初中数学中被删掉的有用知识(二元二次方程组)

2.3.1二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法
一、知识概述
1、二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程．关于x、y的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、c至少有一个不为0)，其中ax2、bxy、cy2叫做二次项，a、b、c分别是二次项的系数；dx、ey叫做一次项，d、e分别是一次项的系数；f叫做常数项．
例，xy=1，x2－y=0，x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1，x2y=0都不是二元二次方程．
2、二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．
3、解二元二次方程组的思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
二、重点、难点和疑点突破
1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”型方程组) (1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程；
③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；
⑤写出方程组的解．
(2)逆用根与系数关系定理法
对“二·一”型二元二次方程组成的形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x，y的值，当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”．
2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
3、“二·二”型方程组的解法
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二
元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
4、“二·二”型方程组的解的情况
由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．
值得注意的是“二·一”型方程组最多有两个解；“二·二”型方程组最多有四个解．解方程组时，既不要漏解，也不要增解．
三、解题方法技巧点拨
1、“二·一”型二元二次方程组的解
例1、解方程组
分析：
此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法；如果把①变形为(x＋y)2=4，得x＋y=2或x＋y=－2，则原方程组可变形为两个二元一次方程组
．解这两个二元一次方程组所得的解都是原方程组的解，这是第二种解法．
解法1：
由②得x=2y＋5 ③
将③代入①，得(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4．
整理，得3y2＋10y＋7=0．
点评：解“二·一”型二元二次方程组，一般常采用前一种解法，即先代入消元，再分解降次(或用公式法)求解．本例的第二种解法是一种特殊解法，它只适合一些特殊形式的方程组．
分解：
仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系通过构造一个以x，y为根的一元二次方程来求解．
解法1：
由①得y=8－x．③
把③代入②，整理得x2－8x＋12=0．
解得x1=2，x2=6．
把x1=2代入③，得y1=6．把x1=6代入③，得y2 =2．
解法2：
根据韦达定理可知，x，y是一元二次方程z2－8z＋12=0的两个根，解这个方程，得
z1=2，z2=6．
点悟：“代入法”是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般方法，适用范围广；“逆用韦达定理法”虽然简便，但它只适用于以两数和与两根积的形式给出的方程组，适用范围比较小．
2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法
例3、解方程组
分析：
观察方程②，把(x－y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于 (x－y)的一元二次方程，且可分解为(x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．
这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：
分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解．
解：
由②得(x－y－3)(x－y＋1)=0．
∴x－y－3=0或x－y＋1=0．
∴原方程组可化为两个方程组：
3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法
例4、解方程组
分析：方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的，方程②左边是完全平方式，右边是1，将其两边开平方，也可以达到降次的目的．
解：由①得(x－4y)(x＋y)=0
∴x－4y=0或x＋y=0
由②得(x＋2y)2=1
∴x＋2y=1或x＋2y=－1．
原方程可化为以下四个方程组
点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象．
4、已知解的情况，确定字母系数
例5、k为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解；
(2)有两个实数解；
(3)没有实数解．
分析：
所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知数y，可得到关于x的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论．
解：
将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0③
△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．
点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△=0，△＞0，△＜0来讨论的．
解题易错点是一元二次方程中x2的系数k2不等于0容易被忽略．
练习
解方程组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧=----=--0
18)(3)(023222y x y x y xy x ；
（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++6
55)(42222y x y x y xy x。