简单的二元二次方程
二元二次方程组的解法
代入消元
x y a 2.对于形如 的二元二次方程组的解法，我们可 xy b 以借助一元二次方程根与系数的关系来求解 。
3.基本步骤： ⑴ 代入消元，将方程转化为一元二次方程
⑵ 解一元二次方程得两根
⑶ 代入方程，求得原方程组的解 4. 注意：方程组的解的书写格式
作业：
解下列方程组
• 1．将方程组中的二元一次方程变形为一 个未知数用另一个未知数表示的代数式. • 2．将所得的代数式代入二元二次方程中 得到一个一元二次方程。 • 3．解一元二次方程求出一个未知数的值。 • 4．将所求的值代入由1所得的式子求出 另一未知数的值。 • 5．写出方程组的解。
练习： 解下列方程组
⒈ y = x－2 x2＋y2 = 6 ⑴ ⑵ ⒉ 2y－3x = 1 ⑴ 13x2－8xy＋3 = 0 ⑵
练习:⒈下列方程中是二元二次方程的是
A x2 1 0 y2 B
（ B ）
x y2 0
x y 2
2 1 1 x y
y 1 C x 2
A
D
⒉下列方程组中，是二元二次方程组的是 （ C ）
x y 2x
2 2
B
x y 1
C
x y 4y 2
2 2
x y 5
的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。
二元二次方程的一般形式是：
ax bxy cy dx ey f 0
2 2
（a、b、c不同时为零）。其中 ax 、bxy、cy 叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项。
2
2
观察；下面的两个方程组 x2－2xy＋y2－4x＋y－15=0 x－2y＋1=0 x2－ y2 =10 x2－3xy＋2y2=0 第一个方程组：是由一个二元二次方程和一个二元一次方程 组成的。 第二个方程组： 是由二个二元二次方程组成的 像这样的方程组叫做二元二次方程组。
二元二次方程练习题及解析
二元二次方程练习题及解析一、练习题1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 92. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 163. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 814. 解方程组：{(3x + 2y)² = 16(2x - y)² = 95. 解方程组：{(2x + y)² = 36(3x - y)² = 49二、解析1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 9解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 25 (1)(x² - 2xy + y²) = 9 (2)将(2)式两边同时乘以4，并与(1)式相加得到： 5x² = 61解得：x = ±√(61/5)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
2. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 16解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 144 (1)(x² - 2xy + y²) = 16 (2)将(2)式两边同时乘以9，并与(1)式相加得到： 10x² = 208解得：x = ±√(208/10)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
3. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 81解：将两个方程展开得到：(4x² + 4xy + y²) = 25 (1)(16x² - 8xy + y²) = 81 (2)将(2)式两边同时乘以1/9，并与(1)式相加得到： 5x² = 74/9解得：x = ±√(74/45)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
简单的二元二次方程的解法
第10章 简单的二元二次方程的解法【知识衔接】————初中知识回顾————含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．————高中知识链接————二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．【经典题型】初中经典题型【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩ 高中经典题型【例1】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 【例2】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 【例3】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩【例4】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x ⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩ 2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩ (2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩ (2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩ (4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ 4．解下列方程组：(1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ (2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩ ————再战高中题 —— 能力提升————B 组1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩ (2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩ (2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ (2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组：(1)2252x yxy⎧+=⎨=-⎩(2)22410x yx y+=⎧⎨+=⎩。
二元二次方程组的概念
二元二次方程组的概念1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个数学小话题——二元二次方程组。
听起来有点高大上，但其实呢，它就像一杯刚泡好的茶，细细品味，里面其实藏着不少有趣的东西！可能你一听到方程就想：“哎呀，这可又要费脑筋了！”别担心，今天我会把它说得轻松点，让大家都能听懂。
2. 什么是二元二次方程组？2.1 概念解析首先，我们得搞清楚什么是二元二次方程。
简单来说，二元二次方程就是那种形式像 (ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0) 的方程。
听上去是不是有点拗口？没关系，咱们把字母换成数字就简单多了。
比如，(x^2 + y^2 1 = 0) 就是个典型的二元二次方程。
这个方程其实描绘的是一个圆，想象一下那温柔的圆形，真是太美了！2.2 方程组的定义那么，什么是方程组呢？简单来说，方程组就是几道题放在一起，你需要同时解出来。
比如，你有两个方程：(x^2 + y = 4) 和 (x + y^2 = 5)。
这些方程好比是两个小朋友在讨论：嘿，我们一起来找找 (x) 和 (y) 的答案吧！所以，解这个方程组的过程就是找出两个小朋友同时都满意的答案。
3. 解二元二次方程组的方法3.1 代入法说到解方程组的方法，咱们可以先聊聊代入法。
想象一下，这就像你把一个朋友的喜好带到另一个朋友那儿。
比如，先从第一个方程出发，找到 (y) 的值，然后把这个 (y)的值代入到第二个方程里去。
最后，再解出来 (x) 和 (y)。
听起来是不是简单得像和朋友去吃饭，最后大家都找到了想要的餐厅？3.2 消元法再来说说消元法。
这种方法就像是在两个人争论时，你要让其中一个先闭嘴。
我们可以把一个方程的某个部分消掉，接着再解另一个方程。
就像是把一堆烦恼先放到一边，专心解决眼前的问题。
这种方法能让你事半功倍，真是聪明又高效。
4. 二元二次方程组的应用4.1 现实生活中的应用那么，二元二次方程组到底有什么用呢？其实，它们在生活中无处不在！比如说，你在规划一个花园，想知道放几种花才能既美观又节省空间。
二元二次方程基本公式
二元二次方程基本公式
二元二次方程基本公式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。
二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零。
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
1、有两组相等的实数解。
2、有两组不相等的实数解；
3、没有实数解。
解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式。
4、当a<2时，方程③有两个不相等的实数根，则原方程有不同的两组实数解。
5、当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。
6、当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。
“代入消元法”和“加减消元法”解方程组：
代入消元法是将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解。
这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法。
加减消元法是当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组是指由两个二次方程组成的方程组。
二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
二元二次方程组则是由两个二次方程组成的方程组，其中每个方程都有两个未知数。
解二元二次方程组的一种常见方法是将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
具体步骤如下：假设我们有以下二元二次方程组：方程组1：a1x^2+b1y^2+c1xy+d1x+e1y+f1=0方程组2：a2x^2+b2y^2+c2xy+d2x+e2y+f2=0我们可以先将方程组1转化为关于x的一元二次方程。
假设我们固定y的值为y0，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于x的一元二次方程：a2x^2+b2y0^2+c2xy0+d2x+e2y0+f2=0解这个一元二次方程，可以得到两个解x1和x2。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与y0相关的解y1和y2。
重复以上步骤，我们可以固定x的值，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于y的一元二次方程：a1x0^2+b1y^2+c1x0y+d1x0+e1y+f1=0解这个一元二次方程，可以得到两个解y3和y4。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与x0相关的解x3和x4。
我们得到了四个解(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)，它们是原方程组的解。
当然，这只是解二元二次方程组的一种方法，还有其他方法可以求解。
无论使用哪种方法，都需要注意方程的特殊情况，例如方程没有解或有无穷多解的情况。
二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，可以使用不同的方法求解。
解二元二次方程组需要将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
解二元二次方程组需要仔细分析方程的特殊情况，并注意求解过程中的计算准确性。
二元二次方程计算器在线
二元二次方程计算器在线二元二次方程是一种形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程可以通过求根公式，即 x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a) 来得到。
而对于二元二次方程，它是二元的，即含有两个未知数，可以通过几种方法来求解，如代入法、凑方程法、用图像法等。
下面将介绍一种通过代入法求解二元二次方程的计算器在线。
我们可以通过代入法将二元二次方程转化为一元二次方程来进行求解。
具体的计算步骤如下：步骤一：将二元二次方程中的一元用另一个未知数表示出来，将其代入到方程中，得到一个一元二次方程。
步骤二：解一元二次方程，得到一元的值。
步骤三：将求得的一元的值代入到方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个简单的二元二次方程求解的计算器的代码：```Pythonimport mathdef solve_quadratic_equation(a, b, c):delta = b * b - 4 * a * cif delta < 0:print("No real solutions.")elif delta == 0:x=-b/(2*a)print("The only real solution is x =", x)else:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)print("The real solutions are x1 =", x1, "and x2 =", x2) def solve_binomial_quadratic_equation(a, b, c, x):equation = a * x**2 + b * x + csolve_quadratic_equation(a, b, equation)def calculate_binomial_quadratic_equation(:print("Please enter the coefficients of the binomial quadratic equation ax^2 + bx + c = 0:")a = float(input("a = "))b = float(input("b = "))c = float(input("c = "))print("Please enter the value of x:")x = float(input("x = "))solve_binomial_quadratic_equation(a, b, c, x)calculate_binomial_quadratic_equation```此计算器可以通过输入二元二次方程的系数a、b、c，以及x的值来求解二元二次方程。
三元一次方程组的解法与简单的二元二次方程组课件-2022年初高衔接数学
2 − + 2 = −4
数，含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫
做三元一次方程组.
