简单的二元二次方程组(课堂总结)

简单的二元二次方程组总结一、知识梳理1、解方程组基本思想：（1）消元；（2）降次。

常用的方法有：代入消元法、因式分解法、韦达定理法、换元法、方程组相加（或倒数相加法）、消项后因式分解法等。

2、当方程组中含有分式方程或无理方程时，一定要注意验根（因为可能存在增根）。

3、当方程组只有一组实数解时，先将方程组化为含一个未知数的一元二次方程，同时要注意观察原方程组的组成，分情况考虑：（1）当方程组为整式方程组时，考虑两种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆。

（方程组中若某个方程如：02=-y x ，则可理解为无理方程y x ±=来考虑。

） （2）当方程组中含有无理方程或分式方程时，分为以下三种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆；③一元二次方程的一个根为增根（对于分式方程：增根为使分母等于零的根；对于无理方程，增根为使0<a 或0<a 的根。

）二、解题方法1、代入消元法例1 ⎩⎨⎧=-=+-+340)2()(2x y y x y x (2)(1)解：由)2(式得：3+=x y )3(将)3(式代入（1）式得：034942=-+x x 即：0)174)(2(=+-x x 解得 417,221-==x x 代入)3(式可得： 45,521-==y y所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==5211y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4541722y x 。

2、因式分解法例2 ⎩⎨⎧=+=--4502322222y x y xy x (2)(1)解：由)1(式得：0)2)(2(=-+y x y x )3( 即 02=+y x 或02=-y x︒1 ⎩⎨⎧=+=+45222y x y x 解得：⎩⎨⎧=±=6311 y x ︒2 ⎩⎨⎧=+=-45222y x y x 解得：⎩⎨⎧±=±=3622y x 所以原方程组的解为：………3、利用韦达定理法例3 ⎪⎩⎪⎨⎧==-1010311xy y x (2)(1)解：由)2(式得：1011-=-xy )3( 令y x 1,1-为方程01011032=--t t 的两根， 则：013102=--t t 即 0)15)(12(=+-t t 51,2121-==∴t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∴511211y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=211511y x解得：⎩⎨⎧-==5211y x 或 ⎩⎨⎧-==2522y x经检验，………是原方程组的解。

4、换元法例4 ⎩⎨⎧++-=+++=++++)3)(2(741)3()2(34)3)(2(22y x y x y x y x (2)(1)解：设t y s x =+=+3,2，原方程组可化为：⎩⎨⎧-=+=++stt s st t s 7413922 再设 v st u t s ==+,得⎩⎨⎧=-=+741392v u v u)2()1()1()2(÷得：19=-v u )3(由)1(、)3(解得：⎩⎨⎧==10029v u ，即⎩⎨⎧==+10029st t s解之得⎩⎨⎧==425t s 或⎩⎨⎧==254t s即⎩⎨⎧=+=+43252y x 或 ⎩⎨⎧=+=+25342y x由此并检验得原方程组的解为⎩⎨⎧==12311y x 或⎩⎨⎧==22222y x 。

5、方程组相加（或倒数相加法）（1）对于一些各个方程的结构很整齐的方程组，可从整体来考虑，先求出它们的和，再来化简各个方程。

（2）取倒数时需要考虑零是否是方程组的根。

例5 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=-+-=-+222278)(252)(239)(z z y x z y y x z y x x z y x )3()2()1(解：由)3()2()1(++式得：169)(2=++z y x )3( ……………例5 222222c b a z y x bx ay xy az cx zx cy bz yz ++++=+=+=+ （其中c b a ,,均不为0）。

