矩阵范数

即
本章约定：
AB A B
n 我们仅在 C nn （或 Rn）上研究方阵的范数。
n n 设 是数域 F (R或C)上所有n n矩阵全体构成 F 定义1
的线性空间。实值函数 : F nn R 称为矩阵范数，是
指对于任意矩阵 A, B F nn 满足下列性质 (1) 正定性:
n 2 n 2
n 2

n n
n
n
n
n
n
i 1 j 1 k 1
[( aik )( bkj )] ( aik )( bkj )
2 2 i 1 k 1
2 m2
i 1 j 1 n n
k 1
n
k 1 n
j 1 k 1
A
A
m2
B
2 m2
是定义在 C nn 上的矩阵范数。
量范数，若存在两个与x无关的正常数m、M，使得
m x

x

M x

则称 || x || 与 || x || 是等价的。
n n C 与向量范数类似， (或 R nn )上任意两个矩
阵范数等价。另外，仍然可以根据已知的矩阵范数 构造出新的矩阵范数。
例8 设 x
n n , x C 是线性空间 上的两个矩阵范数,
F
F
AV
A
所以
A
F
UA
F
AV
F
UAV
F
2.5.3 矩阵范数的性质
定理3
n n nn R A , B C 设 (或 )，则
(1)
Onn 0
(2)
A B A B
(3) ||A||是关于矩阵A各元素aij的连续函数。 证明 与向量范数类似，略。
定义2
n n || x || ,|| x || C 是 设 中定义的任意两种向
证明 (3) 对 A
m
进行验证。
正定性，齐次性和三角不等式容易证明，下面
只证明满足相容性。
AB
m
aik bkj n max aik bkj n max i, j
i, j k 1
k 1
n
n
n n max aik max bkj
i ,k k, j
n max aik n max bkj
kA
m1
kaij k
i 1 j 1
n n
n
n
a
i 1 j 1
n
n
n
ij
k A
m1

满足三角不等式
A B
m1
aij bij ( aij bij )
i 1 j 1 n i 1 j 1 n n n
n
aij bij
i 1 j 1 i 1 j 1 m1
i 1 k 1
m1
n
n
n
j 1 k 1
A
A
B
m1
m1
是定义在 C nn上的矩阵范数。
证明
(2) 对 A
m2
进行验证。

根据范数的定义，显然正定性和齐次性成立。 下证三角不等式和相容性。 满足三角不等式 利用Minkowski不等式
A B
m2
n n 2 aij bij i 1 j 1
|| A || 0
当且仅当: A 0,
A 0
(2) 齐次性： kA k A
(3) 三角不等式： A B A B (4) 相容性：
称实数||A|| 是矩阵A 的 范数。
AB A B
C nn 上常用的矩阵范数
A
m1
aij
i 1 j 1
n
n
m1-范数
1 2
A
m2
i ,k k, j
A
m
B
m
观察 C nn上常用的矩阵范数 m1-范数 A m∞-范数
m1
aij ,
i 1 j 1
n
n
m2-范数 A
m2
n n 2 aij i 1 j 1
1 2
A
m
n max aij
i, j
m1-范数与m2-范数可以视为向量的1-范数与2-范数的直接推 广，而矩阵的m∞-范数与向量的∞-范数却并不相同，这是为 什么呢？先看一个例子
证明 A max{ A
, A } 也是 C
n n
上的矩阵范数。
证明
非负性，齐次性和三角不等式的成立是显
然的，下面只要证明相容性成立即可。
A B max{ A B max{ A max{ A
A B


, AB


}

B
, A
B

} , B


, A } max{ B
矩阵论讲义 矩阵论教程 A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
重点： 施密特正交化方法；正交子空间及其正交补；
算子范数；相容性
难点： 正交基及子空间的正交关系，算子范数及其与
向量范数的相容性
§2.5
矩阵范数
2.5.1 C nn上常用的矩阵范数 线性空间C nn 中任意一个m n矩阵，都可以看 做是一个 m n维的向量，因此，可以用定义向量范
数的方法来定义矩阵的范数。 由于矩阵之间具有向量所没有的乘法运算，为 了计算上的方便，常常要求矩阵范数满足相容性，
A
F
UA
F
AV
F
UAV
F
证明 由已知 U HU UU H E ,
UA
2 F H H H
因此
H 2 F
tr[(UA) (UA)] tr[ A U UA] tr[ A A] A
F
V也是酉矩阵，同理有 V H AH 而
V H AH AH
F F
AH
F
F
( AV ) H
1 2
m2
m2-范数
又被称为Frobenious范数，简称F-范数。记做||A||F
定理1 A (aij )nn C nn , A 的F-范数||A||F满足：
(1)
(2)
A
A
2 F
αj
j 1
F
n
2 2
j 1, 2, , n; , 其中 i 为A的第j列，
F
AH
2
1 2
1 2
n n n n 2 2 aij bij i 1 j 1 i 1 j 1
A
m2
1 2
B
m2

满足相容性
AB
2 m2
利用Hőlder不等式
2 ( a b ) a b ik kj ik kj i 1 j 1 k 1
H
n
H
的迹，i ( A A) 是 A A 的特征值。
H
i 1 H
a11 a A H A= 12 a1n
n ai 1 i 1 = *
a21 an1 a11 a a22 an 2 21 a2 n ann an1
n n 2 aij i 1 j 1
m2-范数 m∞-范数
A
m
n max aij
i, j
下面我们逐一验证。
证明 (1) 对 A
满足正定性
m1
进行验证。
A
m1
aij 0
i 1 j 1
n
n
当且仅当A为零矩阵时，||A||=0。 满足齐次性
2 2
由向量2-范数定义知 α j
aij
i 1
n
2
，故

j 1
n
αj
F
2 2
= aij = A F2 j 1 i 1 Nhomakorabean
n
2
(2)
A F AH
;
n n 2 aij = AH i 1 j 1
1 2
因为
A
F
F
(3)
A
2 F
H H A tr( A A ) tr( A A) i ( A A), 其中 为 A

}
n n n n S C C 例9 设 可逆，|| ||α为给定的 中的
1 n n A S AS A C 矩阵范数， ，定义函数

证明||A||也是 C nn 中的矩阵范数。
证明 当A≠0时，由于S可逆，则S-1AS ≠0，从而
A S 1 AS

0
对任意的k ∈C，有
;
n H i 1
(3)
AF
H H A tr( A A ) tr( A A) i ( A A), 其中 为 A
H
H ( A A) 是 A H A 的特征值。 的迹， i
证明
(1) A F αj
2 j 1 n 2 2
j 1, 2, , n; , 其中 i 为A的第j列，
1 1 1 0 若定义 A max | aij |, 对 A ,B 0 1 , i, j 1 1