解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方
程组一致，通过消元转化为我们会解的方程组：
消元
消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一
点拨精讲
+ + = 12 ，
2的整式方程，叫做二元二次方程.由含有相同的两个
未知数的两个二元二次方程，或一个二元二次方程和
一个二元一次方程，组成的方程组叫做二元二次方程
组.
解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公
共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，
消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，
其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、
化归为二元一次方程组，再化归为一元一次
方程.实际上，消元是解一次方程组的主要方
法.解一次方程组的消元“化归”基本思想，
可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.
点拨精讲
探究二：简单的二元二次方程组
像 2 + 2 = 1， 2 − 2 2 + + 3 = 10这类含
有两个未知数，并且含有未知数的项的最高项次数是
一元一次方程.解二次一元方程组的
基本方法有代入消元法和加减消元法.消元的目
的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.
在现实生活中，我们遇到未知数不止两个
的方程，下面我们就来学习三元一次方程组.
点拨精讲
+ + = 12
像 + 2 + 5 = 22 ，
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2．新课讲解 我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法 或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方 程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法. 关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且 能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.
（1）二元二次方程及二元二次方程组
y2
1.
15
所以原方程的解是
x1
1,x2
8 15
,
y1
1;
y2
1 15
.
说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生
解题过程. 巩固练习：教材P57 1、2
四、总结、扩展
关于本节的小结，教师引导学生共同总结. 本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见 的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思 想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于 一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组， 一般采用代入消元法解. 学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程 组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程 组的解题步骤：
第十二章 一元二次方程
第八节 简单的二元二次方程(一)
一、教学目标 1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；
2．使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次 方程组成的方程组.
3. 通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次” 的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；
4. 通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转 化的辨证唯物主义思想的教育； 5. 通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.
二、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用 代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次 方程组.
二元二次方程组及解法
1．二元二次方程组
2．二元二次方程的解法
（1）二元二次方程： （1）基本思想：…………
…………
（2）例1…………
（2）二元二次方程组： …………
…………
…………
…………
…………
2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.
3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材 中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定 义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二 元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元 二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一 简单的说明.
二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方
程.
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程 组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.
例1 解方程组
x2 4y2 x 3y 1 0 2x y 1 0
分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，
12都是二元二次方程组.
（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二组的解法，所谓解二元一次方程组就
是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是
求方程组中两个方程的公共解.
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为
一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元
1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知 数表示的代数式.
2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程 或一元一次方程.
3．解一元二次方程或一元一次方程. 4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数. 5．写出方程组的解.
五、布置作业 教材P58 1，2. 六、板书设计
观察方程 x2 2xy y2 x y 6，此方程的特点：①含有两个未知数；
②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.
定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的 整式方程叫做二元二次方程.
二元二次方程的一般形式是：ax2 bxy cy2 dx ey f 0
（a、b、c不同时为零）.
x 所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得 y 2x 1 再代入①
可以求出 的值，从而得到方程组的解. 解：由②，得
y 2x 1
把③代入①，整理，得 15x2 23x 8 0.
解这个方程，得
8 x1 1, x2 15
把 x1 1 代入③，得 y1 1 ；
把
x2
代8 入③，得
15
4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消 元. 三、教学过程
1．复习提问 （1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？ （2）解二元一次方程组的基本思路是什么？ （3）解二元一次方程组有哪几种方法？ 问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、 二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.
dx f 其中 ax2 、bxy、cy2 叫做二次项， 、ey 叫做一次项， 叫做
常数项.. 定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两 个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：
x2 5x
y2 2 ,
y5
x2 2xy y2
2
x
2
3xy
x
x y
y 1