解：由方程组知z y x ,,这三个数中，只要有一个为0，则另两个必为0，从而分母 ,0=+cy bz 不合题意，因此z y x ,,均不为0。

令kc b a z y x bx ay xy az cx zx cy bz yz 1222222=++++=+=+=+ 对方程组取倒数得：k ybx a k x a z c k z c y b =+=+=+,, 三式相加整理得：k z c y b x a 23=++ )1( )1(式分别减去以上每一式子得：2,2,2k z c k y b k x a === 所以z kc y k b x k a 2,2,2===， 代入kc b a z y x 1222222=++++，解得4=k ， 所以2,2,2c z b y a x ===， 经检验，原方程组的解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===222c z b y a x 。

6、消项后因式分解法对于复杂的二元二次方程组，以上1~5的方法都不适用时：（1）不含一次项时消常数项后再进行因式分解；（2）消去对应成比例项再进行因式分解（二次项系数对应成比例则消去二次项、x 或y 项系数对应成比例则消去x 或y 项、非二次项系数成比例则消去非二次项）。

例7 ⎩⎨⎧=+-=-+86352522222y xy x y xy x 例8 ⎩⎨⎧=+-+--=+-+--0132412630838422222y x y xy x y x y xy x 例9 ⎩⎨⎧=++++=++++03206422222y x y xy x y x y xy x 例10 ⎩⎨⎧=+--+=-+++036301222y x y xy y x xy x 【思考题】1、解方程组：（1)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=-+-=-+222278)(252)(239)(z z y x z y y x z y x x z y x (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+5356136222222x z xyz z y xyz y x xyz （3）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++785239xz xy z yz x yz xy z xz y xy xz y yz x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++2471y y x x y y x x（5）⎩⎨⎧=++=++2454144)53)(1(2y x x y x x x （6）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++xyy x yx y x 24)4)(9(104922 （7）⎩⎨⎧-=++--=+1212033y x y x （8）⎩⎨⎧+=++=+26215222y xy x y y x（9）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x （10）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=+++=+++43)2)(1(32221z y z y z x x xz y x xxy 2、已知实数d c b a ,,,互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。

3、已知⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-1989)(1990)(1989)(19880)(1990)(1989)(1988222x z z y y x x z z y y x ，求y z -的值。

（1989）三、错题整理1、解下列方程组：（1） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x z zz y yy x x 222222414414414 （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++411131112111y x z x z y z y x（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++=+++432222221z y z y yz z x x xz y x xxy （4）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++192837222222z yz y z xz x y xy x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+y xy z z zx y x yz x 2222222、已知：zxx z zxx z yz z y yz z y xy y x xy y x 43322++-+=++-+=++-+，且z y x 132-=，则z y x ++的值为________________________。

3、设y x ,为实数，且满足⎩⎨⎧=-+--=-+-1)1(1999)1(1)1(1999)1(33y y x x )2()1(，则=+y x ________。

4、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx （y x ,为未知数）有两组不同的实数解⎩⎨⎧==11y y x x ⎩⎨⎧==22y y x x 。

（1）求实数k 的取值范围______________。

5、已知方程组⎩⎨⎧=+=+62322y x ky x )2()1()1(>k 。

（2）若两组实数解为),(11y x 和),,(22y x 且)(42121x x y y +=+，求k 的值________________。

6、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+-+=-01202222a ay y x y x 恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围_______________________。

7、求使方程组⎩⎨⎧=-=-a x y ay x 6522有正整数解的a 的值_________________________。

8、设c b a ,,均为非零实数，且)(4),(3),(2a c ca c b bc b a ab +=+=+=，求c b a ++的值__________________。

9、已知方程组⎩⎨⎧=--=---020102y x a y ax 只有一组实数解，求a ____________。

10、已知z y x ,,是正整数，并且满足⎩⎨⎧+-++=++=-153043z y x z y x y x ，那么z y x +-的值等于____________________。

11、方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+5356136222222zx xyz z y xyz y x xyz的解=),,(z y x __________________________________。

12、若方程组⎩⎨⎧+-=-++=+yx a y x yx a y x 2)(2)(22有唯一一组实数解，则实数a 的值为_______。