列和的最大值 行和的最大值
A max aij
1i n
i 1 n
A 2 max
① ② ③ ④ ⑤
j 1
max 是ATA的最大特征值，也称为谱范数
理学院
同样，类似有
A( x x) b b Ax b
x
x
A
1
A
b
b
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。
若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。
( A A)(x x) b ( A A)x b Ax A x A x x ( A A)1A x 1 1 1 A( I A A) ( A A) x 1 ( A A) A x ( I A1A) 1 A1A
矩阵范数和条件数
定义:设矩阵ARn×n ,若A的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件:
(1)非负性: ‖A‖0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖A‖=| |‖A‖, R;
(3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖.
则称‖A‖为矩阵A的范数.
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
( I A1A) 1 A1 A ( I A1A) 1 A1A
注意到
因为：
( I B)
1
1 1 B
行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。
例
1 A 0.99 1.99 0.99 , b 0.98 1 . 97
1 精确解为 x 1 . 9800 9900 1 A = 9900 10000
D (I B)1 1 I (I B)D D BD D B D D (1 B )
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
x
x
A
测试病态程度： 0.97 10
2 x x * x 2.0203
1 cond ( A) 2 39206 >> 1 2
为对称矩阵
，其相对误差为 给 b 一个扰动 b 0.106 10 3
1
1 A 1 A1A
条件数
A
1
A
1
A
1
A
1
A
A
1 A
A
1 A
A
A
A
A
1
A
A
A
很小
条件数表示了对误差的放大率
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
定义：设向量XRn ,矩阵ARn×n ,且给定一种向量范数‖X‖p ,则称
A p max
X 0
AX X
p
p
max AX p , p 1,2,
X 1
为由向量范数派生的矩阵算子范数.
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
定义：设A=(aij)n×n,的特征值为r，定义A的谱半径为：
( A) max r
1 r n
定理： ‖A‖为矩阵A的范数，则易知： 证： x A x x为A的特征向量
( A) A
x A x
x x A x A x
矩阵范数的一些性质：
A 0,&, A 0 A 0
A A , R
A B A B , A, B Rnn AB A B , A, B Rnn Ax A x , x Rn
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology